1、数字滤波器的结构量化与量化误差有限字长运算对数字信号处理系统的影响极限振荡环系数量化对数字滤波器的影响 内容提要 第五章数字信号处理系统的实现 数字信号处理系统的实现 5 1数字滤波器的结构 5 1 1数字网络的信号流图 系统实现方法即运算结构 用方框图表示比较直接 信号流图是由许多节点和各节点间的定向支路连成的网络 为什么研究系统结构 滤波器结构不同 运算复杂程度 运算速度 运算误差都不同 用梅逊 Mason 公式求系统函数 信号流图的转置定理 FIR和IIR数字滤波器的实现不同 FIR滤波器 h n 和滤波器结构有对应关系IIR滤波器 H z 和滤波器结构有对应关系 5 1 2IIR数字滤
2、波器的结构 1 直接型 2 级联型 3 并联型 直接由IIRDF的差分方程所得的网络结构 1直接型 IIR数字滤波器的结构 直接I型 直接 型 两条延时链中对应的延时单元内容完全相同 可合并 得 1直接型 IIR数字滤波器的结构 优点 可直接由传函或差分方程直接画出结构流图 简单直观 缺点 1 调整零 极点困难 2 极点对系数的变化过于敏感 3 容易产生较大误差 2级联型 IIR数字滤波器的结构 2级联型 IIR数字滤波器的结构 优点 便于准确实现零 极点 易于调整 缺点 1 存在计算误差累积 2 级联次序可互换及零极点搭配任意各种实现方案所带来的误差不同 存在最优化问题 3并联型 IIR数字
3、滤波器的结构 3并联型 IIR数字滤波器的结构 优点 1 运算速度最快 2 调整极点方便 3 不存在误差累积问题 缺点 调整零点困难 例子 滤波器的结构 滤波器传递函数 5 1 3FIR数字滤波器的结构 1 横截型 2 级联型 3 线性相位型 4 频率采样型 1横截型 FIRDF网络结构 FIRDF特点 主要是非递归结构 无反馈 但在频率采样结构等某些结构中也包含有反馈的递归部分 它的系统函数和差分方程一般有如下形式 1 直接型 卷积型 横截型 卷积型 差分方程是信号的卷积形式 横截型 差分方程是一条输入x n 延时链的横向结构 优点 简单直观 乘法运算量较少 缺点 调整零点较难 2 级联型
4、串联型 优点 易于控制零点 缺点 需要进行因式分解 而且较直接型需要更多的乘法器 3 线性相位型FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤波器 此时满足偶对称或奇对称条件 偶对称时 N为偶数 运算量小 3 线性相位型FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤波器 此时满足偶对称或奇对称条件 偶对称时 N为奇数 运算量小 4 频率采样型 优点 1 只要调整各IIR一阶网络系数H k 就可以调整系统的频响函数 2 便于标准化 模块化 缺点 1 具体实现时难免存在误差 零 极点可能不能正好抵消 造成系统不稳定 2 由于出现了复数乘复数 所以实现更为复杂 梳状滤波器频响 将所有零点和极点移到半
5、径为的圆上 略小于1 同时频率采样点也移到该圆上 以解决系统的稳定性 克服缺点1 解决系统的稳定性 克服缺点2 消除复乘 要实现线性相位 DFT是共轭对称的 可以将互为共轭的H k 和H N k 合并 消除复乘 因此可将第k及第N k个谐振器合并为一个二阶网络其中 克服缺点2 消除复乘 除了以上共轭极点外 还有实数极点 分两种情况 当为偶数时 有二个实数极点 对应H 0 和H N 2 有二个一阶网络 所以有 当为奇数时 只有一个实数极点 对应H 0 有一个一阶网络 所以有 改进后的频率采样型结构如下图 5 FFT快速算法 例子 滤波器的结构 滤波器传递函数 实际IIR的问题 系数的量化会影响到
6、滤波器的形状以及系统的稳定性 系统极点z 0 99452118390532和z 0 81747881609468两个极点都在单位圆内 系统稳定 量化后的IIR滤波器系数 有限字长的二进制数表示数字系统的误差源 对系统中各系数的量化误差 受计算机中存贮器的字长影响 对输入模拟信号的量化误差 受A D的精度或位数的影响 运算过程误差 如溢出 舍入及误差累积等 受计算机的精度影响 5 2量化与量化误差 5 2 1二进制数的表示 1 定点表示整个运算中 小数点在数码中的位置固定不变 称为定点制 定点制总是把数限制在 1之间 最高位为符号位 0为正 1为负 小数点紧跟在符号位后 数的本身只有小数部分 称
7、为 尾数 定点数的表示分为三种 设有一个 b 1 位码定点数 0 1 2 b 则 原码表示为例 x 0 625 其原码为1 101又如 0 010 0 25 反码表示 正数同原码 负数则将原码中的尾数按位求反 例 x 0 625其反码为 1 010 补码表示 正数同原码 负数则将原码中的尾数求反加1 例 x 0 625其补码为 1 011 尾数指数阶数浮点制运算 相加对阶相加归一化 并作尾数处理相乘 尾数相乘 阶码相加 再作截尾或舍入 5 2 2定点制的量化误差 1 截尾处理 1 正数 三种码形式相同 一个b1位的正数为 用 T表示截尾处理 则 可见 ET 0 i全为1时 ET有最大值 量化宽
8、度 或 量化阶 q 2 b 代表 b 1 位字长 包含符号位 可表示的最小数 一般2 b1 2 b 因此正数的截尾误差为 q ET 0 截尾误差 2 负数负数的三种码表示方式不同 所以误差也不同 原码 0 1 0 ET q 截尾误差 补码 因所以 图截尾量化处理的非线性特性 2 舍入处理 5 2 3A D变换的量化效应 其中e n 就是量化误差 对其统计特性作如下假定 e n 是平稳随机序列 e n 与信号x n 不相关 e n 任意两个值之间不相关 即为白噪声 e n 具有均匀等概率分布 图e n 的均匀等概率分布 误差的均值和方差 截尾量化噪声 有直流分量 会影响信号的频谱结构 舍入量化噪
9、声 定义量化信噪比 用对数表示 字长每增加1位 量化信噪比增加6个分贝 信号能量越大 量化信噪比越高 注 因信号本身有一定的信噪比 单纯提高量化信噪比无意义 例 已知x n 在 1至1之间均匀分布 A D转换器字长b 8 12时的的SNR 因均匀分布 所以有 均值 方差 当b 8 则SNR 54dB 当b 12 则SNR 78dB 5 2 4量化噪声通过线性系统 系统的输出 输出噪声为如为舍入噪声 均值为0 则输出噪声的方差为 由于是白色的 各变量之间互不相关 即代入上式 得由Parseval定理 H z 全部极点在单位圆内 表示沿单位圆逆时针方向的圆周积分 由留数定理 如为截尾噪声 则输出噪
10、声中还有一直流分量 例3 一个8位A D变换器 其输出作为IIR滤波器的输入 求滤波器输出端的量化噪声功率 已知IIR滤波器的系统函数为 解 由于A D的量化效应 滤波器输入端的噪声功率为 滤波器的输出噪声功率为 其积分值等于单位圆内所有极点留数的和 单位圆内有一个极点z 0 999 所以 5 3有限字长运算对数字滤波器的影响 定点相乘运算统计分析的流图表示 对噪声e n 作如下的假设 1 e n 为平稳随机噪声序列 2 e n 与输入序列x n 不相关 各噪声之间也互不相关 3 e n 为白色噪声 4 在量化间隔上均匀分布 即每个噪声都是均匀等概率分布 5 3 1IIR的有限字长效应 输出噪
11、声方差或由上两式均可求得可见字长越大 输出噪声越小 同样的方法可分析其它高阶DF的输出噪声 例 一个二阶IIR低通数字滤波器 系统函数为采用定点制算法 尾数作舍入处理 分别计算其直接型 级联型 并联型三种结构的舍入误差 解 直接型 级联型将H z 分解结构流图为图IIR级联型的舍入噪声分析 因此 将代入 得 如果将B1 z 和B2 z 次序颠倒 结果会怎样 并联型将H z 分解为部分分式其结构如图 0 360 9 0 320 8 比较三种结构的误差大小 可知直接型 级联型 并联型l直接型结构的所有舍入误差都经过全部网络的反馈环节 反馈过程中误差积累 输出误差很大 l级联型结构 每个舍入误差只通
12、过其后面的反馈环节 而不通过它前面的反馈环节 误差小于直接型 级联型结构的误差还与其排列顺序有关系 l并联型 各并联网络的舍入误差只通过本身的反馈环节 与其它并联网络无关 积累作用最小 误差最小 IIR滤波器的有限字长效应与它的结构有关 5 3 2FIR的有限字长效应 舍入噪声N阶FIR的系统函数为 无限精度下 直接型结构的差分方程为 有限精度运算时 每次相乘产生一个舍入噪声 则 输出噪声 例 FIR滤波器 N 10 b 17时N 1024时 因此 滤波器输出中 小数点后只有4位数字是有效的 动态范围 FIR输出 定点数不产生溢出的条件 为使结果不溢出 对采用标度因子A 使 5 4极限环振荡
13、5 4 1IIRDF零输入极限环振荡 当字长b 3 a 1 2时nx n 00 1110 0000 00000 0000 111 7 8 10 0000 1110 01110 1000 100 1 2 20 0000 1000 01000 0100 010 1 4 30 0000 0100 00100 0010 001 1 8 40 0000 0010 00010 0010 001 1 8 图零输入极限环振荡 极限振荡幅度与字长的关系 极限环振荡的幅度与量化阶成正比 与极点位置和滤波器阶数有关 增加字长 可减小极限环振荡 高阶IIR网络中 同样有这种极限环振荡现象 但振荡的形式更复杂 不一一讨
14、论 5 4 2大信号极限环振荡 溢出振荡 具有饱和溢出处理的补码加法器输入输出特性 5 5系数量化对数字滤波器的影响 5 5 1极点位置灵敏度指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度 N i p i 2 1 L 理想极点 pi 例1 一个共轭极点在虚轴附近的滤波器如图 a 一个共轭极点在实轴附近的滤波器如图 b 两者比较 前者极点位置灵敏度比后者小 即系数量化程度相同时 前者造成的误差比后者小 例2一个三对共轭极点的滤波器H z 用三种结构实现 1 用直接型结构实现 极点分布如图a 2 用三个二阶网络级联的形式实现 极点分布如图b 3 用三个并联二阶网络实现 极点分布如图b 影响极点位置灵敏度的几
15、个因素 l与极点的分布状态有关 极点位置灵敏度大小与极点间距离成反比 l与滤波器结构有关 高阶直接型极点位置灵敏度高 并联或级联型 系数量化误差的影响小 l高阶滤波器避免用直接型 尽量分解为低阶网络的级联或并联 5总结 数字滤波器结构量化误差有限字长对数字信号处理系统的影响极限振荡环系数量化对数字滤波器的影响 第五章作业 P2335 5 P1694 7 b 1 2 3 4 4 3 2 1 b1 4 3 2 1 1 2 3 4 a 1 N 1024 h w freqz b a N h1 w freqz b1 a N plot w 20 log10 abs h w 20 log10 abs h1
