1、1利用“不动点法”巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键。与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结，探究反思，对那些难求通项的数列综合问题形成了利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助。1 不动点的定义一般的，设 的定义域为 ，若存在 使 成立，则称 为 的()fxD0xfx()0x0f()不动点，或称 为 图像的不动点。0,f2 求线
2、性递推数列的通项定理 1：设函数 且 是函数 的不动点，数列 满足递推()(1)ab、 0f()an关系 ，证明：数列 是公比为 的等比数列。23nnaf、 、 axn证： 是 的不动点， ， ，x0 xbx0 ，1011()()n n 数列 是公比为 的等比数列。0例 1（2010 上海文数 21 题）已知数列 的前 项和为 且 。nanS*58naN证明：数列 是等比数列；na求数列 的通项公式并求出使得 成立的最小正整数 。S1nS证：当 时， ；当 时， ，142 11nn ， ，记 ，65na 1526na 5()6fx令 ，求出不动点 ，由定理 1 知： ，()fx0x 12nna
3、又 ，数列 是等比数列。1n略。3 求非线性递推数列的通项定理 2：设函数 且 是函数 的不动点，数列()(0)axbfcd， 12x、 fx()满足递推关系 。na123n、 、 若 ，则数列 是公比为 的等比数列；12xaxn2acx12若 ，则数列 是公差为 的等差数列。00nd证：由题设知 ；同理，1111()bdxxbacxcac。22()dxbax2 ，11 11112 22222()nn nnnabxxcdacbdxaxc数列 是公比为 的等比数列。ax12xac12由题设知 的解为 ， 且 。bcd10adc20bx 010 000 0()()nnnn daxacxbcx 00
4、000001()()nnn nccxdaa000001122nnnd ccaacxxcxd数列 是公差为 的等差数列。10nd例 2（2006 年全国卷 22 题）设数列 的前 项和为 且方程 有一个nanS2nxag根为 。求数列 的通项公式。*()nSN解： 且 ，将 代入上式得 ，1a0)1(2nnnS1nna12nnS记 ，令 ，求出不动点 ，fx()fx0x由定理 2-知： ，数列 是公差为 的等差数121nnnS1nS1列， ，数列 的通项公式为 。Snna1an例 3（2010 年全国卷22 题）已知数列 中， ， 。nnca设 ， ，求数列 的通项公式；52c12nbanb求使
5、不等式 成立的 的取值范围。13c解： ，记 ，令 ，求出不动点 ；1nn5()xf()fx12x，3由定理 2-1 知： ，两式相除得 ，11221nnnnaaa 1214nna 是以 为公比， 为首项的等比数列，2na412 ， ， 。112nna1324na1243nnb解略。定理 3：设函数 且 是函数 的不动点，数列 满足2()0xbfad12x、 fx()an递推关系 ，则有 ；若 ，则13naf、 、 2112nna120a是公比为 的等比数列。12lnx证： 是 的不动点， ， 。、 fx()211dxba2dxb2 21 12 2()nnnnnaabaxb，112()nnxa
6、x又 ， ， ，120ax0a1122llnax 是公比为 的等比数列。ln例 4（2010 东城区二模试题）已知数列 满足 ， 。nx142134nx求证： ；求证： ；求数列 的通项公式。3nx1nn证：、略； ，记 ，令 ，求出不动点 ；214n23()4xf()fx123x，4由定理 3 知： ， ，2212213(1)443nnnnnnxxxx 2113nnxx ， ，令143x133loglognn13logxlognnax数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 na1212na由 得 ， 。3lognx3nan1123nnax利用函数“不动点法”求解较复杂的递推数列的通项问题并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下的两个定理供有兴趣的同学探究证明。定理 4：设 是函数 的最小不动点，数列 满足递0x22()(0)4bfxaaan推关系 ，则 。1()3naf、 、 201nnxx定理 5：设 是函数 的不动点，数列02332() ()7bf 满足递推关系 ，则 。n 1na、 、 3010nna
