数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） 其中。解：设则方程变为：，(8)由边值条件可得：由即得：。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） 其中。为常数解：设代于方程得：，(8) ， 由边值条件得： ，三证明方程具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分) 证明：设代入方程： 设都是方程的解设代入方程得： 由极值原理得唯一性得证。(8)由，稳定性得证由知的唯一性稳定性得证。四求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). 解：设是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 格林函数： 方程的解： 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) 其中为的边界. 解:设都是方程的解设代入方程得： 设 (10)，由边值条件得：。(20)六 考察边值问题 试证当充分负时,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.(20分)证明：在原方程两边同乘以然后在上积分： 由格林公式由不等式又故得估计：(10)设都是方程的解设代入方程并由估计式得：唯一性得证，稳定性得证。
