1、第 1 页 共 22 页第五章信号处理初步测试工作的目的是获取反映被测对象的状态和特征的信息。但是有用的信号总是和各种噪声混杂在一起的，有时本身也不明显，难以直接识别和利用。只有分离信号与噪声，并经过必要的处理和分析、清除和修正系统误差之后，才能比较准确地提取测得信号中所含的有用信息。因此，信号处理的目的是:1)分离信、噪，提高信噪比;2)从信号中提取有用的特征信号;3)修正测试系统的某些误差，如传感器的线性误差、温度影响等。信号处理可用模拟信号处理系统和数字信号处理系统来实现。模拟信号处理系统由一系列能实现模拟运算的电路，诸如模拟滤波器、乘法器、微分放大器等环节组成。其中大部分环节在前行课程
2、和前面几章中已有讨论。模拟信号处理也作为数字信号处理的前奏，例如滤波、限幅、隔直、解调等预处理。数字处理之后也常需作模拟显示、记录等。数字信号处理是用数字方法处理信号，它即可在通用计算机上借助程序来实现，也可以用专用信号处理机来完成。数字信号处理机具有稳定、灵活、快速、高效、应用范围广、设备体积小、重量轻等优点，在各行业中得到广泛的应用。第一节 数字信号处理的基本步骤1.数字信号处理的基本步骤如图5-I所示。信号的预处理是把信号变成适于数字处理的形式，以减轻数字处理的困难。预处理包括:1)电压幅值调理 为便于采样，总是希望电压峰-峰值足够大，以便充分利用A/D换器的精确度。如12位的A/D转换
3、器，其参考电压为 5V。由于2 l2=4096，故其末位数的当量电压为2.5mV。若信号电平较低，转换后二进制数的高位都为0，仅在低位有值，转换后的信噪比将很差。若信号电平绝对值超过5V，则转换中又将发生溢出，这是不允的。所以进入A/D转换的信号的电平应适当调整。2)必要的滤波，以提高信噪比，并滤去信号中的高频噪声。第 2 页 共 22 页3)隔离信号中的直流分量 (如果所测信号中不应有直流分量)。4)如原信号经过调制，则应先行解调。5)对数据中的奇异点 (由于强干扰或信号丢失引起的数据变)应予以剔除。6)对温漂、时漂等系统性干扰所引起的趋势项 (周期大于记录长度的频率分)予以分离。2.数字化
4、 用A/D将模拟信号转换为数字信号；3.数字化处理 按需要进行时域、频域或其它域的处理（应用相应的软件完成），其中频域处理方法最优越；4.模拟化或显示。信号处理内容很丰富，以下仅讨论数字信号处理中的重点部分，如数字化的过程、存在的问题及解决方法、数字化时时频域转换的原理和方法。第二节 信号数字化的基本步骤与问题一.概述数字化时频域转换的基本概念是用数字方法来实现傅立叶变换，这种变换的数学基础是离散傅立叶变换（DFT）。在连续信号傅立叶变换中，为获取正、逆傅立叶变换，无论是在时域或频域都需要对连续函数作积分运算，且积分限均为- 到+ 全部时间轴或频率轴的范围，为在计算机上完成这一变换，就需对连续
5、函数的傅立叶变换作如下两大处理：使连续函数在时间域上或频率域上变为离散数据；把两域上的计算范围从无限变为有限。下面从处理一个模拟信号的频谱分析为例，用图解的方法概括说明这一过程。设连续信号x(t)及其频谱X(f)如图5-2所示，为能应用数字计算机对其进行处理，应实施如下处理。1.对 x(t)采样所谓采样，就是把连续时间信号变成离散时间序列的过程。这一过程相当于在连续时间信号上“摘取“许多离散时刻上的信号瞬时值。在数学处理上，可看作以等时距的单第 3 页 共 22 页位脉冲序列 (称其为采样信号)去乘连续时间信号，各采样点上的瞬时值就变成脉冲序列的强度。以后这些强度值将被量化而成为相应的数值。长
6、度为 T 的连续时间信号 x(t)，从点 t=0 开始采样，采样得到的离散时间序列为 x(n)，采样间隔的选择是一个重要的问题。若采样间隔太小 (采样频率高)，则对定长的时间记录来说其数字序列就很长，计算工作量增大;如果数字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生较大的误差。若采样间隔过大 (采样频率低)，则可能丢掉有用的信息，有关问题将在以后讨论。按采样定义，把x(t)离散为数字信号，方法就是用等间隔（T s）的周期脉冲序列s(t)去乘x(t)，其乘积以x s(t)表示，称为采样信号。已知采样脉冲S(t)时域表达式为： ，其频谱为nsTtt)()(s(见图5-3)，则采样信号nssT
7、fTfS)/(1)(xs(t)= ，其频谱（参见图5-4）为：)()()() snsns nTtxttxt 第 4 页 共 22 页（A） nss nssss TfT TfTfXfStxFtfX)/(1 )/(1*)(*()( 的 卷 积性 质 卷 积定 理由图5-4可见，1） 的频谱，相当于将 乘以1/T s ,然后将其平移，使其在S(f)f )(f图形的各脉冲所在处重新构图，2）因 的频带大于1/2T s ，故平移后的图形产生交叠X（图中虚线所示），3）x s(t)的频谱 呈周期性，其谱图是这些平移后图形的叠加)(sf（图中实线所示）。2.对已采样的x(t)进行截断因已采样的x(t)有无限
8、多个采样值，而计算机只能进行有限长序列的运算，所以必须从采样后信号的时间序列截取有限长的一段来计算，其余部分视为零而不予考虑。截断实际上是用一个截断函数（此处为矩形窗函数）去乘被处理的函数。现取窗宽为T的窗函数，所截取的时间序列数据点数N=T/T s。N称为序列长度。窗函数W(t)的傅立叶变换w(f)如图5-5所示。则对无限序列x s(t)= 的截断就等于x s(t)与W(t)(tS相乘，乘积为 ，其傅立叶变换即频谱函数为 （见图5-)()(tWSt )(*fWfX6），是一带有皱波的连续周期函数，皱波的存在是因矩形窗函数有突变的阶跃点（时域）或其频谱有旁瓣。经以上两步处理，原为无限长的时域信
9、号 x(t),现已变成为有限长的离散信号，但从频域来看，这一有限长离散信号的频谱函数仍是一连续函数，但计算)()(tWStx机计算后的输出则是离散的频率序列，这在数学上相当把上述的连续频谱函数作了采样处第 5 页 共 22 页理。3.频域采样即对频域连续函数在频率轴上进行离散化，作采样处理。设采样函数是 （参见图 5-7）,采样间隔为 1/T，这样，在频nsTffD)/()(域的输出则为离散函数 ，根据上述时域采样引起频)(*(fDWfSXfp域周期化的同样道理及傅立叶变换下载中的时频域互相变换对称性的性质，连续函数在频域内按 1/T 间隔采样必造成在时域内按 T 间隔周期化的结果，得时域输出
10、为，d(t)是 D(f)的时域函数。)(*)()(tdWtsxtp由上可见，1）x (t) p 既非 x(t)，又非 x(t)S(t)，而是时域函数 x(t)周期化（见图 5-8） ，2）原函数 x(t)的频域函数变为周期化的 X (f) p,若要恢复原信号，需加滤波器，从图 5-8 提取出主分量，但这必须在无混叠的情况下才、行，若有混叠，则无论怎样理想的滤波器都不能滤去混在主分量中的高频成分。二.信号数字化出现的主要问题。1.混频和采样定理1）混频及其产生原因前已提及，采样间隔的选择是一个重要的问题。若采样间隔太小 (采样频率高)，则对定长的时间记录来说其数字序列就很长，计算工作量增大;如果
11、数字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生较大的误差。若采样间隔过大 (采样频率低)，则可能丢第 6 页 共 22 页掉有用的信息。图5-9a中，如果按图中所示的T s采样，将得点1、2、3等的采样值，无法分清曲线A、曲线B和C的差别，并把B、C误认为A，图5-9b中是用过大的采样间隔T s对两个不同频率的正弦波采样的结果，得到一组相同采样值，无法辨识两者的差别，将其中的高频信号误认为某种相应的低频信号，出现了所谓的混叠现象。下面具体解释混叠现象及其避免的办法。间距为T s的采样脉冲序列的傅立叶变换也是脉冲序列，其间距为1/T s，即由频域卷积定理可知:两个时域函数的乘积的傅立叶变换
12、等于两者傅立叶变换的卷积，即考虑到 函数与其他函数卷积的特性 见式 (1-52)，上式可写为此式为x(f)经过间隔为T s的采样之后所形成的采样信号的频谱。一般地说，此频谱和原连续信号的频谱X(f)并不一定相同，但有联系。它是将原频谱X(f)依次平移1 /T至各采样脉冲对应的频域序列点上，然后全部叠加而成 (见图5-4)。由此可见，信号经时域采样之后变为离散信号，新信号的频域函数就相应地变为周期函数，周期为1/T s=fs。如果采样的间隔T s太大，即采样频率f s太低，平均距离1/T s过小，那么移至各采样脉冲所在处的频谱X(f)就会有一部分相互交叠，新合成的X(f)*S(f)图形与原X(f
13、)不一致，这种现象就是前述的混叠。发生混叠以后，改变了原来频谱的部分幅值 (见图5-4中虚线部分)，这样就不可能从离散的采样信号x(t)s(t)准确地恢复出原来的时域信号x(t)。注意到原频谱X(f)是f的偶函数，并以f=0为对称轴;采样或后的频谱X(f)*S(f)又是以第 7 页 共 22 页fs为周期的周期函数。因此，如有混叠现象出现，从图5-4中可见，混叠必定出现在f=f s/2左右两侧的频率处。一般称f s/2称为折叠频率。可以证明，任何一个大于折叠频率的高频成分f 1都将和一个低于折叠频率的低频成分f 2相混淆，将高频f 1误认为低频f 2。相当于以折叠频率f s/2为轴，将f 1成
14、分折叠到低频成分f 2上，它们之间的关系为这也就是称f s/2为折叠频率的由来。2）混频的消除方法依照不产生频率混叠 (见图5-10)的频谱条件，要消除混频，可采用以下方式.(1)被采样的模拟信号x(t)应为有限带宽的信号。若不满足此条件，在采样之前，用模拟低通滤波器滤去其中的高频成分，使其成为带限信号，这种处理称为抗混叠滤波预处理。(2)应使采样频率满足采样定理，即采样频率fs大于或等于带限信号的最高频率f h的2倍，即对采样定理的解释如下：设有限带宽信号x(t)中的最高频率为fh，经时域采样后，频域就周期化了，若时域采样间隔为T s（采样频率为f s=1/Ts），则频域上的周期也就是f s
15、，由图可看到要使周期化的频谱不产生边缘交叠，应使f s 2fh.实际中采样频率f s=(34)fh。这是考虑到实际滤波器不可能有理想的截止特性，在其截止频率之后总有一定的过渡带的缘故。此外，从理论上说，任何低通滤波器都不可能把高频噪声完全衰减干净，因此也不可能彻底消除混叠。第 8 页 共 22 页2.量化和量化误差量化 把各采样点上信号的瞬时值变为二进制数字量的过程，称为量化。量化由人工或A/D完成量化误差 一般模拟信号采样点幅值总是落在两相邻量化值之间（见图示），其具体值经取舍而得，由于取舍，便产生误差，此误差即量化误差。通常量化方式为有舍有入的方式，此时采样值在-q/2 q/2间取任意值，
16、可正可负，为该区间上均匀分布的随机变量，其平均误差 ，最大误差em=q/2,方差 ，标准差 。0e12qeqe2.0同样的分析应用与A/D转换器，设A/D转换器的位数为b (又称数据字长)，共有L=2 b个数码。如果A/D转换器允许的动态工作范围为D(例如 5V或0 10V)，则两相邻量化电平之间的差 x为其中采用2 b-1而不用2 b，是因为实际上字长的第一位用作符号位。当离散信号采样值以x（n）的电平落在两个相邻量化电平之间时，就要舍人到相近的一个量化电平上。该量化电平与信号实际电平之间的差值即为量化误差 (n)。量化误差的概率、概率密度、均值为、均方值、标准差同上。量化误差 (n)将形成
17、叠加在信号采样值x(n)上的随机噪声。假定字长b=8，峰值电平等于2 (8-1) x=128 x。这样，峰值电平与标准差之比为（l28 x /0.29 x)=450，即约 近于26dB。A/D转换器位数选择应视信号的具体情况和量化的精度要求而定。但要考虑位数增多后，成本显著增加，转换速率下降的影响。为了讨论简便，今后假设备采样点的量化电平就是信号的实际电平，即假设A/D转换器的位数为无限多，则量化误差等于零。3.泄漏和窗函数泄漏产生于对无限长信号的截断，即以信号乘以时域的有限宽窗函数。下面以实际例子说明泄漏的现象。图示一正弦信号的真实频谱和用矩形窗函数截断后所得x u(t)频谱的差异，图中b）
18、为正弦信号的频谱，d）为矩形窗函数的频谱（sinc函数），f）第 9 页 共 22 页为x u(t)的频谱，其表达式为xu(f) )(*)(*) 00fWfffWfX即x u(f)位于f=f 0处。由图可见，加窗后的频谱分散为一个包含主瓣和旁瓣的采样，这说明原单一频率变为无限多频率，原集中的能量被分散了，称这种信号的能量在频率轴上分布扩展的现象叫泄漏。可以看到，主要加窗，就会产生泄漏，由于加窗后的信号带宽由有限变为无限，故无论采样频率多高，混叠将不可避免的存在，故信号加窗必带来误差。消除泄漏的两种措施：1） 增长截断长度，结果是主瓣变窄，旁瓣向主瓣密集，但增长截断长度会增多数据量；2） 选取不
19、同形式的窗函数，因泄漏与窗函数的两侧旁瓣有关，故可选用不同形式的窗函数来截断信号，以满足不同的分析需要。对窗函数的基本要求是：窗谱的主瓣窄而高，以提高分辨率；旁瓣要小，正、负交替接近相等，一减小泄漏。通常，窗函数的优劣大致可从最大旁瓣峰值与主瓣峰值之比、最大旁瓣10倍频程衰减率和主瓣宽度等三方面来评价。4.栅栏效应 频率分辨率 整周期截断在进行DFT的过程中，最后要对信号的频谱采样，经过采样所得到的只是各采样点上的频率，而不在采样点上的频率一律得不到，就这就是栅栏效应，此种现象有如透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，视为零。栅栏效应既产生于时域采样
20、又产生于频域采样。只不过时域采样如满足采样定理要求，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的栅栏效应则影响颇大，尤其是周期信号，因为周期信号的频谱是离散的，若处理不当，这些离散频谱的谱线可能显示不出来。频率采样间隔 f也是频率分辨率的指标。此间隔越小，频率分辨率越高，被 “挡住“的频率成分越少。前面曾经指出，在利用DFT将有限时间序列变换成相应的频谱序列的情况下， f和分析的时间信号长度T的关系是这种关系是DFT算法固有的特征。这种关系往往加剧频率分辨率和计算工作量的矛盾。第 10 页 共 22 页根据采样定理，若信号的最高频率为f h，最低采样频率f s应大于2f h。根据式 (5-9)，在f
21、s选定后，要提高频率分辨率就必须增加数据点数 N， 从而急剧地增加了计算工作量。解决此矛盾有两条途径。其一是在DFT的基础上，采用 “频率细化技术“，其基本思路是在处理过程中只提高感兴趣的局部频段中的频率分辨率，以此来减少计算工作量。另一条途径则是改用其他把时域序列变换成频谱序列的方法。在分析简谐信号的场合下，需要了解某特定频率f 0的谱值，希望DFT谱线落在f 0上。单纯减小 f，并不一定会使谱线落在频率f 0上。从DFT的原理来看，谱线落在f 0处的条件是: f0/ f=整数。考虑到 f是分析时长T的倒数，简谐信号的周期T 0是其频率f 0的倒数，因此只有截取的信号长度T正好等于信号周期的
22、整数倍时，才可能使分析谱线落在简谐信号的频率上，从而获得准确的频谱。显然，这个结论适用于所有周期信号。因此，对周期信号实行整周期截断是获得准确频谱的先决条件。从概念来说，DFT的效果相当于将时窗内信号向外周期延拓。若事先按整周期截断信号，则延拓后的信号将和原信号完全重合，无任何畸变。反之，延拓后将在t=kT交接处出现间断点，波形和频谱都发生畸变。其中k为某个整数。第三节 相关分析及其应用在测试技术领域中，无论分析两个随机变量之间的关系，还是分析两个信号或一个信号在一定时移前后之间的关系，都需要应用相关分析。例如在振动测试分析、雷达测距、声发射探伤等都用到相关分析。一、两个随机变址的相关系数通常
23、，两个变量之间若存在一一对应的确定关系，则称两者存在着函数关系。当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某一个变量数值的确定，另一变量却可能取许多不同值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。图5-11表示由两个随机变量x和y组成的数据点的分布情况。图5-11a中各点分布很散，可以说变量x和变量y之间是无关的。图5-1b中x和y虽无确定关系，但从统计结果、从总体看，大体上具有某种程度的线性关系，因此说它们之间有着相关关系。变量x和y之间的相关程度常用相关系数 表示xy第 11 页 共 22 页利用柯西-许瓦兹不等式知 。当数据点分布愈接近于一条直线时， 的绝对值愈接近1，
24、x和y的线性性相1xy 关程度愈好，将这样的数据回归成直线才愈有意义。 的正、负号则是表示一变量随另一变量的增加而增或减。当 接近于零，则可认为x和y两变量之间完全无关，但仍可能存在着某种非线性的相关关系甚至函数关系。二.信号的自相关函数1.定义 设x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录， x(t+ )是 x(t) 时移 后的样本(见图5-12)，在任何t=t i时刻，从两个样本上可以分别得到两个值x(t i)和x(t i + )且x(t)和x(t+ )具有相同的均值和标准差。若以 表示 ，那么有 )(x)(tx）（将分子展开并注意到从而得对各态历经随机信号及功率信号可定义自相关函数R x
25、( )为第 12 页 共 22 页则显然 和R x( )均随 而变化，而两者成线性关系。如果该随机过程的均值x )(x，则 。0x2/）（自相关函数描述了随机信号一个时刻的取值与另一个时刻的数据之间的关系。2.自相关函数性质:1)由式 (5-14)有又因为 ，所以1xy2）自相关函数在 =0时为最大值，并等于该随机信号的均方值 。 2x因为当 =0时，上式积分为样本记录值的平方，全为正，而后相加；而当 0时，x(t)与 x(t+ )的取值可能相反，相乘后有可能出现负值，相加后会使总积分值变小。 3)当 足够大或 时，随机变量x(t)与x(t+ )之间不存在内在联系，彼此无关，故4)自相关函数为
26、偶函数，即证： )()(1)(1)( 00 xTtTx RdttxdtxR 令上述4个性质可用图5-13来表示。5)周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号的幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。第 13 页 共 22 页例5-1 求正弦函数x(t)=x 0sin( )的自相关函数，初始相角 为-随机变量。t 解 此正弦函数是一个零均值的各态历经随机过程，其各种平均值可以用一个周期内的平均值表示。该正弦函数的自相关函数为可见正弦函数的自相关函数是-个余弦函数，在 =0 时具有最大值，但它不随 的增加而衰减至零。它保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了初始相位信息。图5-I
27、4所示是4种典型信号的自相关函数，稍加对比就可以看到自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段。只要信号中含有周期成分，其自相关函数在 很大时都不衰减，并且有明显的周期性。不包含周期成分的随机信号，当 稍大时自相关函数就将趋近于零。宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到零，窄带随机噪声的自相关函数则具有较慢的衰减特性。图5-14 4种典型信号的自相关函数第 14 页 共 22 页图5-15a是某一机械加工表面粕糙度的波形，经自相关分析后所得到的自相关图 (见图5-15b)呈现出周期性.这表明造成表面粗糙度的原因中包含有某种周期因素。从自相关图能确定该周期因素的频率，从而可以进一步分析其原因。三、
28、信号的互相关函数1.定义 两个各态历经过程的随机信号x(t)和y(t)的相互关系函数R xy( )定义为它表示了两个信号之间的相关程度（波形小时相似程度） 。2.性质 1）当时移 足够或 时， x(t)与 y(t)互不相关， ， 0xyyxxyR）（， 的最大变动范围在 之间，即）（xyRyx2）如果x(t)和y(t)两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的周期成分，那么，即使， ，互相关函数也不收敛并会出现该频率的周期成分。如果两信号含有频率不等的周期成分，则两者不相关。这就是说，同频率相关，不同频不相关。3）互相关函数通常不在 =0处取峰值，其峰值偏离原点的位置表示了两信号在错开多大时差
29、时，其相关程度最大（见图示）。4）互相关函数不是偶函数，即-般不等于 ;证明可仿照自）（ xyR）（ yxR相关函数为偶函数的证明。互相关函数的性质可用图5-16来表示。四.相关函数的应用1.利用互相关函数的特性，进行相关滤波 依据互相关函数同频率相关，不同频不相第 15 页 共 22 页关的性质，可消除信号中的噪声干扰，提取有用信息。例对一系统输入一激励x(t)，设输出为y(t)，设y(t)中含有干扰噪声y 1(t),为消除y 1(t)和了解响应的幅值相位，将x(t)与y(t)进行互相关分析，由线性系统的频率保存性，y(t)中只有与x(t)频率相同的成分才是由 x(t)引起的，才会在x(t)
30、与y(t)的互相关分析结果中显示出（由例5-2结论得出），而噪声y 1(t)与x(t)经相关分析后不会出现在分析结果中（由例5-3结论得出）。2.利用 x(t)与y(t)之间的滞后时间进行速度、位移等测量。例 1 热轧钢带运动速度的测定例 2 地下输油管裂损位置的确定由式 (5-13)和式 (5-19)所定义的相关函数只适用于各态历经随机信号和功率信号。对于能量有限信号的相关函数，其中的积分若除以趋于无限大时的随机时间T后，无论时移为何值，其结果都将趋于零。因此，对能量有限信号进行相关分析时，应按下面定义来计算，- 第四节 功率谱分析及其应用第 16 页 共 22 页功率谱分析是将时域信号变换
31、为频率函数，分析信号的频率结构及其能量沿频率域的分布状态，它从频域提供了相关技术所能提供的信息。（由于随机信号一般不是绝对可积的，故其傅立叶变换一般不存在，不能用傅立叶变换研究其频域特性，而是利用相关函数来研究。）一、自功率谱密度函数1.定义若x(t)是零均值的随机过程，即 x=0(如果原随机过程是非零均值的，可以进行适当处理使其均值为零)，又假定x(t)中没有周期分量，则X(t)的自相关函数及其绝对积分满足，0)(limRdtx)(这表明，对 可实施傅立叶变换。x定义为x(t)的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。由傅里叶逆变换得：即自相关函数与自谱构成一对拉氏变换对。2.物理意义对（5-
32、28）式，令 ，得0对x(t)的自相关函数表达式，令 ，得0（a）dtxTdtxtTRx02)(1lim)(1lim)0(由式（5-29）式（a）得：（b）fstx)()(li02T因为 是x(t)的功率，所以上式左端表示了x(t)的总功率，从而右端也应为x(t)tx)(2的总功率，它等于S x(f)曲线与f轴所围成的面积，故S x(f)就是信号的功率密度沿频率轴的分布，因此称S x(f)为自功率谱密度函数。第 17 页 共 22 页3.性质1）自谱是实偶函数（因为 是实偶函数），关于纵轴对称。一般称)(xRf（ ）范围的自谱为双边谱S x(f)，把f=(O )范围内的自谱称为单边谱G x(f
33、) ， ，(见图5-I9)。2） 由于自相关函数与自谱构成一对拉氏变换对，两者具有唯一的对应关系，故自谱中包含了自相关函数的全部信息，都可用来描述信号的相关性。3） 自功率谱密度S x(f)反映信号的频域结构，这一点和幅值谱 一致，但是自)(fX功率谱密度所反映的是信号幅值的平方，因此其频域结构特征更明显，见图5-20.4）巴塞伐尔定理在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能量，这就是巴塞伐尔定理，即式 (5-30)又叫做能量等式。这个定理可以用傅里叶变换的卷积公式导出。设按照频域卷积定理有即令q0，得第 18 页 共 22 页又令h(t)=x(t),得x(t)是实函数，则 ，所以
34、)()(*fXf称为能谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整个时间轴上信号平均功率为2)(fX由此，并根据式 (5-29)，自功率谱密度函数和幅值谱的关系为利用这一种关系，就可以通过直接对时域信号作傅里叶变换来计算功率谱。它也是目前用FFT求自谱的常用方法，由于自谱方法方便、迅速，故常先求自谱，再用傅立叶逆变换求自相关函数，这比在时域直接求自相关函数方便，同样的理由可应用到下面提到的互谱及互相关的求解，即先求互谱，再求互相关。二、互谱密度函数1.定义若互相关函数 满足傅里叶变换的条件： ，则称 的傅立)(xyRdtRxy)()(xyR叶变换为信-号x(t)和y(t)的互谱密度函数，简称互谱。根据
35、傅里叶逆变换，有（5-38）与（5-39）两式又称为维拉辛钦公式。2.性质 1）互谱中包含了互相关的所有信息，故都用以描述信号间的相关性，不同的是，互相关是在时差域中，而互谱是频域上。2）互谱一般为复数，非奇非偶（因为互相关为非奇非偶实函数），有虚、实两部分。互谱可写成如下形式：第 19 页 共 22 页 )(2 ()()()(2)()( fjxyxyxyfjxyxyxy xyefGfjQfCdeRfSfG 其中， 称为单边谱，而 称为双边谱，单边互谱是 频率范围内定义的S,0互谱， 、 ， 称为 的相频谱，2)(xyxyQCfxytgf1)()(f)(fxy， 是信号X(f)的相频谱， 是信
36、号y(f)的相频谱。)(fffyxxyfx fy由上可见，互谱不仅含相位信息，且其相频谱 还给出了任一频率上信号y(t)与 x(t)的)(fxy相位差或滞后时间t f： 。因此，用作测量信号的滞后时间，互谱比互相关f2)(t）（xyQ函数更有效。三. 功率谱密度函数的应用1.求取系统的频响特性设-线性系统(图5-21) 的频率响应函数为H(f)，又设系统的输入为x(t)，输出为y(t)，且， ，则有)()fXtx)(fYtyY(f)=H(f)X(f) 、 （1）)()(2fSfHfSxy及（5-37 ） （2）证明：前已证得而（5-31）式又可写成如下形式：）（ fXTfXfSx )(1)()
37、(*2（3）类似可得（4）（ fYTfYfSy )(1)()(*2及第 20 页 共 22 页（5）（ fYXTfSxy)(1)(*由（4）/(3)得（1）式，（5）/(3)得（2）式，从（1）、（2）式可见只要求得S x(f)、 Sy(f)、S xy(f)，则可求得H(f).(说明：因为（1）式是通过自谱求H(f)，而自谱不含相位信息，故只能求得幅频特性，而用（2）式求H(f)，则包含有幅、相频特性，这是因为互谱含有相位信息)。同样，对图5-21所示线性系统，可证得有故从输人的自谱和输入、输出的互谱就可以直接得到系统的频率响应函数。式 (5-44)与式 (5-37)不同，所得到的H(f)不仅
38、含有幅频特性而且含有相频特性。这是因为互相关函数中包含有相位信息。2.故障的判断与分析方法是对照正常与异常情况下的功率谱图，当有意外谱峰时，即可判定有故障存在，且可确定出故障之所在位置，如图中的异常点f 1、f 2。3.应用互谱排除噪声干扰如图5-22所示测试系统，在输入端、中间环节、输出端加有噪声n 1(t)、n2(t)、n 3(t)，则系统的输出将为：这表明输出中含有噪声信号，为消除噪声信号，可对y(t)与x(t)进行互相关分析，得由于输入x(t)和噪声n 1(t)、n 2(t)、n 3(t)是独立无关的，故互相关函数中的后三项均为零。所以对上式取拉氏变换可得 ，再利用（5-37）式 )(
39、)(fSfxxy得：第 21 页 共 22 页由此可见，利用互谱进行分析将可排除噪声的影响。这是这种分析方法的突出优点。然而应当注意到，利用式 (5-48)求线性系统的H(f)时，尽管其中的互谱s xy(f)可不受噪声的影响，但是输入信号的自谱S x(f)仍然无法排除输入端测量噪声的影响，从而形成测量的误差。利用（5-48）式，可对已运行的系统人为的加入一已知扰动Z(t),设Z(t)与其它输入量无关，则在测得S zy(f) 和S z(f)后，就可计算出系统的H(f)，此法称为“在线测试”。4.用自功率谱密度判断信号中有无周期成分方法是观察自谱图中是否有陡峭有限峰值出现，若有，则说明信号中有周期
40、成分。原因是周期信号的频谱是脉冲函数，在某特定频率上的能量是无限的。在实际测时因截断导致泄漏，故截断后的周期函数的频谱已不再是脉冲函数，而是以陡峭有限峰值的形态出现。5.确定构件的载荷谱 因功率谱反映了载荷在各频率成分上的能量与振幅，故可以此确定出构件的载荷谱，为研究构件的强度与疲劳寿命服务。四. 相干函数及其应用1.定义 设两信号x(t)、y（t）的自谱、互谱分别为S x(f) 、S y(f) 、S xy(f)，则此两信号的相干函数企业、定义为2.意义与应用相干函数从频域上描述了系统的输入信号和输出信号之间的因果性，即输出信号的功率谱中有多少是输入量所引起的响应。或者说，两信号在哪些频率成分上相关，哪些频率成分上不相关。如果相干函数为零，表示输出信号与输入信号不相干；若相干函数为1，表示输出信号与输入信号完全相干，系统不受干扰而且系统是线性的；若相干函数在0 1之间，则表明有如下3种可能:1)测试中有外界噪声干扰；2）输出y(t)是输入x(t)和其他输入的综合输出；第 22 页 共 22 页3.联系x(t)和y(他)的系统是非线性的。
