1、数学物理方程考点一. 分离变量法：知识点见课本 168P1.已知初边值问题：200,0,sin2txlttuaxltl（1） 求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值） ；（2） 求此初边值问题的解。解：（1）令 （1.1） ，其中 不恒零，将其代入方程得(,)()uxtXTt(,)uxt到：2()()0taxt将该式分离变量并令比值为 有： 则有： 2()TXxt（1.2） 2()()0Ttat ()()0Xx（1.3）由原初边值问题的边界条件知： 方程（1.3）满足边界条件 （1.4）(0),()Xl当 时，方程（1.3）的通解为 ，由边界I 12()xxXCe条件（1.4）知： 1
2、2200xxCee120由（1.1）知： ， 应舍去；()0Xx(,)ut当 时，方程（1.3）的通解为 ，由边界条件I 12()XxC（1.4）知：同理 应舍去；120C0当 0 时，则方程的通解为： ()I 12X()cossinxCxx由边界条件 知： 即 (0)X10C2i又由 知： ， 令 ，则()0Xl2cos0Cl20Ccos0l即 ，所以 固有值为 nl2(1),nnl将其代入通解中，得到固有函数： ()si,0,1nnXxxl（）将固有值 代入方程（ 1.2） ，可得到此方程的通解：n(21)(21)()cossi,naaTtAtBtll 则原初边值问题的形式解为 ： ()(
3、)(21)(,)() isin,0,nnnnuxtXttbtxlll则： 0(21)(21)(21)(,)cossisi,0,nnaatatbtxlll由初始条件 ， 知： 0tu0itxl na0204(21)(1)sinsin(21) 0,2ln lbdall 原初边值问题的解为： (,)sini2)laxuxttll二. 特殊方程的边界齐次化：知识点见 21P2.已知初边值问题：200,0,txlttuaxltAB将此定解问题的边界齐次化。解：令 （1） ，则 ， ，故原初边(,),()uxtvtwxttuvxw值问题等价于 2200(),(),txx xlt tvawAvBwlv（I）
4、将定解问题（I）边界齐次化，即令2(0)awxAlB322()()66xlwxAala将 代入（I） ，则可得到边界齐次化后的初边值问题为：2320 02(),66txt txlvBAlxvaav （II）然后用分离变量法求初边值问题（II）得到 ，将其代入（1）式即可求出(,)vxt。(,)uxt三. 能量不等式证明解的唯一性：知识点见 945P3.证明方程 的初边值问题解的唯一性。2txtuacf四、格林函数：6.写出格林函数公式及满足的条件，并解释其物理意义。解：（1）格林函数公式（三维）为：G（M，M ）= g（M，M ） 0014r0M其中函数 g 满足的条件为：01|4Mgr式中
5、为区域 的边界曲面（2）格林函数的物理意义：在某个闭合导电曲面 内 M 点处放一个单位正电0荷，则有它在该导电曲面内一点 M 处产生的电势为 （不考虑电介014r常数） ，将此闭合导电曲面接地，又静电平衡理论，则 M 将在该导电曲面上产生负感应电荷，其在 M 处的电势 g（M，M ） ，并且导电面上的电势恒等于 0，即有 =0 |g014Mr一.填空1. 函数（ ）称为二维拉普拉斯方程 的基本解。01ln()Urxyu2.利用调和函数的（p93,极值）原理，容易证明狄利克雷问题解的唯一性。,()|,uxyzf3.利用静电源镜像法容易求得上半空间 的格林函数为 （0z0(,)GM） ，其中 为上
6、半空间 的点， 为014Mr00(,)Mxyz10,xyz关于平面 的对称点。z二. 求解问题2,(0,)35(,sin6si,2(,0).txtualtuxllx答(p56 习题二，1（3）)：用分离变量法.()特征值和特征函数分别为 21(21)(),(sin.nnxXxl l结果为 35(,)cosi6cos.2atxatuxtl l三、 用固有函数法求解2,(0,),)(0,.txuaAltAtuxl为 常 数答（p58 习题二 10(3)）:固有函数系为 ，sinl(先考律齐次方程，在考虑非其次方程)结果为22()2331()(,)() sin.atnlAl xuxtxl eaal五
7、. (10 分)用积分变换法求解问题 （已知傅氏2,(,0)0)cos.txutx逆变换 ） 。22141.xat atFee答（p85 习题三 9,类似 p74 例 1）：22(,)(,)cos().,(,0)(.atuxtUtxdtte2 22()4 411(,)cos*coscos.x xatat atux edxet无限长弦的一般强迫振动定解问题20(,),0)txtuftRt解 . ()0111(,) ,222xat txatuxtxat dfd三维空间的自由振动的波动方程定解问题 22201,(,)tt uxyztxyzu在球坐标变换sinco(0,2,0)xryrz(r=at)2
8、1()1()(,)44MMat rSSut ddra AA无界三维空间自由振动的泊2 2()()(,)MMat atSSt 松公式()sinco(02,)xtyzat 2()sindSatd二维空间的自由振动的波动方程定解问题 2200,0(,)(,)t tuuxytxy2 22 20 01cos,in)1(cos,in)(,)at atxryr xryruxyt d dat at 三个格林公式第一格林公式：设 u(x,y,z),V(x,y,z)在 SSV上有一阶连续偏导数，它们在 V中有二阶偏导，则： SVuvduvduvA第二格林公式：设 u(x,y,z),V(x,y,z)在 SSV上有一
9、阶连续偏导数，它们在 V中有二阶偏导，则： SVuvdSuvdA第三格林公式设 M0，M 是 V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有： 00 0111()44MMMS VuudSudrnrr 定理 1：泊松方程洛平问题 的(,),(,)(),xyz SS SuufxyzVxyzn连 续 ） 连 续 ）解为： 0111()() ()44S VuMMdfMdrnrr A调和函数1、定义：如果函数 u(x,y,z)满足:(1) 在 具有二阶连续偏导数；(2) S称 u 为 V 上的调和函数。 02、调和函数的性质。 性质 1 设 u(x,y,z) 是区域
10、V 上的调和函数，则有 0SudnA推论 2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）有解的充分必要条件是：0xyzSuun 0Sd性质 2 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有 :011()4SuuMdSrnrA性质 3 : 设 u(x,y,z)是区域 V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即: 其中 SR是以 M0为球心,R 为半径的球面 021()()4RSuud三维空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为：(,),(,)xyz SSuufxyzV连 续 ）其中：000 0()(,) (,)S VGMuMdSGMfdn A001(,)(,)4M
11、Gvxyzr如果 G(M,M0)满足： 则可得泊松方程狄氏解定理0,SG定理：泊松方程狄氏解为： 00 0(,)()(,)(S VGMuMdSGMfdVnA其中 G(M,M0)满足：000(,),SS00M1G(,)=4r推论：拉氏方程狄氏解为： 00(,)()SGMudSnA一. 1.初始位移为 ,初始速度为 的无界弦的自由振动可表述为定解问题:)(x)(x).(),( 0,002xuxutattt2.为使定解问题 （ 为常数）0,02t lxxxtuua0中的边界条件齐次化,而设 ,则可选)(,(),(xwtvt)(xu03.方程 的通解为0xyu,yGxFyu4只有初始条件而无边界条件的
12、定解问题,称为柯西问题.三. 求解初值问题 xuxutttt cos, 0,4020解： xxacos)(,)(,22利用达朗贝尔公式atxdtxattxu )(21)()(21),(5 分得 )2sin()si(41cos412),(2 22txtxtx dutxttico210 分四. 用分离变量法解定解问题.0,|0,2tt lxxxtuuta解 先求满足方程和边界条件的解.设解为)(),(tTxXt代入方程得 )()(2tat除以 有)(2tTxXa )()(2tTxX得到两个常微分方程0)(xX 0)()(2tat由边界条件得 ,)( tTlXtT由 ，得 于是固0)(tT0)(,0
13、l有值问题为)(,)(,lXx解之得一系列固有值 ,210,)(2nln相应的固有函数为 xlxXncos)(再解方程 ，通解为02tTlattlanDtlCtTnn sicos)(利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解12 分1 cos)sins(),(n xltltlatxu由初始条件 ，得 ， 0|t nD由 得,0xut1cosnxlC其中 lldC02l nn lx02,21,)1(cos 将 代入 得定解问题解nDC,),(tu122cos)(),(n xlntlaltx 五.解非齐次方程的混合问题 xututxt 0. 0,0解 先确定固有函数 .)(Xn令 代入相
14、应的齐次方程和齐次边界条件得,(tTxtu固有值问题0)(,)0(Xx固有函数为 ,21sinxn设解为 其中 是待定函数 .显然 满足边界条件.1)(),(tTtu)(tTn ),(txu为确定函数 ,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数n其中 再将（1）,(2)代入1si)(nxtfx ndxtfn 2si2)(0方程得121()()innTtt比较系数,有 ,21,2)1()(2 nttnnn由初始条件得 所以0si)(1nxT()0nT ,0)(2)1(2nnnTtt得 )1(2)(23tnnnetT将 代入级数(1)，得定解问题的解.)(tTnnxentxutsi)1()2),(13
15、2六. 用积分变换法解无界杆热传导问题 ).( 0,02xu txatt本题所用公式： taxtaeeF22 411解 对 x 作傅氏变换，记F ),(tu),(tF )()(x对方程和初始条件关于 x 取傅氏变换，有20()tdua解常微分方程的初值问题，得taetu2)(,(再对 进行傅氏逆变换得)F ,(tx(21taetax24)dettax24)(1一、填空题1.说明物理现象初始状态的条件叫（ 初始条件 ） ，说明边界上的约束情况的条件叫（ 边值条件 ） ，二者统称为 （ 定解条件. ）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （
16、） .4.边界条件 funS)(是第 （ 三 ）类边界条件，其中 S为边界.5.设函数 ),(tx的傅立叶变换式为 ),(tU，则方程 22xuat的傅立叶变换为 （ adt22） .二、试用分离变量法求以下定解问题1.30,3,00,30,2xtuxtxutt解 令 )(),(TXu，代入原方程中得到两个常微分方程：02 tatT， 0)( xX，由边界条件得到 0)3(X，对 的情况讨论，只有当 时才有非零解，令2，得到 2n为特征值，特征函数 3sin)(BxXn，再解 )(tT，得到 3si3cos)(; tDtCtnnn，于是,3si2i2co(),(1 xDtCtunn 再由初始条
17、件得到0,)1(83si230 nnxd，所以原定解问题的解为,3si2co)(),(11 xttxunn2.xtxutt xx2,0,0,4,0423 解 令 )(),(tTxXtu，代入原方程中得到两个常微分方程：0 tT， 0)( x，由边界条件得到 0)4(X，对 的情况讨论，只有当 时才有非零解，令2，得到 2n为特征值，特征函数 4sin)(BxXn，再解 )(tT，得到16;2)(tnneCt，于是,i(),(1612xeCtutn再由初始条件得到140 )(6sinnxd，所以原定解问题的解为,i)1(6),(1612entutn3/. 20,8,00,2,20 xtutxxt
18、ut解 由于边界条件和自由项均与 t 无关，令 )(,),(xwtvtu，(否则不能这样哟) 代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此 21222 )(16)(416)(4 cxxxwxvt ，再由边界条件有8,0)(w，于是 0,21c， 82.再求定解问题 20,),( ,0,0,23xtvxwtxvttv用分离变量法求以上定解问题的解为 ,sinco)1(32)1(6),(1 xtntxnn 故 ,2si)()(28),( 31 txtu nn三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10 分） 0,2sin,cos022 tt uxu txa解令 )(,),(wvx，代入原方程中，将方程齐次化，因此 xawxaxat cos1)(0cos)(cos 2222 ，再求定解问题 ,0),(cos12sin,2022 tt vxwaxttv由达朗贝尔公式得到以上问题的解为 atxatx atxatxtvcos1cosin 0)cos(1)(2in)()(21),(2 2 故.s1i),( 22xtttu
