1、2018 届普通高等学校招生全国统一考试高三调研卷模拟（二）数学（文） （衡水金卷）试题一、单选题1已知集合 ，集合 ，集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，由于 ，所以，故选 C.2已知复数 满足 （ 是虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】由 ，得 ， 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第二象限，故选 B.3函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使函数 有意义，需满足 ，解得 ，即函数的定义域为 ，故选 D.4三世纪中期，魏晋时期的数
2、学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设圆的半径为 ，则圆的面积 ，正六边形的面积，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率 ，故选 A.5已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，且焦点在圆 上，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，即，又双曲线的焦点在圆 上，故令 ，解得 ，所以 ，又
3、 ，联立解得 ， ，所以双曲线的标准方程为 ，故选 B.6执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】根据给定的程序可知，第一次循环 ， ， ，成立；第二次循环 ， ，成立；第三次循环 ， ， ，成立；第四次循环 ， ，成立；第五次循环 ， ， ，不成立；此时结束循环，所以输出的 为5，故选 C.7已知数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以当 时， ，由 得，即 ，即 ，又当 时， ，所以 ，符合上式，所以数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，所以 ，所以，故选 C.8已
4、知将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，若函数 图象的两条相邻的对称轴间的距离为 ，则函数 的个对称中心为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到的图象，因为函数 图象的两条相邻的对称轴间的距离为 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，由 ，解得，当 时， ，所以函数 的个对称中心为 ，故选 D.点睛：本题主要考查了三角函数 图象的平移以及其性质，包括周期、对称轴、对称中心等关系，属于基础题；解决此题中需注意由 的图象得到的图象时，需平移的单位数应为 ，而不是 9榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹
5、进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为( )A. B. C. D. 812816912916【答案】B【解析】由三视图可知榫卯的榫为底边长为 高为 长方体，卯为底面半径为 ，2r高为 的中空的圆柱体， 设表面积为 ，侧面积为 S1248S，上下底面积的和为 ，则有 ，故选 B228S6【点睛】本题重点是抓住榫卯的工作原理榫凸卯凹、榫卯咬合连接，由此发现卯（中空的圆柱体）中间所缺失的上下表面积刚好由榫的上下表面积补充。故整个构件的上下表积刚好是两个完整的圆形的面积。10已知实数 满足约束条件 当且仅当 时，
6、目标函数 取大值，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作出约束条件 所对应的可行域，如图中的阴影部分如图所示，由 ，可得 ，因为当 时，目标函数 取得最大值，即取得最大值的最优解为点 ，观察图形可知，此时直线 的斜率，所以实数 的取值范围是 ，故选 B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.1
7、1已知 ，命题 函数 的值域为 ，命题 函数 在区间 内单调递增.若 是真命题，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，函数 的值域为 ， 故 ，解得 ，故 ，即 ；若 ， 在区间 内单调递增， 即在区间 内恒成立，即 在区间 内恒成立，解得 ，因为 是真命题，所以 为假命题， 为真命题，即 ，得 ，故选 D12 函数 与 的图象上存在关于 轴对称的(0)lnxf1gxay点，则实数 的取值范围是（ ）aA. B. R,eC. D. ,e【答案】C【解析】去特殊值法：当 时，函数 与ae(0)lnxf的图象上存在关于 轴对称的点，则 ，当1gxy()fgx=
8、 ，得 有解即可，令： 0()lnfx1exeln10xe，显然 为递增函数，当()lhx()h，所以必然有解，所以 成立.(),fxfxae当 且 时， ，而ae011exx显然为增函数，所以有最大值在 0 处取得为 0，而 ，所以不存在有x e解，所以不成立，综合的只能选择 C点睛：特殊值法，当遇到比较麻烦难解的题型时，我们可以根据备选答案信息进行对答案验证，从而得出选项.此做法比较适用于选择题二、填空题13已知在 中， 为 边上的点， ，若 ，则_【答案】【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以，所以 ，故答案为 .14已知焦点在 轴上的椭圆 的一个焦点在直线 上，则椭圆的离心率为_【答案】
9、【解析】将 代入直线方程得 ，即椭圆的一个焦点坐标为 ，所以半焦距，又因为 ，即 ，解得 或 （舍去） ，所以实半轴长为 ，所以椭圆的离心率为 ，故答案为 .15在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且，则 _【答案】【解析】由已知得 ，所以，所以 ，又因为 ，所以， ， ，故 为等边三角形，故 ，故答案为 .16如图，已知矩形 , 为 边上的点，现将 沿 翻折至 ABCD2,EABADE，使得点 在平面 上的投影在 上，且直线 与平面 所ADE CBC成角为 30，则线段 的长为_【答案】 43【解析】如图所示，过 作 于 ，由题意得， ,AHCDAHBCD平 面，设 ， ，在四边形 中，
10、可得1,3AHDEx21xE，故22 43x43A三、解答题17已知等差数列 的前 项和为 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，且 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）设等差数列 的公差为 ，将等式 用 和 表示，解出 ，根据等差数列通项公式即可得结果；（2）根据（1）中的结果可得，利用裂项相消法即可得数列 的前 项和 .试题解析：（1）设等差数列 的公差为 ，由 ,得 ，解得 .所以 .（2）由（1）得， .又因为 ，所以当 时， 当 时， ，符合上式，所以 .所以 .所以 .点睛：本题主要考查了等差数列概念，以及数列的求和，属于高
11、考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.18如图，四棱锥 的底面 是边长为 2 的正方形，平面 平面 ，点是 的中点，棱 与平面 交于点 .（1）求证: ；（2）若 是正三角形，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）首先通过 得到 平面 ，再根据面面平行性质定理即可得结论；（2）根据面面垂直性质定理易得 平面 ，再根据求出底面面积，根据 可得结果.试题解析：（1）因为底面 是边长为 2 的正方形，所以 .
12、又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 又因为 四点共面，且平面 平面 ，所以 .又因为 ，所以 .（2）因为 ，点 是 的中点，所以点 为 的中点， .又因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，所以 平面 .又因为 是正三角形，所以 ，所以 .又 ，所以 .故三棱锥 的体积为 .19 某市统计局就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 .10,5（1）求居民收入在 的频率；250,3（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系
13、，从这 10000 人中用分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析，则应月收入为 的人中抽取250,3多少人？【答案】 （1） （2） .（3）5%0,75【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图的性质求解频率即可(2)读图求解中位数、平均数及其众数即可；(3)利用分层抽样的结论求解应月收入为 的人中抽取多少人即可.250,3试题解析：（1）居民收入在 的频率为 .250,3.25%(2)中位数为 ，4平均数为1250%7205275023501375024，其众数 .,5（3）在月收入为 的人中抽取 人.20,32520已知点 为抛物线 的焦点，过 的直线 交抛物线于 两点.（1）若直线 的斜率为 1， ，求抛物线 的方程；（2）若抛物线 的准线与 轴交于点 ， ，求 的值.
