1、巴拿赫空间中不放大映射的不动点第 15 卷第 4 期纺织高校基础科学2002 年 12 月 BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESVo1.15,No.4Dec.,2002巴拿赫空间中不放大映射的不动点丁争尚(商洛师范专科学校数学系,陕西商洛 726000)摘要:证明了以下结论:若是巴拿赫空间 X 中的闭凸子集 D 到紧致子集 D 中的不放大映射,且固是 D 中任一点,那么由+-=2 一(+7)所表示的序列)收敛于的不动点,并由此得到了两个推论.关键词:巴拿赫空间;紧致子集;不放大映射;不动点中图分类号:O177.2 文献标识码:A 文章编号:1006
2、 8341(2002)040315031 定义与引理定义 1 设 D 是巴拿赫空间 x 的一个子集,71 是 D 到 x 的一个映射,对于五 ED当)善一是实序列时,则 M(固,73 表示序列)-,其中+l=(1 一 )+.若有一点固和一实序列)-满足条件(a)=.,(b)0b1, N+,(c)EDzl,2N+,则称国和)-满足条件 A.定义 2设 71 是巴拿赫空间 x 的子集 D 到 x 的映射 ,若 V,YED有 llTx 一7“2llllzYll,则称为不放大映射.引理 1 设5)-是实数序列,而)-是巴拿赫空间 X 中的序列 ,则 VNEN+,有(ns)(1 一 s)=fllf 霉
3、1NN-1 一 1(1 一 ns)晰一(nsi)(1 一 ns)(一).(1)特别地,当 Vi,=1 时,则有(ns(1 一)=iffilfllNN-lN-1i1 一 ns 一(n1 一 n1 一 s).(2)if1l 暑 1,=I 十 1,=1在这里及以后,当时,记和 1-1 分别为 0 和 1.证明当 N 一 1 时,结论显然成立.现假设(1)式对 1 时成立,于是?收稿日期:20021023作者简介:丁争尚(1963 一),男,陕西省商洛市人,商洛师范专科学校副教授.316 纺织高校基础科学第 15 卷(n1 一 n)()一工 1=I+1,=1一 1一 1N(nl-n 一) 卜(卜lSi
4、)UN 十 I=1J=I 十 1,=1=IN(1 一 ns+一=lNN-】 N(1 一 n)UNn(1 一 s)一 I:lI=1?=1NN(1 一 n)?UN+(1 一 n.).-一=l 一 1NNN(1 一 n)UN+一 (n.)(1 一 .11I=1f1从而有(1 一 n)UN+一 (n.)(1 一 n 一) 一=1I=1,=I+1,=1N+1NNN(1 一 n)UN+(n 儿(1 珥卜(1 一 n)/2N+一 f=1f;1l=lI 一 1N_+1Fl(1-.即(1)式对+1 时也成立. 由归纳法原理可知(1)式对任意正整数都成立.证毕.引理 2E.设 D 是巴拿赫空间 X 的子集,丁是
5、D 到 x 的不放大映射,若存在雹和t满足条件A,且 M(xi,是有界的,则一,当“一.时收敛到 0.2 定理及其证明现在证明不放大紧致映射的不动点定理,M(xi,丁)可用来寻找不动点.定理 1 设 D 是巴拿赫空间 x 中的闭子集,丁是 DNX 的紧致子集的不放大映射,若五和-满足条件 A,则在 D 上有一个不动点,且 M(五,t,收敛于的不动点.证明令日为丁(D) 的单位凸闭包 ,且含点五.由着名的 Mazur 定理可知,是紧致的,且序列M(xi,属于日,由此和条件 A 可得t 是 D 中的紧致序列.因此,存在序列矗 墨 t收敛于点玑因 D 是闭集,故点“ED; 又由日的有界性及引理易知,
6、limllTx 一.1l 一 0.因为 71 是不放大映射,故llTu 一“ll llTu 一+Tx. 一+ 一“II2ll“一 ll+ll 一 ll,又 limIl“.ll 一 0 及 limII.一 ll 一 0.所以“是丁的不动点.II进一步;VEN+,有ll+t“llll(1 一)+一“ll:ll(1 一)(一“)+(Tu 一)llll“ll,(3)由于 VO,j,使 l1 一“I1e, 所以,V,从(3) 式可知 l1 一“l1成立.即M(at,收敛于 U,U 是丁的不动点.证毕.若取定理 1 中的一直接序列,便可得以下推论:推论 1 设 D 是巴拿赫空间 x 中的闭子集,丁是 Df
7、0X 的紧致集的不放大映射,如果了 tE(O,1J,使 jXD,有(1 一 t)x+D,则丁在 D 上有一个不动点 ,且对任给的五 ED,有(五,收敛第 4 期巴拿赫空问中不放大映射的不动点 317于 T 的不动点.推论 2 设 D 是巴拿赫空间 X 的闭凸子集,7 是 D 到 D 的紧致子集的不放大映射,则 T 在 D 上有一个不动点,且 V 五D,M(五,1/z,)收敛于丁的不动点,参考文献:1夏道行.实变函数与泛函分析(下册)M. 北京:高等教育出版社 ?1985.97119.2TAYLORAIntroductiontofunctionalanalysisM.NewYork:wiley1
8、958.8692.3OUIIA.WCLMeanvalueinterationofnonexpansivemappingsinaBanachspaceJ.PacificJMath,1969,(3o):74775O.FixedpointsofanonexpansivemappinginaBanachspaceGZ谤 sng(Dept.ofMath.,ShangluoTeachersCollege,Shangluo,Shaanxi726000,China)Abstract:nefollowingresultisshown:IfTisanonexpansivemappingfromaclosedcon
9、vexsubsetDofaBanachspaceintoacompactsubsetofDand 西 isanypointinD,thenthesequencedefinedby+1-2 一(+?)convergestoafixedpointofT,andtwoconrespondingcorollariesare 百 Ven.Keywords:Banachspace;compactsubset;nonexpansivemapping;fixedpoint3500 种期刊联合征订暨国际互联网网站开通启事本刊已参加“全国非邮报刊联合征订 “,并人编全国非邮发报刊联合征订目录 .该目录编人了7O
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