1、13.4 不动点理论3.4.1 不动点定理 定义 3.4.1 设 是度量空间， 是一个映射。若存在数 ，使对(,)X:AX,01任意 ，有,xy(3.4.1)(,)(,)xyx则称 是 上的一个压缩映射 (Contraction Mapping).A若 是线性空间，则称 是 上的一个压缩算子( Contraction Operator).XAX【注】 为简明起见，这里用 记 . x()由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离的 倍。(01)定理 3.4.1 压缩映射是连续映射。证 证明压缩映射 是连续映射，即证明：对任意收敛点列 ，必有A0()nx.0()nA
2、x因为点列 ，即： ,0nx0(,)()nx又因为 是压缩映射，即存在数 ，使得1,00,nnA所以,0(,)()nx即：.0nA证毕！定义 3.4.2 设 是一集， 是一个映射。若 ，使得X:X*xX, (3.4.2)则称 为映射 的一个不动点(Fixed Point).*xA设 是一个映射，即： ，定义：:X:()AxX， ， .2x3:,:kkxxA 个 1,23k定理 3.4.2 (Banach fixed point theorem, Banach, 1922) 设 是完备的度量空间，(,)是一个压缩映射，则 中必有 的唯一不动点。:AXX2证 先证明映射 在 中存在不动点。AX在
3、中任取一点 ，从 开始，令0x0，2121 10, ,1,2nnxxAx 这样得到 中的一个列点 . 往证 是基本点列。n因为 是压缩映射，所以存在数 ，使得A,. (3.4.3)111(,)()(,)(nnx反复应用上式，由归纳法得. (3.4.4)0,x于是，对任意正整数 ，由(3.4.3)及三点不等式得p1121(,)(,)(,)(,)npnpnpnxx x20,x, (3.4.5)1010(,)(,)()npnn即 是基本点列。nx因为 是完备空间，所以 在 中存在唯一的极限 ，使得XnxX*x.*()n又因为压缩映射 是连续的，所以有A.*nxA而，*1()n且收敛点列 的极限是唯一
4、的，故 ，即 就是映射 在 中的不动点。nAxx*AX再证明不动点是唯一的。若 也是映射 在 中的不动点，即 ，则必有XA，*(,)(,)(,)xxx 而 ，因此要使上式成立，必须 ，即 . 证毕！010【注 1】 定理 3.4.4 又称为压缩映射原理 (contraction mapping theorem or contraction mapping principle) 或Banach 不动点定理 (Banach fixed point theorem).【注 2】 空间 的完备性条件，只是为了保证映射 的不动点存在；至于不动点的唯一XA性是直接从映射的压缩性来的，并不要假设空间是完备的
5、。3【注 3】 定理 3.4.2 解决了三个问题：(a) 证明了压缩映射的不动点的存在性和唯一性 ;(b) 提供了求不动点的方法迭代法，即：在完备度量空间中，从任取的 “初值”出发，逐次作点列0x， ,0nxA1,23它必收敛到方程 的解。这种方法称为逐次逼近法。Ax(c) 在(3.4.5)中令 ，得p. (3.4.6)*10(,)(,),2nxxn上式不仅给出了“近似解” 与所求精确解 的逼近程度（这个估计式在近似计算中很有用）n*，而且还指出了方程 的解 可能的范围（又称为事先估计）；例如当 ，由(3.4.6)Ax* 0n知：.*010(,)(,)xx【注 4】 定理 3.4.2 中的空间
6、 的完备性条件不能去掉。X例如：考察 的子空间 到它自身的映射1R(0,),01)AxX映射 显然是压缩映射，但是 在 中没有不动点。A若不然，设 是 在 中的不动点，则*xX(,),*x即, , .*x*(1)0*x即 ，矛盾！ *(0,)xX【注 5】 定理 3.4.2 中的条件 不能减轻为 . 0101因为这样，即使 是完备的度量空间，而且对任意 ，当 时，有,xyXxy,(,)()Axy映射 在 中也可能没有不动点。AX例如： 的闭子空间 到它自身的映射1R1,),()xxX有41(,)Axyxy.()(,)x因为 与 是一正一负或一负一正，故上述不等式成立。xy1但 在 中没有不动点
7、.A,)X若不然，设 是 在 中的不动点，则*xAX. *1x*10x矛盾！压缩映射原理有许多推广，下面的定理 3.4.3 是定理 3.4.2 的一个较常见的推广形式。定理 3.4.3 设 是完备的度量空间， 是一个映射。若存在一个自然数 ，(,)X:BXn使得 是 上的一个压缩映射，则 中必有 的唯一不动点。nB证 当 时，定理 3.4.3 就是定理 3.4.2.1当 时，记 ，则 是 上的一个压缩映射。由定理 3.3.4，映射 在 中2nAB AX有不动点 ，即*x.*Ax往证 也是 的不动点。*事实上，因为映射，1nB所以，*()()AxAxBx即 是 在 中的不动点。*BxX由于压缩映
8、射 在 中只有一个不动点，所以 ，即 是 在 中的不动点。*X下面证唯一性。设 是映射 在 中的任一不动点，即 ，则xBXBx，11()nnAx因此 是压缩映射 在 中的不动点。x因为压缩映射 在 中只有一个不动点，所以 . 证毕！*x5作为定理 3.4.3 的一个应用，考察积分方程：，()(,)dxaxfKy其中 是一个常数。这种类型的方程称为伏特拉 (Volterra) 型积分方程。定理 3.4.4 设 是区间 上的连续函数， 是三角形区域()fx,ab(,)xy()xybc上的连续函数，且 ，则对任何常数 ，方程,KM(3.4.7)()(,)dxafKy在 上有唯一的连续函数解 .,ab
9、x证 考察 到 的映射 ：对,C,abB,Cb： . (3.4.8)()(,)dxaxfKy则方程(3.4.7)有唯一解的问题就转化为映射 在 中是否有唯一的不动点的问题；即,存在唯一的 ，使得*(),xab，*()Bx亦即.*()(,)d()xafKyx对 ，当 时，( )12,Cab,bmaxb. (3.4.9)12 12()(),)()d(xaBxyyMxa用归纳法证明：当 时，,b. (3.4.10)12 12()()()!nnnnxaxB当 时, 由(3.4.9)知：(3.4.10)成立！1n假设当 时，(3.4.10)成立！即k. (3.4.11)11112 2()()()!kkk
10、 xaBxM往证当 时，(3.4.10)成立！nkIn fact, 由(3.4.11)得：61112 2112112()()(,)()()d()!()d()!.xkk kka kxkaxk kakkBxKyByMyyx由归纳法原理知：(3.4.10)成立！取自然数 ，使得n,()1!nnbaM则，121212max()()nnnbBBx利用定理 3.4.5 知：存在 ，使得 ，即：*(),C*.()d()xafKyx亦即方程(3.4.7)在 上有唯一的解。 证毕！,ab3.4.2 凸集与凸包定义 3.4.3 (凸集) 设 是一线性空间， . 若对 ,连接它们的线段XEX,xyE,(1)01xy
11、则称 是凸集(convex set) 。E例 3.4.1 设 是线性空间， 的每个线性子空间都是凸集。反之未必。XX证 设 是 的线性子空间，因为对 及任意数 ，都有 ，特别Y,xyY,xyY地， ，所以 是一个凸集。(1)xyY反之，设 ，集3R2(,0)1ExyXxy是 中的凸集，但不是 的子空间，因为 对线性运算不封闭，而 的二维子空间XX 3XR7只有 . 证毕！2R定理 3.4.5 设 是线性空间，若 是一族凸集，则 也是凸集。XEE证 由凸集的定义 (定义 3.1.3) 立得。定义 3.4.4 (凸包) 若 ， 是 中包含 的凸集全体，则 就是包AXXA含 的最小凸集，称之为 的凸包(convex hull) ，记为 . A cov【注】 可以证明：若 ，则12,nx. 12 1cov,0,2,nnkk kAA 3.4.3 凸集上的不动点定理定理 3.4.6 (Schauder) 设 是赋范线性空间， 是 中的一个凸紧集， 是一XEX:fE个连续映射，则必有 ，使得 .xE()fx定理 3.4.7 (Schauder) 设 是 Banach 空间， 是 中的一个凸闭集， 是一:f个连续映射，且象 是致密集，则必有 ，使得 .()f xE()fx
