1、题目： 不动点原理及其应用 摘要本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder 不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。关键词：压缩映射原理；Schauder 不动点定理； 不动点原理应用AbstractIn this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauders fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we
2、deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too.Keywords: contraction mapping principle; Schauders fixed point theorem;the
3、application of fixed point theorem.目录引言 .11.压缩映射原理 11.1 压缩映射原理（距离空间） 11.2 压缩映射原理（巴拿赫空间） 62.Schauder 不动点定理 8 不动点定理的应用 9总结 .11参考文献 .120引言在微分方程，积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性都是至关重要的课题，而不动点理论是研究这一问题的有力工具，在本文中我们将着重讨论压缩映射原理，Schauder 不动点定理以及不动点的应用三个方面，对每一块内容，我们将给出定理，定理的证明以及具体的实例，通过对具体实例的分析来说明问题。1 压缩映射
4、原理1.1 压缩映射原理（距离空间）定义 1.1.1：设 是度量空间， 是 到 中的映射，若存在数 ，使XTX01得对所有 ，有 ，则称 T 是压缩映射。 【1】01,xyx定理 1.1.1：设 是完备的距离空间，距离为 ，T 是由 到其自身的映射，X且对任意的 ，不等式,xy， （1.1.1）,Txyx成立，其中 是满足不等式 的常数，那么 T 在 X 中存在唯一的不动点，01既存在唯一的 使得 = ， 可用迭代法求得.xX证明：在 X 中任意取定一点 ，并令0x， ，由1,21T.1,nTx.000,;xx223121,xx可证明10,nnxxT,23.n121, .,npn npx0.,
5、np0,1, .1nxTxT1由于 ，所以 ，则 是 X 中的基本点列，由 X 的完备性可知010nnx收敛于 X 中某一点 ，由（1.1.1）式可知，T 是连续映射，在 中，nxx 1,nxT令 ，可得= ，x因此 是 T 的一个不动点。x下证唯一性：设另有 使得 ，则yTy,xxxy因为 ，所以 ，即 ，唯一性成立。01,0yy定理 1.1.2：设 ： 是 上的映射，若对于某个自然数 ， 有唯一TXkT不动点，则 以同一点作为唯一不动点。 【2】证明：设 是 的唯一不动点， ，则 ，0xk 0kTx000kkTxx因此 是 的不动点，由唯一性可知 ，又因为 的每一个不动点肯定Tk是 的不动
6、点，因此 的不动点是唯一的。kT例 1.1.1设 是矩形 上的连续函数， ，对于每个,Kst,astb,supatbKtM有（1.1.2）,taxdt，求证这个方程在 中存在唯一解。,tCab,Cb证明：考虑映射 ，:,Ta，,taxKdtxCab则有 ,taTtyt yd2supatbMxyta（1.1.3）=,对此进行归纳， ,!nnnntaTxtyt xy11tt=,tnnaKTxyd1 ,!tnaMx（1.1.4）11,nnty因此对任意的自然数 n,supnnnatbTxyTxtyt（1.1.5）,!Mx当 n 足够大时，使 ，则 是 上的压缩映射，由于1!nnnT,Cab完备，因此
7、 有唯一的不动点，根据定理 1.1.2， 有同一不动点，是,CabTT方程的解。例 1.1.2设 是压缩映射，求证 也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立.TnT证明：（1）因为 是压缩映射，因此存在存在 ，使得0,1，则 ，并且假设,xyx2 2,xyTxy成立，那么有：nnTy，由数学归纳法可知1 1,nnnT A对任意自然数 成立，由于 ，则 ，所nnxyx 00,1n以 是压缩映射。T3（2）该命题的逆命题不一定成立，如： ；xf0,1,： 是压缩映射, ： ；不是压缩映2f, 2xf0,1,射。若 ： ；是压缩映射，则有，存在 使得2xf0,1,0,1，有 ，则差商是有界的。但若取21
8、21f21fxf，有 ，与差商有界矛盾，故证。12,xn21ffnx例 1.1.3设 ,:DabfDR满足：（ 1） 在 上 连 续 ；f（2） 在 上存在， ，对于任意的 ，方,yx0,ymfxM,xyD程 存在唯一的解 .0f证明： 是完备的距离空间，T 是 Ca,b到 Ca,b上的连续映射，,Cab,maxdyty，T 不是压缩映射，添加一个参数 M 进行修正， 1,Tfx，41,2,Cabx，根据条件，结合中值定理可得： 1211221, ,TxxfxfxMM 1212,ff1221212, .yxfxxx121212mamdxMM.因此，T 是压缩映射，存在唯一 ，使得 ,xab,x
9、b,0xfx即.例 1.1.4微分方程解的存在性和唯一性， (1.1.6)(,)dyfx0|xy关于 y 满足利普希兹条件：,fx， , , . ,fxyfKyxyR(1.1.7)其中 K0 为常数，过定点 的积分曲线只有一条0,与方程（ 1.1.6）等价的积分方程为：， (1.1.8)0,xyftydt取 0 满足 .1K在 C 中定义映射 T：0,x0,xTyftydt0,x则有，501,212max,Tyftyftydt02xK. （1.1.9）011,2atytty根据压缩映射原理，存在唯一的连续函数 使得：00x，00,xyftydt由此， 就是微分方程过 的积分曲线。0yx,例 1
10、.1.5设 T 是度量空间下的压缩映射，求证 T 是连续的。证明：只需证当 时，有 ，根据假设，存在 使得0nx0nx0,1成立，因此当 ， ，,xy0,nx成立因，此 ， .00nnTxT0nTx1.2 压缩映射原理（巴拿赫空间）下面讨论压缩映射原理在巴拿赫空间下的情形。定理 1.2.1：设 X 是巴拿赫空间，设 ： 非线性映射，并且有 AX， ， （1.2.1） Auvu,v其中 满足不等式 ， 那么 在 中有唯一的不动点，且由（1.2.1）式01可知 是连续映射。 【3】证明：在 X 中任意取定一点 ，并令0u，k=0,1,21kkA， 11 1kkkkkuuAu因此，6，k=0,1,1
11、0kkAuAu于是有，如果 ,k，2 211101k kjk jjj juAu 因此， 是 X 中的柯西列，那么存在一点 ，在 中点列 ，有1k uXku，因此 是 的不动点，公式（1.2.1）保证了唯一性。AuuA由于巴拿赫空间是特殊的度量空间，其应用与定理 1.1.1 类似，在此不再详述，对于该部分的详细内容可参考张恭庆，林源渠，泛函分析讲义一书。例 1.2.1（1.2.2）0,t TufuUgt在 上在 上在 上这里， ，U 是开的有界集，边界光滑，时间11.,.mmug,TT0 是固定的，我们假定初始函数属于 ，设10;mHR是利普希兹连续 （1.2.3）:mfR这个假设表明：（1.2
12、.4）1fzCz对于 成立。mzR我们说函数， , （1.2.5）210,;mLTHUR210,;muLTHUR是（1.2.2）的一个弱解，并有a.e. , (1.2.6),vBfvtT对于每一个 ，且有10;m（1.2.7）0ug7在（1.2.6）式中， 代表 和 的匹配，B 是与 相关的，,1;mHUR10;m,代表着 上的内积 。,2;mLR2 Schauder 不动点定理我们先讨论一个重要的不动点定理 Brouwer 不动点定理。定理 2.1：（Brouwer 不动点定理）设 是中的闭单位球，又假设B是一个连续映射，那么 必有一个不动点 .:TBTx推论 2.1：设 是 中的紧凸子集，
13、 是连续的，则 必有一个在CnR:CT上的不动点。证明：由于 与 中的一个单位球同胚，记此同胚为m，考察映射 ，显然有 ，对 应:,1mB1T:,1,mmTBT用 Brouwer 不动点定理，存在 ，使得 成立，据此可知,mxBx是 的不动点。yxCT为了讨论无限维空间中的情形，我们引入 Schauder 不动点定理。定理 2.2：（Schauder 不动点定理）设 是凸的紧集，并且假定KX:A是连续的，那么 在 中有不动点。 【4】AK证明：给定 ,选定有限个点 ，于是开球 覆盖 ，01,2.Nu01,NiiBuK即， （2.1.1）01,iiB因为 是紧的，所以（ 2.1.1）成立，让 表
14、示由点列 组成的闭凸KK12,.Nu壳：（2.1.2）11:|0,NNiiiu 8因为 是紧的，则有 ，现在定义 ：KK:PK， （ ） （2.1.3）01,:Niii iidstuBuPuK由（2.1.1）式可知，分母不为零。现在证明 是连续的：P对于每个 ，有uK， （2.1.4）01,Niii iidstuKBuP 考虑下一个由 定义的算子Au，:AK那么 与单位球 是同胚映射，定理（ 2.1）保证了KMRN（2.1.5）AuK的存在性。因为 是紧集，存在点列 和 ，使得在 中 ，我们断言 是K0juKXjuu的不动点，事实上，根据（2.1.2）有，A，jjjjjjjjjuAPA又因为
15、是连续的，可得 。u例 2.1设函数 在 上二元连续（有常数 M 是的11,:ftxR,hb9成立） ，证明常微分方程初值问题的存在性定理。,ftxM证明：考虑 中的球 上的映射：,Ch,Bb，下面证明对足够小的 ， 映 到自身，并0,tTxtfxtd hT,Bb且 是紧的，因为：，,txtTfxtd,Mtth所以 连续， 在 下的像是紧的应用 Schauder 不动点定理，故证。T,Bb不动点定理的应用下面通过对一个实际问题的研究，来探讨不动点理论的应用。问题背景：把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳，但挪动几次就可以使四只脚同时着地。问题假设：1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面
16、的接触处能够看为一个点，椅子四个角连线成正方形；2.地面可以视为连续曲面；3.地面时相对平坦的，即椅子在任何地方都有四只脚着地。 【5】10问题分析：椅子脚连线成正方形，可以考虑以椅子中心为对称点，正方形绕中心的旋转代表椅子位置的改变，所以能够用旋转角度表示椅子的位置，椅子四脚连线为正方形 ABCD。AC 连线与 x 轴重合，椅子绕中心旋转 后，AC 与 x轴的夹角表示椅子的位置。设 AC 两脚与地面距离之和为 ，BD 两脚与地f面距离之和为 ， 由假设可知， ， ，中至少有一g,0ffg个为零，假设在 时， ，问题转化为这样的数学问题：0,g已知 ， 是 的连续函数，对任意 ， ，并且有f
17、0f0000,.gf证 明 存 在 使 得问题求解：将椅子旋转 ，对角线 AC 与 BD 互换，由 可知09,0fg，令 ，有 根据定理,2fghfg,2h2.1，可知必存在 使得 ，又因为02000,f即，所以 。f0f11总结本文浅略分析了不动点原理的相关内容，主要从压缩映射原理，Schauder 不动点定理以及压缩映射原理的应用三个方面出发，在讨论压缩映射原理时，是主要考虑到空间的不同，将内容分为两块，度量空间下的和巴拿赫空间下的，并且分别给出了在不同空间下的定义，定理以及证明，在最后给出例题及详细证明。除了本文中介绍的不动点定理外，还有很多不动点定理，例如 Brouwer 不动点定理，
18、Schaefer 不动点定理等，Schaefer 不动点定理在非线性偏微分方程的理论中有大量的应用，对该不动点定理的详解和证明可以参考 Lawrence C.Evans. Partial differential equations 一书 。在完成本文时我参考了大量泛函分析和偏微分教程，重新学习了集合论，映射等原理相关的内容，对我自身数学素养的提高有相当帮助，同时也锻炼了我写作论文的能力，对格式的熟悉程度。12参考文献：1 王声望 郑维行. 实变函数与泛函分析概要 北京：高等教育出版社 2010.72 Lawrence C.Evans. Partial differential equatio
19、ns . America Mathematical society 3 朱长江 邓引斌 . 偏微分方程教程 .科学出版社4欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传章 . 数学分析. 高等教育出版社5 姜启源 谢金星 叶俊 . 数学模型（第三版）. 高等教育出版社6 朱思铭 王高雄 王寿松 周之铭 李艳会. 常微分方程7华东师范大学数学系编写. 数学分析. 高等教育出版社.8张恭庆 林源渠. 泛函分析讲义. 北京：高等教育出版社9关肇直. 泛函分析讲义. 北京：高等教育出版社10南京大学数学系. 泛函分析. 北京：人民教育出版社，1961.11刘培德 . 泛函分析基础 . 武汉大学出版社12夏道行 吴卓仁 严绍宗 舒武昌 . 实变函数论与泛函分析 北京 人民教育出版社
