1、1一、 列方程解应用题 行程类问题路程=时间速度 (s=tv)时间=路程速度 （t= ） 速度=路程时间(v= )sv st例 1 甲、乙两列火车每列各长 180 米，如果两列车相对行驶，从车头相遇到车尾离开共需 12 秒钟；如果两列车同向行驶，那么从甲的车头遇到乙的车尾，直到甲的车尾超过乙的车头共需 60 秒钟，假定列车的速度不变，试求甲、乙两列车的速度？解：设乙的速度为每秒 x 米，则甲的速度为每秒（ -x）米，由题意得：180212-x60 ( -x) -x=1802180212-x解方程，得：x=12 -12=18180212答：甲、乙两列车的速度分别为每秒 18 米、每秒 12 米。
2、分析：当两列火车相对行驶时，属于相遇问题，此时的相等关系为：甲 12 秒行驶的路程 +乙 12 秒行驶的路程 = 两列火车的长，当两列火车同向行驶是，属于追及问题，此时相等关系为：甲 60 秒行驶的路程 乙 60 秒行驶的路程 = 两列火车长，由于以上两个相等关系列出方程。 追击类问题 例 甲、乙两人从相距 18 千米的两地同时出发，相向而行，1 小时后相于遇；如果甲比先走 小时，那么45 23乙出发 1 小时后两人相遇，求两人的速度各是多少？12分析：V 甲=x 千米/小时 V 乙=y 千米/小时T 甲=1 小时 相遇点 T 乙=1 小时45 45V 甲=x 千米/小时 V 甲=x 千米/小
3、时 相遇点 V 乙=y 千米/小时T 甲= 小时 T 甲= 1 小时 T 乙=1 小时23 12 12解：设甲的速度为 x 千米/小时，乙的速度为 y 千米/小时，根据题意，列方程组，得：x1 + y1 =1845 45x + x1 + y1 =18 23 12 12从而解得：x=4 y=512 12例 2 某校师生到距离学校 20 千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走 45 分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达。已知汽车的速度是自行车速度的 2.5 倍，求两种车的速度各是多少？分析：V 甲=x 千米/小时 T 甲= 小时 V 乙=2.5x 千米/小时50602甲 乙V 乙=2.
4、5x 千米/小时解：设自行车的速度为 x 千米/小时，则汽车的速度为 2.5x 千米/小时，根据题意，列方程得：=(20-x )/x202.5x 34 f例 3 从甲站到乙站有 300 千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1 小时后，快车在慢车前 12 千米；快车到达乙站比慢车早 50 分钟。求快车和慢车速度各是多少？分析：快车 V 快车=（x+12）千米/小时甲 乙慢车 V 慢车=x 千米/小时解：根据快车比慢车早 50/60 小时到达乙站，列方程得：300/（x+12）=300/x-50/60例 4 A、B 两地相距 300 千米，某车有 A 地出发，计划用 6 小时到达 B 地。行驶
5、 80 千米后加快速度，每小时比原来多行驶 15 千米，正好按时到达。求该车加速后的速度分析：s1=80 千米 V 原=x 千米/小时 s2=（300-80） V 加=（x+15）千米/小时总 300 千米解：根据题意，列方程得80/x+(300-80)/(x+15)=6 相遇问题例 1 东、西两车站相距 600 千米，甲车从西站，乙车从东站同时同速相向而行。相遇后，甲车以原速、乙车以每小时比原来快 10 千米的速度继续行驶。结果，当乙车到达西站 1 小时后，甲车也到达东站。求甲、乙两车相遇后的速度？分析：V 乙=（x+10）千米/小时 s 乙=300 千米 V 甲=x 千米 s 甲=300
6、千米相遇点解：设甲、乙相遇后甲车的速度为 x 千米/小时，则乙车的速度为（x+10）千米/小时，根据题意，列方程得：3300/x-300/(x+10)=1 顺逆流行程问题顺流速度=静水船速+水流速度逆流速度=静水船速-水流速度顺水行程=顺水速度时间逆水行程=逆水速度时间船顺水航行路程=船逆水航行路程例题 1 已知一汽船在顺流中航行 8 千米和在逆流中航行 2 千米共用去的时间，正好等于它在静水中航行 9千米用去的时间，并且水流速度是 2 千米/小时，求汽船在静水中的速度？解：设汽船在静水中速度为 x 千米/小时，则顺水速度为（ x+2）千米/小时、逆水速度为(x-2)千米/小时，根据题意得：+
7、 =8x+2 2x-29x解这个方程得；x1,x2=6经过检验得，x=6 是原方程的根答：汽船 在静水中的速度是 6 千米/小时。例题 2 一轮船在河中航行，顺流行驶 18 千米后再逆流行驶 12 千米，共用了 3 小时；已知船航行 24 千米，顺水用的时间比逆水所花时间少 1 小时，求轮船的速度和水流的速度？解：设水流速度为 x 千米/小时，轮船在静水中的速度为 y 千米/小时，根据题意得：+ =318x+y 12y-x= -124x+y 24y-x练习1、A 、B 两地相距 36 千米，两人步行，甲从 A 到 B，乙从 B 到 A。两人同时出发，相向而行，4 小时后相遇；若行 6 小时，此
8、时甲剩下的路程是乙所余下的路程的 2 倍， 求两人的速度？2、沙湖镇离县城 50 千米，甲骑自行车从该镇出发到县城，出发后 1 小时半，乙骑摩托车也从该镇出发到县城，结果乙比甲先到 1 小时，已知乙的速度是甲的 2.5 倍，求甲、乙两人的速度。3、一船在甲、乙两地间航行，顺流需要 4 小时，逆流需要 5 小时，已知水流速度为 2 千米/小时，求甲、乙两地距离？ 工程类问题工作量=工作效率工作时间工作时间=工作量工作效率工作效率=工作量工作时间一般把工作总量看为 1，这时 工作效率=1/工作时间 工作时间=1/工作效率例题 1 甲乙两人加工同一种玩具，甲加工 90 个玩具所用的时间与乙加工 12
9、0 个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工 35 个玩具。求甲乙两人每天各加工多少个玩具？解法一、设甲每天加工 x 个玩具；乙每天加工 y 个玩具，根据题意，得：x+y=354=90x120y解得： x=15y=20答：甲每天加工 15 个玩具；乙每天加工 20 个玩具。解法二、设甲每天加工 x 个玩具；那么乙每天加工（35 - x）个玩具，根据题意得:=90x 12035-x解得：x=15经检验：x=15 是方程的根，35-x=20答：甲乙两人每天各加工玩具分别是 15 个、20 个。例题 2 某车间加工 300 个零件，在加工完 80 个后，改进了操作方法，每天能多加工 15 个，一
10、共用 6 天完成了任务。求改进操作方法后每天加工的零件数？解：改进操作方法前每天加工的零件为 x 个，则改进操作方法后每天加工的零件为（x+15）个，根据题意得：+ =680x300-80x+15解这个方程得：x1=40 x2=-5(舍去)改进操作方法后每天加工的零件为 x+15=55（个）答：改进操作方法后每天加工的零件为 55 个。例题 3 甲、乙两队学生绿化校园。如果两队合作，6 天完成；如果单独工作，甲队比乙队少用 5 天。两队单独工作各需要多少天完成？解法一 设甲队单独工作需要 x 天完成任务，乙队单独工作需要 y 天完成任务，根据题意得：（ + ）6=1 1x1yx-y=5 变形，
11、得 y=5+x 代入并化简得：x2-7x-30=0解这个方程得：x1=10 x2=-3(舍去)把 x=10 代入，得 y=15检验知 x=10y=15是原方程的解，答：甲、乙两队单独工作各需要 10 天、15 天完成任务。解法二 设甲队单独工作需要 x 天完成，乙队单独工作需要 y 天完成任务，根据题意得：+ =1x 1x+516解这个方程得：x1=10 x2=-3(舍去)则 x+5=15答：甲队单独工作需要 10 天完成，乙队单独工作需要 15 天完成任务。例题 4 某农场开挖一条长 700 米的水渠，开工后每天比原计划多挖 20 米，结果提前 4 天完成任务。原计划每天挖多少米？解：设原计
12、划每天挖 x 米，则实际每天挖（x+20）米，根据题意得：5= +4700x 700x+5解这个方程，得：x1=50 x2=-70（舍去）答：原计划每天挖 50 米。例题 5 一个水 池 有 甲、乙两个进水管，单独 开放 甲 管 注满水池比单独开放 乙 管少 用 10 小时，如果单独开放甲管 10 小时后加入乙管，需要 6 小时可把水池注满，问单独开放一个水管，各需要多少小时才能把水池注满？解：设单独开放甲管需要 x 小时才能把水池注满，则单独开放乙管需要（x+10）小时，单独开放甲水管每小时可注满水池的 ,单独开放乙水管每小时可注满水池的 ，根据题意得：1x 1x+10+( + )6=110
13、x 1x 1x+10解这个方程得：x1=20 x2=-8（舍去）检验知，x=20 是原方程的根，所以 x+10=30答：单独开放甲管需要 20 小时才能把水池注满，则单独开放乙管需要 30 小时。例题 6 一个水 池 有 甲、乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快 4 小时，如果单独开放甲管 5 小时，再单独开放乙管 6 小时，就可以注满水池的一半，求单独开放一个水管，注满水池各需要多少时间？解：设甲管注满水池需要 x 小时，则乙管注满水池为（x+4）小时，单独开放甲管每小时可注满水池的 ，1x单独开放乙管每小时可注满水池的 ,根据题意得：1x+4+ =5x 6x+412解这个方程得：x1=20
14、x2=-2（舍去）则，x+4=24答：单独开放甲管注满水池需要 20 小时，则单独开放乙管注满水池为 24 小时。例题 7 制造一批零件，按计划 18 天可以完成它的 , 如果工作 4 天后，工作效率提高了 , 那么完成这批13 15零件的一半，共需要几天？解：设提高效率后还需要 x 天完成这批零件的一半，则4 天前的工作效率为 11834 天完成的工作量为 =1183 4 41834 天后提高的工作效率为 + = (1+ )1183 1183 15 1183 154 天后完成的工作量为 （1+ ）x1183 15根据题意得： + （1+ ）x=4183 1183 15 12解得：x=19 (
15、天)16制造这批零件的一半共需要 19 +4=23 (天)16 166答：共需要 23 天。 Error! Reference source not found.16练习1、 某服装厂准备加工 300 套演出服装，在加工 60 套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的 2 倍，结果共用 9 天完成任务。求该厂原来每天加工多少套演出服装？2、 一件工作，甲单独做要 20 小时完成，乙单独做要 12 小时完成，现在甲单独做了 4 小时，然后甲和乙共同完成余下的工作，问剩下的部分需要多少小时完成？3、 甲、乙两个建筑队完成某项工程，若两队同时开工，12 天就可以完成工程；乙队单独完成该工程比甲队
16、单独完成该工程多用 10 天。问单独完成此项工程，乙队需要多少天？ 数字类问题数字类分为：一般数字问题连续数字类问题如果三个连续奇数，设为 2n-1 2n 2n+1 为三个连续奇数如果三个连续偶数，设为 2n-2 2n 2n+2 为三个连续偶数如果三个连续整数，设为 n-1 n n+1 为三个连续整数数字排列问题一般数字间的问题例题 1 有两个数，第一个数比第二个数的 3 倍小 2，第二个数比第一个数的 5 倍还大 7，求这两个数。解：设第二个数为 x，则第一个数为 3x-2。根据题意得：x=5(3x-2)+7解这个方程得：x=314第一个数为：3x-2=-1 Error! Reference
17、 source not found.514答：第一个数是 第二个数是 -1 .314 514解法二 设第一个数为 x，第二个数为 y，根据题意得：x=3y-2y=5x+7解得：x= y=-1314 514答：第一个数是 第二个数是 -1 .314 514例题 2 三个数的平均数是 8.6，其中一个数是 9.1，第二个数比第三个数小 0.1。求第三个数。解法一 设第三个数是 x，则第二个数是 x-0.1，根据三个数的平均数是 8.6，则有方程：=8.69.1+(x-0.1)+x3解这个方程得：x=8.4答：第三个数是 8.4.解法二 设第二个数为 x，第三个数为 y，根据题意得：=8.6x+y+
18、9.13-x+y=0.17解得：有 y=8.4答：第三个数是 8.4.Error! No bookmark name given.连续问题例题一 三个连续整数的和为 48，求这三个连续整数解：设三个整数分别为 n-1,n,n+1,根据题意得n-1+n+n+1=48解得：n=16答：这三个连续整数分别为：15，16，17。例题二 三个连续偶数的和比其中最大的一个数大 10，求这三个连续偶数的和等于多少？解：设三个连续偶数分别为 2n-2,2n,2n+2，根据题意得（2n-2）+2n+(2n+2)-(2n+2)=10解这个方程得 n=3所以：2n-2=4 2n=6 2n+2=8答：这三个连续偶数分
19、别为：4，6，8。数字排列问题例题一 一个两为数，十位上的数与个位上的数的和是 11，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么得到的数就比原数大 63，求原来的两个数？解法一 设原来的两位数的十位数字为 x,个位数字为 y，根据题意得：x+y=1110y+x-(10x+y)=63解这个方程得： x=2 y=9答：原来的两位数字为 29。解法二 例题二 一个两位数，其数字之和为 7，若每个数字都加上 2 则所得的数比原数的 2 倍少 3，求原来的两位数？解法一 设原来的两位数的十位数字为 x,个位数字为 y，根据题意得：x+y=710(x+2)+(y+2)=2(10x+y)-3解得： x=2 y=
20、5答：原来的两位数为：25。练习1、 一个三位数的百位数字比十位数字小 1，个位数字比十位数字小 2，若把数字大顺序颠倒所成的数加原数，则其和为 585，求这三个数。2、 一个两位数，他的两位数字之和是 8，把这两个数字交换位置，所得的数与原来的数的积是 1855，求原来的这个两位数。3、 三个连续奇数的和是 51，他们的积是多少。4、 三个连续偶数的和比其中最大的一个数大 30，求这三个连续偶数。 商品销售类问题8商品进价：商店购进商品时候的价格，也就是指商品成本。商品标价：商店销售商品时候标出的价格。商品销售价：商店销售商品时候的销售价格，也就是成交价。商品利润：商店在销售商品时候所赚的钱
21、，指商品盈利。商品利润率：商品利润占商品进价的百分率。商品销售折扣：商品价格占商品标价的百分率。销售金额=销售数量单价 它们之间的关系有：商品利润=商品售价-商品进价商品售价=商品标价商品销售折扣商品利润率=商品利润商品进价例 1 小王在超市买了单价是 2.8 元的某品牌鲜牛奶若干袋，过了一段时间再去超市，发现这种鲜牛奶正进行让利销售，每袋让利 0.3 元，于是他比上次多买了 2 袋，却只比上次多花了 2 元钱，问上次买了多少袋这样的鲜奶？解：设上次买了 x 袋这样的鲜奶，由题意得：2.8x+2=2.5（x+2）解得：x=10答：上次买了 10 袋这样的鲜奶。分析：上次花的钱数+2 元= 这次
22、所花的钱数例题一 某种商品的进价是 400 元，标价是 600 元，打折销售时的利润率为 5%，此商品是按 7 折销售的。解析：此商品销售折扣为 x 则商品利润=600x400,则有 =5%600x 400400解此方程得：x=70%例题二 一件商品销售价为 6 元，利润是成本的 20%，如果销售价提高到 6.5 元，那么利润是成本的 30 %。解：商品的销售价=商品的进价+利润，利润=成本利润率设一件商品的进价为 x 元，则有 6=x+x20% 可解得 x=5。利润=销售价进价=6.55=1.5所以这件商品的利润是成本的 1.55=0.3=30%例题三 某商品标价 1200 元，打 8 折销
23、售后仍盈利 100 元，则该商品进价是 。解：商品利润=商品售价商品进价售价按商品标价的 8 折销售，即 120080%，则商品进价为 120080%100，所以商品进价为 860元。例题四 某商店把一种商品按标价的九折出售（即优惠 10%） ，获得利润是进价的 20%，该商品标价为每件 28 元， 该商品的进价为每件 元。解：因为商品进价=售价利润设每件商品进价为 x 元，则，商品售价=商品标价商品销售折扣=282810%而商品利润=商品进价利润率=x20%列方程得：x=(282810%)x20% 解得 x=21例题五 某商场一种商品标价为 33 元，按标价的 9 折出售，仍获利 10%，那
24、么该商品的进价为（ ）A、30 元 B、 29.7 元 C 、27 元 D、26.4 元9解析：因为商品售价=商品标价商品销售折扣设该商品进价为 x 元，则商品的售价=333310%而商品利润=商品进价利润率=x10%列方程得：333310%=x+ x10%解得：x=27 所以应选 C例题六 某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以 135 元出售，若按成本计算，其中一件盈利 25%，另一件亏本 25%，则在这次买卖中他（ ）A、不赚不赔 B、赚 9 元 C、赔 18 元 D、赚 18 元解析：设两件上衣的进价分别为 x 元，y 元，则对第一件上衣有 x(1+25%)=135,x=1
25、08；他赚了：135108=27（元） 。对第二件上衣有 y(125%)=135,y=180；他赔了：180135=45（元） 。在这次买卖中，他赔了 4527=18（元）所以，选 C例题七 某商场的电视机按原价九折销售（即降价 10%） ，要使销售收入不变，那么销售量应增加（ ）A、 B、 C、 D、111 110 19 18解析：设原来每台电视机单价为 a 元，销售了 x 台，则降价后每台价为 a(110%)元，要是收入不变，销售量应增加 y，于是有 a(110%)x(1+y)=ax,y= 所以选 C19例题八 某商品提价 25%后又要恢复原价，则应降价（ ） A、40% B、25% C、
26、20% D、15%解析：设商品的原价为 a 元，应降价 x 元，根据题意得：a(1+25%)(1-x)=a,a=20% 所以选 C例题九 某商品价格为 a 元，降价 10%后，又降价 10%，销售额猛增，商店决定再提价 20%，提价后这种商品的价格为（ ）元。A、a B、1.8a C、0.972a D、0.96a解析：根据题意得这件商品的价格为a(1-10%)2(1+20%)=0.972a 所以选 C例题十 某商场销售一批电视机，一月份每台毛利润是售出价的 20%（毛利润=售出价-买入价） ，二月份该商场将每台售出价调低 10%（买入价不变） ，结果销售台数不一月份增加 120%，那么二月份的
27、毛利润总额与一月份的毛利润总额相比（ ）解析：若设一月份每台售出价为 a，一月份共售出 x 台电视机，则每台电视机的买入价为（1-20%）a，二月份共售出（1+20%）x 台，因而一、二月份的毛利润总额分别为：ax20%及(1-10%)a(1+120%)x-(1-20%)a(1+120%)x=10%220%ax，故二月份的毛利润总额与一月份的毛利润总额相比增加的百分比为=10% 所以选 A10%220%ax-20%ax20%ax例题十一 某商店经销一种商品，由于进货价降低了 5%，使得利润率由原来的 m%提高到(m+6)%， （出售价=进价（1+利润率） ） ，则 m 的值（ ）A、10 B、
28、12 C、14 D、17解析：设这种商品进货价为 x 元，出售价为 y 元，根据题意得y=x(1+m%)y=x(1-5%)1+(m+6)%消去 x，y 得 m=14 所以选 Cf(10%220%ax 20%ax)10 储蓄类问题本息和=本金+ 利息 利息= 本金利率时间 例 1 张师傅在银行里用定期一年整存整取的方式储蓄人民币 8000 元，到期得到税前本利 8180 元，求这项储蓄的月利率？解：设这项储蓄的月利率是 x，那么存了一年是 12 个月，根据题意得8000+800012x=8180解得 x=0.001875x =0.1875%答：这项储蓄的月利率是 0.1875%。分析：8180
29、元=8000 元+ （8000 12月利率）元例题 2 某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共 20 万元，甲种存款的年利率是 1.4%，乙种存款的年利率是 3.7%，该公司一年共得利息 6250 元，求甲、乙两种存款各多少万元？解：设甲种存款为 x 万元，乙种存款为 y 万元，根据题意得：x1.4% + y3.7% = 0.625x + y = 20解得： x=5y=15答：甲种存款为 5 万元，乙种存款为 15 万元。分析：（1）甲种存款+ 乙种存款=20（万元）（2）甲种存款年利息+ 乙种存款年利息 =0.625（万元） 盈不足的问题例题 1 某学校七年级学生外出春游，如果每辆汽车坐
30、45 人，那么 15 人没有座位；如果每辆汽车坐 60 人，那么空出 1 辆汽车，问共有几辆汽车？解：设汽车 x 辆，学生 y 人，根据题意得：45x=y-15 60(x-1)=y -消去 y，得：45x=60(x-1)-15x=5答：共有汽车 5 辆。 增长率问题例题 1 某省预计粮食产量增加 40430 万千克，该省去年人口是 5000 万人，如果今年人口比去年增长14，预计今年人均拥有的粮食比去年减少 1 千克，该省去年粮食是多少万千克？预计今年粮食产量是多少万千克？解：设去年粮食的产量是 x 万千克，预计今年粮食产量是 y 万千克，根据题意得：y - x=40430- =1x5000 y5000(1-14)解方程组得： x=3250000y=3290000答：该省去年粮食产量是 3250000 万千克，预计今年粮食产量是 3290000 万千克。11
