1、1（衡水金卷）2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题二第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 3,21,03A，集合 1,03A，集合 3,21,B，则UCB（ ）A 3,21 B 2,1 C 2 D 1,23 2. 已知复数 z满足 08i（ i是虚数单位），则复数 z在复平面内对应的点所在象限为（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数 21ln14fxx的定义域为（ ）A ,2 B , C 1,2 D 1,2 4.三世纪中期，魏晋时期的数
2、学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A 32 B 32 C 32 D 325.已知双曲线 210,xyab的一条渐近线与直线 410xy垂直，且焦点在圆2216xy上，则该双曲线的标准方程为（ ）A 9 B2169xyC2134xyD2143xy6.执行如图所示的程序框图，若输入的 0.5t，则输出的 n为（ ）2A3 B4 C5 D67.已知数列 na的前 项和为 nS， 113,2naS，则 5a（
3、 ）A 3 B 43 C 53 D 6 8.已知将函数 si206fxx的图象向左平移 3个单位长度得到函数 gx的图象，若函数 g图象的两条相邻的对称轴间的距离为 2，则函数 gx的个对称中心为（ ）A ,06 B ,06 C ,01 D ,012 9.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）A 812 B 816 C 912 D 916310.已知实数 ,xy满足约束条件0,23,xy当且仅当 1xy时，目标函数 zkxy取大值，
4、则实数 k的取值范围是（ ）A ,1 B ,1 C 1, D 1,11.已知 0a，命题 :p函数 2lg3fxax的值域为 R，命题 :q函数gx在区间 1,内单调递增.若 pq是真命题，则实数 a的取值范围是（ ）A ,0 B ,3 C 10,3 D 1,3 12.若函数 ln,0xf与 gxa的图像上存在关于 y轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）A R B ,e C ,e D 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知在 ABC中， D为 边上的点， 20BC，若 ,AmBnCR，则 n 14.已知焦点在 x轴上的椭圆21xym的一个
5、焦点在直线 20xy上，则椭圆的离心率为 15.在锐角 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，若 sincosi1cosCABC，且,3b，则 c 16.如图，在矩形 D中， 2A， E为 B边上的点，项将 DE沿 翻折至ADE，使得点 在平面 BC上的投影在 D上，且直线 A与平面 BC所成角为30，则 线段 的长为 4三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列 na的前 项和为 nS， 1596,3aS.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 nb满足 1nna，且 16ba，求数列 1nb的前 项和 nT.18.如图
6、，四棱锥 PABCD的底面 是边长为 2 的正方形，平面 PAB平面 CD，点 E是 的中点，棱 与平面 E交于点 F.（1）求证: /ADEF；（2）若 PB是正三角形， 求三棱锥 PBEF的体积.19.某市统计局就某地居民的收入调查了 10000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 10,5）.（1）求居民收入在 30,5的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000 人中按分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析，则月收入
7、在 250,3内应抽取多少人？520.已知点 F为抛物线 2:0Cypx的焦点，过 F的直线 l交抛物线于 ,AB两点.（1）若直线 l的斜率为 1， 8AB，求抛物线 C的方程；（2）若抛物线 的准线与 x轴交于点 1,0P， :23:1APFBS，求 P的值.21.已知函数 2ln,fxaR.（1）当 a时，求曲线 fx在 1处的切线方程；（2）若 122,x是函数 f的导函数 fx的两个零点，当 ,3a时，求证：3ln4ff.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线 1C的参数方程为
8、 2143xty（ t为参数），以原点O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的 极坐标方程为2cos4.（1）求曲线 1C的普通方程与 2C的直角坐标方程；（2）判断曲线 2,是否相交，若相交，求出相交弦长.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 1fxx.（1）求不等式 0f的解集；（2）若对任意的 ,xm，都有 fxm成立，求实数 的取值范围.6试卷答案一、选择题1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11、12：DC二、填空题13.13 14. 23 15. 3 16. 43 三、解答题17. 解：（1）设等差数列 na的公差为 d，由 1596,3aS,得 5482d
9、d，解得 2.所以 *1513nannN.（2）由（1）得， 1625ba.又因为 1nn，所以当 2时， 1231nban 当 1n时， 153，符合上式，所以 2nbn.所以 111323n n.所以 2571nT 1232n.18. 解：（1）因为底面 ABCD是边长为 2 的正方形，所以 /BC.又因为 平面 P， 平面 P，所以 /平面 A.又因为 ,BEF四点共面，且平面 BCEF平面 ADEF，7所以 /BCEF.又因为 AD，所以 /EF.（2）因为 /，点 是 P的中点，所以点 F为 P的中点， 12AD.又因为平面 AB平面 C，平面 B平面 ,ACDBA，所以 D平面 ，
10、所以 EF平面 P.又因为 P是正三 角形，所以 2AB，所以 13PFPAS.又 E，所以 1326PBFPEV.故三棱锥 的体积为 .19.解：（1）由题知，月收入在 0,35的频率为 0.350.1.（2）从左数第一组的频率为 .2.1，第二组的频率为 .4.2，第三组的频率为 0.5，中位数在第三组，设中位数为 2x，则 0.5.01.2x，解得 40x，中位数为 2400.由 12.7.5.75.2350.13750.240，得样本数据的平均数为 2400.（3）月收入在 20,3的频数为 0.1（人），抽取的样本容量为 100，抽取的比例为 10，月收入在 25,3内应抽取的人数为
11、 125025（人）.20.解：（1）由题意知，直线 l的方程为 pyx.8联立 2,pyx得22304px.设 ,AB两点的坐标分别为 ,ABy，则 3xp.由抛物线的性质，可得 482ABABpFxxp，解得 2p，所以抛物线 C的方程为 24yx.（2）由题意，得 1,0F，抛物线 2:4Cyx，设直线 l的方程为 xmy， 12,AB，联立 21,4xy得 240.所以 12,y因为 :3:1APFBS，所以 2.因为 ,AFB三点共线，且 ,AFB方向相同，所以 23，所以 12, 1,xyxy，所以 23，代入，得 214,3.ym解得 2m，又因为 1,0P，9所以 12,1,P
12、AxyPBxy，所以 1,1222xy1214mym2112y248.21.解：（1）当 a时， 2lnfxx， 12fx，所以 ln10f， 1f.所以曲线 fx在 处的切线方程为 21yx，即 20y.（2）由题得， 2110xafx.因为 12,x是导函数 的两个零点，所以 ,是方程 210ax的两根，故 12120,x.令 gax，因为 ,3，所以 102g， 130ga，所以 12,x，且 2,1aax，所以 2211211212 2ln lnxffxaxx，又因为 x，所以 ，所以 22111ln,4ffxx，10令 2,tx， 121lnthtfxft.因为2210thtt，所以
13、 t在区间 ,内单调递增，所以 32ln4ht，即 12lfxf.22.解：（1）由题知，将曲线 1C的参数方程消去参数 t，可得曲线 1C的普通方程为 20xy.由 2cos4，得 in.将 22xy， cos,ixy代入上式，得 ，即 221xy.故曲线 2C的直角坐标方程为 221xy.（2）由（1）知，圆 2的圆心为 ,，半径 R，因为圆心到直线 1的距离 2152d，所以曲线 12,C相交，所以相交弦长为 222 530Rd.23.解：（1）当 x时，不等式转化为 1x，解得 2x；当 2时，不等式转化为 220，解得 123；当 x 时，不等式转化为 1x，解得 x.11综上所述，不等式 0fx的解集为 13x或 x.（2）由（1）得， 3,2,1,2fxx作出其函数图象如图所示：令 yxm，若对任意的 ,，都有 fxm成立，即函数 fx的图象在直线 y的下方或在直线 yxm上.当 2m时， 30，无解；当 1时， 1m，解得 132m；当 2时， 30，解得 2.综上可知，当 时满足条件，故实数 m的取值范围是 1,3.
