1、Mathematica入门教程二Mathematica入门教程(二) 2010年06月03 日.不定积分和定积分 Integreate函数主要计算只含有1“简单函数”的被积函数. “简单函数”包括有理函数、指数函数、对数函数和三角函数与反三角函数。不定积分一般形式如下： Integratef，x计算不定积分 Integratef，x，y计算不定积分 Integratef，x，y，z计算不定积分 In1：= Out1：= In2：= Out2：= 2定积分 计算定积分的命令和计算不定积分是同一个Integrate函数，在计算定积分时，除了要给出变量外还要给出积分的上下限。当定积分算不出准确结果时
2、，用N%命令总能得到其数值解.Nintegrate也是计算定积分的函数,其使用方法和形式和Integrate函数相同.用Integrate函数计算定积分得到的是准确解,Nintegrate函数计算定积分得到的是近似数值解.计算多重积分时,第一个自变量相应于最外层积分放在最后计算. Integratef,x,a,b计算定积分 NIntegratef,x,a,b计算定积分 Integratef,x,a,b,y,c,d计算定积分 NIntegratef,x,a,b,y,c,d计算定积分 In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:= .幂级数 幂级数展开函数Series
3、的一般形式: Seriesexpr,x,x0,n将expr在x=x0点展开到n阶的级数 Seriesexpr,x,x0,n,y,y0,m先对y展开到m阶再对x展开n阶幂级数 In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:= .常微分方程 Dsolveeqns,yx,x解y(x)的微分方程或方程组eqns,x为变量 Dsolveeqns,y,x 在纯函数的形式下求解 NDsolveeqns,yx,x,xmin,xmax 在区间xmin,xmax上求解变量x的数的形式下求解常微分方程和常微分方程组eqns的数值解 In1:= Out1:= In2:= Out2:= In
4、3:= .线性代数 定义向量和矩阵函数 定义一个矩阵,可用函数Table或Array.当矩阵元素能用一个函数表达式时,用函数Table在定义矩阵大小的同时也给每个矩阵元素定义确定的值.用函数Range只能定义元素为数值的向量.Array只能用于定义向量、矩阵和张量,并规定矩阵和张量的元素下标从1开始.Array的一般形式: Array向量元素名,n,f 定义下标从f开始的有n个元素的向量,当f是1时可省略. Array矩阵元素名,m,n 定义m行n列的矩阵.其中:矩阵元素名是一个标识符,表示矩阵元素的名称,当循环范围是u,v,w时定义一个张量. Table表达式f,循环范围 表达式f表示向量或
5、矩阵元素的通项公式;循环范围定义矩阵的大小. 循环范围的一般形式:循环变量名,循环初值,循环终值,循环步长. 在Array或Table的循环范围表示方法略有区别.请在下面的实例中注意观察. In1:= Out1:= (*矩阵每一行元素用一对括起来*) In2:= Out2:= In3:= (*IndentityMatrixn生成n维矩阵*) Out3:= In4:= (*生成对角元素为表元素的对角矩阵*) Out4:= In5:= (*TableFormm或MatrixFormm按矩阵形式输出m*) Out5:= 一个矩阵可用一个变量表示,如In2所示U是一个矩阵,则UI表示U的第I行的N个元
6、素;TransposeUj表示U的第J行的M个元素;UI,j或aI,j表示U的第I行第J列元素;Ui1,i2,ip,j1,j2,jq表示由行为i1,i2,ip和列为j1,j2,jq组成的子矩阵. 矩阵的运算符号和函数 表达式 意义 A+c A为矩阵,c为标量,c与A中的每一个元素相加 A+B A,B为同阶矩阵或向量,A与B的对应元素相加 cA A为矩阵,c为标量,c与A中的每个元素相乘 U.V 向量U与V的内积 A.B 矩阵A与矩阵B相乘,要求A的列数等于B的行数 DetM 计算矩阵M的行列式的值 TranseposeM M的转置矩阵( 或 ) InverseM 计算矩阵M的逆矩阵( ) Ei
7、genvalusA 计算矩阵A的全部(准确解) 特征值 EigenvalusNA 计算矩阵A的全部(数值解) 特征值 EigenvectorsA 计算矩阵A的全部(准确解) 特征 向量 EigenvectorsNA 计算矩阵A的全部(数值解) 特征 向量 EigensystemA 计算矩阵A的所有(准确解) 特征值 和 特征 向量 EigensystemNA 计算矩阵A的所有(数值解) 特征值 和 特征 向量 方程组求解函数 在Mathematica中用LinerSolveA,B,求解满足AX=B的一个解.如果A的行列式不为零,那么这个解是方程组的唯一解; 如果A的行列式是零,那么这个解是方程
8、组的一个特解,方程组的全部解由基础解系向量的线性组合加上这个特解组成. NullSpaceA计算方程组AX=0的基础解系的向量表,用LinerSolveA,B和NullSpaceA联手解出方程组AX=B的全部解. Mathematica中还有一个美妙的函数RowReduceA,它对A的行向量作化间成梯形的初等线性变换.用RowReduce可计算矩阵的秩,判断向量组是线性相关还是线性无关和计算极大线性无关组等工作. 解方程组函数 意义 RowReduceA 作行的线性组合化简A,A为m行n列的矩阵 LinerSolveA,B 求解满足AX=B的一个解,A为方阵 NullSpaceA 求解方程组A
9、X=0的基础解系的向量表, A为方阵 例:已知A= ,计算A的秩,计算AX=0的基础解系. Out2:= (*显然,A的秩是2*) Out3:= (*A的两个线性无关解*) 五.程序流程控制 循环语句有For赋初值，循环条件，增量语句，语句块表示如果满足循环条件，则执行语句块和增量语句，直到不满足条件为止，Whiletest,block表明如果满足条件test则反复执行语句块block,否则跳出循环，Doblock,i,imin,imax,istep与前者功能是相同的。还有Gotolab, Labellab提供了程序中无条件跳转，Continue和Break提供了继续循环或跳出循环的控制，Ca
10、tch语句块1和Throw语句块2提供了运算中对异常情况的处理。另外，在程序中书写注释可以用一对“(* *)“括起来，注释可以嵌套。 六.其他 1.使用帮助，Mathematica的帮助文件提供了Mathematica内核的基本用法的说明，十分详细，可以参照学习。 2.你可以使用“?符号名“或“?符号名“来获得关于该符号(函数名或其他)的粗略或详细介绍。符号名中还可以使用通配符，例如?M*，则系统将给出所有以M开头的关键词和函数名，再如?For将会得到关于For语句的格式和用法的详细情况。 3.在Mathematica的编辑界面中输入语句和函数，确认光标处于编辑状态(不断闪烁)，然后按Insert键来对这一段语句进行求值。如果语句有错，系统将用红色字体给出出错信息，你可以对已输入的语句进行修改，再运行。如果运行时间太长，你可以通过Alt+.(Alt+句号)来中止求值。 4.对函数名不确定的，可先输入前面几个字母(开头一定要大写)，然后按Ctrl+K，系统会自动补全该函数名。 七.应用例子 量子一维、二维简谐振子问题 量子一维简谐振子图像 量子二维简谐振子图像
