1、高等代数在解析几何中的应用摘要：摘 要：本文主要是从代数与几何发展中，给出了高等代数与解析几何互相联系、互相促进的关系。线性代数是高等代数的主要内容，具有深刻的几何背景。而解析几何则是用代数方法研究空间的几何问题。因此把高等代数与解析几何合并成一门课具有内在合理性。本文说明了高等代数与解析几何可以合并授课的动因，对未来的数学高等教育有一定的借鉴作用。关键词：高等代数；解析几何；合并设课中图分类号：G642.41 随着现代科学技术的迅猛发展，课程改革作为教育改革的核心环节和教育改革深化的标志，在世界范围内得到广泛的关注和前所未有的重视。如何让学生在相同的时间里获得更多的知识，培养成为基础厚、素质
2、高、能力强、富有创造力的综合素质人才，已成为课程改革的一个极其重要的方面。越来越多的与现代数学和计算机科学有关的课程在客观上要求必须重新安排课程以节省时间。高等代数与解析几何作为传统“三基” 模式下的二门课程，关系非常密切，几何与代数互为问题、互为方法、互相交融，因而对其进行合理的整合不仅必要而且切实可行。基于上述认识，目前已有越来越多的高等院校数学系将高等代数与解析几何二门课程合成一门新的课程，相关教材也不断出现。伴随着课程和教材的改革，相应的教学方法和手段也应得到不断的认识和改进。本文通过探讨高等代数与解析几何合并教学以后在教学内容的相互协调性、教学手段的合理性，从而说明高等代数与解析几何
3、这么两门学科相互融合已成必然。 一、 历史发展的动因 代数与几何的发展从来就是互相联系、互相促进的。它们的关系可以归纳为 “代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景”这两句话。第一句话是明显的事实，代数的发展确实可以帮助许多几何问题的解决。而后一句话更重要，甚至可以改为“代数要在几何中寻找直观”，以强调几何对代数发展的促进作用。有很多具体的实例支持这个观点。例如 Grothendieck 发展的概念理论就是一个典型的例子。“交换环”本来是一个纯代数的概念，但是如果把环中素理想看成点，再建立适当的拓扑，就产生了“仿射概形” 这个几何对象。这不但给抽象的环提供了几何直观，使得交换代数
4、中原本抽象难解的结论有了十分自然的几何含义，而且又从几何直观的角度给交换代数提出了大量新的研究课题。这个例子说明一旦抽象的代数概念找到了正确的几何直观，就能对它的发展提供新的动力甚至诞生新的研究领域。一直以来，综合类和师范类院校都是把高等代数和解析几何放在一年级同时开设，由于高等代数的教学进度跟不上，经常会出现在解析几何课中提前讲授以后在高等代数课中要讲的内容的尴尬场面。这样既浪费了宝贵的课时，又使本该是统一的内容被人为地割裂开。这样做的好处是数学理论体系清晰，但高等代数与解析几何互相交叉，解析几何中一些问题的研究要用到高等代数中的一些概念、结论；但这些结论又出现较晚，使高等代数与解析几何的配
5、合上出现了脱节，而在介绍代数理论时，由于几何背景不充分，在一定程度上，又有与解析几何脱节的现象。在教材的编写中，面临着如何处理代数理论和几何关系的问题，在解析几何的教学中，要用很大篇幅来介绍代数理论。而把两门课程合并成一门课程之后，与传统教材相比，在讲授内容的次序上，时间上作了一些调整，第一学期先介绍行列式，矩阵，然后，在引入解析几何知识（向量空间），第二学期再学习多项式理论、线性变换、入-矩阵、欧式空间、二次型、二次曲面、高等代数与解析几何之间相互穿插、呼应，有了高等代数的相关知识后再介绍相关的几何知识，这样就可以避免重复，可以提高阅读和讲授效率，使学生体会到高等代数与解析几何是一个整体，关
6、注高等代数与解析几何的结合点，并加以讨论，培养学生的科学素质。同时，调整以后可以让初学者尽早尽可能地了解与掌握高等代数的基本思想，掌握它的最核心、最有用、最生动的部分，消除了与解析几何课在配合上的矛盾。因此这种调整是必要的和行之有效的。二、两门课程的内容及相互关系的动因线性代数式高等代数的主要内容，具有深刻的几何背景。而解析几何则是用代数方法研究空间的几何问题。因此把高等代数与解析几何合并成一门课具有其内在的合理性。总的来说，解析几何是以高等代数为主要研究工具的几何学，没有高等代数这个主要工具，就没有解析几何，而解析几何又反过来为高等代数提供了几何背景、解释和研究课题，促进代数的发展，因此，把
7、它们结合起来作为统一的课程是有必要的，也是十分有益的。从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景” 。从内容的联系来看，两门课之间存在着工具与对象的联系。解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概
8、念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数 n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。由此看出两课合并有利于“数” 与“形” 的结合。从数学思想方法来看，两门课具有统一性。 三、高等代数与解析几何一体化教学内容的协调性高等代数的教学内容主要有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、线性变换、欧式空间、入-矩阵与若当型、二次型。解析几何主要研究二维实空间中的直线与二次曲线、三维实空间中的平面与二次曲面、空间曲线和空间曲面
9、的位置关系、平移变换和旋转变换。由此可以看出，两门课程的内容重复之处较多，而这种重复基本上是一般与特殊的关系。因此从学生的认知角度来看，两门课程合并能让学生在具体的几何背景下更直观地接受数学思想与方法，能充分地发挥两门课内容的互补作用，符合“数” 与“形”结合的认知规律，几何学的讨论给代数学提出了相关问题，而代数学研究的结果又可应用到几何学中去，它们互为问题、互为方法、相互交融，在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助几何设计等技术都以几何与线性代数为其理论基础，几何问题的代数化处理、代数问题的可视化处理，代数与几何更显得相互渗透、密不可分。根据高等代数与解析几何的密切关系，我们认为在
10、进行高等代数与解析几何的一体化教学中，首先应介绍代数方法，然后用它去解决一些问题，最后用代数方法讨论一般的几何问题，这样既可以轻松地完成解决几何的教学和学习，同时学生也体会了代数的妙处，加深了对代数的理解。四、符合基础教育改革的发展要求随着基础教育改革的不断深化，数学教师的综合素质与新课程实施的严重不适应已经成为当前基础教育改革的主要问题，也是数学教育改革成败的关键问题。如何改革高师数学教育专业的课程设置，转变培养模式来提高教师综合素质已迫在眉睫。一方面，从中学数学基础教育改革的理念“体现有价值的数学，现实生活中的数学，以及改革数学教师教学方式与学生学习方式”来看，对教师数学知识的要求也与过去
11、发生了很大的变化，更强调对数学思想，数学研究方法的理解，更注重数学公式、定理、概念的来龙去脉。高等代数与解析几何两门课程的结合无论从内容上还是从方法上都顺应这种要求；另一方面从数学教师专业化的要求来看，教师专业的特殊能力之一是教学技能的训练与培养，据有关专家认为可将教材教法、微格教学、计算机辅助教学融为一门课，以适应现代教育教学的要求。由于高等代数是一门抽象很强的课程，而解析几何却非常直观，这样，就可以充分利用此特点借助计算机多媒体教学以展示两者的融合，既可以提高教学效益，又能充分体现学生由被动学习转为主动学习的教学新理念。总之，把高等代数与解析几何合并设课确实是一次合理和有意义的教学改革。但
12、真正做到两门课程水乳交融、融会贯通，使其形成一个有机的整体，还需要不断积累经验。参 考 文 献1 王仁发 .高等代数与解析几何M . 北京 :高等教育出版社.2 陈志杰. 高等代数与解析几何M . 北京: 高等教育出版社.3张 敏 .高等代数 与解析几何合并设课的教学改革 J. 吉林师范大学学报, 2003 年 04 期.4郭 钧 .高等代数与解析几何合并授课的可行性分析 J . 曲靖师范学院学报 ,2003 年06 期.5郁金祥，刘锦萍 . 高等代数与解析几何的教学实践与认识 J .高等理科教育, 2006 年 01期.6王元金，陈萍清 . 关于高等代数与解析几何分与合的几个问题 J. 辽宁师范大学学报, 2001 年 01 期.7李 超. 高等代数课程教学中应该注意的几个问题 J .数学理论与应用, 2002（4）：67-71.
