1、习题一 定积分的概念与性质，微积分的基本公式一、单项选择题1、D 2、B 3、C 4、C *5、D 二、填空题1 0 2 3 21xed04 612()fba7 8比较大小 104xd 123xd103xd三、求解题1求下列函数的导数（1）解： （2）解：4()sin1xx 234262()coscosxxee2求下列极限： *(1) *(2) 3x0dt22arcsilim )2(1lim22nnn解： 解：203rinlixt 22li()n20arcsilix 1lin n0rin4lim3xx1limni203arcsilixtd 0xd20rinlixx230acsi4lim3x故极
2、限不存在。3 证明： = =)(dtftxa2)(22()(xatftd= 2 2()()()xxxaaaftdtfdtf222() ()()fxf=2xatf)(4 解： ，令 ，得 ，1xye0y1x当 时， ；当 时， ，1x0所以，函数 在 内单调递减，在 单调递增，在 点处取得极小值 =y(,)(,)1x10()()tyedt.e习题二 定积分的换元积分法，分部积分法一、计算题1计算下列定积分(1) (2) 323)(dx102dte解：原式= 解：原式=321()2120()t= = 4321()x65210te12e(3) (4) 0sindx41dx解：原式 解：原式30si
3、41()x20(1co)xd 412dx30s 41ln()4 32(5) (6) 312dxx 0xdsin解：令 解：原式tan 201cosx原式 234secta1td 20()xd324sectand324osintd 201(sin)2x3241siit341it4(7) (8)230arcosxdexd1lnsi解：原式 解：原式3202rs1xd 11silcoslnexdx3222016x 1sincolsileexxx32012x 1si1csinleexd故 311sinl(sico)2exde2 解：令 ，则xt20)1(dxf1()ft0110tdt令 ，则teu10
4、1()teu1)edu1lneln21100()ldtt2(xfe二、证明题1证明：令 ，则1xt1001()nmmndxtd10()mntd()2证明：令 ，则xt()()bbfxdftd()bfxd3证明：令 ，则1t122()xxtt12xt12xd4证明： ，令 ，0()()xftdtu则 又 是奇函数0()xfd()fu0()xfu（即 是偶函数 .xdtf0)(习题三 广义积分，定积分的几何应用一、选择题1. B 2. C 3. D 二、填空题1定积分 在 时发散， 1 时收敛，收敛于 ；1dx11定积分 在 时发散， 1 时收敛，收敛于02. 函数中， ， ， .()2(4)6(
5、)1()rr三、计算题1判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值(1) (2) dxe2lndx102解：原式 解：原式21lex 2101()()xd发散 lnex989101( )(xx247(3) (4) 10dx10lnxd解：原式 解：原式10()x 10(l)x120()x2解： 2)(lndxk21ln(l)kdx21l (n)kx11ln2 kk发 散令 ，则1(l)xf112(ln2)l()ln)x xf为驻点，且 时， ； 时， ，ln2xlnx()0fxln2()0fx所以 时， 取得最小值。1lk2)(l1dxk1(2)k3. 解： =2 2312004x xede 3
6、()82164解： 123()Sx5解：曲线 在 点处的切线为 ，则过原点的切线为yln0,l 00ln()yxx，即1l()yexxe故 0lnSd26解： 21()x1ln7解： 812230()Vyd6458解： 1230x习题四 定积分及其应用总习题 一、填空题1 2 3 4 5 6 7 k= 0 ()af(1)xe01k8*二、计算题1解：方程两边对 求导，得x2()()fxfx故 ，代入原方程有2()1f21220xttxddc即 222ln()(lnl()xxc那么 1lc2解：223 41max(,) 3x311232441(1,)Idxdx 633解： ，令 ，则1lnxtf
7、tu21l()()xufd21lnxd故 21ln()()xtfxt1lxt21lnlxxt4*解：令 ，则tu0sinsixxufdtd00sin()xfxddu25. 解： 2xVe三、证明题1证明：令 ，则tabx()()baabfxdft()baftd()bafx2证明：令 ，则2t20sinsint2cosnt20cosnt令 ，则tu0nxdi20contd02c()nud20sinu0sinx*3证明： x0tdtf)()xfdtu0()fud0()xftdt4证明： ，其中 ， （积分中值定理）02()tFx 2xa又因为 ，即 单调递减，故 ，则 ，那么 在(0,a)内单调减
8、少。xf()f()f()0Fx(xF习题五 微分方程的基本概念，一阶微分方程一、单项选择题1 C 2 C 3 D 4D 二、填空题1 导数或微分 常。2 3。3 阶 。4 初始 。5 。22xxyCe*6 。1三、计算题1求下列微分方程的通解：（1） （2）02yx 221yx解： 解： 22dy22dxyCe 221xysinsiarcyrxC（3） （4）yxd34 62解： 解：1yx 22()xdxdyec令 ，则 uxdu23xC即 4312()dxu故通解为 ln()02yCx（5） （6）xd6 2xyd解： 解：11()dxyec21y令 ，则(6)xCu21dyx221xuC
9、ey2求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）解： yxed，又 ，则 ，故特解为xyC0x2C2xye*（2）解： ，则2yd11()dydyeC，又 ，则 ，故特解为yxy0yx323yxye（3）解： ，则 ，故 ，12x11(2)dxdxe又 ，则 ，特解为21xy1C1yx3解：设所求曲线方程为 ，那么 ，且 ，()f2y(0)f由 得 ，即2yx112)dxdxyeC2xCe又 时， ，故 ，所以0xye4.设 可微且满足关系式 ，求 .()fx0()1()xftdf()f解：方程两边同时求导，得 ，解之，221xCe又 ，即 故 ，那么02()1()ftdf()f2()f习题
10、六 可降阶的二阶微分方程，二阶常系数线性微分方程一、选择题1 A 2 D 二、填空题1 。2。21xxyCe42133yxCx3 。 4 5 lnce*()xyabe*cosinyaxb二、求解题1求微分方程的通解。(1) (2) xey yx解： 解：令 ，则 ，即xd pypx1xyeCxxxeexe()xd 1()C1xyC122xye 212xye2 求下列方程满足条件的特解(1) (0)(0)axyey解： ，又dx2133axeCx(0)(0)yy故 ，那么1231,CCaa23311axyexa(2) ， ，50y)(5)0(解法一：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 ，特征
11、根 ，250r1,25ri由于 不是特征方程的根，故设特解为 ，代入原非齐次方程得 ，i*ybb于是原非齐次方程的通解为 ，又 ，12cos5inyCx)(y)(则原非齐次方程的特解为 3解法二：令 ，则 ，故 ，ypdypx250dpy2215(4)pyC又 ， ，那么 ，5)0()(150C2(4)1所以 ，又 ，则 ，2arcsin1yx()y3arcsin0特解为 ，可化简为3ri5arcsin010o5si2yx3求下列微分方程的通解：(1) (2)4y 03612解：所给齐次方程的特征方程为 解：所给齐次方程的特征方程为，特征根 ，特征根20r120,4r2r126r于是通解为 于
12、是通解为xyCe61xxyCe(3) (4)*54 0解：所给齐次方程的特征方程为 解：所给齐次方程的特征方程为，特征根 ，特征根20r1,2ri3r12,3ri于是通解为 于是通解为1cossnxxyCeecosnyCx(5) (6)322 e2解：所给微分方程对应的齐次方程 解：所给微分方程对应的齐次方程的的特征方程为 ， 特征方程为 ， 20r210r特征根 特征根12,3r12,r于是对应的齐次方程通解为 于是对应的齐次方程通解为312xxyCe121xxyCe由于 不是特征根， 由于 不是特征根，0 故设特解为 ， 故设特解为*abc*xyke代入原非齐次方程得 代入原非齐次方程得4
13、1,39 1于是原非齐次方程的通解为 于是原非齐次方程的通解为3212xxyCe121xxyCee(7) (8)xey3)1(96 cos4解：所给微分方程对应的齐次方程 解：所给微分方程对应的齐次方程的的特征方程为 ， 特征方程为 ， 20r20r特征根 特征根1231,2i于是对应的齐次方程通解为 于是对应的齐次方程通解为3312xxyCe12cosinyCx由于 是二重特征根， 由于 不是特征根， i故设特解为 ， 故设特解为23*()xabe*()cs()sinabxd代入原非齐次方程得 代入原非齐次方程得1,62 120,39于是原非齐次方程的通解为 于是原非齐次方程的通解为3323
14、12()xxxyCee12cosincosinyCxxx(9)* ysin解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 ，特征根 ，230r12,r由于 不是特征方程的根，故设特解为 ，代入原非齐次方i*()cos()sinyaxbxd程得 ，3176,5252abcd于是原非齐次方程的通解为 .213176()cs()si552xyCexx4求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1） ， ，032y30x0x解：所给齐次方程的特征方程为 ，特征根230r12,3r于是通解为 ，又 ， ，代入得 ，312xxyCexyx125,C故特解为 5（2） ,xey4 1)0()(y解：所给微分方程对
15、应的齐次方程的特征方程为 ，特征根 ，210r12,r由于 是特征方程的单根，故设特解为 ，代入原非齐次方程得 ，于1*()xyabe1,ab是原非齐次方程的通解为 ，12xxyCe又 ，代入得 ，故特解为)0()(y,1()xxyee5试求 的经过点 且在此点与直线 相切的积分曲线x),(M2解： ，又经过点 ，故 ，且在此点与直线 相切，yd3126Cx)1,0(C12xy则 ，那么 ，所以1(0)2136yx6设函数 y(x)连续，且 ，求 y。xdt0)(解：原方程两边对 求导，得 ，解之得 ，但代入后y xCe0习题七 常微分方程总习题一、填空题13。2 。3 。xyCe()xabe
16、4已知某二阶线性齐次微分方程的通解为 ，则该微分方程为 。xxecy21 20y二、求解题1求下列微分方程的通解：（1） (2)0dxyd解： 21ln()ln2xyC21yxCe（2） 3x解：由 有 20rr,31则 312xYCe设 为方程的特解有yAB 2569yx则通解为 32121xeC2求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1） ， ，xy6600xy解：由 有 2r1r则 12xxYCe则通解为 3xye又 ，60x0x则 3yee（2） ， ，xcos89 10y0x解：由 有 2r3ri则 12csnYCx设 为方程的特解有oiyABcosyx则通解为 12cs3csxx
17、又 ，0xy0x则 sinco33设函数 , 求00()()()xxetdt)(x解：由 有 x010()()et()1则 ()xxeri12cosinYCx设 为方程的特解有yA 2xye则通解为 12cosinCx又 (0)()则 i2xye4该可导函数 满足 求)(x0()cos2()sin1xtdx)(解： 有 0()cosin1td()2()1csxx()tacosxCinC()5设二阶常系数线性方程 的一个特解为 ，试确定常数xey xxey)1(2并求该方程的通解。,解：代入有 解之有4203132又 有 2r1,r则通解为 21xxyCee 2()()xye 6设 ， ，1x2
18、2 )1(23xy是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求微分方程的通解及该方程。解：通解为 2122311()()xyyCe则该方程为 4()yfx因 有yx()f则该方程为 4yx一般解：由 21()Ce有 2 1xxy及 2124()ee由解之有212(442)xCeyxyx代入有 44yx7 求 满足 , 的特解096y2)()0(y解：由 有 2r13r则 312()xyCe又 , )0(则 3xye8求 满足 的特解()01tudyd(0)y解：由 有()tye 1及 由 有 210r125r则 521xxYCe通解为152ye又 , )0()(则151522xxyee9已知常系数齐次
19、线性方程的特征根为 ,试确定该微分方程,321r解：由 2,31r有 260则该微分方程为 60y习题八 常数项级数的概念和性质一、选择题1 （B）2 （A、D）3 （A、 C）二填空题1 2 51三用定义判别下列级数的敛散性：1 )(nn解： )1()23(12ns n)(limlisn级数 发散。1nn2 )12(753解： )(1nsn )121)53(2)( n1n)(limli sn级数 收敛。1)12(n四判定下列级数的收敛性1 n98)(9832解：这是几何级数，公比 q198q级数 收敛198)(nn2 363解：原级数即是： n1312)(而调和级数 发散31发散13n3 n
20、3解：级数的通项 nu1而 03limlinn由级数收敛的必要条件可知级数： 发散。 n31314 n2323解：这是公比 的几何级数q123级数 发散 n23325 )1()1()1()32( 32 n解： 几何级数： 收敛 2几何级数： 也收敛 n332收敛 )312()312()1()32(2 n习题九 正项级数及其审敛法一、选择题1 （B）2 （C）二用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的敛散性：1 2 )12(53n 222131n解： 解：n22又 发散 又 发散1n 1n级数 发散 级数 发散12n 12n3 4。 )4(652n1na)0(解： 解：当 ； 21)4(n01li
21、mnna而级数 收敛 此时级数 发散12n 1n级数 发散时 当 时； 1)4(n 0ana此时几何级数 收敛1n则级数 收敛。1na三用比值审敛法判别下列级数的敛散性：1 2 n2332解：级数的通项为： 解：级数的通项为：nnu nu32123)(limli11 nnnnu 13)(limli211nnnu级数 发散 级数 收敛123n 123n3 412sinn1!n解：级数的通项为： 解：级数的通项为：nnu2si nu!212)1(limsin2)1(lilim211nnnnu12)(lim)(li!)(12lilimennnunn级数 收敛。 级数 收敛。 12sinn 1!2n四
22、用适当的方法判别下列级数的敛散性：1 2 1!32!444n1)(n解：级数的通项为： 解：!4un 1)2(limnn又 级数 发散，由比较判别10)1(lim!)(1lili441nnunn1n由比值判别法，知级数： 收敛。 法的极限形式知级数 发散。14!n 1)2(n3 41sin2 32解： 解：级数的通项为：nn3i 12nu又 收敛，由比较判别法， 12n 0limli unn知级数： 收敛。 由级数收敛的必要条件13sinn知级数 发散。12n五利用级数收敛的必要条件证明： 0!2limn证明：由第三题.4 小题知级数： 收敛，1!n由级数收敛的必要条件知 。0!2lin习题十
23、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛一讨论下列交错级数的敛散性：1 4132解： 级数通项的绝对值 1nnuu)2.(又 01limlinn由莱布尼兹判别法知，交错级数： 收敛。1)(n2 !413解： 级数通项的绝对值 1)!(1nnuu)2.(又 0!limliunn由莱布尼兹判别法知，交错级数： 收敛。1!)(n3 74521解： 级数的通项：12)(nun012limli n故 。由级数收敛的必要条件知级数 发散。0linu12)(n二判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？1 2291753解：级数的通项： 21)()nun224)(n又 收敛 由比较判别法，知级数
24、收敛124n 1nu绝对收敛，从而级数 收敛。12)1()n 12)1()n2113)(nn解：级数的通项： 13)(nnulimli11nn级数 绝对收敛，从而级数 收敛。113)(nn113)(nn3 432211解：级数的通项： nnu)(而 收敛nn2131故原级数 绝对收敛，从而级数 收敛。nn)(1 nn213)(14 5l43l21解：级数的通项： )1ln()(un )1ln()l()1unn)l(im)l(i1limnn令 ，则xn 1li)ln(i)1l(i xxn而级数 发散，由比较判别法的极限形式，知级数 发散。1n 1nu且2)l()l(nn uu 0)l(imliu
25、nn由莱布尼兹判别法知，交错级数： 收敛。1)1l()(n综上知级数 条件收敛。1)l()(n习题十一 泰勒公式与泰勒级数一、将下列函数展开成 的幂级数，并求展开式成立的区间；x1 xa解： axeln令 yl ynyyney !21!0 xnaxaaxannax !l!2ll!l0l2 sin解：令 yx,!12sin0xn!2si0xxn ,!24110 xnnn3 xal解： axax1ln1lnl令 yax1,11ln0ynnaxxall1ln10nnaxaann ,l0 4 x31解： 13310xn31x01xnn5 32x解： 143x1133400 xxxnn且110 nnn二
26、将下列函数展开成的 幂级数2x1 xf4解：令 ，即tf1212tt10ttnn40221010 xxxnnn2 xfl解： fln21ln2ttlt0122lnnt4,0l0 xnnn三将 展开成 的幂级数2312xf 4x解： 2f 21431xx 34141xxnnn 0032264310 xxnn习题十二 幂级数一、 填空题1 幂级数 的收敛半径 。nnx313R2 幂级数 的收敛区间是n11,二、 求下列幂姬鼠的收敛域：1nx解：因为 na1limn所以 收敛半径 1R当 时，级数成为 ；当 时，级数成为1x1nx1n两个级数都发散，故收敛域为 ,2 nxxx2646423解：因为
27、na1limnn26412li 2lin0所以 收敛半径 ，收敛域为R,3 12nnx解：因为 na1lim121lin所以 收敛半径 。当 时，级数成为2R1x 121211 nnn4 121nxn解：因为 xunn1lim12321linxnn2limxn故 当 即 时级数收敛；当 即 时级数发散，故收敛半径 ；12x1x1R当 时，级数成为 ，此交错级数也收敛，故收敛域为21nn ,5 21nnx解：因为 xunn1lim21_linnx2lin故当 即 时级数收敛，当 时级数发散，则收敛半径为 。12x212x2当 时级数成为1nn1当 时级数成为2x212nn 12n以上级数均发散。
28、故级数 的收敛域为21nnx,6 15nnx解：令 ，则上述级数变为t nt1因为 na1limlin所以收敛半径 。收敛区间为 ，即R1t 6415xx。 则， 也 即当 时，级数成为 ，此交错级数收敛4x1n当 时，级数成为 ，此级数发散。61n故级数 的收敛域为15nx6,4三、利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：1 753xx解：显然，所给幂级数的收敛区间为 。收敛域为 。1,1,设 121nnxxs 753x121nn112nnx21nn1nx2注意到 s(0)=01,12x 1,arctn02 xdxs2. 7538642解：显然，所给幂级数收敛域为 1, 12175386
29、42nnxxxsdx0 dnx012xnxn102202xn1,122xs314nx解：显然，所给幂级数的收敛域为 1,14nxs14n14nx14n01,4 xsx注 意 到dsx0 1,arctn21ln404 xdx习题十三一、（1）C,（2）A， （3）A， （4）C （5）AC二、 1 1limli()nns n=1 n=1解 ： (+) (+)三、11133 322,2 2nnn （ 1） 解 ： 而 发 散 ， 故 发 散 3355 511222,nnn（ ） 解 ： 而 收 敛 ， 故 收 敛四、 13321,nu（ ）（1）1 312nn而 发 散 ， 故 非 绝 对 收 敛
30、 。 312n但 交 错 级 数 满 足 ：（2） 单调递减.3lim0,n32n故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛. 3355122,n nu（ 2） 而 收 敛 ， 故 原 级 数 绝 对 收 敛 。五、证明： ， ，nabna而正项级数 ， ， 都收敛，故 与 都收敛.1n1n211nab1n六、见教材 P467 例 4七、 2 22,n nnb 解 ： 设 21n而 是 调 和 级 数 ,故 发 散 。八、 111lim,3nnnnatxaxat解 ： 由 题 设 条 件 知 ： 令 则 ，11limli,nnna故 收 敛 半 径 为 。（2）解：幂级数 在点 收敛 都绝对收敛.1nx212,nxa故 绝对收敛.1()nna
