学练考2015-2016学年高中数学 全册试题（打包35套）新人教A版必修2.zip

11．1.1 柱、锥、台、球的结构特征1．1.2 简单组合体的结构特征题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分)1．观察如图 L1­1­1 所示的 4 个几何体，其中判断正确的是( )图 L1­1­1A．①是棱台 B．②是圆台C．③是棱锥 D．④不是棱柱2．下列关于母线的叙述正确的是( )①在圆柱上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．A．①② B．②③C．①③ D．②④3．下列判断正确的是( )A．棱柱中只能有两个面互相平行B．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱C．底面是正六边形的棱台是正六棱台D．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥图 L1­1­24．若一正方体沿着表面几条棱裁开放平得到如图 L1­1­2 所示的展开图，则在原正方体中( )A． AB∥ CD B． AB∥ EFC． CD∥ GH D． AB∥ GH5．如图 L1­1­4 所示的四个长方体中，由如图 L1­1­3 所示的纸板折成的是( )图 L1­1­32图 L1­1­46．给出下列三个命题：①底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．37．如图 L1­1­5 所示，若 Ω 是长方体 ABCD­A1B1C1D1被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1后得到的几何体，其中 E 为线段 A1B1上异于 B1的点， F 为线段 BB1上异于 B1的点，且EH∥ A1D1，则下列结论中不正确的是( )图 L1­1­5A． EH∥ FG B．四边形 EFGH 是矩形C．Ω 是棱柱 D．Ω 是棱台二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)8．关于如图 L1­1­6 所示的几何体的正确说法为________．(填序号)图 L1­1­6①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱图 L1­1­79．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图 L1­1­7 所示， A， B， C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ ABC＝________．10．下列说法中错误的是__________．(填序号)①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的；3②球的所有截面中过球心的截面的面积最大；③圆台的所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥的所有轴截面都是全等的等腰直角三角形．11．已知正方体 ABCD ­A1B1C1D1的棱长为 2，P 是 AA1的中点，E 是 BB1上的点，则PE＋EC 的最小值是 ________．三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分)得分12．(12 分)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？13．(13 分)如图 L1­1­8 所示，四边形 ABCD 绕边 AD 所在的直线 EF 旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点 A 选在射线 DE 上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．图 L1­1­8得分14．(5 分)给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误命题的序号是________．15．(15 分)图 L1­1­9 甲是一几何体的展开图．4(1)沿图中虚线将它折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图．(2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为 6 cm 的正方体？请在图 L1­1­9 乙的棱长为 6 cm 的正方体 ABCD ­ A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称．图 L1­1­951．1 空间几何体的结构1．1.1 柱、锥、台、球的结构特征1．1.2 简单组合体的结构特征1．C [解析] 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．2．D [解析] ①③中两点的连线可能不在侧面上，因此不一定是母线；②中两点的连线符合母线的条件；④中圆柱任意一条母线与圆柱的轴所在的直线平行，因此圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．3．B [解析] A 错误，比如四棱柱；B 正确；C 错误，还应满足正棱台上下底面中心的连线垂直于底面；D 错误，还应满足顶点在底面的投影为底面的中心．4．C [解析] 折回原正方体如图所示，则 C 与 E 重合， D 与 B 重合，显然 CD∥ GH.5．D [解析] 根据纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断正确选项是 D.6．B [解析] ①正确；②错误，当以斜边所在的直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．7．D [解析] 根据棱台的定义(侧棱的延长线必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)可知，几何体 Ω 不是棱台．8．①③④ [解析] 由图易知①③④正确．9．90° [解析] 如图所示，将平面图折成正方体．很明显点 A， B， C 是上底面正方形的三个顶点，则∠ ABC＝90°.10．④ [解析] 根据旋转体的定义可知，圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形．11. 1712．解：如图所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的三个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．这三个特征缺一不可，右图所示的几何体不具备特征③.13．解：当 AD＞ BC 时，四边形 ABCD 绕 EF 旋转一周所得几何体是由底面半径为 CD 的圆柱和圆锥拼成的组合体；当 AD＝ BC 时，四边形 ABCD 绕 EF 旋转一周所得几何体是圆柱；当 AD＜ BC 时，四边形 ABCD 绕 EF 旋转一周所得几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的．14．①②③④ [解析] 认识棱柱一般要从侧棱与底面是否垂直和底面多边形的形状两个方面去分析，故①③都不准确；②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故②不正确；④6平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④不正确．15．解：(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图(1)所示．(2)需要 3 个这样的几何体，如图(2)所示．分别为：四棱锥 A1­CDD1C1，四棱锥A1­ABCD，四棱锥 A1­BCC1B1.12.3.2 平面与平面垂直的判定题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共 7小题，每小题 5分，共 35分)1．下面不能确定两个平面垂直的是( )A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面 α 内的直线 a与平面 β 内的直线 b是垂直的2．已知直线 m， n与平面 α ， β ，给出下列三个结论：①若 m∥ α ， n∥ α ，则m∥ n；②若 m∥ α ， n⊥ α ，则 m⊥ n；③若 m⊥ α ， m∥ β ，则 α ⊥ β .其中正确结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．33．设 m， n是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )A．若 m∥ α ， n⊥ β ， m⊥ n，则 α ⊥ βB．若 m∥ α ， n⊥ β ， m⊥ n，则 α ∥ βC．若 m∥ α ， n⊥ β ， m∥ n，则 α ⊥ βD．若 m∥ α ， n⊥ β ， m∥ n，则 α ∥ β图 L2­3­104．如图 L2­3­10所示，在立体图形 D ­ ABC中，若 AB＝ CB， AD＝ CD， E是 AC的中点，则下列结论中正确的是( )A．平面 ABC⊥平面 ABDB．平面 ABD⊥平面 BDCC．平面 ABC⊥平面 BDE，平面 ADC⊥平面 BDED．平面 ABC⊥平面 ADC，平面 ADC⊥平面 BDE5．如图 L2­3­11所示，在△ ABC中， AD⊥ BC，△ ABD的面积是△ ACD的面积的 2倍．沿 AD将△ ABC翻折，使翻折后 BC⊥平面 ACD，此时二面角 B ­ AD ­ C的大小为( )图 L2­3­11A．30° B．45° C．60° D．90°6．若一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内(都不在棱上)，则这条线段所在的直线与这两个平面所成的角的和( )2A．等于 90° B．大于 90°C．不大于 90° D．不小于 90°图 L2­3­127．如图 L2­3­12所示，在三棱锥 P­ ABC中， PA⊥平面 ABC，∠ ABC＝90°，则图中互相垂直的平面共有( )A．1 对 B．2 对C．3 对 D．4 对二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)8．已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 ，则侧面与底面所成的二面角6等于________．9．下列结论中，所有正确结论的序号是________．①两个相交平面形成的图形叫作二面角；②异面直线 a， b分别和一个二面角的两个面垂直，则 a， b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．10．已知两条不同的直线 m， n，两个不同的平面 α ， β ，给出下列命题：①若 m垂直于 α 内的两条相交直线，则 m⊥ α ；②若 m∥ α ，则 m平行于 α 内的所有直线；③若 m⊂α ， n⊂β 且 α ∥ β ，则 m∥ n；④若 n⊂β ， n⊥ α ，则 α ⊥ β .其中真命题的序号是________．(把你认为是真命题的序号都填上)图 L2­3­1311．如图 L2­3­13， PA⊥⊙ O所在的平面， AB是⊙ O的直径， C是⊙ O上一点， AE⊥ PB于 E， AF⊥ PC于 F，给出下列结论：① AF⊥ PB；② EF⊥ PB；③ AE⊥ BC；④平面 AEF⊥平面PBC；⑤△ AEF是直角三角形．其中所有正确的命题的序号是________．三、解答题(本大题共 2小题，共 25分)得分12．(12 分)如图 L2­3­14所示，在正三棱柱 ABC­A1B1C1中， E为 BB1的中点，求证：截面 A1CE⊥侧面 ACC1A1.3图 L2­3­1413．(13 分)如图 L2­3­15，四棱锥 P ­ ABCD的底面 ABCD为正方形， PA⊥底面ABCD， AC， BD交于点 E， F是 PB的中点．求证：(1)EF∥平面 PCD；(2)平面 PBD⊥平面 PAC.图 L2­3­15得分14．(5 分)如图 L2­3­16所示， PA⊥平面 ABC， AC⊥ BC， AB＝2， BC＝ ， PB＝ ，则2 6二面角 P­BC­A的大小为________．图 L2­3­1615．(15 分)如图 L2­3­17，在长方体 ABCD­A1B1C1D1中， AD＝ AA1＝1， AB＝2，点 E在棱 AB上移动．(1)证明： D1E⊥ A1D；(2)AE等于何值时，二面角 D1­EC­D的大小为 45°？图 L2­3­17452．3.2 平面与平面垂直的判定1.D [解析] 如图所示，在正方体 ABCD ­ A1B1C1D1中，平面 A1B1CD内的直线 A1B1垂直于平面 ABCD内的一条直线 BC，但平面 A1B1CD与平面 ABCD显然不垂直．2．C [解析] ①若 m∥ α ， n∥ α ，则 m与 n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是 2.3．C [解析] 由 m∥ α ， m∥ n得， n∥ α 或 n⊂α ，又 n⊥ β ，所以 α ⊥ β .4．C [解析] 因为 AB＝ CB，且 E是 AC的中点，所以 BE⊥ AC.同理， DE⊥ AC.又BE∩ DE＝ E，所以 AC⊥平面 BDE.因为 AC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BDE.因为 AC⊂平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE.5．C [解析] 由已知得 BD＝2 CD.翻折后，在 Rt△ BCD中，∠ BDC＝60°，而AD⊥ BD， CD⊥ AD，故∠ BDC是二面角 B ­AD ­C的平面角，其大小为 60°.6．C [解析] 当这条线段所在的直线与棱垂直时，这条线段所在的直线与这两个平面所成的角的和是 90°；当这条线段所在的直线与棱不垂直时，这条线段所在的直线与这两个平面所成的角的和小于 90°.7．C [解析] 因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥ BC，平面 PAC⊥平面 ABC.又因为BC⊥ AB，且 AB∩ PA＝ A，所以 BC⊥平面 PAB.根据平面与平面垂直的判定定理得平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PBC⊥平面 PAB.8．60° [解析] 正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 ，则底面边长为 2 6，底面积为 12，所以正四棱锥的高为 3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为 ， 3 3故所求的二面角为 60°.9．②④ [解析] 由二面角及二面角的平面角的定义知①③不正确，④正确；②中所成的角虽不是二面角的平面角，但由平面几何的知识易知②正确．10．①④ [解析] ①中的内容即为线面垂直的判定定理；②中，若 m∥ α ，则 m与α 内的直线平行或异面，故②错误；因为两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理．11．①②④⑤ [解析] 因为 AB是⊙ O的直径，所以 AC⊥ BC.又 PA⊥⊙ O所在平面，所以 PA⊥ BC.又 PA交 AC于点 A，所以 BC⊥平面 PAC，所以BC⊥ AF.又 AF⊥ PC，所以 AF⊥平面 PBC，所以 AF⊥ PB，故①正确；因为 AF⊥ PB， AE⊥ PB，所以 PB⊥平面 AEF，所以 EF⊥ PB，故②正确；③错误；因为 AF⊥平面 PBC，所以平面AEF⊥平面 PBC，故④正确；因为 AF⊥平面 PBC，所以 AF⊥ EF，所以∠ AFE为直角，所以△AEF是直角三角形，故⑤正确．12.证明：如图所示，取 A1C的中点 F， AC的中点 G，连接 FG， EF， BG，则 FG∥ AA1，且GF＝ AA1.12因为 BE＝ EB1， A1B1＝ CB，6∠ A1B1E＝∠ CBE＝90°，所以△ A1B1E≌△ CBE，所以 A1E＝ CE.因为 F为 A1C的中点，所以 EF⊥ A1C.又 FG∥ AA1∥ BE，GF＝ AA1＝ BE，12且 BE⊥ BG，所以四边形 BEFG是矩形，所以 EF⊥ FG.因为 A1C∩ FG＝ F，所以 EF⊥侧面 ACC1A1.又因为 EF⊂平面 A1CE，所以截面 A1CE⊥侧面 ACC1A1.13．解：(1)∵四边形 ABCD是正方形，∴ E是 BD的中点．又 F是 PB的中点，∴ EF∥ PD.又∵ EF⊄平面 PCD， PD⊂平面 PCD，∴ EF∥平面 PCD.(2)∵四边形 ABCD是正方形，∴ BD⊥ AC.∵ PA⊥平面 ABC，∴ PA⊥ BD.又 PA∩ AC＝ A，∴ BD⊥平面 PAC.又 BD⊂平面 PBD，∴平面 PBD⊥平面 PAC.14．45° [解析] ∵ PA⊥平面 ABC，∴ PA⊥ BC.又∵ AC⊥ BC， PA∩ AC＝ A，∴ BC⊥平面 PAC，∴ PC⊥ BC，∴∠ PCA为二面角 P ­ BC ­ A的平面角．在 Rt△ PAC中， AC＝ ＝ ， PA＝ ＝ ，22－ （ 2） 2 2 （ 6） 2－ 22 2∴∠ PCA＝45°.15．解：(1)证明：连接 D1A， D1B.∵在长方形 A1ADD1中， AD＝ AA1＝1，∴四边形 A1ADD1为正方形，∴ A1D⊥ AD1.∵ AB⊥平面 A1ADD1， A1D⊂平面 A1ADD1，∴ AB⊥ A1D.又 AB∩ AD1＝ A，∴ A1D⊥平面 ABD1.∵ D1E⊂平面 ABD1，∴ A1D⊥ D1E.(2)过 D作 DF⊥ EC于点 F，连接 D1F.∵ D1D⊥平面 DB， EC⊂平面 DB，∴ D1D⊥ EC.又 DF∩ D1D＝ D，∴ EC⊥平面 D1DF.∵ D1F⊂平面 D1DF，∴ EC⊥ D1F，所以∠ DFD1为二面角 D1­EC­D的平面角，∴∠ DFD1＝45°，又∠ D1DF＝90°， D1D＝1，∴ DF＝1.设 AE＝ x(0≤ x≤2)，则 EB＝2－ x， EC＝ ， S△ DEC＝ EC·DF＝1＋ （ 2－ x） 212 12.1＋ （ 2－ x） 2又 S△ DEC＝ DC·BC＝1，所以 ＝1，解得 x＝2－ .12 121＋ （ 2－ x） 2 3故当 AE＝2－ 时，二面角 D1­EC­D的大小为 45°.312.3.3 直线与平面垂直的性质2．3.4 平面与平面垂直的性质题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分)1．对于任意的直线 l 与平面 α ，在平面 α 内必有直线 m，使 m 与 l( )A．平行 B．相交C．垂直 D．互为异面直线2．在下列四个正方体中，能得出 AB⊥ CD 的是( )图 L2­3­183．设平面 α ⊥平面 β ，若平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b，则( )A．直线 a 必垂直于平面 βB．直线 b 必垂直于平面 αC．直线 a 不一定垂直于平面 βD．过 a 的平面与过 b 的平面垂直4．已知两条不同的直线 m， n 和两个不同的平面 α ， β ，给出下列命题：①若 α ∥ β ， m⊂α ，则 m∥ β ；②若 m∥ n， m∥ β ，则 n∥ β ；③若 m⊂α ， n⊂β ，则 m， n 异面；④若 α ⊥ β ， m∥ α ，则 m⊥ β .其中错误命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．35．已知直线 a， b， c 及平面 α ，下列条件中，能使 b∥ c 成立的是( )A． b⊥ a 且 c⊥ aB． b⊥ α 且 c⊥ αC． b， c 与 α 所成角相等D． b∥ α 且 c∥ α6．对于直线 m， n 和平面 α ， β ， γ ，有如下四个命题：①若 m∥ α ， m⊥ n，则 n⊥ α ；②若 m⊥ α ， m⊥ n，则 n∥ α ；③若 α ⊥ β ， γ ⊥ β ，则 α ∥ γ ；④若 m⊥ α ， m∥ n， n⊂β ，则 α ⊥ β .其中真命题的个数是( )2A．1 B．2C．3 D．4图 L2­3­197．如图 L2­3­19 所示，在斜三棱柱 ABC­A1B1C1中，∠ BAC＝90°， BC1⊥ AC，则 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在( )A．直线 AB 上B．直线 BC 上C．直线 CA 上D．△ ABC 内部二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)8．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中所有真命题的序号是________．9．在四棱锥 P­ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点．当点M 满足________时，平面 MBD⊥平面 PCD.10．已知 m， n 是空间两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，下面有四个命题：① m⊥ α ， n∥ β ， α ∥ β ⇒m⊥ n；② m⊥ n， α ∥ β ， m⊥ α ⇒n∥ β ；③ m⊥ n， α ∥ β ， m∥ α ⇒n⊥ β ；④ m⊥ α ， m∥ n， α ∥ β ⇒n⊥ β .其中所有真命题的序号是________．11．如图 L2­3­20，在直角梯形 ABCD 中， BC⊥ DC， AE⊥ DC， M， N 分别是 AD， BE 的中点，将三角形 ADE 沿 AE 折起．下列说法正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都有 MN∥平面 DEC；②不论 D 折至何位置都有 MN⊥ AE；③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都有 MN∥ AD；④在折起过程中，一定存在某个位置，使 EC⊥ AD.图 L2­3­203三、解答题(本大题共 2 题，共 25 分)得分12．(12 分)如图 L2­3­21 所示，在四棱锥 P­ABCD 中， PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形， PA＝ AB， G 为 PD 的中点．求证： AG⊥平面 PCD.图 L2­3­2113．(13 分)如图 L2­3­22 所示的五面体中，四边形 CBB1C1为矩形， B1C1⊥平面ABB1N，四边形 ABB1N 为梯形，且 AB⊥ BB1， BC＝ AB＝ AN＝ BB1＝4.12(1)求证： BN⊥平面 C1B1N；(2)求此五面体的体积．图 L2­3­22得分14．(5 分)若 l， m， n 是三条不同的直线， α ， β ， γ 是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( )A．若 α ⊥ γ ， β ⊥ γ ， α ∩ β ＝ l，则 l⊥ γ4B．若 l∥ α ， l∥ β ， α ∩ β ＝ m，则 l∥ mC．若 α ∩ β ＝ l， β ∩ γ ＝ m， γ ∩ α ＝ n， l∥ m，则 l∥ nD．若 α ⊥ γ ， β ⊥ γ ，则 α ⊥ β 或 α ∥ β15．(15 分)如图 L2­3­23(1)所示，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， D， E 分别为 AC， AB的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置，使 A1F⊥ CD，如图L2­3­23(2)所示．(1)求证： DE∥平面 A1CB.(2)求证： A1F⊥ BE.(3)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ? 请说明理由．图 L2­3­2352．3.3 直线与平面垂直的性质2．3.4 平面与平面垂直的性质1．C [解析] 若 l 在平面 α 内，则存在直线 m⊥ l；若 l 不在平面 α 内，且 l⊥ α ，则 l 垂直于平面 α 内任意一条直线；若 l 不在平面 α 内，且 l 与 α 不垂直，则它的射影在平面 α 内为一条直线，在平面 α 内必有直线 m 垂直于它的射影，故 m 垂直于 l.综上所述， m 与 l 垂直．2．A3．C [解析] 当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．4．D [解析] 易知①正确；②中直线 n 也可能在平面 β 内，故②错误；③中 m 与 n 也可能相交或平行，故③错误；④显然错误．5．B [解析] 由直线与平面垂直的性质易知 B 正确．6．A [解析] ①不正确；②中直线 n 也可能在平面 α 内，故②不正确；③不正确；④当 m⊥ α ， m∥ n 时，有 n⊥ α ，又 n⊂β ，所以 α ⊥ β ，故④正确．7．A [解析] ∵ CA⊥ AB， CA⊥ BC1， AB∩ BC1＝ B，∴ CA⊥平面 ABC1，∴平面 ABC⊥平面 ABC1，∴由面面垂直的性质定理可知 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在直线 AB 上．8．②④ [解析] ②是面面垂直的判定定理；③中垂直于同一直线的两条直线不一定相互平行，如正方体中共顶点的三条棱；由面面垂直的性质定理可知④正确．9． DM⊥ PC 或 BM⊥ PC10．①④11．①②④ [解析] 如图，设 Q， P 分别为 CE， DE 的中点，可证 MNPQ 是矩形，所以①②正确；当平面 ADE⊥平面 ABCD 时，有 EC⊥ AD ，④正确．故填①②④.12．证明：∵ PA⊥平面 ABCD， CD⊂平面 ABCD，∴ PA⊥ CD.又 AD⊥ CD， PA∩ AD＝ A，∴ CD⊥平面 PAD.又 AG⊂平面 PAD，∴ AG⊥ CD.∵ PA＝ AB＝ AD， G 为 PD 的中点，∴ AG⊥ PD.又 PD∩ CD＝ D，∴ AG⊥平面 PCD.13．解：(1)证明：过 N 作 NM⊥ BB1，垂足为 M，∵ B1C1⊥平面 ABB1N， BN⊂平面 ABB1N，∴ B1C1⊥ BN，又 BC＝4， AB＝4， BM＝ AN＝4， BA⊥ AN，∴ BN＝ ＝4 ， B1N＝ ＝ ＝4 ，42＋ 42 2 NM2＋ B1M2 42＋ 42 2∵ BB1＝8 2＝64， B1N2＋ BN2＝32＋32＝64，∴ BN⊥ B1N，∵ B1C1⊂平面 B1C1N， B1N⊂平面 B1C1N， B1N∩ B1C1＝ B1，∴ BN⊥平面 C1B1N.(2)连接 CN，则 VC－ ABN＝ ×BC·S△ ABN＝ ×4× ×4×4＝ , 13 13 12 323又 B1C1⊥平面 ABB1N，所以平面 CBB1C1⊥平面 ABB1N，且平面 CBB1C1∩平面ABB1N＝ BB1， NM⊥ BB1， NM⊂平面 ABB1N，∴ NM⊥平面 B1C1CB, ∴ VN－ B1C1CB＝ ×NM·S 矩形 B1C1CB＝ ×4×4×8＝ ，13 13 12836∴此几何体的体积 V＝ VC－ ABN＋ VN－ B1C1CB＝ ＋ ＝ .323 1283 160314．D15．解：(1)证明：因为 D， E 分别为 AC， AB 的中点，所以 DE∥ BC.又 DE⊄平面 A1CB，所以 DE∥平面 A1CB.(2)证明：由已知得 DC⊥ BC 且 DE∥ BC，所以 DE⊥ DC.又 DE⊥ A1D， A1D∩ CD＝ D，所以 DE⊥平面 A1DC，而 A1F⊂平面 A1DC，所以 DE⊥ A1F.又因为 A1F⊥ CD，所以 A1F⊥平面 BCDE，所以 A1F⊥ BE.(3)线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下：如图所示，分别取 A1C， A1B 的中点 P， Q，连接 DP， PQ， QE，则 PQ∥ BC.又因为 DE∥ BC，所以 DE∥ PQ，所以平面 DEQ 即为平面 DEP.由(2)知， DE⊥平面 A1DC，所以 DE⊥ A1C.又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点，所以 A1C⊥ DP，所以 A1C⊥平面 DEP，从而 A1C⊥平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q，且 Q 为 A1B 的中点时，使得 A1C⊥平面 DEQ.11.2 空间几何体的三视图和直观图1．2.1 中心投影与平行投影1．2.2 空间几何体的三视图1．2.3 空间几何体的直观图题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共 7小题，每小题 5分，共 35分)1．关于几何体的三视图，下列说法正确的是( )A．正视图反映物体的长和宽B．俯视图反映物体的长和高C．侧视图反映物体的高和宽D．正视图反映物体的高和宽2．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )A．平行且相等 B．平行不相等C．相等不平行 D．既不平行也不相等图 L1­2­13．一个几何体的三视图如图 L1­2­1所示，这个几何体可能是一个( )A．三棱锥B．底面不规则的四棱锥C．三棱柱D．底面为正方形的四棱锥4．图 L1­2­2是水平放置的三角形的直观图， D′是△ A′ B′ C′中 B′ C′边的中点，A′ B′， A′ D′， A′ C′三条线段对应原图形中的线段 AB， AD， AC，那么( )图 L1­2­2A．最短的是 ACB．最短的是 ABC．最短的是 ADD．无法确定谁最短5．如图 L1­2­3所示，已知四边形 ABCD的直观图是一个边长为 1的正方形，则原图形的周长为( )2A．2 B．6 C．8 D．4 ＋22 2图 L1­2­3图 L1­2­46．图 L1­2­4为水平放置的正方形 ABCO，在直角坐标系中点 B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点 B′到 O′ x′轴的距离为( )A. B. C. 1 D.12 22 27．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图 L1­2­5所示， AB平行于 y′轴，BC， AD平行于 x′轴．已知四边形 ABCD的面积为 2 cm2，则原平面图形的面积为( )2图 L1­2­5A．4 cm 2 B．4 cm2 2C．8 cm 2 D．8 cm22二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)8．用斜二测画法画出某三角形的直观图如图 L1­2­6所示，则原三角形的面积为________．图 L1­2­69．利用斜二测画法得到的以下结论中正确的是________．(填序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．10．一张桌子上摆放着若干碟子，其三视图如图 L1­2­7所示，则这张桌子上共放有________个碟子．3图 L1­2­711．如图 L1­2­8所示，在斜二测画法下，四边形 ABCD的直观图是底角为 45°的等腰梯形，其下底长为 5，一腰长为 ，则原四边形的面积是________．2图 L1­2­8三、解答题(本大题共 2小题，共 25分)得分12．如图 L1­2­9所示，画出水平放置的四边形 OBCD的直观图．图 L1­2­913．(13 分)图 L1­2­10，L1­2­11，L1­2­12 分别是三个几何体的三视图，你能画出它们对应的几何体的直观图吗？(1) (2)图 L1­2­10 图 L1­2­11 4(3)图 L1­2­12得分14．(5 分)已知点 E， F， G分别是正方 ABCD­A1B1C1D1的棱 AA1， CC1， DD1的中点，点M， N， Q， P分别在线段 DF， AG， BE， C1B1上．则三棱锥 P­MNQ的俯视图不可能是( )图 L1­2­13图 L1­2­1415．(15 分)已知正三棱锥 V­ABC的正视图、侧视图和俯视图如图 L1­2­15所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．图 L1­2­1551．2 空间几何体的三视图和直观图1．2.1 中心投影与平行投影1．2.2 空间几何体的三视图1．2.3 空间几何体的直观图1．C [解析] 由三视图的特点可知选项 C正确．2．A [解析] 由斜二测画法规则知平行性是不变的，长度的变化在平行时相同，故仍平行且相等．3．C [解析] 根据三视图，几何体为一个倒放的三棱柱．4．C [解析] 由直观图易知 A′ D′∥ y′轴．根据斜二测画法规则，可知在原图形中应有 AD⊥ BC.又 AD为 BC边上的中线，所以△ ABC为等腰三角形，且 AD为 BC边上的高，所以 AB， AC相等且最长， AD最短．5．C [解析] 原图形如下图所示．则 AD＝ ＝3，所以原图形的周长为 8.（ 2 2） 2＋ 126．B [解析] 因为 BC垂直于 x轴，所以在直观图中 B′ C′的长度是 1，且与 O′ x′轴的夹角是 45°，所以 B′到 O′ x′轴的距离是 .227．C [解析] 依题意可知∠ BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与 BC， AD相等，高为梯形 ABCD的高的 2 倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.28．4 [解析] 由斜二测画法知，原三角形为直角三角形，且 AO＝4， BO＝2，故S＝ ×2×4＝4.129．①②④ [解析] ①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错误；④正确；原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故⑤错误．10．12 [解析] 由三视图可知碟子共三摞，分别为 5个，4 个，3 个，所以碟子共有12个．11．8 [解析] 作 D′ E⊥ A′ B′于点 E， C′ F⊥ A′ B′于点 F，2则 A′ E＝ B′ F＝ A′ D′cos 45°＝1，∴ C′ D′＝ EF＝3.画出原平面图(如图所示)，则原四边形应为直角梯形，∠ A＝90°，AB＝5， CD＝3， AD＝2 ，2∴ S 四边形 ABCD＝ ×(5＋3)×2 ＝8 .12 2 212．解：(1)过点 C作 CE⊥ x轴，垂足为 E，如图(1)所示．画出对应的 x′轴， y′轴，使∠ x′ O′ y′＝45°，如图(2)所示．6(2)如图(2)所示，在 x′轴正半轴上取点 B′， E′，使得 O′ B′＝ OB， O′ E′＝ OE；在 y′正半轴上取一点 D′，使得 O′ D′＝ OD；过12E′作 E′ C′∥ y′轴，使 E′ C′＝ EC.12(3)连接 B′ C′， C′ D′，并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形 O′ B′ C′ D′就是所求作的直观图．13．解：(1)圆柱；(2)四棱锥；(3)三棱锥，且有一条侧棱与底面垂直．画图略．14．C [解析] 当 M与 F重合、 N与 G重合、 Q与 E重合、 P与 B1重合时，三棱锥P­MNQ的俯视图为 A；当 M、 N、 Q、 P是所在线段的中点时，其俯视图为 B；当 M、 N、 P是所在线段的非端点位置，而 Q与 B重合时，三棱锥 P­MNQ的俯视图可能为选项 D.故选 C.15．解：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得 BC＝2 .3由俯视图可知三棱锥底面三角形的高为 2 × ＝3.332∵三棱锥的高在底面上的投影是底面的中心，且其到点 A的距离为底面△ ABC高的 ，23∴底面中心到点 A的距离为 ×3＝2，∴侧视图中 VA＝ ＝2 ，∴ S△ VBC＝ ×2 23 42－ 22 3 12×2 ＝6.3 31__单元测评(二)__第二章 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 60 分，第Ⅱ卷 90 分，共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )A．平行 B．相交C．异面 D．以上都有可能2．下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面互相平行B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线图 D2­13．已知一个四棱锥的三视图如图 D2­1 所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是( )A．4 B．3C．2 D．14．已知 α ， β ， γ 是三个不同的平面，命题“若 α ∥ β ，且 α ⊥ γ ，则 β ⊥ γ ”是真命题．若把 α ， β ， γ 中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是( )A．0 个 B．1 个C．2 个 D．3 个5．在长方体 ABCD ­A1B1C1D1的六个面与六个对角面(平面 AA1C1C，平面 ABC1D1，平面ADC1B1，平面 BB1D1D，平面 A1BCD1及平面 A1B1CD)所在的平面中，与棱 AA1平行的平面共有( )A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个6．若 l， m 是两条不同的直线， α 是一个平面，则下列命题中正确的是( )A．若 l⊥ m， m⊂α ，则 l⊥ αB．若 l⊥ α ， l∥ m，则 m⊥ αC．若 l∥ α ， m⊂α ，则 l∥ mD．若 l∥ α ， m∥ α ，则 l∥ m27．如图 D2 ­2 所示，已知六棱锥 P ­ ABCDEF 的底面是正六边形，若 PA⊥平面ABC， PA＝2 AB，则下列结论正确的是( )图 D2­2A． PB⊥ ADB．平面 PAB⊥平面 PBCC．直线 BC∥平面 PAED．直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°8．在直三棱柱 ABC­A1B1C1中，若∠ BAC＝90°， AB＝ AC＝ AA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°9．已知 m， n 是两条不同的直线， α ， β ， γ 是三个不同的平面，下列命题中错误的是( )A．若 m⊥ α ， m⊥ β ，则 α ∥ βB．若 α ∥ γ ， β ∥ γ ，则 α ∥ βC．若 m⊂α ， n⊂β ， m∥ n，则 α ∥ βD．若 m， n 是异面直线， m⊂α ， n⊂β ， m∥ β ， n∥ α ，则 α ∥ β10．设 α ， β ， γ 是三个互不重合的平面， m， n 为两条不同的直线，给出下列命题：( )①若 n∥ m， m⊂α ，则 n∥ α ；②若 α ∥ β ， n⊄β ， n∥ α ，则 n∥ β ；③若 β ⊥ α ， γ ⊥ α ，则 β ∥ γ ；④若 n∥ m， n⊥ α ， m⊥ β ，则 α ∥ β .其中是真命题的有( )A．①和② B．①和③C．②和④ D．③和④11．如图 D2­3 所示，在长方体 ABCD ­ A1B1C1D1中，若 AB＝ BC， E， F 分别是 AB1， BC1的中点，则下列结论中不成立的是( )图 D2­3① EF 与 BB1垂直；② EF⊥平面 BCC1B1；3③ EF 与 C1D 所成的角为 45°；④ EF∥平面 A1B1C1D1.A．②③ B．①④ C．③ D．①②④12．在长方体 ABCD­A1B1C1D1中，若 AB＝ AD＝2 ， CC1＝ ，则二面角 C1­BD­C 的大3 2小为( )A．30° B．45°C．60° D．90°请将选择题答案填入下表：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)13．在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 ，其余各棱长都为 2，则二面角 A ­ BD ­ 6C 的大小为________．14．已知 a，b 为互相不垂直的两条异面直线，α 是一个平面，则 a，b 在 α 上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)15．如图 D2­4 所示，若正四棱锥 P­ABCD 的底面积为 3，体积为 ，E 为侧棱 PC 的中22点，则 PA 与 BE 所成的角为________．图 D2­4图 D2­516．如图 D2­5 所示，已知矩形 ABCD 的边 AB＝a，BC＝2，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝ ；②a＝1；③a＝ ；④a＝2；⑤a＝4.当在 BC 边上存在点 Q，使 PQ⊥QD12 3时，a 可以取________．(填上一个你认为正确的数据序号即可)三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10 分)如图 D2­6 所示，在四面体 ABCD 中，CB＝CD，AD⊥BD，点 E，F 分别是 AB，BD 的中点．4求证：(1)直线 EF∥平面 ACD；(2)平面 EFC⊥平面 BCD.图 D2­618．(12 分)如图 D2­7 所示，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2 ，∠BAD＝∠CDA＝45°.2(1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；(2)证明：CD⊥平面 ABF.图 D2­719．(12 分)如图 D2­8 所示是一个正方体的表面展开图的示意图，MN 和 PQ 是两条面对角线，请在正方体中将 MN 和 PQ 画出来，并就这个正方体解答下列问题．(1)求直线 MN 和 PQ 所成角的大小；(2)求四面体 M­NPQ 的体积与正方体的体积之比．5图 D2­820．(12 分)如图 D2­9 所示，在三角形 ABC 中，AC＝BC＝ AB，四边形 ABED 是边长为221 的正方形，平面 ABED⊥底面 ABC，G，F 分别是 EC，BD 的中点．(1)求证：GF∥平面 ABC；(2)求证：AC⊥平面 EBC；(3)求该五面体的体积．图 D2­921．(12 分)如图 D2­10 所示，在长方形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，E 为 CD 的中点，以AE 为折痕，把△DAE 折起到△D′AE 的位置，且平面 D′AE⊥平面 ABCE.(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥 D′­ABCE 的体积；(3)在棱 D′E 上是否存在一点 P，使得 D′B∥平面 PAC，若存在，求出点 P 的位置，6若不存在，请说明理由．图 D2­1022．(12 分)如图 D2­11 所示，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD⊥BD，M 为 AB 的中点，矩形 ABEF 所在的平面和平面 ABCD 相互垂直．(1)求证：AD⊥平面 DBE；(2)设 DE 的中点为 P，求证：MP∥平面 DAF；(3)若 AB＝2，AD＝AF＝1，求三棱锥 E­BCD 的体积．图 D2­117单元测评(二)1．D [解析] 两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．2．A [解析] B 为公理 2，C 为公理 1，D 为公理 3.3．A [解析] 由三视图知：该几何体为底面是矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中四个侧面全是直角三角形，所以该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是 4.4．C [解析] 若 α，β 换为直线 a，b，则命题化为“若 a∥b，且 a⊥γ，则 b⊥γ” ，此命题为真命题；若 α，γ 换为直线 a，b，则命题化为“若 a∥β，且 a⊥b，则 b⊥β” ，此命题为假命题；若 β，γ 换为直线 a，b，则命题化为“若 a∥α，且 b⊥α，则 a⊥b” ，此命题为真命题．故真命题有 2 个．5．B [解析] 与 AA1平行的平面有：平面 BCC1B1，平面 CC1D1D，平面 BB1D1D，共 3个．6．B [解析] A 错误，要判断 l⊥α，需判断 l 垂直于 α 内的两条相交直线；B 正确，此为线面垂直的性质定理；C 错误，l 与 α 内的直线可能平行或异面；D 错误，l 与 m 可能平行、相交或异面．7．D [解析] 由题意知，直线 PD 与平面 ABC 所成的角为∠PDA.∵在 Rt△PAD 中，PA＝2AB＝AD，∴∠PDA＝45°.8．C [解析] 延长 CA 到 D，使得 AD＝AC，连接 A1D，则四边形 ADA1C1为平行四边形，故∠DA 1B 就是异面直线 BA1与 AC1所成的角．又∵三角形 A1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B＝60°.9．C [解析] 若 m⊂α，n⊂β，m∥n，则 α∥β，错误，α 与 β 也可能相交．10．C [解析] ①错误，可能 n⊂α；③错误，可能 β，γ 相交；②和④正确．11．A [解析] 显然①④正确，②③错误．12．A [解析] 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OC1.因为 AB＝AD＝2 ，所以 AC⊥BD，又3易证 BD⊥面 ACC1A1，所以 BD⊥OC 1，所以∠COC 1为二面角 C1­BD­C 的一个平面角．因为在△COC 1中，OC＝ ，CC 1＝ ，所以 tan∠COC 1＝ ，所以二面角 C1­BD­C 的大小为 30°.6 23313．90° [解析] 取 BD 的中点 M，连接 AM，CM，因为 AB＝AD＝BC＝CD，所以AM⊥BD，CM⊥BD，故∠AMC 为所求二面角的平面角．根据题意可知 AM＝ ，CM＝ ，因为3 3AM2＋CM 2＝AC 2，所以∠AMC＝90°.14．①②④ [解析] ①②④对应的情况如下图所示：15．60° [解析] 连接 AC，BD 交于点 O，连接 OE，易得 OE∥PA，∴所求的角为∠BEO.由所给条件易得 OB＝ ，OE＝ PA＝ ，BO⊥OE，62 12 22∴tan∠BEO＝ ＝ ，∴∠OEB＝60°.BOOE 316．①(或②) [解析] 为了使 PQ⊥QD，只要使 AQ⊥QD.设 BQ＝x，则 CQ＝2－x.∵△AQD 是直角三角形，∴AD 2＝AQ 2＋QD 2，即 4＝a 2＋x 2＋a 2＋(2－x) 2，∴x 2－2x＋a 2＝0，此方程有解，∴Δ≥0，即 0＜a≤1.故①②都满足题意．17．证明：(1)∵E，F 分别是 AB，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD.∵EF⊄平面 ACD，AD⊂平面 ACD，∴直线 EF∥平面 ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F 是 BD 的中点，∴CF⊥BD.8又∵EF∩CF＝F，∴BD⊥平面 EFC.∵BD⊂平面 BCD，∴平面 EFC⊥平面 BCD.18．解：(1)因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA∥ED，故∠CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角．因为 FA⊥平面 ABCD，所以 FA⊥CD，故 ED⊥CD.在 Rt△CDE 中，因为 CD＝1，ED＝2 ，所以 CE＝ ＝3，2 CD2＋ ED2所以 cos∠CED＝ ＝ .故异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 .EDCE 2 23 2 23(2)证明：过点 B 作 BG∥CD 交 AD 于点 G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.由∠BAD＝45°可得 BG⊥AB，从而 CD⊥AB.又因为 CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以 CD⊥平面 ABF.19．解： (1)如图所示，MN 与 PQ 是异面直线，连接 NC，MC，因为在正方体中，PQ∥NC，所以∠MNC 为异面直线 MN 与 PQ 所成的角．因为 MN＝NC＝MC，所以∠MNC＝60°.所以 MN 与 PQ 所成角的大小为 60°.(2)设正方体的棱长为 a，则正方体的体积 V＝a 3.而三棱锥 M­NPQ 的体积与三棱锥 N­PQM 的体积相等，且 NP⊥平面 MPQ，所以 VN­PQM＝ · MP·MQ·NP＝ a3.13 12 16所以四面体 M­NPQ 的体积与正方体的体积之比为 1∶6.20．解：(1)证明：图 2连接 AE.∵四边形 ADEB 为正方形，∴AE∩BD＝F，且 F 是 AE 的中点，∴GF∥AC.又 AC⊂平面 ABC，∴GF∥平面 ABC.(2)证明：∵四边形 ADEB 为正方形，∴EB⊥AB.又∵平面 ABED⊥平面 ABC，平面 ABED∩平面 ABC＝AB，∴BE⊥平面 ABC，∴BE⊥AC.∵CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面 EBC.(3)取 AB 的中点 N，连接 CN.因为 AC＝BC，∴CN⊥AB.又∵平面 ABED⊥平面 ABC，平面 ABED∩平面 ABC＝AB，CN⊂平面 ABC，∴CN⊥平面 ABED.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CN＝ AB＝ .12 12∵五面体 C­ABED 是四棱锥，∴V 四棱锥 C­ABED＝ S 四边形 ABED·CN＝ ×1× ＝ .13 13 12 16921．解：(1)证明：根据题意可知，在长方形 ABCD 中，△DAE 和△CBE 为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即 BE⊥AE，∵平面 D′AE⊥平面 ABCE，且平面 D′AE∩平面 ABCE＝AE，∴BE⊥平面 D′AE，∵AD′⊂平面 D′AE，∴AD′⊥BE.(2)取 AE 的中点 F，连接 D′F，则 D′F⊥AE.∵平面 D′AE⊥平面 ABCE，且平面 D′AE∩平面 ABCE＝AE，∴D′F⊥平面 ABCE，∴V D′­ABCE ＝ S 四边形 ABCE·D′F＝ × ×(1＋2)×1× ＝ .13 13 12 22 24(3)如图所示，连接 AC 交 BE 于 Q，假设在 D′E 上存在点 P，使得 D′B∥平面 PAC，连接 PQ，∵D′B⊂平面 D′BE，平面 D′BE∩平面 PAC＝PQ，∴D′B∥PQ，∴在△EBD′中， ＝ ，∵在梯形 ABCE 中， ＝ ＝ ，EPPD′ EQQB EQQB ECAB 12∴ ＝ ＝ ，即 EP＝ ED′，EPPD′ EQQB 12 13∴在棱 D′E 上存在一点 P，且 EP＝ ED′，使得 D′B∥平面 PAC.1322．解：(1)证明：∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，矩形 ABEF 中 EB⊥AB，∴EB⊥平面 ABCD，∵AD⊂平面 ABCD，∴EB⊥AD，∵AD⊥BD，BD∩BE＝B，∴AD⊥平面 BDE.(2)证明：取 EF 的中点 G，连接 MG，PG(如图所示)．因为 P，M，G 分别为 DE，AB，EF 的中点，∴MG∥AF，PG∥DF，∵MG∩PG＝G，AF∩DF＝F，∴平面 PMG∥平面 DAF.∵PM⊂平面 PMG，∴MP∥平面 DAF.(3)过 D 作 DH 垂直于 AB 于 H.在直角三角形 ADB 中，∵AB＝2，AD＝1，∴BD＝ ，DH＝ ，332∴三棱锥 E­BCD 的体积 V＝ ×1× ×1× ＝ .13 12 32 312