1、110-11(2) 线性代数总期末考试复习大纲及复习题 期末考试题型：判断(约占 30%)与选择(约占 70%)期末考试形式：开卷期末复习各章重点第一章 知道行列式的定义并会用定义计算简单的行列式，比如对角行列式，三角行列式；熟练掌握行列式的性质并会用行列式的性质计算行列式，熟练掌握行列式的依行依列展开定理并会用行列式的依行依列展开定理计算行列式。第二章 掌握向量线性相关与线性无关的定义并会用定义判断向量组相关与无关；会求向量组的极大无关组以及用极大无关组表示其余的向量；熟悉线性方程组解的一般理论，掌握线性方程组解的性质；掌握矩阵的初等变换并会用初等变换求解线性方程组；会用初等变换求矩阵的秩.
2、第三章 熟悉矩阵的运算性质，特别是矩阵乘法的特殊性（不满足交换律，不满足消去律） ，知道分块矩阵；掌握逆矩阵的定义、伴随矩阵的概念以及关系式，会用伴随矩阵和初等变换求矩阵的逆矩阵；了解初等矩阵EA及其性质,会解简单的矩阵方程。第四章 知道向量空间的定义，掌握基变换公式和向量坐标变换公式。第五章 掌握矩阵的特征值与特征向量的概念及特征值与特征向量的性质，以及矩阵能够对角化的条件（必要条件、充分条件） ，会判断一个矩阵能否对角化；熟练掌握相似矩阵的概念及其性质。第六章 掌握二次型的概念，掌握二次型与矩阵的对应关系，掌握合同矩阵的概念，会判断简单矩阵的合同，掌握二次型正定负定的条件并会判定二次型是否
3、正定。复习题注：判断题答案中的代表结论是对的，B 代表结论是错的。第一章 行列式一、 判断题1三阶行列式 ，则12326aabbcc= 3 （ A ）12c22三阶行列式 ，则12326aabbcc= 12 （B）123c3. 行列式 （-16） （ A 02）4. 行列式 （0） （ B ）025. 行列式 （8） （ B ）026. 行列式 （-4） （ A ）027三阶行列式 （A）1032495068三阶行列式 （B）123209三阶行列式 （B）4950316310四阶行列式 （A）243161435011四阶行列式 （ A 4211463）12四阶行列式 （ A 21046）13四
4、阶行列式 （ A 120145923）详解：解 1 直接按照第三列展开 23 32011245()()453269321 解 2 化简后按照第三列展开 230101124545232()56931 63第 行 乘 以 加 到 第 行计算方法小结选择零元素较多的行（列）直接按照公式展开，如本例解法 1，将四阶行列式降阶为两个三阶行列式；也可以用行列式的性质，将某行（列）化为只有一个零元素，再将行列式按照公式展开，如本例解 2，将四阶行列式降阶为一个三阶行列式，解法 2 比解法 1 简单。414三阶行列式 （B）2431612435015三阶行列式 （B）243161435016. 行列式 （-8
5、） （ A 02）17已知三阶行列式 D= ，则元素 =2 的代数余子式 = -1 ； （ B ）12312a12A18已知三阶行列式 D= ，则元素 =2 的代数余子式 = 1 ； （ A ）31212219. 三阶行列式 中，元素 . （ A ）315Da3131aA的 代 数 余 子 式20.行列式 （ A ） 026.43521.行列式 （ B ） 0216.43522.行列式 （ B ） 028.435523.行列式 （ B ） 0238.4524 行列式 （-1 ） （ 01A ）25 行列式 （ 1 ） ( 01B )26. 四阶行列式 . （ A 012(4)）27. 四阶行列
6、式 . （ B 012(4)）28. 四阶行列式 . （ A 012(4)）29若三阶行列式 ，则 = 3 （ B 132132aabbcc12abc）630若三阶行列式 ，则 = 6 （ A 132132aabbcc123abc）二、 单项选择题31. 行列式 （ ） 。412035D（A） -12 （B） -24 （C） 32 （D） 72答 应选（C）32. 行列式 （ ） 。412035D（A） -12 （B） -24 （C） 32 （D） -32答 应选（D）33. 行列式 （ ） 。412035（A） 0 （B） -24 （C） 32 （D） 72答 应选（A）34. 行列式 （
7、） 。41203D（A） -10 （B） 10 （C） 12 （D） 22答 应选（B）35. 行列式 （ ） 。45021D（A） -12 （B） -7 （C） 32 （D） 72答 应选（B）36若三阶行列式 D 的第三行的元素依次为 1、2、3，它们的余子式分别为 2、3、4，7则 D=（ ）A、-8 B、8 C、-20 D、20答 应选（B）37. 若 则 （ ）.0,a12133a 121323-a()5()6()40(D)10ABCaa答 应选（B）38. 设 A 为 n 阶方阵，且A =4，则 A= 。1（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。144n14n214n答 应选
8、（A）39行列式 _.cab33cbac40. 行列式 的值为 （ ）405132D（A） -12 （B） -24 （C） 36 （D） 72答 应选（C）41. 已知行列式 （ ）40321,xDx则（A） -24 （B） （C） （D） 2424124答 应选（C）42.若行列式 。 32312132311, aaaD那 么 行 列 式（A）12 （B）-12 （C）6 （D）-6 答 应选（D）843设 341035112342ij jjDaAa ， 为 的 代 数 余 子 式 （ j， ， ， ） ，431_.jjAC则（A） -43 ； （B）. -63； （ C.） 43； （ D
9、.） 63.答 应选（C）44设行列式 ，则第四行各元素的余子式之和 A 。23507024D41jjM（A） -28 ； （B）. -33； （ C.） 23； （ D.） 26.答 应选（A）45若方程组 有非零解，则 t=1 或-2 。 （ A ）1231230txt46若方程组 有非零解，则 t=-1 或 2 。 （ B ）1230txt47已知齐次线性方程组 仅有零解，则 0 （ A ）023xyz48已知齐次线性方程组 仅有零解，则 0 （ B ）02xyz49行列式 的充分必要条件是（ ） 。10k()0()1()01(D)01AkBkCkk且 或答 应选（C）9因为 210(1
10、)kk50. 下列行列式恒等于零的是（ ） 121321 2344412134 1342 23 3143 4000() ()00() (D)0aaADBaaaCa答 应选（C）51. 齐次线性方程组 有非零解，则 必须满足（ ） 。1230xkk()14()()4(D)14AkBCkk 且 或答 应选（D）52. 行列式 的值是（ ） 。002100nn 1()!()!()!(D)!nnABC分析：该行列式的展开式也只有一项非零，即 ，该项当行标按照自然顺序2排列时，列标的排列逆序是 所以选择（D ） 。(21),n答 应选（D）53. 行列式 的值是（ ） 。0010nn 10(1)2(1)
11、 (1)2(2)32!()!(D)1!n nn nABC分析：该行列式的展开式中非零项是： ，该项当行标按照自然顺序排列时，列标的排列逆序是 所以选择（C） 。1(2)(1,2,),nn答 应选（C）第二章 线性方程组与 n 维向量一、 判断题1. 如果 A 是 n 阶矩阵且 ，则 A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线0性组合。 （ A ） 2. 如果 A 是 n 阶矩阵且 ，则 A 的行向量组线性无关。 （ B 0）3. 向量组 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。 （ s,21A ） 4. 向量组 线性相关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性相关。 （ s,
12、21B ）5已知向量组 则当 a= 1 或 a= 2 时向量组123(,)(,1)(,1).aa线性相关。 321,（ A ）6已知向量组 则当 a= 3 时向量组 线性无关。123(,)(,1)(,1).aa321,（ A ）7已知向量组 则当 a=4 时向量组 线性相关。123(,)(,1)(,1).aa321,（ B ）118若 为非齐次线性方程组 的两个解，则 为线性方程组12,AXb(0)12的解； （ A ）AXb9若 为非齐次线性方程组 的两个解，则 为线性方程组12, ()12的解； （ B ）10若 为非齐次线性方程组 的两个解，则 为线性方程组12,AXo12的解； （ A
13、 ）AXo11 设 则对任意的 t 值，向量组123(,)(1,)(,t)(4,53)线性相关。 123,（ A ）12 设 则对任意的 t 值，向量组123(,)(1,)(,t)(4,53)线性无关。 123,（ B）13 设 ，则当 t=5 时，向量组 线性相关。 （ 123(,)(1,)(,t)123,A ）14 设 ，则当 t=5 时，向量组 线性无关。 （ 123(,)(,)(,t) 123,B ）15 设 ，则当 t=3 时，向量组 线性无关。 （ 123(,)(1,)(,t)123,A ）16 向量组 线性相关。 （ B 123(,)(,)(1,25)）17 向量组 线性无关。
14、（ 123(,3)(1,)(,)A ）18 向量组 线性相关。 （ 123(,4),(,2),(,82)A ）1219 向量组 线性无关。 （ B 123(,34),(,12),(,82)）20设向量 当 时有 （ A 123(,)(,)(,5)k1230.k）21如果 ，则 中任意 r 个向量都线性无关。 12,srr 12,s( B )22如果 ，则矩阵 A 的所有 阶子式都等于零， （ B） ()rAr23如果 ，则矩阵 A 的所有 阶子式都等于零， （ A 1） 24如果 ，则矩阵 A 至少有一个不为零的 阶子式。 （ A ()rAr） 25 已知向量组 可以由向量组 线性表示： 则这
15、123,123,12323两个向量组等价。 ( A ) 26 齐次线性方程组 的解空间的维数是 1。 （ A )0321x27如果向量组 可以由向量组 线性表示，则1,s 12,t( A )2,sr 12,.tr28设有 m 维向量组(I)： 1， 2,， n，当 mB答 应选（C）31. 若矩阵 为可逆矩阵，则矩阵方程 的解为（ ） 。,BAXCD11111 1()()()(D)AXDXBBAXABCD答 应选（B）32. 设矩阵 为二阶单位阵,则下列各矩阵中可逆矩阵是（ ）12E()2()()(D)3AEACEA答 应选（B）第四章 向量空间一、 判断题1. 向量 在基 ， ， 下的坐标为
16、 . (2,3)T1(,)T2(0,1)T3(0,1)T(2,1)T（ A ）212. 向量 在基 ， ， 下的坐标为 . (2,3)T1(,)T2(0,1)T3(0,1)T(2,1)T（ B ） 3已知三维空间 的两组基为：3R， ， 1(,0)T2(0,1)T3(1,0)T， ， 2则由基 ， ， 到基 ， ， 的过渡矩阵为（ ）. （ A ）1231231204已知三维空间 的两组基为：R， ， 1(,0)T2(0,)T3(1,0)T， ， 312则由基 ， ， 到基 ， ， 的过渡矩阵为（ ）. （ B ）1231231205设 312312 11,R和 是 的 两 组 基 ， 其 中
17、 ， ，则 关于基 的坐标为（1，-33213232,和2，3）和（-1，5，-3） 。 （ A ）6设 312312 1212,R和 是 的 两 组 基 ， 其 中 ， ，则 关于基 的坐标为（1，-332133,和2，3）和（1，-5，3） 。 （ B ）7向量组 ， ， 单位正交化后为1(,2)T2(1,0)T3(5,7)T（ ， ， ） 。 （ A ）1,32,3321,38向量组 ， ， 单位正交化后为（ 1(,)T2(,1)T3(,068)T22， ， ）. （ A ）1,2T21,2T31,2T9向量 的长度为（ ） 。 （ A ）(,)T710向量 的长度为（ ） 。 （ A
18、）310111向量 的长度为（ ） 。 （ B ）(,2)T12向量 的长度为（ ） 。 （ B ）713向量 与 的内积为（2）. （ A ）(1,)T(3,10)T二、 单项选择题1设 的一组标准正交基为 ， ， ，则3R12,3T21,3T312,T向量 在基 ， ， 下的坐标是（ ）.(,02)T12A、 （1，0，2） B、 （2，0，1） C、 （0，1，2） D、 （0，2，1）答 应选（D） 。第五章 矩阵的特征值和特征值向量一、 判断题1. n 阶矩阵 A 与 B 可逆，则 A 与 B 相似。 （ B ） 2阵 A 与其转置 具有相同的行列式和特征值。 （ A T）3阵 A
19、与其转置 具有相同特征值和特征值向量。 （ B ）4如果 n 阶矩阵 A 的行列式A=0，则 A 至少有一个特征值为零 。 （ A ） 5如果 n 阶矩阵 A 的行列式A=0，则 A 的特征值都为零 。 （ B ） 236 矩阵 的特征值为 。 （ A 210A123,）7 矩阵 的特征值为 。 （ B 210123,1） 8 设 A 为 n 阶矩阵，且 则 A 的特征值为 （ 2E且12,.A ）9 若是正交矩阵 A 的特征值，则 也是矩阵 A 的特征值。 ( A )110正交矩阵如果有实特征值，则该特征值为 1 或-1。( A)11. n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 同时可逆
20、或同时不可逆。 （ A ）二、 单项选择题12与矩阵 相似的矩阵为（ ）03（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。0013013013答 应选（C）13 矩阵 的特征值是（ ）315A、 ， ； B、 ， ；124124C、 ， ； D、 ， 。答 应选（C） 。14 阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是（ ） 。nAA、 有 个不全相同的特征值； B、 有 个线性无关的特征向量；AnC、 有 个不相同的特征向量； D、 有 个不全相同的特征值。T24答 应选（B）15设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于 123A。 （A） ； （B） ； （C） ； （D
21、）344321416设-3 是三阶实对称矩阵 A 的二重特征值，且 A 的迹 tr（A）=-1，那么 的特征1A值为1/5，-1/3，-1/3 。17已知三阶可逆方阵 A 的特征值是 1，2，-3，则 E+ 的特征值是( B )。 （其1中 E 为三阶单位矩阵）（A）1， ， ; （B）2， ， ; （C）2， ， ； （D） ， ， .233352354答 应选（B）第六章 二次型一、 判断题1 矩阵 是正定的。 （ A ） 215A2 矩阵 是正定的。 （ B ）12二、 单项选择题3. 二次型 的矩阵为 221231313(,)64fxxx（A） ； （B） ； （C） ； （D）521541252125。3201答 应选（D）4 .已知三元二次型的矩阵为 ，则二次型 =（ ）102()TfXA12132312132312321232()()()(D)AxxBxxCxxx答 应选（D）5. 设二次型 ，则当 （ ）时22123131232(,)44fxxxx该二次型正定。 () ()(D)1ABC答 应选（A）
