1、 习题解答11-7 在磁感应强度大小为 B = 0.50 T 的匀强磁场中，有一长度为 l = 1.5 m 的导体棒垂直于磁场方向放置，如图 11-11 所示。如果让此导体棒以既垂直于自身的长度又垂直于磁场的速度 v 向右运动，则在导体棒中将产生动生电动势。若棒的运动速率 v = 4.0 ms1 ，试求：(1)导体棒内的非静电性电场 K；(2)导体棒内的静电场 E；(3)导体棒内的动生电动势 的大小和方向；(4)导体棒两端的电势差。解(1)根据动生电动势的表达式,由于( )的方向沿棒向上，所以上式的积分可取沿棒向上的方向，也就是 dl 的方向取沿棒向上的方向。于是可得.另外，动生电动势可以用非
2、静电性电场表示为.以上两式联立可解得导体棒内的非静电性电场，为,方向沿棒由下向上。(2)在不形成电流的情况下，导体棒内的静电场与非静电性电场相平衡，即图 11-11 ,所以，E 的方向沿棒由上向下，大小为.(3)上面已经得到,方向沿棒由下向上。(4)上述导体棒就相当一个外电路不通的电源，所以导体棒两端的电势差就等于棒的动生电动势，即,棒的上端为正，下端为负。11-8 如图 11-12 所表示，处于匀强磁场中的导体回路ABCD，其边 AB 可以滑动。若磁感应强度的大小为 B = 0.5 T，电阻为 R = 0.2 ，AB 边长为 l = 0.5 m，AB 边向右平移的速率为 v = 4 ms1
3、，求：(1)作用于 AB 边上的外力；(2)外力所消耗的功率；(3)感 应 电 流 消 耗 在 电 阻 R 上 的 功 率。解(1)当将 AB 向右拉动时，AB 中会有电流通过，流向为从 B 到 A。AB 中一旦出现电流，就将受到安培力 F 的作用，安培力的方向为由右向左。所以，要使 AB 向右移动，必须对 AB 施加由左向右的力的作用，这就是外力 F 外 。在被拉动时，AB 中产生的动生电动势为图 11-12,电流为.AB 所受安培力的大小为,安培力的方向为由右向左。外力的大小为,外力的方向为由左向右。(2)外力所消耗的功率为.(3)感 应 电 流 消 耗 在 电 阻 R 上 的 功 率为.
4、可见，外力对电路消耗的能量全部以热能的方式释放出来。11-9 有一半径为 r 的金属圆环，电阻为 R，置于磁感应强度为 B 的匀强磁场中。初始时刻环面与 B 垂直，后将圆环以匀角速度 绕通过环心并处于环面内的轴线旋转 / 2。求：(1)在旋转过程中环内通过的电量；(2)环中的电流；(3)外力所作的功。解(1)在旋转过程中环内通过的电量为.(2)根据题意，环中的磁通量可以表示为,故感应电动势为.所以，环中的电流为.(3)外力所作的功，就是外力矩所作的功。在圆环作匀角速转动时，外力矩的大小与磁力矩的大小相等，故力矩为,式中 是环的磁矩 m 与磁场 B 之间的夹角。在从 = 0 的位置转到 = /2
5、 的位置，外力矩克服磁力矩所作的功为.此题也可以用另一种方法求解。外力矩作的功应等于圆环电阻上消耗的能量，故有.与上面的结果一致。11-10 一螺绕环的平均半径为 r = 10 cm，截面积为 S = 5.0 cm2 ，环上均匀地绕有两个线圈，它们的总匝数分别为 N1 = 1000 匝 和 N2 = 500 匝 。 求 两 个 线 圈 的 互 感。解 在第一个线圈 N1 中通以电流 I1，在环中产生的磁场为.该磁场在第二个线圈 N2 中产生的磁通量为.所以两个线圈的互感为.11-11 在长为 60 cm、半径为 2.0 cm 的圆纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为 6.0103 H 的线圈？解
6、设所绕线圈的匝数为 N，若在线圈中通以电流 I，则圆筒内的磁感应强度为.由此在线圈自身引起的磁通量为,所以线圈的自感为,由此解的线圈的匝数为.11-12 一螺绕环的平均半径为 r = 1.2102 m，截面积为 S = 5.6104 m2 ，线圈匝数为 N = 1500 匝，求螺绕环的自感。解 此 螺 绕 环 的 示 意 图 表 示 于 图 11-13 中 。 在 线 圈 中 通 以 电 流 I， 环 中 的 磁 感 应 强 度 为,该 磁 场 引 起 线 圈 的 磁 通 量 为.所 以 螺 绕 环 的 自 感 为.11-13 若 两 组 线 圈 绕 在 同 一 圆 柱 上 ， 其 中 任 一
7、 线 圈 产 生 的 磁 感 应 线 全 部 并 均 等 地 通 过 另 一 线 圈 的每一 匝 。 两 线 圈 的 自 感 分 别 为 L1 和 L2 ， 证 明 两 线 圈 的 互 感 可 以表示为.解 题意所表示的情形，是一种无漏磁的理想耦合的情形。在这种情形下，可以得到两个线圈的自感分别为,.用类似的方法可以得到它们的互感为.比较以上三式，可以得出.11-14 一无限长直导线，其圆形横截面上电流密度均匀。若通过的电流为 I，导线材料的磁导率为 ，证明每单位长度导线内所储存的磁能为.解 因为电流在导线横截面上分布均匀，所以可以把电流密度的大小表示为图 11-13.在导线的横截面上任取一半
8、径为 r(R)的同心圆形环路，并运用安培环路定理，得,即,.导体内的磁感应强度为.H 和 B 的方向可根据电流的流向用右手定则确定。导线内的磁场能量密度为.在导线内取一长度为 1、半径为 r、厚度为 dr 的同心圆筒，图 11-14 是其横截面的示意图。圆筒薄层内的磁场能量为,导线单位长度的磁场能量为.证毕。11-15 一铜片放于磁场中，若将铜片从磁场中拉出或将铜片向磁场中推进，铜片将受到一种阻力的作用。试解释这种阻力的来源。解 这种阻力来自磁场对铜片内产生的涡流的作用。图 11-1411-16 有一长为 l = 2.6102m 的直导线，通有 I = 15 A 的电流，此直导线被放置在磁感应
9、强度大小为 B = 2.0 T 的匀强磁场中，与磁场方向成 = 30角。求导线所受的磁场力。解 导线和磁场方向的相对状况如图 11-15 所示。根据安培定律,导线所受磁场力的大小为,力的方向垂直于纸面向里。11-17 有一长度为 1.20 m 的金属棒，质量为 0.100 kg，用两根细线缚其两端并悬挂于磁感应强度大小为 1.00 T 的匀强磁场中，磁场的方向与棒垂直，如图 11-16 所示。若金属棒通以电流时正好抵消了细线原先所受的张力，求电流的大小和流向。解 设金属棒所通电流为 I。根据题意，载流金属棒在磁场中所受安培力与其重力相平衡，即,所以.电流的流向为自右向左。11-18 在同一平面
10、内有一长直导线和一矩形单匝线圈，矩形线圈的长边与长直导线平行，如图11-17 所示。若直导线中的电流为 I1 = 20 A，矩形线圈中的电流为 I2= 10 A，求矩形线圈所受的磁场力。图 11-15图 11-16解 根据题意，矩形线圈的短边 bc 和 da(见图 11-18)所受磁场力的大小相等、方向相反，互相抵消。所以矩形线圈所受磁场力就是其长边 ab 和 cd 所受磁场力的合力。ab 边所受磁场力的大小为,方向向左。cd 边所受磁场力的大小为,方向向右。矩形线圈所受磁场力的合力的大小为,方向沿水平向左，与图 11-18 中 F1 的方向相同。11-19 在半径为 R 的圆形单匝线圈中通以
11、电流 I1 ，另在一无限长直导线中通以电流 I2，此无限长直导线通过圆线圈的中心并与圆线圈处于同一平面内，如图 11-19 所示。求圆线圈所受的磁场力。解 建立如图所示的坐标系。根据对称性，整个圆线圈所受磁场力的 y 分量为零，只考虑其 x 分量就够了。在圆线圈上取电流元 I1 dl，它所处位置的方位与 x 轴的夹角为 ，如图所示。电流元离开 y 轴的距离为 x，长直电流在此处产生的磁场为.电流元所受的磁场力的大小为.这个力的方向沿径向并指向圆心(坐标原点) 。将 、 代入上式，得.图 11-18图 11-17图 11-19其 x 分量为,整个圆线圈所受磁场力的大小为,负号表示 Fx 沿 x
12、轴的负方向。11-20 有一 10 匝的矩形线圈，长为 0.20 m，宽为 0.15 m，放置在磁感应强度大小为 1.5103 T的匀强磁场中。若线圈中每匝的电流为 10 A，求它所受的最大力矩。解 该矩形线圈的磁矩的大小为,磁矩的方向由电流的流向根据右手定则确定。当线圈平面与磁场方向平行，也就是线圈平面的法向与磁场方向相垂直时，线圈所受力矩为最大，即.11-21 当一直径为 0.020 m 的 10 匝圆形线圈通以 0.15 A 电流时，其磁矩为多大？若将这个线圈放于磁感应强度大小为 1.5 T 的匀强磁场中，所受到的最大力矩为多大？解 线圈磁矩的大小为.所受最大力矩为.11-22 由细导线
13、绕制成的边长为 a 的 n 匝正方形线圈，可绕通过其相对两边中点的铅直轴旋转，在线圈中通以电流 I，并将线圈放于水平取向的磁感应强度为 B 的匀强磁场中。求当线圈在其平衡位置附近作微小振动时的周期 T。设线圈的转动惯量为 J，并忽略电磁感应的影响。解 设线圈平面法线与磁感应强度 B 成一微小夹角 ，线圈所受力矩为. (1)根据转动定理，有,式中负号表示 L 的方向与角加速度的方向相反。将式(1)代入上式，得,或写为. (2)令,(3)将式(3)代入式(2)，得(4)因为 是常量，所以上式是标准的简谐振动方程，立即可以得到线圈的振动周期，为.11-23 假如把电子从图 11-20 中的 O 点沿
14、 y 方向以1.0107 ms1 的速率射出，使它沿图中的半圆周由点 O 到达点A，求所施加的外磁场的磁感应强度 B 的大小和方向，以及电子到达点 A 的时间。解 要使电子沿图中所示的轨道运动，施加的外磁场的方向必须垂直于纸面向里。磁场的磁感应强度的大小可如下求得,. 电子到达点 A 的时间为.11-24 电子在匀强磁场中作圆周运动，周期为 T = 1.0108 s。(1)求磁感应强度的大小；(2)如果电子在进入磁场时所具有的能量为 3.0103 eV，求圆周的半径。解(1)洛伦兹力为电子作圆周运动提供了向心力，故有,由此解出 B，得.(2)电子在磁场中作圆周运动的轨道半径可以表示为,图 11
15、-20将 代入上式，得.11-25 电子在磁感应强度大小为 B = 2.0103 T 的匀强磁场中，沿半径为 R = 2.0 cm 的螺旋线运动，螺距为 h = 5.0 cm。求电子的运动速率。解 电子速度垂直于磁场的分量 可如下求得,所以.电子速度平行于磁场的分量 v/ 可根据螺距的公式求得,所以.于是，电子的运动速率为.11-26 在匀强磁场中叠加一匀强电场，让两者互相垂直。假如磁感应强度和电场强度的大小分别为 B = 1.0102 T 和 E = 3.0104 Vm1 ，问垂直于磁场和电场射入的电子要具有多大的速率才能沿直线运动？解 根据题意，电场、磁场和电子的运动速度 v 三者的相对取
16、向如图 11-21 所示。要使电子沿直线运动，速度 v 的大小应满足图 11-21,所以速度的大小应为.11-29 证明平行板电容器中的位移电流可以表示为,式中 C 是电容器的电容，V 是两极板间的电势差。如果不是平行板电容器，而是其他形状的电容器，上式适用否？解 电容器中的位移电流，显然是在电容器被充电或放电时才存在的。设电容器在被充电或放电时，极板上的自由电荷为 q，极板间的电位移矢量为 D，则根据定义，位移电流可以表示为,或者.根据电容器形状的对称性，作高斯面刚好将电容器的正极板包围在其内部，并且高斯面的一部分处于电容器极板之间，如图 11-22 所示。这样，上式可化为.证毕。在上面的证
17、明中，虽然图 11-22 是对平行板电容器画的，但是证明过程并未涉及电容器的具体形状，并且对所作高斯面的要求，对于其他形状的电容器都是可以办到的。所以，上面的结果对于其他形状的电容器也是适用的。图 11-2211-30 由两个半径为 R 的圆形金属板组成的真空电容器，正以电流 I 充电，充电导线是长直导线。求：(1)电容器中的位移电流；(2)极板间磁感应强度的分布。解(1)设极板上的电荷为 q，则充电电流为.极板间的电场强度为.位移电流密度为,位移电流为.这表示位移电流与充电电流相等。(2)在极板间、与板面平行的平面上作半径为 r 的圆形环路 L，其圆心处于两金属板中心连线上，并运用安培环路定
18、理，得.因为磁场以金属圆板中心连线为轴对称，所以上式可以化为.由上式解得.当 时，即在极板间、板的边缘附近，有.11-31 现有一功率为 200 W 的点光源，在真空中向各方向均匀地辐射电磁波，试求：(1)在离该点光源 25 m 处电场强度和磁场强度的峰值；(2)对离该点光源 25 m 处与波线相垂直的理想反射面的光压。解 (1)尽管由点光源发出的光波是球面波，但在距离光源 25 米处的很小波面可近似看为平面，故可作为平面简谐波处理。波平均能流密度可以表示为,另外，电场矢量与磁场矢量的峰值成比例.以上两式联立求解，可以解得,.(2)对理想反射面的光压可以表示为.11-32 太阳每分钟垂直照射在地球表面每平方厘米上的能量约为 8.4 J ，试求：(1)到达地面上的阳光中，电场强度和磁场强度的峰值；(2)阳光对地面上理想反射面的光压。解(1)根据已知条件，太阳光射到地球表面上的能流密度为.根据公式,可以求得电矢量的峰值.磁矢量的峰值为,或者.(2)阳光对理想反射面的光压.
