1、数学物理方程考试说明一 典型方程和定解条件(一) 教学内容1）三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的提出； 2）偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。重点：三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题，偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。难点：类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题。(二) 教学基本要求理解三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的推导。了解并掌握偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。二 分离变量法(一) 教学内容(1)分离变量法的基本步骤；(2)非齐次方程齐次边界条件的固有
2、函数法；(3)非齐次边界条件的处理；重点：分离变量法的基本步骤、非齐次方程齐次边界条件的固有函数法、非齐次边界条件的处理。难点：非齐次方程齐次边界条件的固有函数法。(二) 教学基本要求理解分离变量法的基本步骤、非齐次方程齐次边界条件的固有函数法、非齐次边界条件的处理。三 积分变换法(一) 教学内容(1)应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；(2)拉普拉斯变换的概念和基本性质；(3)拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。重点：应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；拉普拉斯变换的概念和基本性质，拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。难点：拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。(二) 教学基本要求理解应用傅立
3、叶变换法解微分方程定值问题；拉普拉斯变换的概念和基本性质，拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。四 行波法(一) 教学内容(1)一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式； (2)非齐次波动方程的齐次化原理。 重点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式； 非齐次波动方程的齐次化原理。难点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式。(二) 教学基本要求理解并掌握一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式； 非齐次波动方程的齐次化原理。五 格林函数法 (一) 教学内容(1)格林公式及其应用；(2)调和函数及其基本性质；(3)格林函数的概念及性质；(4)两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。重点：格林公式及其应用，调
4、和函数及其基本性质，格林函数的概念及性质，两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。难点：两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。(二) 教学基本要求理解并掌握格林公式及其应用，调和函数及其基本性质，格林函数的概念及性质，两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。六 二阶线性偏微分方程的分类与小结(一) 教学内容(1)两个变量的二阶线性方程；(2) 个变量的二阶线性方程；n(3)小结。重点和难点：两个变量的二阶线性方程， 个变量的二阶线性方程。n(二) 教学基本要求理解并掌握两个变量的二阶线性方程， 个变量的二阶线性方程。七 偏微分方程的差分法(一) 教学内容(1)抛物型方程的差
5、分法；(2)双曲型方程的差分法；(3)椭圆型方程的差分法。(二) 教学基本要求理解并掌握抛物型方程的差分法、双曲型方程的差分法、椭圆型方程的差分法。例题解析一 设 ， 求其付立叶变换。taeF2)(0解： 21tadxit2dexita)(21 etait)(2taxtait 2422)( taixtut d22241由于 作为的 函数在整个复平面上解析。且当时 ，它趋于 0，帮在以实轴为其一2tuae边的矩形上应用柯西定理得：21taFduetatx224 )(12)(42 tattutax dvettax242taxe241二 将定解问题)(0,( )(gt(l,uttu0,2x1x2tg
6、axt， 的边界条件齐次化。 （14 分）解：令 ，选取 ，使 。),(),(),(txWtVtxu),(tx),(,0(1ttWx )(2tgtlx由此可得： ltgxxgtx )()(),(12将上式对求积分，即得： ltxtxW2)(),( 12此时，新的未知函数即满足齐次边界条件。三 求满足 0| 0,)(202222lxxylxyx 的所有形如 的非零特解。)(YX解： 把 代入方程，得： 02)4()4( XY即有： 02)()4( YX两边对 求导，得：y 0)()(24 Ydy由此可见 （常数） 。X于是： 。X2)4( ,0因此，得： 。02)4( XY由于 ，故有： 。0X
7、2)4(因 ，故 ，由边界条件y 0)(,0(YXylly可得： 。)(0lX解特征值问题 。0)(l得到 及2)(ln,.)321(sin)(lxXn解常微分方程： 。02)4(YY其特征方程有两个二重根 ，于是l)()() lynshDClynchBAynn 故所求的全部特解为： 。)(YxXn )()(si lllxnn四 求解电报方程的混合问题： 有 界),(lim),(|0| 0,022txutfutxctuaxuxtt其中为 正数，满足 。cba, acb42解：根据初始条件，采用对变量 取拉氏变换的方法。记t， 。),(),(xuLsU)(tfLsF在方程两端取拉氏变换，有 Uabscbsadx 22 )()(解得 的通解为),(sxU 。),(sxxabsxabsecec)2()2(1由 有界知： 亦有界，因此有 0，再对边界条件取拉氏),(limtxu,limux2变换，有 )(,0sFU这样知 ，由此得到：1c),(sx )(2)2sFeexabxsaxabs利用拉氏变换的延迟性质，得 )(),(),( 121LsxULtuxaab 。xttfeab 0,2
