1、摘要 2ABSTRACT 21 弦振动方程的导出22 弦振动方程初值问题的求解52.1 弦振动方程的初值问题52.1.1 达朗贝尔解法62.2 利用线性叠加原理求解初值问题73 弦振动方程初值问题的解的唯一性94 弦振动方程的解对初值的连续依赖性（解的稳定性）104.1 能量膜估计104.2 解的稳定性 10参考文献11关于弦振动方程初值问题的求解以及解的稳定性邓微微（西华师范大学 数学与信息学院 四川 南充 637002）摘要：本文先从物理问题出发导出弦振动方程，再利用线性叠加原理和特征线法求解弦振动方程的初值问题，证明了其解的唯一性，并讨论了解对初值的连续依赖性。关键词：弦振动方程；初值问
2、题；解的稳定性About string vibration equation initial-value problem solving and solutions of stabilityDeng Weiwei(West China College of Mathematics and Information, Sichuan Normal University, Nanchong 637002)Abstract: this paper firstly derived from physical problem of string vibration equation, and then l
3、inear superposition principle and characteristic line method to solve the string vibration equation the initial boundary value problems, proof of the solutions and uniqueness and discuss about continuous dependence on initial value.Keywords: string vibration equation, Initial problems; Stability of
4、solution1. 弦振动方程的导出弦振动方程是在 18 世纪由达朗贝尔（DAlembert）等人首先给予系统研究的。它是一大类偏微分方程的典心代表。下面先从物理问题出发来导出弦振动方程。给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦，其长为 l，在外力作用下平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。将实际问题归结为数学模型时，必须作一些理想化得假设，以便抓住问题的最本质的特征。在考虑弦振动问题时的基本假设为：a、弦是 均匀的，弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略，因此弦可以视为一根曲线，它的线密度 是常数。b、弦在某一平面内作微小的横振动，即弦的位置始终在一直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂
5、直于该直线的方向上作微小振动。c、弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hooke）定律。我们将在上述假设下来导出弦振动方程。先讨论不受外力作用时的弦振动的情形。根据牛顿第二定律知作用在物体上的力=该物体的质量 该物体的加速度。于是在每一时间段内作者简介：邓微微 （女） 1987 年 四川南充人，硕士， 2010 年毕业于西华师范大学数学与应用数学专业，主要从事非线性分析研究。 联系电话：15196786294 e-mail：作用在物体的冲量=该物体的动量的变化。由于弦上各点的运动规律不同，必须对弦的各个片段分别进行考察
6、。为此，如图 1 选择坐标系，将弦的两端固定在 轴的 两点上（ ） 。由基本假设，可以用xLO、 1表示弦上各点的时刻 沿垂直方向的位移。当 固定时 即表示弦在时刻 所）（ txu, t t）（ txu,t处的位置。x12)(T)(Lou图1在这弦上任取一弦 ,它的弧长为),(x（1.1）,)(12dxusx由基本假设 b 知 很小，于是 与 a 相比忽略不计，从而xu2）（.xdsx这样可以认为这段弦在振动过程中并为未伸长，因此由胡克定律知道，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，即张力与时间无关。把在 点处弦的左边部分对右边部分x的拉力与弦的右边部分对左边部分的拉力大小均为 。由基本假设
7、 c 知，张力）（T的方向总是沿着 点处的切线方向。）（ xTx如图 1 所示，在 点处作用于线段 的张力 两个方向的分力分别为),(xu、,sincos11T）（这里 是张力 的方向与水平线的夹角，负号表示力的方向取与坐标相反的方向。在1）（ x弦段的另一端 点处作用于弦段 的张力在 两个方向的分力分别),(),(xu、为,sin)(,cos22TxT）（其中 是张力 与水平线的夹角。2）（ x由于弦只在 轴的垂直方向作横振动，所以水平方向上合力为零，即（1.2）.0sin)(,cos22。xTxT）（由于假设弦仅在平衡位置附近作微小横振动，所以（1.3）,1),(1cos2xtu（1.4）
8、 ,1),(1cos22 xtu于是， （1.2）式变为（1.5）,0)(Tx）（故 也就是说， 是一个常数。又有假设 b 知,)(xTx）（1.6）,)(tansi11xtu（1.7）,)(ti22 t所以张力在 轴的垂直方向的合力为x,)(),(sini12 dtxuxtuTT 从而在时间段 中该合力产生的冲量为),t（1.8）t dtxuxtuT,)(),(另一方面，在时刻 弦段 的动量为t)(、,xdxtu在时刻 该线段的动量为t,),(xxt所以从时刻 到时刻 ，弦段 的动量增加量为tt)(、（1.9） x dxtutxu,)(),(由于在 时间段内的冲量应等于动量的增加，故),t（
9、 t x dtxytdtxuxtuT ,)(),(u),(),( 从而（1.10） tx xttt,0),(),(22由 的任意性可知（1.10 ）中的被积函数必须为零，从而得到tx,.0),(),(22txuxtT记 为 ，就得到不受外力作用时弦振动所满足的方程T2a（1.11）.022tuax当存在外力作用时，若在点 处外力密度为 ,其方向垂直于 轴，则小弦段）（ txFx上所受外力为)(x、,dxtx）（它在时间段 中所产生的冲量为),t（,xtFtx）（于是在方程（1.10）的左侧应添上这一项，得到（1.12） tx dxtFtutT,0,),(),(22 ）（仍有 的任意性知tx,（
10、1.13）).,(22txFtuxT或(1.14).,(22txftuax这就是外力作用下弦振动所满足的方程，其中 表示单位质量在 点处所),(,txFtf）（ x受的外力。2. 弦振动方程初值问题的求解2.1 弦振动方程的初值问题)(),(,22xtutfax.,0,Rx)2.(1在这个定解问题中，由于其定解条件只有初始条件，故通常称为初值问题（Cauchy 问题） 。为了求解上述初值问题，首先微分方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，采用叠加原理，即如果函数 和 分别是下述初值问题）（ txu,1）（ t,2)(),(022xtuat）（ .,Rxt)4.2(3和 0,),()(22
11、tutxfa.,0,R)6.2(5的解，那么 就一定是原初值问题（2.1） ， （2.2）的解。),(,21xtu）（为了求解（2.1） ， （2.2）的解，只要分别求解齐次方程带非齐次初始条件的初值问题及非齐次方程带齐次初值条件的初值问题 即可。）（ ）（ 2.1.1 达朗贝尔解法首先，考察自由振动情况的初值问题 ，它可以通过自变量的方法求解。）（ 引入新自变量：（2.7）.,atxt利用复合函数求导的法则，得到;2)()(, 22 uuxxux类似地，).(),( 2222atat从而，.4222uxtu由于 ，因此，采用（2.7）式所示的新自变量，方程（ 2.3）就化为02a（2.8）.
12、02u方程（2.8）可以直求解。把它关于 积分一次，再关于 积分一次，就得到通解为（2.9）),(),(GFtxu）（其中 和 是任意可微分的单变量函数。FG回到原来的自变量，就可以将（2.3）的通解表示为),(),(atxtxt）（2.10）利用这个通解表达式，就可以由初始条件（2.4）来决定函数 和 ，从而求出初值FG问题 的解。）（ 把（2.10）代入初始条件（2.4） ，得到)()(,0 xxFatuGt ）（ )12.(再将（2.12）式两边积分，得,)()(0xdCGxa）（2.13）其中 是任意一点，而 C 是积分常数。0x由于（2.11）和（2.13） ，就可以解出 和 ：F.
13、2)(21)()(,00aCdaxGFxx）（ )14.2(把它代入（2.11） ，就得到初值问题 的解）（ .)()(),( atxtttxu（ )15.2(这个公式称为达朗贝尔公式。2.2 利用线性叠加原理求解初值问题问题如下：(2.21),(0,(,2xutfatxt)0,(tx由于(2.21)是线性的，为了简化问题，可以考虑如下三个问题：( ) (2.22) ,0)(,112xuatxt0,tx( ) (2.23),(,()22xtxt,tx( ) (2.24),0)(, ,33xutfatt 0,tx由线性叠加原理知，问题(2.21)的解可表示为：(2.25)321u设 是(2.23
14、)的解，则(2.22)，(2.24)的解 , 可分别表为,2txMu 13u(2.26),)(1txM(2.27),03dutf其中 .),(xf于是，为了求弦振动方程的初值问题(2.21)，我们只须去解一个特殊的初值问题(2.23).由于(2.28)xtxtxt uauaua)()()() 22222 故我们可以将(2.23)中第一个方程分解为如下两个一阶方程：(2.29),)(22vuaxt(2.30).0tv而根据(2.23)的初值条件，我们可得 , 在 上的初始条件：(2.31),)(2xu(2.32).(0(0,)(, xaxvxt 这样，我们又把问题(2.23)分解为如下两个一阶方
15、程的初值问题：(2.33).),(,22xuvxt(2.34).(0,(vat现分别求出方程(2.29)、(2.30)的特征线为：(2.35),)(1atctx(2.36)2其中 为任意常数.c沿着特征线，方程(2.29)、(2.30)可转化为常微分方程，故分别沿着(2.35)、(2.36)，方程(2.29)、(2.30)分别具有如下形式：(2.37),(),(112txvtxu(2.38).0t联立(2.32)、(2.38)得 ).(),(),(222 xxvtxv由(2.36)， ,且 ,故而我们求得初值问题(2.34)的解：tx)(2 atc0.)(txv将上式带入(2.37)，并注意到
16、(2.31)，我们得到 .)(),(0112 datxut由(2.35)得 atxtct ddacxu .)(21)()(),( 202 利用上式以及(2.25)、(2.26)、(2.27)我们得到(2.21)的解为：atxtatx ddtxu )(21)(21),(fattx0)(,atxdtt )(21)()(21)(0.,taxt dfd3. 弦振动方程初值问题的解的唯一性式(2.21)可以看成是关于 , , 的三元方程组。因此，要证初值问题(2.21)的解是唯uxt一的，只要证明其对应的如下齐次问题( ).0),(,2xuatxt 0,tx只有零解。事实上，由能量不等式 ,),()()
17、,(),( 0 2222 Kxxt dxtfdaedau当 时，可得0f,0),(),(22xuxxt 故 .xt由于 是一个光滑函数，所以 常数，而 ,因此 ,证毕.u),(u0),(u0),(txu4. 弦振动方程的解对初值的连续依赖性（解的稳定性）4.1 能量膜估计建立下面的估计能量不等式。定理（能量不等式）设 是定解问题(2.1) 、(2.2)的解，则有估计)()(21QCuKxt dxtfdaM,),()(, 2220（4.1） KxKt dxtfdatu,),()(,(), 2220（4.2）其中. ),(),(,0,0 00teMtaxtaxKtt图见 p48 教材4.2 解的稳
18、定性谈到解的稳定性，首先要弄清楚解在什么意义下是稳定的。实际上就是要说明在初值条件发生非常微小的变化时，其解的变化也将非常微小。设有下列两个初值问题：).(0,(),2xuxtfaitixiti)2,1;0,(itx将这两个初值问题中对应的方程相减,并由偏微分的运算性质得).()0,( ,021212xxuuat xt )0,tx对上面的初值问题利用能量不等式得 0 21212121 )()()()( dxaeda xxt 其中 .,uu根据上式，我们知道：如果初值条件发生非常微小的变化，即 , 时，2121上式右端趋于 ，从而上式左端趋于 ，故 ,即解也发生非常微小的变化。也就是0021u说
19、，初值问题(2.21)的解在能量模意义下连续地依赖于初值条件。参考文献：1姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，易法槐.数学物理方程讲义 (第二版) M.高等教育出版社，1996,9.2姜尚礼.数学物理方程讲义.北京:高等教育出版社,1986.3陈祖墀.偏微分方程.中国科技大学出版社.4李汉龙，缪淑贤.数学物理方程 M.国防工业出版社,2009,8.5查中伟.数学物理偏微分方程 M.西南交通大学出版社，2004,10.6段炼.弦振动方程 Cauchy 问题广义解的结构J .嘉兴学院学报,2009,5.7陈永衡，徐美进，徐洪香.一维波动方程的特征线方法 J.辽宁工学院学报，2006,10.8林琼桂. 一维波动方程的解的长期稳定性 J.中山大学学报,2005,5.
