1、无限长弦的一般强迫振动定解问题20(,),0)txtuaftRt解 . ()0111(,) ,222xat txatuxtxat dfd三维空间的自由振动的波动方程定解问题2201,0(,)ttuuxyztxyz在球坐标变换sinco(0,2,0)xryrz(r=at)21()1()(,)44MMat rSSut ddra AA无界三维空间自由振动的泊松公式2 2()()(,)MMat atSSt sinco()(0,)xtyzt 2()sindSatd二维空间的自由振动的波动方程定解问题2200,0(,)(,)t tuuaxytxy2 22 20 01(cos,in1cos,in)(,)at
2、 atxryr xryruxyt d dat at 傅立叶变换1()()2ixfxfed基本性质线性性质 1212FfFff1212FffF1212fFf微分性质 if()kkidix()di00()ixfxe0 0)()ixeff.()()fdfxi. 0 1iixFd（ （ ） .xiFxe()()ixffed若 则 1()()Ffaxf()Ffxg()2()Fxf12()224axaee1cos()iniaiiiecosiniaea2xed拉普拉斯变换0()()sxfsfed ReaxcLepap21Lxs21()xLes 2sinkt2cokt2axeashsRea2axesLchaR
3、ea基本性质1212LfLff11122ffLf()(),0sxex 0(),Re()axLesa,fcfc ()12(1)0nnnnfsffff.01()()xLfdLfxs ()nndfxfs.pf（ ） 1212LffF0()()1sxLxed三个格林公式高斯公式：设空间区域 V 是由分片光滑的闭曲面 S 所围成，函数 P,Q,R 在 V 上具有一阶连续偏导数，则：或VSPQRdPyzQdxRyxyzAcos,cos,cos,VSnnnzdS 第一格林公式：设 u(x,y,z),V(x,y,z)在 SSV 上有一阶连续偏导数，它们在 V 中有二阶偏导，则：SVuvduvduvA第二格林公
4、式：设 u(x,y,z),V(x,y,z)在 SSV 上有一阶连续偏导数，它们在 V 中有二阶偏导，则：SVSd第三格林公式设 M0，M 是 V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有： 00 0111()44MMMS VuudSudrnrr A定理 1：泊松方程洛平问题 的解为： (,),(,)(),xyz SS SuufxyzVxyzn连 续 ） 连 续 ）0 11()() ()44S VuMMdfMdrnrr A推论 1：拉氏方程洛平问题 的解为： 0,(,)(,)xyzSSuuxyzxyzn连 续 ） 连 续 ）0 1()()4SuMMdrnrA
5、调和函数1、定义：如果函数 u(x,y,z)满足:(1) 在 具有二阶连续偏导数；(2) 称 u 为 V 上的调和函数。 VS02、调和函数的性质。 性质 1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有 SudnA推论 2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解） 有解的充分必要条件是：0xyzSun0SdA性质 2 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有 : 011()4SuuMdSrnrA性质 3 : 设 u(x,y,z)是区域 V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即: 其中 SR 是以 M0 为球心,R 为半径的球面 021()()4R
6、SuMudA三维空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为：(,),(,)xyz SSuufxyzV连 续 ）其中：000 0()(,) (,)S VGMuMdSGMfdn A 001(,)(,)4MGvxyzr如果 G(M,M0)满足： 则可得泊松方程狄氏解定理0,S定理：泊松方程狄氏解为： 00 0(,)()(,)(S VudSfdVnA其中 G(M,M0)满足：000,(,() SSGMM 00M1G(,)=4r推论：拉氏方程狄氏解为： 00(,)()SGMuMdSnA平面中的三个格林公式首先证明一个定理： 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，且 f(x,y)在 D 上有二阶连续偏
7、导数，n 为曲线的外法线方向，则：22DLffdxysnA(1) 第一格林公式 DLvuvdxyudsn设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，且 u(x,y),v(x,y)在 D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向。 (2) 第二格林公式 l DSvxyA(3) 第三格林公式：设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，且 u(x,y)在 D 上有二阶连续偏导数，n 为曲线的外法线方向，令： 01(,)ln2Mvxyr0 00111()lnlln222MML Duu dSudrrr 定理：平面泊松方程洛平问题 的解为：,(),LLfxyxyn0 00111()lnll(,)222MM
8、L Du dSfdrrr A推论：平面拉氏方程洛平问题 的解为：0,()(,)LLuxyDxyn0 0011()lnln22MMLu dSrr A定理：平面泊松方程狄氏问题的解为： ()(,)LDGufxydnA推论：平面拉氏方程狄氏解为： 0()LdS平面狄氏格林函数 000(,),) SLGMM 00M1G(,)=lnr2特殊区域上狄氏问题格林函数1 球形域内狄氏问题格林函数 00220(,)()(,)SxyzRVG格林函数为： 其中： 00011(,)4RMrr201rA球域内狄式问题的解 0 020 032(,)()(,)(1() (,)(4cosS VSMudSGMfdVnRrfR
9、A其中： 203214cosSSRrGnrA球域上狄氏问题的解的球坐标表达式in(0,2,0)csxyrrz所以： 2 220 03 302 21() ,sin4 4cos cosSRr RrRMdSRdR A2 上半空间狄氏问题的 Green 函数 000,()zGxyz010122 2222 2000000(,) 1144()() ()MGurxyzxyz 01 333 22004()Mzznrxyz所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为： 00 0 032200(,)() (,),1 (,)(,)2S VVGudSGMfdnxyzxyfxyzGMdxyzA上半空间拉氏方程狄氏问题的解为： 0
10、0 3220,1,2zuxyz dxyxy3 上半平面狄氏问题的 Green 函数 010(,)MMGLnnrr，Gny 002222200011 1 2 ()()()()()L yynny xxyx 上半平面上泊松方程狄氏解 00 21), ,()LD DuMdSGfddGfdxA上半平面上拉氏方程狄氏解 0021()()yxx4 圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的 GREEN 函数，0220(,),()LGMDxyR 10100 01(,)lnllnl22MMMrRGrrr圆域上泊松与拉氏方程狄氏解0202()()(,)1(,)cosLDDGuMdSfxydnRrSGfxydA5第一象限上狄氏问
11、题的 Green 函数 01230222000011(,)lnllnl()()()1l4()MMMrrrrxyxy三种典型方程的基本解问题1 泊松方程的基本解方程 的解称为泊松方程 的基本解。(,)uxyz(,)ufxyz三维空间泊松方程的基本解 1,04Ur平面泊松方程基本解为：特解应该为基本解与函数 f 的卷积ln,2r2热传导方程柯西问题基本解定解问题： 的解，称为 定解问题的基本解。20,(,0)txtuaRt 20,(,0)txtuaRt基本解为：定解为基本解与初始函数 的卷积241(,xatUe ()x3 热传导方程混合问题基本解定解问题 的解称为 定解问题的基本解200()(0,
12、),xuattlt 20(,)0,)(,)txtuaftxltl20()001(,;)sininatLxUxtelll定解与基本解的关系为 0000(,)(,;)(,tLuxUtfxtd4 波动方程柯西问题基本解定解问题 的解称为200()(,)(,0),xtatttu定解问题的基本解2,(,)(,),)xtfxyztt基本解为： 0 0012(,;sin()sinsiaaxUxtlll定解与基本解的关系为： 0000(,)(,;)(,tLuxUxtfxtd贝塞尔函数 22()()(00,PnPR 22()()(0rFrnFr &()rrF22()0dyxxy210(),(0)!(1nmmxy
13、x正、负 n 阶第一类贝塞尔函数20()!()nnmmJ1r=0rxed20()y1n!第二类 Bessel 函数()cos()innnJxJxYxLimBessel 函数的母函数1()2(,()xznnGeJxz当 x 为实数时可得，cos01()()cosix nJi 021(cos)()(cosmxJxJxBessel 函数的积分表达式 1()2.()xnnCexdi当 n 为整数时： .1cos),(0,12,)2nJ贝塞尔函数的递推公式 11()()nnxx、 12()()nnxJxJ、3nnnJJx、 1142nnn、 10()Jxn 阶整数阶贝塞尔函数有： ()()cos()nn
14、nJxJx 12si12cosx贝塞尔函数的正交性 贝塞尔函数系 ()1mnrR()()2()2()0 110,( ,)nnRmk nnmmkrJJrdRJJk 定义：定积分： 称为贝塞尔函数 的模。 ()0nmrr ()nrR2、贝塞尔级数展开定理：设 在区间0,R 上至多有有限个跳跃间断点，则 f(x)在(0,R) 连续点(),f处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值其中 ()1()nmmfrAJrR()20()1nRmmnmArfJrdJ勒让德方程 考虑球域内拉氏方程定解问题22210,1()xyzuxyzf在球坐标系下222 21 sin0i sin(,
15、)0,0)r uurruf 勒让德方程 2 2cot(1)sindm令 ， 取 m=0 时得 cosxy2()(1)0dyxnyx勒让德多项式当 n 为正偶数时2 210(2)!()!nmnmny 当 n 为正奇数时2 20()!()!n nnmxn 次第一类勒让德多项式 20()!(1)! 2Mmnmnn nPx xM 0()1Px()22()3331()5)2Px441(3503)8Px53567018x1nnn勒让德多项式的罗得利克公式 2()()!nnndxx勒让德多项式的积分表达式 21()()nnCPziz勒让德多项式的母函数 201(,)(,1nnGxPxzxx勒让德多项式的递推
16、公式( 重点) （n=1,2,3 ）111,2)()nnnxPP 1,()()nnnP13)nx 1()()(nnnnxP为 奇 数 奇 函 数为 偶 数 偶 函 数勒让德多项式正交性定理 10,0,12.()2()mnnmPxd勒让德多项式展开定理：若 且：f (x)在 -1,1上分段连续，则在-1,1上可以展开为绝(),fC对且一致收敛的级数： 其中 0nfxPx12()nnfxPd牛顿二项式展开式 2(1)()()(1)!n 泰勒级数 2(,)!x nexx 21351sin(),)!n 224co(!)!nxxx 2311)(1,n x 231(23)!1)1,46nnxx 23315()!,1 nnx 2462 xx 2311l()()nxxx 2135201arctn()ndx 1(),.435nx 35720113arcsin246xdx 2310l(1) ()nxx
