1、经济数学基础形成性考核册及参考答案作业（一）（一）填空题1. .答案：0_sinlim0xx2.设 ，在 处连续，则 .答案：10,1)(2xkf _k3.曲线 在 的切线方程是 .答案：y)( 2xy4.设函数 ，则 .答案：521f )(xf5.设 ，则 .答案：xsin)(_)(f （二）单项选择题1. 函数 的连续区间是（ ）答案：D2yA B ),1(),(),2(),(C D 或 ),( ),1(),(2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：BA. B.lim0x1lim0xC. D.1snsn3. 设 ，则 （ ） 答案：B ylg2dyA B C Dxxl0l1xd1dx4. 若
2、函数 f (x)在点 x0 处可导，则( )是错误的答案：B A函数 f (x)在点 x0 处有定义 B ，但Afx)(lim0 )(0fC函数 f (x)在点 x0 处连续 D函数 f (x)在点 x0 处可微 5.当 时，下列变量是无穷小量的是（ ）. 答案：CA B C D2sin1ln(cos(三)解答题1计算极限（1） （2）13lim21x 21865lim2xx（3） （4）0 343x（5） （6）53sinlxx )2sin(l22设函数 ，0si,1)(xabf问：（1）当 为何值时， 在 处有极限存在？b,)(f（2）当 为何值时， 在 处连续.ba,)(xf0答案：（1
3、）当 ， 任意时， 在 处有极限存在；1a)(fx（2）当 时， 在 处连续。3计算下列函数的导数或微分：（1） ，求22logxxyy答案： ln1（2） ，求dcxbay答案： 2)(y（3） ，求51xy答案： 3)(2y（4） ，求xey答案： x)1(（5） ，求byaxsind答案： bd)cos(e（6） ，求x1y答案： yxd)2(12（7） ，求ecosx答案： d)in(2（8） ，求xynsiy答案： )cos(1（9） ，求)l2答案： xy（10） ，求x1232coty答案： 65232ctsinlxyx4.下列各方程中 是 的隐函数，试求 或yd（1） ，求13
4、2yx答案： xdd（2） ，求xeyx4)sin(y答案： )cos(5求下列函数的二阶导数：（1） ，求)ln(2xyy答案： （2） ，求 及xyy)1(答案： ，23254 作业（二）（一）填空题1.若 ，则 .答案：cxxfd)( _)(xf 2lnx2. .答案：sin_csin3. 若 ，则 .答案：Ff)()(fd)1(2 cF)1(24.设函数 .答案：0_d1lde2xx5. 若 ，则 .答案：tP)(02)(P21x（二）单项选择题1. 下列函数中， （ ）是 xsinx2的原函数 A cosx2 B2cos x2 C-2cos x2 D- cosx2 1 1答案：D 2
5、. 下列等式成立的是（ ） A B )d(cossinx)1d(lnxC D2l12x答案：C3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ） A ， B C Dxc1)dos(xd12xd2sinxd12答案：C4. 下列定积分计算正确的是（ ） A B 21 156C D 0)d(3x 0dsinx答案：D5. 下列无穷积分中收敛的是（ ） A B C D1x12x0ex1six答案：B(三)解答题1.计算下列不定积分（1） xde3答案： cxeln（2） xd)1(2答案： c2534（3） xd2答案： c12（4） x答案： c21ln（5） xd答案： c23)(（6） xsi
6、n答案： co2（7） dsi答案： xx2sin4（8） 1)ln(答案： c2.计算下列定积分（1） xd2答案： 5（2） xde12答案： （3） xln3e1答案：2（4） xd2cos0答案： 1（5） xlne1答案： )(42（6） xde0答案： 45作业三（一）填空题1.设矩阵 ，则 的元素 .答案：31622351AA_23a2.设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 = . 答案：B, BTB723. 设 均为 阶矩阵，则等式 成立的充分必要条件是 .答n 22)(案： 4. 设 均为 阶矩阵， 可逆，则矩阵 的解 .A,IXA_答案： I1)(5. 设矩阵 ，则 .答案：30
7、2_1 3102（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（ ） A若 均为零矩阵，则有B, BAB若 ，且 ，则 COCC对角矩阵是对称矩阵D若 ，则 答案 C,2. 设 为 矩阵， 为 矩阵，且乘积矩阵 有意义，则 为（ ）矩阵 4325TTCA B 24C D 答案 A33. 设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） B,nA ， B 11)(11)(BC D 答案 C4. 下列矩阵可逆的是（ ） A B 302 3210C D 答案 A15. 矩阵 的秩是（ ） 432AA0 B1 C2 D3 答案 B三、解答题1计算（1） =01355（2） （3） =2104512计算 7
8、230165431解 723016547409124= 12353设矩阵 ，求 。102B1032，AAB解 因为 B21)(012310232-2B所以 0A4设矩阵 ，确定 的值，使 最小。124)(Ar答案：当 时， 达到最小值。492)(Ar5求矩阵 的秩。32140758答案： 。2)(Ar6求下列矩阵的逆矩阵：（1） 103答案 943721A（2）A = 16答案 A-1 = 20737设矩阵 ，求解矩阵方程 31,53BBXA答案：X = 1四、证明题1试证：若 都与 可交换，则 ， 也与 可交换。2,A211提示：证明 ，)()(211BB2BA2试证：对于任意方阵 ， ，
9、是对称矩阵。TT,提示：证明 ，T T)(3设 均为 阶对称矩阵，则 对称的充分必要条件是： 。A,n A提示：充分性：证明 A)(必要性：证明 B4设 为 阶对称矩阵， 为 阶可逆矩阵，且 ，证明 是对称矩阵。nTB11提示：证明 =T1)(1作业（四）（一）填空题1.函数 在区间 内是单调减少的.答案：xf)(_ )1,0(,2. 函数 的驻点是 ，极值点是 ，它是极 值点.答案： ，213y x小3.设某商品的需求函数为 ，则需求弹性 .答案：2e10)(pqpEp24.行列式 .答案：4_1D5. 设线性方程组 ，且 ，则 时，方程组有唯一解.答案：bAX010236t_t1（二）单项
10、选择题1. 下列函数在指定区间 上单调增加的是（ ） (,)Asinx Be x Cx 2 D3 x答案：B2. 已知需求函数 ，当 时，需求弹性为（ ） ppq4.021)(10A B C D2ln4plnln- 2ln4-p答案：C3. 下列积分计算正确的是（ ） A B 10d2exx 10d2exxC Dsin1- )(31-答案：A4. 设线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是（ ） bXnmA B C D r)(nAr)(nmnAr)(答案：D5. 设线性方程组 ，则方程组有解的充分必要条件是（ ） 32131axA B 0321a0321C D答案：C三、解答题1求解下列可分离变
11、量的微分方程：(1) yxe答案： c（2） 23dyxx答案： xe2. 求解下列一阶线性微分方程：（1） 3)1(答案： 2cxxy（2） sin答案： )2cos(xy3.求解下列微分方程的初值问题：(1) ,x2e0答案： 1y(2) ,x)(答案： e4.求解下列线性方程组的一般解：（1） 03522412xx答案： （其中 是自由未知量）432 21, 01210510A所以，方程的一般解为（其中 是自由未知量）4321x21,x（2） 51474321xx答案： （其中 是自由未知量）56432 21,x5.当 为何值时，线性方程组43214321109572xx有解，并求一般解
12、。答案： （其中 是自由未知量）57432 21,x5 为何值时，方程组ba,x3211答案：当 且 时，方程组无解；ab当 时，方程组有唯一解；当 且 时，方程组无穷多解。3ab6求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品 个单位时的成本函数为： （万元）,q qqC625.01)(求：当 时的总成本、平均成本和边际成本；0当产量 为多少时，平均成本最小？答案： （万元）185)(C（万元/单位）.（万元/单位）0当产量为 20 个单位时可使平均成本达到最低。（2）.某厂生产某种产品 件时的总成本函数为 （元） ，单位销售价格为q 201.42)(qqC（元/件） ，问产量为多少时可使利润达
13、到最大？最大利润是多少p1.4答案：当产量为 250 个单位时可使利润达到最大，且最大利润为 （元） 。3)5(L（3）投产某产品的固定成本为 36(万元) ，且边际成本为 (万元/百台)试求产量由 4)百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为答案： 100（万元） C当 （百台）时可使平均成本达到最低.x（4）已知某产品的边际成本 =2（元/件） ，固定成本为 0，边际收益)(qC，求：qqR02.1)(产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？答案：当产量为 500
14、 件时，利润最大. - 25 （元）L即利润将减少 25 元. 经济数学基础作业 5一、单项选择1下列各对函数中， （ B ）中的两个函数相同。A ， B ，1)(2xf 1)(xg xxf22cossin)(1)(gC ， D ，lnln)(g2当 x 1 时，下列变量中的无穷小量是（ C ） 。A B e 12xC Dln(1+x)12x3若 f(x)在点 有极限，则结论（ D ）成立。0Af(x) 在点 可导 Bf(x) 在点 连续 0xCf(x) 在点 有定义 Df(x) 在点 可能没有定义04函数 在 x=0 处连续，则 k=（ C ） 。)(xf,1sinxkA2 B1 C1 D2
15、5函数 在点 x=1 处的切线方程是（ A ） 。xf)(A2yx =1 B2yx =2 Cy 2x =1 Dy2x =26下列函数在区间（，）上单调减少的是（ D ） 。Acosx B 2xC D3x x27下列函数为奇函数是（ C ） 。Axsinx Blnx C Dx )1ln(2x28当 x 0 时，变量（ D ）是无穷小量。A B xsinC Dln(x+1)x29若 f（x+1）= 2x4，则 （ B ） 。2)(xfA2x B2x 2 C 3 D22x10.函数 f（x）= 1 在区间 0，1上是（ A ） 。2A单调增加 B单调减少 C先增加后减少 D先减少后增加11下列函数中
16、的单调减函数是（ C ） 。Ay = By = 3x x1Cy = x Dy = e12.下列等式中正确的是（ B ） 。A dx = d（ ） Bsinxdx=d（-cosx） xexeC dx = d（3 ） D dx =d（ ）32 x1213. 函数 f（x）= lnx 在 x=1 处的切线方程是（ A ） 。Axy = 1 Bxy = 1 Cx + y = 1 Dx + y = 1 二.填写题14.若函数 f（x+2）= +4x+5，则 f（x）=2x22()4()51x15设需求量 q 对价格 p 的函数为 q(p)=100 ，则需求弹性为2pePEp16若函数 f（x）= +2，
17、g(x)=sinx，则 f(g(x)= 2 2sinx17.函数 f(x)=lnx 在区间（0，）内单调 减少 18函数 的定义域是)1ln(3)xf (1,2),319函数 f（x）=xsinx，则 （ ）f三计算题20 xx)31(lim解: 34lili()xxx334li(1)li1()3xxx343lim(1)(1)xx4e21 932li3x解: 233(1)limli9xx31lix22设 xy= ，求 。2xy2e)(xy解:两边同时求导得: 0(2)(2)yxy23由方程 ln（1+x）+ 确定 y 是 x 的xe隐函数，求 。)(y解:两边同时求导得:1()2xye1(2)
18、xyxyeexye24设函数 y= ，求 dy .x2cos解: 1cs 23(in)xye1cos2(ixdd25. 1)2(limxx解: 11lili()()2xxx2li()xx12e四应用题26厂家生产一种产品的需求函数为 q=720-80p(单位：件)，而生产 q 件该产品时的成本函数为 C（q）=4q+160(单位：元)，问生产多少件产品时厂家获得的利润最大？解:故 (4160)LRp7241608q251608q1540Lq所以当 时, . 由实际问题可知:当 件时利润最大为:340 元2qL27某厂家生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C（q）=20+4q+0.01 (元)
19、，单位销售价2q格为 p=24-0.01q(元/件)，问产量为多少时可使利润达到最大？此时的最大利润是多少。解:2(204.1)LRCpqq 2(40.1)240.1qq2.00q故 0.42Lq所以当 时, . 由实际问题可知:当 件时利润最大为:4980 元50L50q五证明题28设 f(x)是可导的偶函数且 存在， =0。)0(f)0(f证明: 因为 f(x)是可导的偶函数所以 ,两边求导: 即()fxf()()fxf()()fxfx当 时,有 )0f0故2(0)f(0经济数学基础作业 6一、单项选择1若 F（x）是 f（x）的一个原函数，则 =（ A ）.x)df(e-A B ce)(
20、 cFC Dx x)(2若 成立，则 f（x）=（ B ）.cex11df()A B x 21xC D 1 23在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过（4，1）点的曲线方程是（ C ）.A B 2xy 42xyC D 5154 =（ D ）.xdsin2A 0 B C D 225若 （ B ）. dxfcxF)1(,)(f()d2则A B122 cxF)1(22C D cx)(6 （ C ）.3os52dxA0 B2C6 D12 7若 ，则 f(x)= （ A ）.cxx2cosf()dA-2sin2x+2 B2sin2x+2 C- sin2x+2 D sin2x+2 21218下列等式中正
21、确的是（ C ）.Asinxdx=d（cosx） Blnxdx=d（ ） xC D )(ln1xxada )(1d二填空题9 = 。2sidx2i10 21incotx11若 ，则 k= 。0dekx1212. = 。cos13.函数 f(x)= 的一个原函数是 。x33lnx14微分方程 的通解是 。2yyc三计算题15 xd2cos20解: x20201(sin)x201sinid20si2x2111cos()442x16 xd)1(212解: )(2122211()dx231()xx894()323617 1edx解:41xed412xed412xed4212xee18 15lnex解:
22、 1ledx1(5ln)(lexd7220 0(5)=()tt19求微分方程 的通解12xy解:两边同乘以积分因子 得 :故3xy3()y两边积分得42xc通解为: 3yx20求微分方程 的通解。ysin解: 两边同乘以积分因子 得 :x故sinxyx()sinyx两边积分得 co通解为: x21求微分方程 满足初始条件 y(1)xey=2 特解。解: 两边同乘以积分因子 得 :故xye()xye两边积分得 xxxxddec由初始条件 y(1)=2 得：c=2特解为: 2xey22求微分方程 的通解。xycos1tan解:两边同乘以积分因子 cos 得:故cosi1xy()两边积分得 sxc通
23、解为: 四应用题23设生产某商品固定成本是 20 元，边际成本函数为 （元/单位） ，求总成本函数 C（q） 。24.0)(qC如果该商品的销售单价为 22 元且产品可以全部售出，问每天的产量为多少个单位时可使利润达到最大？最大利润是多少？解: 2()0.4)0.Cqdqc 2()0.0qq2 2()0.LRpq故 .所以当 时, . 由实际问题可知:当 时利润最大为:480 元50qL524已知某产品的边际成本函数为 （万元/ 百台） ，边际收入为 （万元/百台） ，qC4)( qR260)(如果该产品的固定成本为 10 万元，求：(1)产量为多少时总利润 L（q）最大？(2)从最大利润产量
24、的基础上再增产 200 台，总利润会发生什么变化解: （1） ()()602460Rqq当 时 . 由实际问题可知:当 (百台)时利润最大。0qq1（2） 12200(12)()6LLqdqd（万元）11063d总利润下降 12 万元。经济数学基础作业 7一、单项选择1设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,且 AXB=I，则 X=（ B ）.A B 1B1AC D 2对线性方程组 AX=的增广矩阵经初等行变换后化为 ,则方程组310242b一般解中自由未知量的个数为（ A ）.A1 B2 C3 D4 3设 A,B 为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是（ B）.A B 11)(AB11)(AC D (k
25、 为非零常数)(TT k4. 线性方程组 满足结论（ C ）.93121xA. 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解5设矩阵 Amn，B sm，C np，则下列运算可以进行的是（ A ）.A. BA B. BC C. AB D. CB6设 A 是 ns 矩阵，B 是 ms 矩阵，则下列运算中有意义的是（ B ）.A. BA B. AC. AB D. 7n 元线性方程组 AX=b 有解的充分必要条件是（ A ）.A秩(A)= 秩( ) B秩(A)n C A 不是行满秩矩阵 D秩(A) n 8设线性方程组 AX=b 的增广矩阵通过初等行变换化为 ，则此线性方程组解009153
26、27的情况是（ A ）.A. 有唯一解 B. 有无穷多解C. 无解 D. 解的情况不定9若线性方程组的增广矩阵为 ，则当 （ A ）时线性方程组有无解012AA B021C1 D2 二填空题10当 1 时，齐次方程组 有无穷多解.（注：本题有错，已改）120x11设 A，B，C 均为 n 阶可逆矩阵，则 = 。)(BCA1A12设 A，B 为两个 n 阶矩阵，且 IB 可逆，则矩阵 A+BX=X 的解 X= 1()IBA13设 ，则秩（A ） 2 。0721三计算题14当 b 为何值时，线性方程组 有解，并求一般解。bxx432101解:因为增广矩阵 11320404Abb032131所以当
27、时,方程有解,一般解为: (其中 为自由未知量)3b1342xx34,x15解矩阵方程 AX=X+B，其中 A= ,B= .31202解:由 得 即 故AXBAXB()AIXB1()AIB(,)I00114333411243916设线性方程组axx32186401试问 a 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解解:因为系数矩阵31231013240402680Aaaaa所以当 时,方程有解,一般解为: (其中 为自由未知量)132x3x17. 求解线性方程组 5323421xx解:因为增广矩阵 0104248123153A042185102180所以,一般解为: (其中 为自由未知量)
28、0012340x3x18. 已知 A= ，B= ，求543201241301)(BA解: 10AB01031(,) 013I 310020101221 所以33010010122132()01AB四证明题：19设 A 为矩阵，证明 为对称矩阵。TA证明：对于任意方阵 ()(TTA是对称矩阵20设 A，B 均为 n 阶对称矩阵， ，证明 AB 是对称矩阵。证明：由于 A，B 均为 n 阶对称矩阵， 且 AB=BA TTB()TBA是对称矩阵经济数学基础作业 8一、单项选择题1下列函数中为奇函数的是（ C ） A B C Dxy2 xye1lnxyxysin2极限 = ( D )x1lim0A0
29、B 1 C D 213. 当 时，下列变量中（ B ）是无穷大量A. B. C . D. 1xx2xx4设函数 f (x) 满足以下条件：当 x x0 时， ，则 x0 是函数 f (x)的f()f()（ D ） A驻点 B极大值点 C极小值点 D不确定点5. 下列等式不成立的是（ A ） A B )1d(lnx )d(cossinxC D2 ex6下列定积分中积分值为 0 的是（ A ） A B xxde1 xxd21C D )cos(3 )sin(7设 为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ D ） B,A. 若 AB = I，则必有 A = I 或 B = I B. TAC. 秩 秩 秩
30、D.)() 11)(8线性方程组 解的情况是（ A ） 0121xA. 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解9若函数 ，则( D )成立xxf2),ln(,3)Af (-1) = f (0) Bf (0) = f (1) Cf (-1) = f (3) Df (-3) = f (3)10函数 在 x = 2 点( B )4)2A有定义 B有极限 C没有极限 D既无定义又无极限11. 曲线 y = sinx 在点(0, 0) 处的切线方程为（ A ） A. y = x B. y = 2x C. y = x D. y = -x2112若 x0 是函数 f (x)的极值点，则（
31、 B ） Af (x)在 x0 处极限不存在 Bf (x)在点 x0 处可能不连续 C点 x0 是 f (x)的驻点 Df (x)在点 x0 处不可导13若 ，则 =（ D ）.cxx2ed)()(xfA. B. C. D. 2ex21x2e41x2e41x14. =（ C ）.0d1A + B +)(x21d)(x10d)(x21d)(xC + D + 10d15设 (q)=100-4q ，若销售量由 10 单位减少到 5 单位，则收入 R 的改变量是（ B ） RA-550 B-350 C350 D以上都不对 16. 设 ， ， 是单位矩阵，则 （ D ） )21()31(IIBATA B
32、 C D6362532523二、填空题17设函数 ， ，则 1)(2uf x)()(uf418已知需求函数为 ，其中 p 为价格，则需求弹性 Ep = .q30 1019函数 f (x) = sin2x 的原函数是 .cos2x20计算矩阵乘积 = 0 102121已知某商品的需求函数为 q = 180 4p，其中 p 为该商品的价格，则该商品的收入函数 R(q) =20.54q22函数 y = x 2 + 1 的单调增加区间为 0,)23 1 0d)(24若线性方程组 有非零解，则 1 021x三、计算题25 42)1(lim20xx解： 2x1200li()li4xx2220 0lim()
33、lim4xx x12e26由方程 确定 是 的xyxe)cos(y隐函数，求 d解:两边同时求导得:sin()11yxyesin()yexsi()nyx1is()ydde27 )cos12in(lm0xx解: six00n2llicos1xxsi()lm1x02inlxx41528设 y ，求 dyxxln解:先化函数1724()lnx则 33471 ()x29 d9160解: xd91601()xx60d9x1160()320x+)2930求微分方程 的通解yylnta解: ndx两边积分得：cosliy11(n)(sin)iddxllslxciyc通解为 snxe31 d15023解: x
34、250()1dx2520() 22()5201(lnln6x32求微分方程 满足初始条件e32yx的特解3)1(y解:化方程为 即23xd23xyde两边积分： 21()()xye由231yxc3得 故特解：6c233yxee133设矩阵 A = ，求 124361A解: 136014071407(,)42122 2I1107140710407323712 2所以11017102A34当 取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.1542312x解:因为增广矩阵1 10512406206262051A所以,当 时线性方程组有解。 一般解为: (其中 为自由未知量)1325x3x35设矩阵 A =
35、 ，B = ，计算(BA) -1021213解: =130B5451111(,)42202450245AI2所以3110125502132()5BA36设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解05223112x的情况.解:因为增广矩阵所以,秩 =2，秩1012132002523A ()A=3 ()故方程组无解。四、应用题37投产某产品的固定成本为 36(万元) ，且边际成本为 =2x + 40(万元/ 百台) . 试)(C求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解: 2()20)4Cxdxc 2()4036x(万元)6 644(0)3
36、1 即产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量为 100 万元。平均成本 ， 当 （负舍）时，()xCx2()Cx6()0x由实际问题可知:当 百台时平均成本达到最低.638生产某产品的边际成本为 (x)=8x(万元/百台)，边际收入为 (x)=100-2x（万元/C R百台） ，其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？3解: ()()102810LxRCxx当 时 . 由实际问题可知 :当 (百台)时利润最大。10121200(2)()(Lxdxd（万元）15x再生产 2 百台，利润将下降 20 万元。五、证明题（4 分）39试证：可微偶函数的导数为奇函数证明：由已知： 再两边求导：()fxf()()fxfx所以 即 导数为奇函数()fx
