1、数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 1 页 共 33 页数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 2 页 共 33 页第 2 次数学物理方程习题答案数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 3 页 共 33 页第七章6、一根杆由截面相同的两段连接而，两段的材料不同，弹性模量分别是 E 和 E ，密度分别是 1、 2.试写出衔接条件。解：两段杆的接点设为 x=0。其波动方程分别为：数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 4 页 共 33 页01211xuExtxt在连接处，由于该波的振幅是连续的 ，于是有：)(0101xx在交接处的应力应该相等，这是由于相互作用力相等而得由于 xunxun111
2、所以有：)2(0101xxSES第 3 次数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 5 页 共 33 页数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 6 页 共 33 页第 4 次1、求解无限长弦的自由振动。设弦的初始位移为 ，初始速度为 。)(x)(xa解： 泛定方程： uaxt02初始条件： )(0tt对于一维无界的弦振动，其解可用达朗贝尔公式：atxdtxattxu )(21)()(21),(其中： 对于积分项，有：)()(21)(21)(21 atxtdaatxtx 所以，其解为：)()()()()(),( ttatxtttu 数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 7 页 共 33 页则只有
3、右行波，是一行波，不是驻波。8、半无限长的弦，初始位移和速度都是 0，端点作微小振动 。求解弦的振tAuxsin0动。解：将半无限长的弦拓展为无界空间的弦。则其泛定方程为：xuaxt02初始条件为： 0)(00)(0 xutt 其中 、 为待定， （因为该两等于 0 时，方程只有 0 解）)(x边界条件： tAuxsin0该泛定方程的达朗贝尔解为： atxdtxatt )(21)()(21),(将边界条件代入达朗贝尔解，得：attttA)()()sin注意到：当 时，有 。0x0,0xx则有：)(,)(0atxdat所以边界条件的方程变为：0)(21)(sinatttA为了方便求 ，不妨令 ，
4、则有：xy0)()()(si ydaa若取 ，则 。in2Ayx于是有： ，0),(s)( x其 中则： axttxaxtAatat 即其 中 ,0),(sin2i 于是方程的解为： attxtu )(1),(数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 8 页 共 33 页第 5 次数学物理方程第 5 次作业 参考答案1、长为 的弦，两端固定。弦中张力为 T，在距一端为 的一点以力 F0 把弦拉开，然后l 0x突然撤除这力，求解弦的振动。解：泛定方程为： 20(1)txua边界条件、初始条件为： 0 0(,),(),), (3)(),(,)4tutltFxxTlxlu令 ()1xtXTt代 入 泛
5、 定 方 程 （ ） ， 得 ：2221+0()aTXl于 是 方 程 （ ） 变 为 ：边 界 条 件 为 ：X 的解形式为： ()cosin0(,123xABxnl由 边 界 条 件 可 知 ： )000()cossin()(cosin)nnTtCDtaatllatTttDl解 的 形 式 为 ：数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 9 页 共 33 页01(,)(cossin)inuxt atatxCDtDlll可 写 成 ：由初始条件（4） ，可知： 。由边界条件可知， 。0,nB0C1(,)cosinatxuxtCll其 解 的 形 式 可 简 化 为 ：由边界条件（3） ，可得
6、0 00 0()2()si sinx ln xFlFdxdlTTl利用分部积分，可求得： 200021sinsin llCllnl所以，解为： 00 002 21 1(,)sicosisincosinnFlxFlxatxatxuxtTlllTlll 4、长为 的均匀杆，两端受压从而长度缩为 ，放手后自由振动。求解杆的纵振动。l (1)l解：泛定方程为： 20()txuaxl边界条件是第二类边界条件： 0,xxlu对于初始条件，我们认为当压缩时，两端的压缩量是一样的，均为 ，中点处的压缩为 0。这样，整个杆各截面的压缩量、初始速度可表示为： 002(),ttlux采用分离变数法求解，设 ()uX
7、xTt数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 10 页 共 33 页2221+0()XTaXl于 是 方 程 （ ） 变 为 ：边 界 条 件 为 ：X 的解形式为： ()cosin0(,123xABxnl由 边 界 条 件 可 知 ： )于是方程的解可以写成： 01(,)(cossin)cosnatatxuxtCDtDlll由初始条件： 可得：002),ttlxu10(,)cos2(), 0nt nluxxlD即有： ,(,23n)0 00202212) 2(coscoscos41in()in8,3()12ll l lnl lCxdxnxxddllllkk于是方程的解为： 22081()(1
8、)(,)coscos()klkatkxuxt ll11、在矩形区域 0xa，0yb 上求解拉普拉斯方程 u=0，使满足如下边界条件，其中数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 11 页 共 33 页A、B 为常数。 0(),0;sinx xayybuAuB解：先将方程的边界条件变为齐次的，作如下变换： (,)(,)(,)uxyvwxy0;0xyxyvw其边界条件分别如下所示： (,)(,)sin00(,)()(,)xvBavayxbwAyw这样，就可以分别对 v、w 进行分离变数求解。 2(,)()0cosin,(),()0si0()sinyynvxyXYyXYAxBCeDXa xaXXxBa
9、 设 ， 代 入 拉 普 拉 斯 方 程 ， 得 ：于 是 ， 可 解 得 ：由 于 ：所 以 ， 有 ： 则 有 ： 。 于 是 ， 的 本 征 表 达 式 写 为 ：数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 12 页 共 33 页111(),()sin(,0)si,(in0,(1)nynyaan ynnnbbaannbnbaaYCeDxvxeBxvxCeDBeC对 于 ,其 本 征 函 数 可 写 成 ：于 是 ，于 是 ， 有 ：求 得 ： 1()(),2()2()()01()(,)sinsin2babanbybyaaeBeshshDbysBexxavxyeshh所 以 ：对于 w(x,y
10、)的求解，方法同上，其解形式可设为： 1(,)()sinnxxbaywxyCeDb由边界条件确定其待定常数。数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 13 页 共 33 页1 23023()sin()i024()sin1()()08()naabbnn nab nnnabnyCDAeeAyAbCDydCDAe于 是 ， 有 ：所 以 ， 当 偶 数 时 ， 有 ：当 奇 数 时 ， 有 ： 23231(21) (21)(21) (23 34()4(),(,)sin44()()nabnabnnxxbak kakxbbAesheDshwyyxCeAAee ekshsh 所 以 ， 的 表 达 式 为
11、： 1)0230 (1)sin()8(21)sin1(1) kxak ybaxbkykbsb 230(,)(,)(,)(1)(8(21)sinsin()kuxyvwxybkaxBshAshkyabb16、A、B 为常数，在圆形域内求解 u=0，并分别满足边界条件：0(1)cos2inuB解：数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 14 页 共 33 页02222102(,)()+0-()(cosin0:(0,123uuRRABm极 坐 标 系 下 的 泛 定 方 程 为 ：设 ， 有 ：上 式 可 分 解 为 两 个 常 微 分 方 程 ： 由 于 ： ， 所 以 ， 其 解 的 形 式 为
12、：引 入 )得 ：2200 001csi( 0+-()ln,(,)(cosin)2mmmRCDuAB 其 解 为 ：在 圆 内 讨 论 时 ， 其 系 数 =00 010001001)(,)(cosin)cos/(1(,)s2)in(,)(cosin)+sin/ mmmmuCAABuCABAB 、 当 ， 时 ， 有 ：则 有 ： ， ， ，所 以 ，、 当 时 ， 有 ：所 以 ， ， B， ， (1(,)sinu解 为 ：数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 15 页 共 33 页25、长为 的均匀弦，两端固定，在 点有一集中的横向力 一直作用着，l 0x()cosFtAt求解弦的恒定横
13、振动。解：这是一个无初始条件的定解问题，要利用其衔接条件求解。由于在 有作用力存在，0x将弦的横向振动分为两部分讨论。分别记为 ，它们满足泛定方程：12(,)(,)uxtt和12200()()txtuaaxl利用分离变数法，将它们的解设为：11212 02(,)cosin)(cosin)()sxtCAtatxuDxBl将边界条件代入上式，得： 1122 12(0,)(csi)0on(cosin)0tAattlllat可得： 11212,csiCDllDtgl解的表达式可写成： 12 02 120(,)in(osin)()cs(cosin()uxtAattxglxBatxl其中：A 1、A 2、
14、B 1、B 2 为待定常数。由衔接条件： 120000(,)(,);(,)(,)csxxAuxttutttT12 0120sincosinoin)(osin)(s)(sicscosaglxBattAAtat atT由上式可得， 。对比系数，有：101002210100sin(coin)(1)s2coi 3s(c)(4)xBtglxAtlAxxT对上述 4 式进行整形，利用三角函数公式：in()icossincos数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 16 页 共 33 页得： 2020sincosin()(5)cs6AxlBlx1010ii()(7)cososcos8llAxxlT对于式（5
15、） 、 （6） ，由于其行列式不等于 0，则 A2、B 2 皆为 0。对于式（7） 、 （8）,有：11101000000sincosin()(7)cscos8sii()incoosinsi()cosc()siABAxlBlxlTllxxl AlxlTlTx0ossinssc llAllT所以，有： 00110si()sin()ncossiilxlxAaTlB01 02 100 0in()(,)sincs()s,coi)oincos()sn(sin)isii()co(nlxaAuxt txTatglBtlAuxxxatTaAltTal)l数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 17 页 共 3
16、3 页第 6 次数学物理方程第 6 次作业1、在圆域 上求004uu， 边 界 条 件 。222 201 10(,) ()+()4(,)(,)ln(cosin)(cosin),0),mmmmmvxyvxyxyuwxyCDABCD 解 ： 设 。 则 有 ：设 ， 则 有 :。 将 其 在 极 坐 标 系 中 求 解 ， 解 的 形 式 为 ：由 于 ， 时 ，所 以 ： 12220012020()cosin),(,)(,)()i(cosin)0mmmmwuvwvCABu于 是 有 ：其 中 ： -由 边 界 条 件 得 ：比 较 各 三 角 函 数 的 系 数 ， 于 是 有 ： ，该 定 解
17、 问 题 的 解 为 ：2、在圆域 上求00uxyu， 边 界 条 件 。数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 18 页 共 33 页233 340111(,)()()2 1,(cos)incosinsin2(,)(,)()(,)ln(cosin)(mmmvvxyxyxyxyxvuxywxyCDAB 解 ： 设 ， 则用 极 坐 标 表 示 为 ：设则 有 ， 该 方 程 在 极 坐 标 系 的 解 可 写 为 ： 101 cosin),0),()cosin) mmmCDw 由 于 ， 时 ，所 以 ： 40001 20 20220,(,)(,)1sin2(cosin)1()41()sin4
18、mmmmuvwCABABu于 是 有 ：由 边 界 条 件 得 ：比 较 各 三 角 函 数 的 系 数 ， 于 是 有 ： ，该 定 解 问 题 的 解 为 ：七数学物理方程第 7 次作业1、试用平面极坐标把二维波动方程分离变数。数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 19 页 共 33 页222220(,)(,)(,)0cosin10()tuauxytxyTtvxyvTkavTAktBatvvR解 ： 波 动 方 程 ， 其 中作 分 离 变 数 。 设则 有 ： 化 为 两 个 微 分 方 程 ：的 解 为 ：在 极 坐 标 系 下 ， 上 式 第 个 方 程 可 写 为 ：设 ， 代
19、入2222222222+11)0,:()cosin+1()0,RkkRCDkdRRxmd 上 式 得 ：移 项 得 ： (整 理 得 ：令 其 等 于 。 则 解 为而 ： 整 理 得 ：令 ， 则 上 式 变 为 ：2()x为 阶 贝 塞 尔 方 程 。3、氢原子定态问题的量子力学薛定谔方程是： 228hZeuEur试将其作分离。变数数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 20 页 共 33 页2222 2222 2222 2()0111()(sin)()0si sin,()(si)si sihZeuEurruuuZer EurrRYYRYr r 解 ： 引 入 ， 则 方 程 变 为 ：整
20、 理 得 ：在 球 坐 标 系 中 ， 有 ：设 ， 则 有 ： 22 2222 22 2 222 ()()()(in)si sin111()()(si)sisiRYrYZerErrrRYrRrY 移 项 得 ：进 一 步 化 为 ： -由 方 程 左 边 是 的 函 数 ， 右 边 是 、 的 函 数 。 这 个 等 式 要 相 等2 22222222(1)1()()(1)(1sin2)sisi()()-()0(3)11sinsisilrRZerERlrYYdRZerErRlY 的 条 件 是 ： 都 等 于一 个 常 数 。这 个 常 数 可 设 为 ：即 方 程 变 为 ： -上 面 两
21、 式 可 写 成 ： 22+14(4) (,)()(sin)+(1)0sisi1(i)(-si sinYll 对 于 式 ， 我 们 再 作 分 离 变 数 。 令可 得 ：移 项 得 ：数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 21 页 共 33 页2 2222 22sin11(sin)(-isi(i)(1si(5)0651(sin)(10si sinco()()( l mdlmdmlxxd 令 上 式 变 为 ：对 式 （ ） 变 换 一 下 ， 得 ：令 代 入 上 式 得 ： 222)()sinsi11(in)(sin)si i()lxlxddxdd xdx这 是 阶 连 带 勒 让 德
22、 方 程 。备 注 ：八数学物理方程 8.2 作业202sin,0()txxltuaAtu、 利 用 傅 利 叶 级 数 法 求 热 传 导 问 题 。数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 22 页 共 33 页20212122,(),(0),()0cossinin0c0cssi1,()txltuaxXTtlTaxCxxllC解 ：(预 备 知 识 ） 对 于 泛 定 方 程 ：设 解 为 ： ， 则 有 ：解 为 ：由 边 界 条 件 得 ：于 是 有 ：对 于 本 题 的 方 程20020sin,0()1()(,)cos11()()2cossin()sintxxltnnnuaAtuuxt
23、TtxlaxAtllAtl ：其 解 的 形 式 可 设 为 ：代 入 泛 定 方 程 得 ：我 们 对 作 以 为 基 的 傅 利 叶 级 数 展 开 。数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 23 页 共 33 页002(1)(2) (1)(2)()1()2sincos()2(1)2sini()(1)sinnlnnnnn nnAtDxlAttdlaAtTTlttt TttTt 设 ：则 ：于 是 有 ： （ ）解 为 ： 。 其 中 齐 次 方 程 通 解 为 ， 为 非 齐 次 方 程 特 解 。通 解 可 表 示 为 ： 21)2222cosin1() (1)2sinsincs(cos
24、ini1()0()(1)2atlnnn nnnnnCeKJaAtKtJtKtJtltotaJlAJKl 特 解 可 设 为 ：将 特 解 代 入 式 （ ） ， 得 ：对 比 、 的 系 数 ， 得 ：4 22 4211() ()()()12()11()nnn nJnKnKaaAl lAnal利 行 列 式 求 解 ， 得 ：所 以 ， 两 个 待 定 系 可 求 得 ， 为 ：数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 24 页 共 33 页2 2421()0 421()()1()cosin()2)cs(16311()()nnJnatlnnlnn naAlalTCeKtJtdPlACnal 由
25、于 ：由 初 始 条 件 可 得 ： 其 中 参 见 书 ）则 ，于 是 方 程 的 解20 1()40224021()2(,),)cos 1()( 2 cos11)() 1() ()() 2sincos11()n natlnnuxttTtxl nxAelnal nxttl lal 为 ：第 5 题解法，参见书本 P164。九数学物理方程第 9 次作业 9-31、 220 0xxymy在 邻 域 求 解 微 分 方 程 。数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 25 页 共 33 页2121 10 0231012212310() ()( ,ln- mk mkk km mkmkpxqxsssya
26、xyAbxyaxaxaxxy 解 ： 方 程 满 足 有 不 超 过 一 阶 的 奇 点 ， 有 不 超 过 二 阶 的 奇 点 。 由 判 椐 公 式得 ：其 两 个 解 分 别 为 ： 则 ： 1 1122 20 220011()()()()1)()1mmk mkxaxa axm 比 较 各 的 幂 的 系 数 ， 有 ： 所 以 ， 为 任 意 常 数 。所 以 ，2 21021010022 100()()()0()()lnllnk kkmmkkmmkmmkamaayxAxbaxyxbbxA 即 ：展 开 得 ：所 以 ， 有 ： 1 112 2220002002()()()()l1()
27、m mkmkaxxbxAkxaAam 比 较 各 相 应 幂 的 系 数 ， 得 ：即 000112 0(1)()()()kkmbbbkyxabx所 以 ， 为 任 意 常 数 。所 以 ， 微 分 方 程 的 解 为 ：数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 26 页 共 33 页20121121120 02 (1)0() (-)-,lnlk lkk kxxylypqxslsllyyyaxAxb 、 在 的 邻 域 上 求 解解 ： 该 微 分 方 程 的 有 不 超 过 一 阶 的 正 则 奇 点 ， 有 不 超 过 二 阶 的 正 则 奇 点 。该 微 分 方 程 的 判 椐 公 式 为
28、 ：其 解 为 ： ，微 分 方 程 的 解 为 ： 、 分 别 是 微 分 方 程 的 独 立 解 。其 中 ， 021210110221 12()() ()()llllkllllkl lkl l lalyxxaxxaal 于 是 有 ： 2000111()(1)2)2()()(2lkklkxxll alalllkl kl比 较 各 幂 的 系 数 ， 得 ： 所 以 ， 为 任 意 常 数 。即 :101201 121 1200210 )ln()()l ln kkllkklllllklkayxAbyaxbxlabxx 即 ：于 是 ： 10 222 2230000211()()()()l(
29、)(1)()ll llkl l ll kbxyAlAxaxlxbkb 0000000111()2(2)1()()() (42)xllaalaAlllbbblllk 比 较 各 幂 的 系 数 ， 得 ： 即 即 ： 为 任 意 常 数21120()()()() k kllkklbyxyxabx 所 以 ， 有 ：数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 27 页 共 33 页0 12121 10 02302116 0()()() ()ln(k kkxxyssyxayxAxby 、 在 邻 域 求 解 微 分 方 程 ：解 ： 该 方 程 满 足 正 则 奇 点 的 条 件 ， 其 判 椐 方 程
30、 为 ：于 是 有 ：方 程 的 解 为 ：其 中 ： 1011110200)()00(2)(2)1()lnlnkkkkkkkaxaxxaaaayxAbAx 代 入 微 分 方 程 ， 的 各 次 幂 的 系 数 为 零 。 于 是 有 ：以 上 可 以 判 断 ，所 以 ， 2301211231 2202300201 ()ln() kkbxbxaxyxkaAAbab 对 于 项 ， 其 系 数 为 ： 说 明 ， 的 取 值 为 任 意 常 数 ，不 妨 设 。 203311 221()0()231()(1)()!1kkkkkkbbb kb by 即 得 递 推 公 式 ：所 以 ， 120
31、02221100 2()!()ln ()!()lnkk kkxabxbxyaabx 方 程 的 解 为 ：数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 28 页 共 33 页十数学物理方程第 10 次作业 10.111 121 1212:2():,:2()=()!() !21(nl ln nll ll lll lnllIxPdnl dIxdxxddx预 备 知 识计 算解 当 ， 时 利 用 分 部 积 分 有 121 121)!()0,:21!()!()(2(llll nll llll ll lll xnlIxdxdx 当 ， 可 利 用 上 式 得 11212 21 1212 2()(!)!()
32、():()=()2!(! llll ll ln nll lll xdlnlIxPddxx 当 ， 时 有 112121) ()2()!) lllnlll ll dxxdxl 数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 29 页 共 33 页1210 1121001 2(2)!)()()!()2) ()!l nllll l nlll nllnlIxdxl lxxdlnlx 当 为 奇 数 时 ， 该 积 分 为 。当 为 偶 数 时 ， 积 分 为 ： 10422 0() ()(1)(3)(1)!()!l nlldxxllmllnl 434 3420314223211,()2(!)16(31)887
33、535!45(21)!4)fxxffxff、 以 勒 让 德 多 项 式 为 基 ， 在 区 间 上 把 下 列 函 数 展 开 为 广 义 傅 利 叶 级 数 。（ ）解 ： 由 上 面 预 备 知 识 可 识 ， 对 于 ， 其 系 数 有 ： 、 、 ； 对 于 其 系 数 有、 。 10430123420475313!86(!01)24)5(2,68)()()()()()575ffxPxPxP所 以 在 区 间 上 把 下 列 函 数 展 开 为 广 义 傅 利 叶 级 数 为 ：十一数学物理方程 第 11 次作业数学物理方程第 1 次作业参考答案 第 30 页 共 33 页10111
34、 111 00001 ()()()2()()()21()22,3 ll llll llIPxdPxxPI dxlllIxPln 、 利 用 勒 让 德 多 项 式 的 递 推 公 式 ， 计 算 定 积 分 ：解 ： 由 递 推 公 式 ： 得 ：当 时 ， 有 ：当 时 ， 有 ：若 ， 1121212121121202022()()(),()0,.()()()4343!ll nnnnllnnnnnPxPxIxI PPI 时 ，此 时 、 为 奇 函 数 ，所 以 ，若 时 ， 、 为 偶 函 数 ，利 用 公 式 得 ： 121()!()! 4322!1!1()()(2)() (1,23)432! !nnnn nnn 0 012 1101212- +()(01)2()rll rvxyvzurvxmuCrPx、 用 一 层 不 导 电 的 物 质 把 半 径 为 的 导 体 球 壳 分 隔 为 两 个 半 球 壳 ， 使 半 球 壳 各 自充 电 到 电 势 为 和 。 试 计 算 电 场 中 的 电 势 分 布 。解 ： 以 球 心 为 坐 标 原 点 ， 平 面 为 其 分 隔 层 ， 其 中 电 势 为 的 球 壳 在 方 向 。对 于 球 壳 内 部 ， 有 ： 或 或该 方 程 的 解 为 ： （ 属 于 对 称 ， ）0
