1、第五章 数字滤波器的结构在许多信息处理过程中，如对信号的过滤、 检测、预测 等，都要广泛地用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用最广泛的一种线性系统环节，它是数字信号处理的重要基础。在以下三章里，我们将用前面所学到基本方法来讨论数字滤波器，分析它的特点、结构、以及主要的 设计方法。5.1 数字滤波器的结构特点与表示方法数字滤波器的功能，本质上说是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列，因此它本身就是一台完成给定运算的数字计算机。数字滤波器一般可以用两种方法来实现：1.用数字硬件装配成一台专门的设备，成为数字信号处理机。2.直接利用通用计算机的软件来实现。例如，一个数
2、字滤波器，它的系统函数（也即滤波器的传递函数）如果为它所表达的运算可用差分方程来表示同样这个运算也可以在通用计算机上实现。以一阶数字滤波器为例：只要按照图 5-1 的流程图编成程序，就可以让一台通用计算机来完成这个运算。图 5-1 流程图一个数字网络可以用差分方程表示，也可以用单位脉冲响应表示，或者用系统函数来表示。对于研究这个系统的实现方法（即它的运算结构）来说，用方块结构图最直接。图 5-2 一阶数字滤波器的方框结构图这种运算结构也可以用信号流图来表示。对于延时、乘以系数以及相加这三种基本运算来说，信号流图表示法如图 5-3 所示。图 5-3 运算过程的信号流图表示图 5-4 所示的一阶数
3、字滤波器的结构可以用信号流图表达为一个 6 节点的简单图。 节点上的信号值称 为节点变量或节点状态，图中所示的六个节点状态分别是：x(n); x(n-1);y(n-1);a1x(n-1)+b1y(n-1);a0x(n)+a1x(n-1)+b1y(n-1)=y(n); = 图 5-4 一阶数字滤波器的信号流图表达可以看到，用信号流图表达数字网络的结构可以更简洁，我们在下面将普遍采用信号流图的办法来分析数字滤波器的结构。运算结构的不同将会影响系统的精度、误差、 稳定性、经济性以及运算速度等许多重要的性能。对于无限 长单位脉冲响应(IIR) 滤波器与有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器，它们在结构上各
4、自有自己不同的特点，下面将对它们分别加以讨论。5.2 IIR 滤波器的结构IIR 滤波器的传递函数 H(z)在有限 z 平面上有极点存在。它的单位脉冲响应延续到无限长，而它的结构上的特性是存在反馈环路，也即结构上是递归型的。具体实现起来，结构并不是唯一的。同一个传递函数 H(z)，可以有各种不同的结构形式，其中主要的基本 结构形式有以下几种:(1)直接型一个 N 阶 IIR 滤波器的传递函数可以表达为用差分方程可以表达为从差分方程表达式可以看出，y(n)是由两部分相加构成：第一部分是一个对输入 x(n)的 N 节延时链结构，每节延时抽头后加权相加，也即是一个横向结构网络。第二部分也是一个 N
5、节延时链的横向结构网络，不过它是对 y(n)延时，因此是个反馈网络。图 5-5 N 阶数字滤波器的信号流 图表达从图中我们可以看到，直接型结构需要 2N 级延时单元。(2)直接 II 型上面直接型结构中的两部分也可分别看作是两个独立的网络，其第一部分的传递函数为差分方程是其第二部分的传递函数为差分方程是这两部分串接后即构成总的传递函数 H(z)=H1(z)H2(z);由于系统是线性的，显然将级联的次序调换不会影响总的结果。即 H(z)=H2(z)H1(z)其结构如图 6-6 所示。图 5-6 直接型的变形即信号先经过反馈网络 H2(z)，其 输出为中间变量 y2(n)再将 y2(n)通过直馈网
6、络 H1(z)，就得到系 统的最后输出 y(n)改变级联次序后，将中间的两条完全相同的延时链合并。这样延时单元可以节省一倍，即 N 阶滤 波器只需要 N 级延时单元。如 图 5-7 所示，这种结构称为正准型结构或直接 II 型结构，而把直接型称 为直接 I 型。图 5-7 直接 II 型结构(3)级联 型一个 N 阶的传递函数也可以用它的零、极点来表示，也即它的分子、分母都表达为因子形式由于 H(z)的系数 ai,bi 都是实系数，因此零极点 ci,di 只有两种情况：或者是实根，或者是共轭复根。即式中 gi,pi 表示 实根；h i,qi 表示复根，并且 N1+2N2=N,M1+2M2=M。
7、再将每一对共轭因子合并起来构成一个实系数的二阶因子，则如果把单实根因子也看作是二阶因子的一个特例：即二次项系数(或)等于零的二阶因子，则整个函数 H(z)可以完全分解成实系数二阶因子的形式 2i,2i这样滤波器就可以用若干二阶网络级联起来构成，这些二阶网络也成为滤波器的二阶基本节。它的传递函数的一般形式为这样一个二阶基本节可以采用直接 II 型结构来实现，整个滤波器则是他们的级联。整个结构如图 6-8 所示。图 5-8 结构图(4)并联 型将传递函数展开成部分分式就可以用并联的方式构成滤波器。对于其中的共轭复根部分，再将它们成对地合并为二阶实系数的部分分式，则其中，N=L+2M。这样就可以用
8、L 个一阶网络、 M 个二阶网络、以及一个常数 A0 网络并联起来组成滤波器 H(z)，其结构如图 5-9 所示。图 5-9 滤波器结构图当然也可以全部采用二阶节的结构，这时可将实根部分两两合并以形成二阶分式。IIR 滤波器的几种结构形式的性能 直接 I 型：需要 2N 级延时单元。 直接 II 型：只需要 N 级延时单元， 节省资源。直接(I,II)型在实现原理上是类似的，都是直接一次构成。共同的缺点是，系数 ai、bi对滤 波器性能的控制关系不直接， 调整不方便。更严重的是当阶数 N 较高时，直接型结构的极点位置灵敏度太大， 对字长效 应太明显，因而容易出 现不稳定现象并产生较大误差。因此
9、一般来说，采用另两种结构将具有更大的优越性。 级联型：每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点，便于准确实现滤波器的零、极点，也便于性能调整。级联结构可以由许多不同的搭配方式，在实际工作中，由于运算字长效应的影响，不同排列所得到的误差和性能也不一样。 并联型：可以单独调整极点位置，但不能直接控制零点。在运算误差方面，并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联型总的说，误差要稍小一些。因此当要求有准确的传输零点时，采用级联型最合适，其他情况下这两种结构性能差不多，或许采用并联型稍好一点。例 5. 1 IIR 数字滤波器的系统函数 H(z)为12384().250.7.5zzHz画出该滤波器
10、的直接型结构。解:由 H(z)写出差分方程如下：y(n)=1.25y(n-1)-.75y(n-2)+.125y(n-3)+8x(n)-4x(n-1)+11x(n-2)-2x(n-3)其直接 II 型如图 510 所示。图 5-10 例 5.1 图5.3 FIR 滤波器的结构有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的特点是它的 h(n)是一个有限长序列，例如长度为 N。因此它的传递 函数一般具有如下形式FIR 滤波器具有以下几种基本结构形式。一横截型FIR 的差分方程表达为很明显，这就是一条输入 x(n)延时链的横向结构，如图 5-11 所示，稍加改变也可形成图 5-12 的结构。图 5-11 FIR
11、 滤波器横截型结 构之一图 5-12 FIR 滤波器横截型结 构之二N1nn0H(Z)h()N1i0y(n)h()xni横截型的差分方程式为也就是信号的卷积形式，因此横截型结构也可称为卷积型结构，有时也称为 FIR直接型。二级联型当需要控制滤波器的传输零点时，可将传递函数分解为二阶实系数因子的形式：这样就可以用二阶节级联起来构成，如图 5-13 所示。图 5-13 二阶节级联这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时可以采用。但它所需要的系数 比直接型的 h(n)多，运算 时所需的乘法运算也比直接型多。三线性相位 FIR 数字滤波器在许多实际应用中，希望数字滤波器具有线性相位，FI
12、R 数字滤波器最吸引人的特点之一就是能将其设计成具有线性相位。具有 线 性相位的因果 FIR 数字滤波器的冲激响应具有偶或奇对称特性，即 h(n)=h(N-1-n)或 h(n)=h(N-1-n)图 5-14 表示的是偶对称线性相位 FIR 系统的典型冲激响应 h(n)。现在来分析具有这样的冲激响应的 FIR 系统的幅度和相位特点。N1i0ynhxniMN1n120iiin0i1H(Z)h()(z)()hn1N12NN 为 奇 数n00N 为 偶 数12n()hn图 5-14 偶对称序列 h(n)将偶对称 FIR 系统的系统函数重写为 下面分四种情况进行讨论： 1偶对称，N 为偶数时，利用式 h
13、(n)=h(N-1-n)得令 z=ejw，得系统的频率响应为 1201()()cos2NjjnNHehn令 a(n)=2h(N/2-n)，n=1,2,N/2,则可将上式写成211 1002()()()()NNNnnnnHzhzhzhz 2121(1)00()(NNnNnnzz2121(1)00()()NNnNnnHzhzhz21(1)0nnn21(1)0()()NiwiwnjNnnHehe21(1)0()csjn2(1) 1()()cos2Njwjneawn于是系统的幅度响应和相位响应分别为从上式可以看出，系统的幅度响应 H(w)是一个标量函数，当 w= 时,H()0，这说明 H(w)在 w=
14、 处不依 赖 a(n)或 h(n)。因此，频率响应在 w= 处不为零的滤波器（如高通滤波器）不能用这种类型的滤波器来逼近。此外，由于 cosw(n-1/2)对w= 呈奇对称，所以 H(w)对 也呈奇对称。从相位响应可以看出，滤波器的相位特性是严格线性的，且系统具有（N-1）2 个取样周期，即 h(n)长度的一半的延迟。图 515 画出 N 为偶数 时， 线性相位 FIR 滤波器的 结构流程图。图 5-15 具有线性相位 N 偶数 N 的 FIR 系统直接结构从图中可以看出，线性相位 N 阶 FIR 滤波器只需要 N/2 次（N 为偶数）乘法。2偶对称， N 为奇数时，利用式 h(n)=h(N-
15、1-n)得 12/)(0 2/)1()1(n NnNnzhzhzH令 z=ejw，得系统的频率响应为 12/)(02/)1( )21(cos()( NnNjwj nNwhheH211()()cos2NnHwan()()xn1z 1z 1z1z1z 1z 1zyn(0)h()h(2)h(2)hN(21)hN令 m=(N-1)/2-n,则上式变为 2/)1(2/)1( )cos()( NmNjwj wmhheH再令 b(0)=h(N-1)/2),b(n)=2h(N-1)/2-n，n=1,2,(N-1)/2,则可将上式写成2/)1(0/)( )cos()(Nnjwj be于是系统的幅度响应和相位响应
16、分别为 2/)1(0)cos(NnbH/)(w可以看出，H(w)对 w=0,2 各点是偶对称的；相位响应是严格线性的， 图 516画出 N 为奇数时，线性相位 FIR 滤波器的结构流程图。图 5-16 具有线性相位的奇数 N 的 FIR 系统直接结构从图中可以看出，线性相位 N 阶 FIR 滤波器只需要（N+1）/2 次（N 为奇数）乘法。3奇对称，N 为偶数时，利用式 h(n)=h(N-1-n) 得12/0)1()()(NnnNnzhzH令 z=ejw，得系统的频率响应为xn1z 1z 1z1z 1z 1zyn(0)h()h(2)h 12Nh32Nh 12/0)2(12/0)( )21(si
17、n)1(sin)( NnwjNnjwj whewheH令 a(n)=2h(N/2-n)，n=1,2,N/2,则可将上式写成 2/1)2( )21(sin)(Nnwjj aeH于是系统的幅度响应和相位响应分别为 2/1)2(sin)(Nnwa4奇对称， N 为奇数时，由于这时以中心（N-1）/2 为对称，所以必有 h(N-1)20，利用式 h(n)=h(N-1-n)得 12/)(0)1(12/)(0 2/)1()1( ( NnnNnnnNn zzhzhzH令 z=ejw，得系统的频率响应为 12/)(0/)1( )21(sin)(Nnjwj whje令 m=(N-1)/2-n,则上式变为 2/)
18、1(2( )sin()(Nmwjj mheH再令 b(n)=2h(N-1)/2-n，n=1,2,(N-1)/2,则可将上式写成 2/)1(2( )sin()(Nnwjj be于是系统的幅度响应和相位响应分别为 2/)1()sin(NnwbH)(由于线性相位 FIR 滤波器的冲激响应 h(n)必须满足 对称 h(n)=h(N-1-n)或h(n)= h(N-1-n)，因此它的零点位置受到严格的限制。根据 对称条件，有1010 )()()(NnnNn zhzzH或者 1010 )()()(NnnNn zzhz令 m=N-1-n ，得到 )()()()1()()( 1)(10)(10)1(010 zH
19、zmhzzmzznhzH NNNNNnnN或者 )()()()()()( 1)(10)(10)1(1010 zzzzhzzz NNmNmNnnNn可以可能出，H(z)和 H(1/z)除相差（N-1）个样本间隔外，没有什么不同。因此，如果 zk 是 H(z)的零点。那么 1z k 也是 H(z)的零点。这就是说，线性相位 FIR 滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对。具体说，有 图 517 所示的几种情况：图 517 线性相位 FIR 系统零点分布特点1.若 H(z)的零点 zk 是即不在实轴上,又不在单位圆上,则 zk 必是 4 个互为倒数的两组共轭对,如 z1、1/z1、z1*、1z1 *所示
20、。2. 若 H(z)的零点 zk 是在单位圆上,则零点以共轭对出现,如 z2 和 z2*所示。3. 若 H(z)的零点 zk 在实轴上,则 zk 必是互为倒数出现,如 z3、1/z3 所示。4. 若 H(z)的零点 zk 既在单位圆上，又在实轴上,则零点为 1 和1。冲激响应为偶对称的线性相位 FIR 滤波器，它的系统函数多项式的系数是镜像对称的。例如，四阶系统的系统函数的形式是而五阶系统的系统函数的形式是四、频率采样型我们在前面讨论了有限长序列可以进行频域采样。现在既然 h(n)是长度为N 的序列，因此也可以对传递 函数 H(z)在单位元上作 N 等分采样，这个采样值也就是 H(k)的离散傅
21、里叶变换值 H(k)用频率采样表达 z 函数的内插公式：这个公式为我们实现 FIR 滤波器提供了另外一种结 构， 这种结构是由两部分级联而成。第一部分 Hc(z)是一个由 N 节延时单元所构成的梳状 滤波器：NczH1)(差分方程为 y1(n)=x(n)-x(n-N)结构如图 518 所示。1234abzcza12345abzczbazkNzWHkDFThn1k1k0NH()(z)zN1 N1ckk1k0 01()(z)z)H(z)(z)Wz 图 5-18 梳状滤波器它在单位圆上有 N 个等分的零点：它的频响是梳齿状的，如图 5-19 所示。 图 5-19 梳齿状频响第二部分是一组并联的一阶网
22、络：其中每一个一阶网络都是一个谐振器，他们在单位圆上各有一个极点 zpk，这些极点为： 1,0,2NkeWzNjkp因此网络对频率为 w=2k/N 的响应将是，所以，网络是一个谐振频率为2k/N 的无耗谐振器。 这些并 联谐振器的极点正好各自抵消一个梳状 滤波器的零点，从而使在这个频率点上的响 应等于 H(k)。N1z02jiiNizeW,1jjcH1jcHe2sinN1k0Hz由这样两部分级联起来后，就得到图 5-20 所示的总结构。这个结构的特点是它的系数 H(k)直接就是滤波器在 w=2k/N 处的响 应。因此控制滤波器的响应是很直接的。图 5-20 频率采样型但是这个结构有两个主要的缺
23、点： 一是所有的相乘系数 H(k)和 WN-k 都是复数，乘起来较麻烦。 二是所有谐振器的极点都在单位圆上，考虑到系数量化的影响，有些极点实际上是不能与梳状滤波器的零点相抵销的，这样，系统是不稳定的。为了克服这个缺点，首先我们做一点修正，将所有的谐振器的极点从单位圆向内收缩一点，使它处在一个靠近 单位圆但半径比单位 圆小 r 的圆上，同时，梳状滤波器的零点也移到 r 圆上，也即将频率采样由 单位圆移到修正半径圆上，如图 5-21。 jImzRez110r图 5-21 将频率采样由单位圆移到修正半径圆上这时其中 Hr(k)是修正点上的采样值，但由于修正半径 r1，因此 Hr(k)H(k)。即因此
24、另外，为了使系数为实数，可以将谐振器的共轭根合并，这些共轭根在圆周上是对称的。即同时，如果 h(n)是实数的 话，它的 DFT 也是周期共轭对称的。因此，可以将第 k 及第 N-k 个谐振器合并为一个二阶网络：其中这个二端网络是一个有限 Q 值的谐振器。谐振频率 为 wk=2k/N，结构如图 5-22所示。N1rk1k0NrzHzWzkNrzrkkN1rk1k0()H(z)1rz)WzNkWHk,1,2N *k1(Nk)1k1k1N NN0k12() H()()(z)rWzrzrWzrz022cos0kk1NReH()2W图 5-22 结构图除了共轭复根外，尚有实根。当 N 为偶数时，有一对实
25、根，它们分别为 z=r，因此尚有两个对应的一阶网络：其结构如图 5-23 所示。当 N 为奇数时，只有一个实根 H0(z)，因此相对应只有一个一阶网络。图 5-23 结构图这样就可以得到改进后的总结构。 N 为偶数时但是，N 为奇数 时01H()(z)r/21(N/2)z)rz1/21N 0k1112kN/2N0/2k1 zH()(/)H(z)1rz)rzrzzrcosrN(rz)()()H() 1N/21N 0k12kN/21N0kz()H(z)1rz)rzzrcosrN(rz)H()() 当 N 为偶数时，其总结构如 图 5-24，在 谐振器中，两端两个是一阶的，其余中间的都是二阶的。图
26、5-24 频率采样总结构但是当 N 为奇数时，最后一个一 阶网络 HN/2(z)就不必要了。这种结构我们可以看到，既有递归部分谐振器，也有非递归部分梳状滤波器。一般看，频率采样的结构比较复杂，所需的存 储器及乘法器也比较多。但是在以下几种情况下，使用频 率采样结构却可以带来一定的好 处。第一，各二阶系统输出端的乘法器都与 H(k)成比例。如果多数采样值 H(k)为零，例如在窄带低通滤波器的情况下，这时谐振器中只剩下少数几个所需要的谐振器，因而可以比直接法少用乘法器，但存储器还 是要比直接法用得多一些。第二，在有些情况下，信号处理需要同时使用很多并列的滤波器。例如在信号频谱分析中，要求同时将信号
27、的各种 频率分量分别滤 出来，这是这些并列的滤波器可以采用频率采样结构。并且可以大家公用一个梳状 滤波器及谐振器柜，只要将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需滤波器，这样的结构就有很大的经济性。频率采样的结构还有一个本身的特点，就是它的每个部分都具有很高的规范性。只要改变二阶谐振节 中的系数 0k，1k 及一阶节 中的系数就可以构成不同的滤波器，而不用改变整个 结构以及其他各系数，因此做 时分复用时有一定好处。小结：1.数字滤波器结构的表示方法（信号流图法）2.IIR 数字滤波器的基本结构直接型，转置型，级联型，并联型3.FIR 数字滤波器的基本结构直接型（横截型、卷积型），级联型，频率采样结构，线性相位 FIR 滤波器结构
