1、Mathematica 入门教程Mathematica 的基本语法特征 如果你是第一次使用 Mathematica，那么以下几点请你一定牢牢记住： Mathematica 中大写小写是有区别的，如 Name、name、NAME 等是不同的变量名或函数名。 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如 Sinx,Conjugatez等。 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如 2 32*36 ,x y,2 Sinx等；乘幂可以用“”表示，如 x0.5,Tanxy。 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。 当你赋予变量任何一
2、个值，除非你明显地改变该值或使用 Clear变量名或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。 一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如(x+(yx+1/(2x);方括号表示函数，如 Logx,BesselJx,1；大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如2x,Sin12 Pi,1+A,y*x；双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如 a2,3、1,2,31=1。 Mathematica 的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果。
3、 一.数的表示及计算 1.在 Mathematica 中你不必考虑数的精确度，因为除非你指定输出精度，Mathematica 总会以绝对精确的形式输出结果。例如：你输入In1:=378/123，系统会输出 Out1:=126/41，如果想得到近似解，则应输入In2:=N378/123,5,即求其 5 位有效数字的数值解，系统会输出 Out2:=3.0732，另外 Mathematica 还可以根据你前面使用的数字的精度自动地设定精度。Mathematica 与众不同之处还在于它可以处理任意大、任意小及任意位精度的数值，如 1007000,2(-2000)等数值可以很快地求出，但在其他语言或系统
4、中这是不可想象的，你不妨试一试 NPi,1000。 Mathematica 还定义了一些系统常数，如上面提到的 Pi(圆周率的精确值)，还有 E(自然对数的底数)、I(复数单位)，Degree(角度一度，Pi/180)，Infinity(无穷大)等，不要小看这些简单的符号，它们包含的信息远远大于我们所熟知的它们的近似值，它们的精度也是无限的。 二.“表”及其用法 “表”是 Mathematica 中一个相当有用的数据类型，它即可以作为数组，又可以作为矩阵；除此以外，你可以把任意一组表达式用一个或一组括起来，进行运算、存储。可以说表是任意对象的一个集合。它可以动态地分配内存，可以方便地进行插入、
5、删除、排序、翻转等等几乎所有可以想象到的操作。 如果你建立了一个表，你可以通过下表操作符(双方括号)来访问它的每一个元素，如我们定义 table=2,Pi,Sinx,aaa,A*I为一个表，那么table1就为 2，table2就是 Pi，而 table3,1表示嵌套在 table 中的子表aaa,A*I的第一个元素即 aaa，table3,2表示aaa,A*I第二个元素即 A*I。总之，表每一层次上并列的部分用逗号分割，表可以无穷嵌套。 你可以通过 Append表,表达式或 Prepend表,表达式把表达式添加到表的最前面或最后面，如 Append1,2,3,a表示1,2,3,a。你还可以通
6、过Union表 1，表 2，,Jion表 1,表 2,来把几个表合并为一个表，二者不同在于 Union 在合并时删除了各表中重复的元素，而后者仅是简单的合并；你还可以使用 Flatten表把表中所有子表“抹平“合并成一个表，而Patition表，整数 n把表按每 n 个元素分段作为子表，集合成的表。如Flatten1,2,Sinx,dog,y表示1,2,Sinx,y,而Partition1,2,Sinx,y,2把表每两个分段，结果为1,2,Sinx,y；还可以通过 Delete表，位置、Insert表，位置来向表中按位置插入或删除元素，如要删除上面提到的 table 中的 aaa,你可以用 D
7、eletetable,3,1来实现；Sort表给出了表中各元素的大小顺序，Reverse表、RotateLeft表，整数 n、RotateRight表，整数 n可以分别将一个表进行翻转、左转 n 个元素、右转 n 个元素等操作，Length表给出了表第一个层次上的元素个数，Position表，表达式给出了表中出现该表达式的位置，Count表，表达式则给出表达式出现的次数。各种表的操作函数还有很多，这里就不再一一介绍了。三.图形函数 Mathematica 的图形函数十分丰富，用寥寥几句就可以画出复杂的图形，而且可以通过变量和文件存储和显示图形，具有极大的灵活性。 图形函数中最有代表性的函数为
8、Plot表达式，变量，下限，上限，可选项，(其中表达式还可以是一个“表达式表“，这样可以在一个图里画多个函数)；变量为自变量；上限和下限确定了作图的范围；可选项可要可不要，不写系统会按默认值作图，它表示对作图的具体要求。例如 PlotSinx,x,0,2*Pi,AspectRatio-1表示在 0x0 x-x0 时函数的极限Limitexpr,x-x0,Direction-1 x- 时函数的极限Limitexpr,x-x0, Direction-1 x- 时函数的极限In1:= Out1:=1. 微商和微分在 Mathematica 中能方便地计算任何函数表达式的任意阶微商(导数).如果 f
9、是一元函数,Df,x表示 ;如果 f 是多元函数,Df,x表示 .微商函数的常用形式如下:Df,x In1:=Dxx,x Out1:= 下面列出全微分函数 Dt 的常用形式及其意义:Dtf 全微分 Dtf,x 全导数 Dtf,x1,x2, 多重全导数In1:=Dtx2+y2Out1:= . 不定积分和定积分1. 不定积分 Integreate 函数主要计算只含有 1“简单函数”的被积函数. “简单函数”包括有理函数、指数函数、对数函数和三角函数与反三角函数。不定积分一般形式如下：Integratef，x 计算不定积分Integratef，x，y 计算不定积分Integratef，x，y，z 计
10、算不定积分In1：= Out1：= In2：= Out2：= 2定积分计算定积分的命令和计算不定积分是同一个 Integrate 函数，在计算定积分时，除了要给出变量外还要给出积分的上下限。当定积分算不出准确结果时，用 N%命令总能得到其数值解.Nintegrate 也是计算定积分的函数,其使用方法和形式和 Integrate 函数相同.用 Integrate 函数计算定积分得到的是准确解,Nintegrate 函数计算定积分得到的是近似数值解.计算多重积分时,第一个自变量相应于最外层积分放在最后计算.Integratef,x,a,b 计算定积分NIntegratef,x,a,b 计算定积分I
11、ntegratef,x,a,b,y,c,d 计算定积分NIntegratef,x,a,b,y,c,d 计算定积分In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:= . 幂级数幂级数展开函数 Series 的一般形式:Seriesexpr,x,x0,n 将 expr 在 x=x0 点展开到 n 阶的级数Seriesexpr,x,x0,n,y,y0,m 先对 y 展开到 m 阶再对 x 展开 n 阶幂级数用 Series 展开后,展开项中含有截断误差 In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:= . 常微分方程求解常微分方程和常微分方程组的
12、函数的一般形式如下: Dsolveeqns,yx,x 解 y(x)的微分方程或方程组 eqns,x 为变量Dsolveeqns,y,x 在纯函数的形式下求解NDsolveeqns,yx,x,xmin,xmax 在区间xmin,xmax上求解变量 x 的数的形式下求解常微分方程和常微分方程组 eqns 的数值解In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:= .线性代数1. 定义向量和矩阵函数 定义一个矩阵,可用函数 Table 或 Array.当矩阵元素能用一个函数表达式时,用函数 Table 在定义矩阵大小的同时也给每个矩阵元素定义确定的值.用函数 Range 只
13、能定义元素为数值的向量.Array 只能用于定义向量、矩阵和张量,并规定矩阵和张量的元素下标从 1 开始.Array 的一般形式: Array向量元素名,n,f 定义下标从 f 开始的有 n 个元素的向量,当 f是 1 时可省略. Array矩阵元素名,m,n 定义 m 行 n 列的矩阵.其中:矩阵元素名是一个标识符,表示矩阵元素的名称,当循环范围是u,v,w时定义一个张量. Table表达式 f,循环范围 表达式 f 表示向量或矩阵元素的通项公式;循环范围定义矩阵的大小. 循环范围的一般形式:循环变量名,循环初值,循环终值,循环步长. 在 Array 或 Table 的循环范围表示方法略有区
14、别.请在下面的实例中注意观察. In1:= Out1:= (*矩阵每一行元素用一对括起来*)In2:= Out2:= In3:= (*IndentityMatrixn生成 n 维矩阵*)Out3:= In4:= (*生成对角元素为表元素的对角矩阵*)Out4:= In5:= (*TableFormm或 MatrixFormm按矩阵形式输出m*)Out5:= 一个矩阵可用一个变量表示,如 In2所示 U 是一个矩阵,则 UI表示U 的第 I 行的 N 个元素;TransposeUj表示 U 的第 J 行的 M 个元素;UI,j或 aI,j表示 U 的第 I 行第 J 列元素;Ui1,i2,ip,
15、j1,j2,jq表示由行为i1,i2,ip和列为j1,j2,jq组成的子矩阵.2. 矩阵的运算符号和函数 表达式 意义A+c A 为矩阵,c 为标量,c 与 A 中的每一个元素相加 A+B A,B 为同阶矩阵或向量,A 与 B 的对应元素相加 cA A 为矩阵,c 为标量,c 与 A 中的每个元素相乘 U.V 向量 U 与 V 的内积 A.B 矩阵 A 与矩阵 B 相乘,要求 A 的列数等于 B 的行数 DetM 计算矩阵 M 的行列式的值 TranseposeMM 的转置矩阵( 或 ) InverseM计算矩阵 M 的逆矩阵( ) EigenvalusA 计算矩阵 A 的全部(准确解)特征值
16、 EigenvalusNA 计算矩阵 A 的全部(数值解)特征值 EigenvectorsA 计算矩阵 A 的全部(准确解)特征向量 EigenvectorsNA 计算矩阵 A 的全部(数值解)特征向量 EigensystemA 计算矩阵 A 的所有(准确解)特征值和特征向量 EigensystemNA 计算矩阵 A 的所有(数值解)特征值和特征向量 3. 方程组求解函数 在 Mathematica 中用 LinerSolveA,B,求解满足 AX=B 的一个解.如果 A 的行列式不为零,那么这个解是方程组的唯一解; 如果 A 的行列式是零,那么这个解是方程组的一个特解,方程组的全部解由基础解
17、系向量的线性组合加上这个特解组成. NullSpaceA计算方程组 AX=0 的基础解系的向量表,用 LinerSolveA,B和 NullSpaceA联手解出方程组 AX=B 的全部解. Mathematica 中还有一个美妙的函数 RowReduceA,它对 A 的行向量作化间成梯形的初等线性变换.用RowReduce 可计算矩阵的秩,判断向量组是线性相关还是线性无关和计算极大线性无关组等工作.解方程组函数 意义 RowReduceA 作行的线性组合化简 A,A 为 m 行 n 列的矩阵LinerSolveA,B 求解满足 AX=B 的一个解,A 为方阵NullSpaceA 求解方程组 A
18、X=0 的基础解系的向量表, A 为方阵例:已知 A= ,计算 A 的秩,计算 AX=0 的基础解系.In1:= In2:= Out2:= (*显然,A 的秩是2*)In3:= Out3:= (*A 的两个线性无关解*)五.程序流程控制 循环语句有 For赋初值，循环条件，增量语句，语句块表示如果满足循环条件，则执行语句块和增量语句，直到不满足条件为止，Whiletest,block表明如果满足条件 test 则反复执行语句块 block,否则跳出循环，Doblock,i,imin,imax,istep与前者功能是相同的。还有 Gotolab, Labellab提供了程序中无条件跳转，Cont
19、inue和 Break提供了继续循环或跳出循环的控制，Catch语句块 1和 Throw语句块 2提供了运算中对异常情况的处理。另外，在程序中书写注释可以用一对“(* *)“括起来，注释可以嵌套。 六.其他 1. 使用帮助，Mathematica 的帮助文件提供了 Mathematica 内核的基本用法的说明，十分详细，可以参照学习。 2. 你可以使用“? 符号名“或“?符号名“来获得关于该符号(函数名或其他)的粗略或详细介绍。符号名中还可以使用通配符，例如?M*，则系统将给出所有以 M 开头的关键词和函数名，再如?For 将会得到关于 For 语句的格式和用法的详细情况。 3. 在 Mathematica 的编辑界面中输入语句和函数，确认光标处于编辑状态(不断闪烁)，然后按 Insert 键来对这一段语句进行求值。如果语句有错，系统将用红色字体给出 出错信息，你可以对已输入的语句进行修改，再运行。如果运行时间太长，你可以通过 Alt+.(Alt+句号)来中止求值。 4. 对函数名不确定的，可先输入前面几个字母(开头一定要大写)，然后按Ctrl+K，系统会自动补全该函数名。 七.应用例子量子一维、二维简谐振子问题量子一维简谐振子图像量子二维简谐振子图像
