1、固体物理习题第一章1题图 11 表示了一个由两种元素原子构成的二维晶体，请分析并找出其基元，画出其布喇菲格子，初基元胞和 WS 元胞，写出元胞基矢表达式。解：基元为晶体中最小重复单元，其图形具有一定任意性（不唯一）其中一个选择为该图的正六边形。把一个基元用一个几何点代表，例如用 B 种原子处的几何点代表（格点）所形成的格子 即为布拉菲格子。初基元胞为一个晶体及其空间点阵中最小周期性重复单元，其图形选择也不唯一。其中一种选法如图所示。WS 也如图所示。左图中的正六边形为惯用元胞。 2.画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数
2、。(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅（6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂解：名称 分子式 结构 惯用元胞 布拉菲格子初基元胞中原子数惯用元胞中原子数配位数氯化钾 KCl NaCl结构教材图117（b）教材 fcc图 1122 8 6氯化钛 TiCl 氯化铯结构图 1 18 s.c 2 2 8硅 Si 金刚石 图 1 19 f.c.c 2 8 4砷化镓 GaAs 闪锌矿 图 1 20 f.c.c 2 8 4碳化硅 SiC 闪锌矿 图 1 20 f.c.c 2 8 4钽酸锂 LiTaO3 钙钛矿 图 1-21 s.c 5 5 2.6.12铍 Be hcp 图
3、1 24 简单六角 2 6 12钼 Mo bcc b.c.c 1 2 8铂 Pt fcc f.c.c 1 4 12基矢表示式参见教材（15） 、 （16） 、 （17）式。11.对于六角密积结构，初基元胞基矢为= 1aji3(2jia3(2求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。解： 正空间 倒空间 j ji i(A) (B) 由倒格基失的定义，可计算得=321ab)1(jijia3(132kcb213正空间二维元胞（初基）如图（A ）所示，倒空间初基元胞如图（B）所示（1）由 组成的倒初基元胞构成倒空间点阵，具有 C6 操作对称性，而 C6 对称性是六21、角晶系的特征。（2）由 构成的二维
4、正初基元胞，与由 构成的倒初基元胞为相似平行四边形，21a、 21b、故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。12用倒格矢的性质证明，立方晶格的（hcl）晶向与晶面垂直。证：由倒格矢的性质，倒格矢 垂直于晶面（h、k、l） 。由晶面向定321hGkl义（h、k、l）晶向，可用矢量 表示。 ，Aa倒格基矢的定义 )(321b)(213ab)(213a在立方晶格中，可取 相互垂直且 ,则可得知 , ,321、 321 1|ba 2|, 且 =| |= 设 =m（为常值，且有量纲，即不为纯数）3|ba 12b3iiab则 mlakhmGkl ） 321(A则 与 平行。 证毕 hklA若以上正、倒
5、基矢，换为正、倒轴矢，以上证明仍成立，则可用于 fcc 和 bcc 晶格。13.若轴矢 构成简单正交系，证明。晶面族（h、k、l）的面间距为cba、222)()(1clbkahkld证 1：把原点选在该面族中任意一晶面上任一点，设相邻晶面分别与正交系 交于cba、处，同一晶面族中，相邻晶面的面间矩相同，故只要求得原点与相邻晶面的距离lckbha、即可。由平面的截距式方程，可把该晶面方程写为；1lckbhazyx又由点面间矩离的公式，可求得原点与该晶面的距离d= 22)()(clbkah由该式可知，面指数（h、k、l）为小值的晶面族，面间距 d 大， ，面间距 d 大，则相邻二个面上的原子间的作
6、用力就小，致使沿着该方向容易解理（劈裂） 。证 2：若正空间基矢为简单正交，由倒格基矢的定义 =2ij，则对应的倒格基矢j也构成正交系。31b、晶面族（h k l）对应的倒格矢 因为 相互正交。321blkhGkl 321b、所以 =(2lG2 3221)()(bh)()(321alkah（注：这里 ）a、 2c3由倒格矢的性质dhkl= the end32)()(11alkahhklG16、用 X 光衍射对 Al 作结构分析时，测得从 (111)面反射的波长为 1.54 反射角为=19.2 0求面间距 d111。解：由布拉格反射模型，认为入射角反射角由布拉格公式 2dsin= d= 对主极大
7、 取 n=1sin2d= =2.34()02.19sin5417试说明：1劳厄方程与布拉格公式是一致的；2劳厄方程亦是布里渊区界面方程；解：1由坐标空间劳厄方程： 2)(0kRl与正倒格矢关系 比较可知：若 成立 2hlk 0kh即入射波矢 ，衍射波矢 之差为任意倒格矢 ，则 方向产生衍射光， 式0kkk称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。k kh k0现由倒空间劳厄方程出发，推导 Blagg 公式，弹性散射 0k由倒格子性质，倒格矢 垂直于该晶面族。所以， 的垂直平分面必与该晶面族平行。h hk由图可得知：| |2KSin (A)kSin4又若| |为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：| |
8、hhKd2若 不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性k| |n| | .n （B）hhkd2比较（A） 、 （B）二式可得 2dSinn 即为 Blagg 公式。2 、倒空间劳厄方程又称衍射三角形，由上图可知hK0因为是弹性散射 | | |该衍射三角形为等腰三角形， 又为倒格矢，即 二端hkhk均为倒格点。所以，入射波从任一倒格点出发，若指到任一倒格矢的中垂直面上时，才有可能满足衍射三角形，又由布里渊区边界的定义，可知，布里渊区边界即为倒格矢中垂直面，所以原命题成立。18在图 149（b）中，写出反射球面 P、Q 两点的倒格矢表达式以及所对应的晶面指数和衍射面指数。解：由图 149（b）所示，
9、, 1b20P 倒格矢3 对应的衍射晶面指数（3，1）化为（3，1）120Q 倒格矢2 对应衍射晶面指数（2，0）化为（1，0）19求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为000, 0, 0 , 0212121, , , 41434343结构因子 Shkl )(2lwkVhUief= )()()()( 21lkililkikhief )3()3()3( 222 lkhilkhilkhi eee前四项为 fcc 的结构因子，用 Ff 表示从后四项提出因子 )(2liShklF f )()()()(12 lkilhikhilkhi eee
10、F f+Ff F f1+ )(2li )(2li衍射强度 I hkl =2klS)()(221lkhilkhif ee )()(222lkhilkhif eF用尤拉公式 2hklF)(2cos2lkf讨论 1. 当 h、K、l 为奇异性数（奇偶混杂）时 Ff=0 所以 02hklS2当 h、k、l 为全奇数时2223)4(ffFSfl 3当 h、k、l 全为偶数，且 h+k+l4n (n 为任意整数)2222. 641)(fffl当 h.k,l 全为偶数，但 h+k+l4n 则 h+k+l2(2n+1)0)(22. FSlkh补充 1.说明几何结构因子 Sh 和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择无关。解： 几何结构因子 ShRsief式中：f 为元胞内第 个原子的散射因子。 为元胞内第 个原子的位矢若新坐标系相对原坐标系有一位移 则 S hr)( rRsihefS rsie由于一般 1 所以 即几何结构因子与坐标原点选取有关。rsienhS而衍射谱线强度正比与几何结构因子模的平方I 22 )(hhrsihrsihh SeS （所以谱线强度与坐标原点选取无关。
