2017届高三数学二轮复习 高考大题分层练 理（打包8套）新人教版.zip

1高考大题分层练1.三角、数列、概率统计、立体几何(A 组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知向量 a=(cosx+sinx,2sinx),b=(cosx-sinx,cosx),令 f(x)=a·b.(1)求 f(x)的最小正周期.(2)当 x∈ 时,求 f(x)的最小值以及取得最小值时 x 的值.[π 4,3𝜋4]【解析】f(x)=cos 2x-sin2x+2sinxcosx=cos 2x+sin 2x= sin .2 (2𝑥+𝜋4)(1)由最小正周期公式得:T= =π.2𝜋2(2)x∈ ,则 2x+ ∈ ,[π4,3𝜋4] π4[3𝜋4,7𝜋4]令 2x+ = ,则 x= ,π43𝜋2 5𝜋8所以当 x= 时,函数 f(x)取得最小值- .5𝜋8 22.已知{a n}为等差数列,且满足 a1+a3=8,a2+a4=12.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)记{a n}的前 n 项和为 Sn,若 a3,ak+1,Sk成等比数列,求正整数 k 的值.【解析】(1)设数列{a n}的公差为 d,由题意知 解得 a1=2,d=2,{2𝑎1+2𝑑=8,2𝑎1+4𝑑=12,所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,即 an=2n.(2)由(1)得 Sn= = =n(1+n)=n2+n,(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛2 (2+2𝑛)𝑛2所以 a3=2×3=6,ak+1=2(k+1)=2k+2,Sk=k2+k,因为 a3,ak+1,Sk成等比数列,所以 =a3Sk,从而(2k+2) 2=6(k2+k),即 k2-k-2=0,k∈N *,解a2𝑘+1得 k=2 或 k=-1(舍去),所以 k=2.23.甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，求：(1)摸出 3 个白球的概率.(2)摸出至少两个白球的概率.(3)若将摸出至少有两个白球记为 1 分，则一个人不放回地摸 2 次，求得分 X 的分布列及数学期望.【解析】设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=0，1，2，3)，(1)由题意得 P(A3)= · = .C23𝐶25C12𝐶2315(2)设“摸出至少两个白球”为事件 B，则 B=A2∪A 3，又 P(A2)= · + = ，C23𝐶25C22𝐶23C13𝐶12𝐶12𝐶25𝐶2312且 A2，A 3互斥，所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= + = .1215710(3)X 的所有可能取值为 0，1，2.P(X=0)= = ，(1‒710)2 9100P(X=1)= = ，C12710(1‒710)2150P(X=2)= = ，(710)249100所以 X 的分布列是X 0 1 2P91002150 49100X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× = .91002150 49100754.如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面 ABCD，且 BC=2EF，AE=AF，点 G 是 EF 的中点.3(1)证明：AG⊥平面 ABCD.(2)若直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为 ，求 AG 的长.69【解析】(1)因为 AE=AF，点 G 是 EF 的中点，所以 AG⊥EF.又因为 EF∥AD，所以 AG⊥AD.因为平面 ADEF⊥平面 ABCD，平面 ADEF∩平面 ABCD=AD，AG⊂平面 ADEF，所以 AG⊥平面 ABCD.(2)因为 AG⊥平面 ABCD，AB⊥AD，所以 AG，AD，AB 两两垂直.以 A 为原点，以 AB，AD，AG 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0)，设 AG=t(t0)，则 E(0，1，t)，F(0，-1，t)，所以 =(-4， -1，t)， =(4，4，0)， =(0，1，t).→B𝐹 →A𝐶 →A𝐸设平面 ACE 的法向量为 n=(x，y，z)，由 ·n=0， ·n=0，得→A𝐶 →A𝐸 {4𝑥+4𝑦=0,𝑦+𝑡𝑧=0,令 z=1，得 n=(t，-t，1).因为 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为 ，69所以|cos|= = ，→B𝐹 69即 = ，解得 t2=1 或 t2= .|-2𝑡|17+𝑡22𝑡2+1 69 172所以 AG=1 或 AG= .3421高考大题分层练2.三角、数列、概率统计、立体几何(B 组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知函数 f(x)=cos2 - ,g(x)= sin .(x+𝜋3)12 12 (2𝑥+2𝜋3)(1)要得到 y=f(x)的图象,只需把 y=g(x)的图象经过怎样的变换?(2)设 h(x)=f(x)-g(x),求:①函数 h(x)的最大值及对应的 x 的值;②函数 h(x)的单调递增区间.【解析】f(x)= -1+𝑐𝑜𝑠(2𝑥+2𝜋3)2 12= cos .12 (2𝑥+2𝜋3)(1)因为 f(x)= cos12 (2𝑥+2𝜋3)= sin ,12 [2(𝑥+𝜋4)+2𝜋3]所以将 y=g(x)的图象向左平移 个单位得到 y=f(x)的图象.π4(2)h(x)=f(x)-g(x)= cos - sin12 (2𝑥+2𝜋3)12 (2𝑥+2𝜋3)= cos = cos .22 (2𝑥+2𝜋3+𝜋4) 22 (2𝑥+11𝜋12)①h(x) max= .当 2x+ =2kπ(k∈Z),22 11𝜋12即 x=kπ- (k∈Z)时取最大值.11𝜋242②由 2kπ-π≤2x+ ≤2kπ,k∈Z,解得 kπ- ≤x≤kπ- ,k∈Z,11𝜋12 23𝜋24 11𝜋24所以递增区间为 (k∈Z).[k𝜋‒23𝜋24,𝑘𝜋‒11𝜋24]2.已知数列{b n}为单调递增的等差数列,b 3+b8=26,b5b6=168,设数列{a n}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan= .2𝑏𝑛(1)求数列{b n}的通项.(2)求数列{a n}的前 n 项和 Sn.【解析】(1)设等差数列{b n}的公差为 d,因为数列{b n}为单调递增的等差数列,所以 d0.由 {b3+𝑏8=26,𝑏5𝑏6=168,得 解得{2𝑏1+9𝑑=26,(𝑏1+4𝑑)(𝑏1+5𝑑)=168, {b1=4,𝑑=2.所以 bn=b1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,所以 bn=2n+2.(2) =22n+2=4n+1,2𝑏𝑛由 2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1+2nan= ①2𝑏𝑛得 2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1= ②2𝑏𝑛‒1①-②得 2nan=4n+1-4n=3×4n,n≥2,所以 an=3×2n,n≥2.又因为 a1= =8 不符合上式,2𝑏12所以 an={8,𝑛=1,3×2𝑛,𝑛≥2,当 n≥2 时,3Sn=8+3×(22+23+…+2n)=8+3× =3×2n+1-4,22(1‒2𝑛‒1)1‒2因为 S1=8 符合上式,所以 Sn=3×2n+1-4,n∈N *.3.A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5(1)试估计 C 班的学生人数.(2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.(3)再从 A，B，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8(单位：小时)，这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 μ 1，表格中数据的平均数记为 μ 0，试判断 μ 0和 μ 1的大小.(结论不要求证明)【解析】(1)由题意知，抽出的 20 名学生中，来自 C 班的学生有 8 名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为 100× =40.820(2)设事件 Ai为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人” ，i=1，2，…，5，事件 Cj为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人” ，j=1，2，…，8，由题意可知，P(A i)= ，i=1， 2，…，5；P(C j)= ，15 18j=1，2，…，8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)= × = ，i=1，2，…，5，1518140j=1，2，…，8.设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，E=A1C1∪A 1C2∪A 2C1∪A 2C2∪A 2C3∪A 3C1∪A 3C2∪A 3C3∪A 4C1∪A 4C2∪A 4C3∪A 5C1∪A 5C2∪A 5C3∪A 5C4，4因此 P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15× = .14038(3)μ 1μ 0.4.已知在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD⊥平面 ABCD，E，F，G 分别是 PA，PB，BC 的中点.(1)求证：EF⊥平面 PAD.(2)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小.【解析】(1)因为平面 PAD⊥平面 ABCD，AB⊥AD，所以 AB⊥平面 PAD，因为 E，F 为 PA，PB 的中点，所以 EF∥AB，所以 EF⊥平面 PAD.(2)过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，因为平面 PAD⊥平面 ABCD，则 PO⊥平面 ABCD.取 AO 中点 M，连接 OG，EO，EM，因为 EF∥AB∥OG，所以 OG 即为平面 EFG 与平面 ABCD 的交线又 EM∥OP，则 EM⊥平面 ABCD，且 OG⊥AO，故 OG⊥EO，所以∠EOM 即为所求.在 Rt△EOM 中，EM= ，OM=1，35所以 tan∠EOM= ，故∠EOM=60°，3所以平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小是 60°.1高考大题分层练3.三角、数列、概率统计、立体几何(C 组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知向量 m= ,n= .记 f(x)=m·n,(3𝑠𝑖𝑛𝑥4,1) (cos𝑥4,𝑐𝑜𝑠2𝑥4)(1)求 f(x)的最小正周期.(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,若 f(A)= ,试判断△ABC 的形状.1+ 32【解析】f(x)= sin cos +cos2 = sin + cos + =sin + .3x4 x4 x4 32 x212 x212 (x2+𝜋6)12(1)T= =4π.2𝜋12(2)根据正弦定理知:(2a-c)cosB=bcosC⇒(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC⇒2sinAcosB=sin(B+C)=sinA⇒cosB= ⇒B= ,12 π3因为 f(A)= ,1+ 32所以 sin + = ⇒ + = 或 ⇒A= 或 π.(A2+𝜋6)121+ 32 A2π6π32𝜋3 π3而 0A ,所以 A= ,因此△ABC 为等边三角形.2𝜋3 π32.已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=n-n2.(n∈N *)(1)求数列{a n}的通项公式.2(2)设 bn= (n∈N *),求数列{b n}的前 2n 项和 T2n.(2𝑎𝑛2(1‒𝑎𝑛)(1‒𝑎𝑛+2),𝑛=2𝑘‒1,,𝑛=2𝑘,【解析】(1)当 n≥2 时,2an=2Sn-2Sn-1=n-n2-[(𝑛‒1)‒(𝑛‒1)2]=2-2n.an=1-n(n≥2),当 n=1 时,由 2S1=1-12得 a1=0,显然当 n=1 时上式也适合,所以 an=1-n.(2)因为 = = - ,2(1‒𝑎𝑛)(1‒𝑎𝑛+2) 2𝑛(𝑛+2)1𝑛 1𝑛+2所以 T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=(20+2-2+…+22-2n)+[ + +…+(12‒14)(14‒16) (1𝑛‒ 1𝑛+2)]= + - = - · - .1‒(14)𝑛1‒14 12 1𝑛+211643 (14)𝑛 1𝑛+23.某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了 20 名用户的评分，得到如图所示茎叶图，对不低于 75 的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意.3(1)根据以上资料完成下面的 2×2 列联表，若据此数据算得 K2的观测值 k≈3.7781，则在犯错的概率不超过 5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？不满意 满意 总计男 4 7女总计附：P(K2≥k 0) 0.100 0.050 0.010k0 2.706 3.841 6.635(2)以此“满意”的频率作为概率，求在 3 人中恰有 2 人满意的概率.(3)从以上男性用户中抽取 2 人，女性用户中抽取 1 人，其中满意的人数为 ξ，求 ξ 的分布列与数学期望.【解析】(1)不满意 满意 总计男 3 4 7女 11 2 13总计 14 6 20因为 K2的观测值 k≈3.77813.841，所以在犯错的概率不超过 5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关.4(2)由频率估计“满意”的概率为 =0.3，620所以在 3 人中恰有 2 人满意的概率为 (0.3)2×(1-0.3)=0.189；C23 (或 1891 000)(3)ξ 的可能取值为 0，1，2，3，P(ξ=0)= · = ，C23𝐶27C111𝐶1131191P(ξ=1)= · + · = ，C13𝐶14𝐶27C111𝐶113C23𝐶27C12𝐶1134691P(ξ=3)= · = ，C24𝐶27C12𝐶113491P(ξ=2)=1- - - = ，119146914913091ξ 的分布列为ξ 0 1 2 3P1191 4691 3091 491数学期望 E(ξ)=1× +2× +3× = .4691 3091 491118914.正方体 ABCD -A1B1C1D1中，沿平面 A1ACC1将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线 A1C 的平面 A1CM 与线段 BB1交于点 M.(1)当 M 与 B1重合时，求证：MC⊥AC 1.(2)当平面 A1CM⊥平面 A1ACC1时，求平面 A1CM 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值.5【解析】(1)连接 C1B，AC 1，在正方形 B1BCC1中，BC1⊥B 1C，在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，AB⊥平面 B1BCC1，B1C⊂平面 B1BCC1，所以 AB⊥B 1C，又因为 AB∩BC 1=B，所以 B1C⊥平面 ABC1，所以 B1C⊥AC 1，即 MC⊥AC 1.(2)在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，CB，AB，BB 1两两垂直，分别以 CB，AB，BB 1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=a，所以 C(-a，0，0)，A 1(0，-a，a)，设 M(0，0，z)，所以 =(a，-a，a)， =(a，0，z)，设平面 A1MC 的法向量为 n1=(x1，y 1，z 1)，→C𝐴1 →C𝑀则 即 令 z1=a，得 n1=(-z，a-z，a)，{a𝑥1‒𝑎𝑦1+𝑎𝑧1=0,𝑎𝑥1+𝑧𝑧1=0, 平面 A1ACC1的一个法向量为 n2=(1，1，0)，平面 ABC 的一个法向量为 n3=(0，0，1)，因为平面 A1CM⊥平面 A1ACC1，所以 n1·n2=0，得 z= a，所以 n1= ，12 (-𝑎2,𝑎2,𝑎)设平面 A1CM 与平面 ABC 所成锐二面角为 θ，则 cosθ= = = .a1·62𝑎 6361高考大题分层练4.三角、数列、概率统计、立体几何(D 组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.设△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.(1)求 的值.sin𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶(2)若 cosB= ,且△ABC 的周长为 14,求 b 的值.16【解析】(1)因为 b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.由正弦定理得, = .cos𝐴‒3𝑐𝑜𝑠𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵3𝑠𝑖𝑛𝐶‒𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB,化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C).又 A+B+C=π,所以 sinC=3sinA,因此 = .sin𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶13(2)由 = 得 c=3a.由余弦定理及 cosB= 得sin𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶13 16b2=a2+c2-2accosB=a2+9a2-6a2× =9a2.16所以 b=3a.又 a+b+c=14.从而 a=2,因此 b=6.2.设 Sn是正数数列{a n}的前 n 项和,且 Sn= + an- .14𝑎𝑛212 34(1)求数列{a n}的通项公式.(2)是否存在等比数列{b n},使 a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-1)·2n+1+2 对一切正整数 n 都成立?并证明你的结论.【解析】(1)由 Sn= + an- 得 Sn+1= + an+1- ,14𝑎𝑛212 34 14𝑎2𝑛+112 34两式相减并整理得(a n+1+an)(an+1-an-2)=0,2又由于 an+1+an0,则 an+1=an+2,故数列{a n}是等差数列.因为 a1=S1= + a1- 0,14𝑎1212 34所以 a1=3,故 an=2n+1.(2)当 n=1,2 时,a 1b1=22×(2×1-1)+2=6,a1b1+a2b2=23×(2×2-1)+2=26,可解得 b1=2,b2=4,猜想 bn=2n,使 a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1·(2n-1)+2 成立.证明:3·2+5·2 2+7·23+…+(2n+1)2n=2n+1(2n-1)+2 恒成立.令 S=3·2+5·22+7·23+…+(2n+1)2n,①2S=3·22+5·23+7·24+…+(2n+1)2n+1,②②-①得:S=(2n+1)2 n+1-2·2n+1+2=(2n-1)2n+1+2,故存在等比数列{b n}符合题意.3.学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100 分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取 10 名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎，个位数字为叶)，规定若满意度不低于 98 分，评价该教师为“优秀”.(1)求从这 10 人中随机选取 3 人，至多有 1 人评价该教师是“优秀”的概率.(2)以这 10 人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选 3 人，记 ξ 表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求 ξ 的分布列及数学期望.【解析】(1)设 Ai表示所取 3 人中有 i 个人评价该教师为“优秀” ，至多 1 人评价该教师为“优秀”记为事件 A，则 P(A)=P(A0)+P(A1)= + = .C37𝐶310C13𝐶27𝐶3104960(2)由已知得 ξ 的可能取值为 0，1，2，3，3P(ξ=0)= = ，P(ξ=1)= · · = ，(710)33431 000 C13 310(710)24411 000P(ξ=2)= · = ，P(ξ=3)= = .C23(310)2 7101891 000 (310)3 271 000故 ξ 的分布列为：ξ 0 1 2 3P3431 0004411 0001891 000271 000E(ξ)=0× +1× +2× +3× =0.9.3431 0004411 0001891 000271 0004.如图，矩形 ABCD 中， =λ(λ1)，将其沿 AC 翻折，使点 D 到达点 E 的位置，且二面A𝐵𝐴𝐷角 C -AB-E 为直二面角.(1)求证：平面 ACE⊥平面 BCE.(2)设 F 是 BE 的中点，二面角 E-AC-F 的平面角的大小为 θ，当 λ∈[2，3]时，求 cosθ的取值范围.【解析】(1)因为二面角 C-AB-E 为直二面角，AB⊥BC，所以 BC⊥平面 ABE，所以 BC⊥AE，因为 AE⊥CE，BC∩CE=C，所以 AE⊥平面 BCE，又因为 AE⊂平面 ACE，所以平面 ACE⊥平面 BCE.(2)方法一：如图，以 E 为坐标原点，以 AD 长为一个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB=λ，A(0，1，0)，B ，( λ2‒1,0,0)4C ，E ，F ，( λ2‒1,0,1) (0,0,0) ( λ 2‒12 ,0,0)则 =(0，1， 0)， = ，→E𝐴 →E𝐶( λ 2‒1,0,1)设平面 EAC 的一个法向量为 m=(x，y，z)，则 {y=0,𝜆2‒1·𝑥+𝑧=0,取 x=1，则 m= ，(1,0,‒ 𝜆2‒1)同理平面 FAC 的一个法向量为n= ，(2, 𝜆2‒1,‒ 𝜆2‒1)所以 cosθ= = = · ，λ 2+1𝜆·2(𝜆2+1)22 1+1𝜆2因为 λ∈[2，3]，所以 cosθ∈ .[53, 104]方法二：过 F 作 FG⊥CE 于 G，过 G 作 GH⊥AC 于 H，连接 FH，则 FG⊥AC，则二面角 E-AC-F的平面角为∠FHG，因为 AF=CF= = ，1+( 𝜆2‒12 )2 λ 2+32所以 H 为 AC 的中点，所以 FH= = ，( λ 2+32 )2‒( 𝜆2+12 )2 22由 S△CEF = S△BCE ，得 FG= ，12 λ 2‒12𝜆所以 GH= ，λ 2+12𝜆5所以 cosθ= · ，因为 λ∈[2，3]，22 1+1𝜆2所以 cosθ∈ .[53, 104]1高考大题分层练 5.解析几何、函数与导数(A 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知抛物线 C：y 2=2px(p0)过点 M(m，2)，其焦点为 F，且 =2.|M𝐹|(1)求抛物线 C 的方程.(2)设 E 为 y 轴上异于原点的任意一点，过点 E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线 C 和圆 F：(x-1) 2+y2=1 相切，切点分别为 A，B，求证：直线 AB 过定点.【解析】(1)抛物线 C 的准线方程为：x=- ，p2所以 =m+ =2，又因为 4=2pm，|M𝐹|p2即 4=2p ，(2‒𝑝2)所以 p2-4p+4=0，所以 p=2.抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)设点 E(0，t)(t≠0)，由已知切线不为 y 轴，设 EA：y=kx+t，联立 消去 y，可得 k2x2+(2kt-4)x+t2=0，{y=𝑘𝑥+𝑡,𝑦2=4𝑥,因为直线 EA 与抛物线 C 相切，所以 Δ=(2kt-4) 2-4k2t2=0，即 kt=1，代入 x2-2x+t2=0，所以 x=t2，即 A(t2，2t)，1𝑡2设切点 B(x0，y 0)，则由几何性质可以判断点 O，B 关于直线 EF：y=-tx+t 对称，则解得：{y0𝑥0×𝑡‒00‒1=‒1,𝑦02=‒𝑡·𝑥02+𝑡, {x0=2𝑡2𝑡2+1,𝑦0= 2𝑡𝑡2+1,即 B .(2𝑡2𝑡2+1, 2𝑡𝑡2+1)方法一：直线 AB 的斜率为 kAB= (t≠±1)，2𝑡𝑡2‒12直线 AB 的方程为 y= (x-t2)+2t，整理 y= (x-1)，2𝑡𝑡2‒1 2𝑡𝑡2‒1所以直线 AB 过定点恒过定点 F(1，0)，当 t=±1 时，A(1，±2)，B(1，±1)，此时直线 AB 为 x=1，过点 F(1，0).综上，直线 AB 过定点恒过定点 F(1，0).方法二：直线 AF 的斜率为 kAF= (t≠±1)，2𝑡𝑡2‒1直线 BF 的斜率为 kBF= = (t≠±1)，2𝑡𝑡2+1‒02𝑡2𝑡2+1‒1 2𝑡𝑡2‒1所以 kAF=kBF，即 A，B，F 三点共线，当 t=±1 时，A(1，±2)，B(1，±1)，此时 A，B，F 共线.所以直线 AB 过定点 F.2.已知函数 f(x)=ln(1+x2)+ax.(a≤0)(1)若 f(x)在 x=0 处取得极值，求 a 的值.(2)讨论 f(x)的单调性.(3)证明： … 0 得 ax2+2x+a0，所以 或 x ，-1‒ 1‒𝑎2𝑎 -1+1‒𝑎2𝑎所以 f(x)在 上单调递增，(-1+1‒𝑎2𝑎 ,‒1‒ 1‒𝑎2𝑎 )在 和 上单调递减，(-∞ ,‒1+1‒𝑎2𝑎 ) (-1‒ 1‒𝑎2𝑎 ,+∞)综上所述，若 a≤-1，f(x)在(-∞，+∞)上单调递减；若-1a0，f(x)在( ， )上单调递增，-1+1‒𝑎2𝑎 -1‒ 1‒𝑎2𝑎和 上单调递减；(-∞ ,‒1+1‒𝑎2𝑎 ) (-1‒ 1‒𝑎2𝑎 ,+∞,)若 a=0，f(x)在(0，+∞)单调递增，在(-∞，0)单调递减.(3)由(2)知，当 a=-1 时，f(x)在(-∞，+∞)单调递减，当 x∈(0，+∞)时，由 f(x)f(0)=0，所以 ln(1+x2)x，所以 ln[(1+19)(1+181)…(1+132𝑛)]4=ln +ln +…+ln + +…… =(1+19) (1+181) (1+132𝑛)13132 13𝑛13(1‒13𝑛)1‒13= ，12(1‒13𝑛)12所以 … = (n∈N *，e 为自然对数的底数).(1+19)(1+181) (1+132𝑛)e12 (𝑒)1高考大题分层练 6.解析几何、函数与导数(B 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.以椭圆 C： + =1(ab0)的中心 O 为圆心， 为半径的圆称为该椭圆的x2𝑎2y2𝑏2 a2+𝑏2“准圆”.设椭圆 C 的左顶点为 P，左焦点为 F，上顶点为 Q，且满足 =2，S △|P𝑄|OPQ= S△OFQ .62(1)求椭圆 C 及其“准圆”的方程.(2)若椭圆 C 的“准圆”的一条弦 ED(不与坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 M，N 两点，试证明：当 · =0 时，弦 ED 的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.→O𝑀→O𝑁【解析】(1)设椭圆 C 的左焦点 F(-c，0)，c0，由 S△OPQ = S△OFQ 得 a= c，又62 62=2，即 a2+b2=4 且 b2+c2=a2，所以 a2=3，b 2=1，|P𝑄|则椭圆 C 的方程为 +y2=1；椭圆 C 的“准圆”方程为 x2+y2=4.x23(2)设直线 ED 的方程为 y=kx+m(k，m∈R)，且与椭圆 C 的交点 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，联列方程组 代入消元得：{y=𝑘𝑥+𝑚,𝑥23+𝑦2=1(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0，由 x1+x2= ；x 1x2= ，-6𝑘𝑚1+3𝑘2 3𝑚2‒31+3𝑘2可得 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)= ，由 · =0，m2‒3𝑘21+3𝑘2 →O𝑀→O𝑁得 x1x1+y1y2=0，即 +3𝑚2‒31+3𝑘2m2‒3𝑘21+3𝑘22= =0，4𝑚2‒3𝑘2‒31+3𝑘2所以 m2= (k2+1)，34此时 Δ=36k 2m2-4(1+3k2)(3m2-3)=27k2+30 成立，则原点 O 到弦 ED 的距离 d= = = = ，|m|𝑘2+1 m2𝑘2+1 34 32所以原点 O 到弦 ED 的距离为 ，32则 =2 = ，|E𝐷|4‒34 13故弦 ED 的长为定值，定值为 .132.已知函数 f(x)=lnx-kx+1(k 为常数)，函数 g(x)=xex-ln ，(a 为常数，且(4𝑎𝑥+1)a0).(1)若函数 f(x)有且只有 1 个零点，求 k 的取值的集合.(2)当(1)中的 k 取最大值时，求证：ag(x)-2f(x)2(lna-ln2).【解析】(1)f′(x)= ，1‒𝑘𝑥𝑥①当 k≤0 时，f′(x)0，则 f(x)在(0，+∞)单调递增.而 f(ek-2)=k-2-kek-2+1=k(1-ek-2)-1≤-10，故 f(x)在(e k-2，1)上存在唯一零点，满足题意；②当 k0 时，令 f′(x)0 得 0 ，则 f(x)在 上单调递减；1𝑘 (1𝑘,+∞)若 f =0，得 k=1，显然满足题意；(1𝑘)3若 f 0，则 00，得 x1，故 h(x)在(1，+∞)上单调递减；故 h(x)≤h(1)=0，则 h =ln - +11，故 ln (4𝑎𝑥+1)axex-a x-2lnx+2x-2=axex-2lnx-2x-2，4𝑎记 F(x)=axex-2lnx-2x-2，4则 F′(x)=(x+1) = (axex-2)，(a𝑒𝑥‒2𝑥)x+1𝑥令 G(x)=axex-2，则 G′(x)=a(x+1)e x0，故 G(x)在(0，+∞)上单调递增.而 G(0)=-20，故存在 x0∈ ，(2𝑎) e2𝑎 (0,2𝑎)使得 G(x0)=0，即 ax0 -2=0.e𝑥0则 x∈(0，x 0)时，G′(x)0，故 F′(x)0.则 F(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，+∞)上单调递增，故 F(x)≥F(x 0)=ax0 -2x0-2lnx0-2=-2(x0+lnx0)=-2ln(x0 )e𝑥0 e𝑥0=-2ln =2lna-2ln2.2𝑎故 ag(x)-2f(x)2(lna-ln2).1高考大题分层练 7.解析几何、函数与导数(C 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.椭圆 Γ： + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，右顶点为 A，上顶点为 B.已知x2𝑎2y2𝑏2= .|A𝐵|72|𝐹1𝐹2|(1)求椭圆的离心率.(2)过点 M(-2a，0)的直线交椭圆 Γ 于 P，Q(不同于左、右顶点)两点，且+ = .当△PQF 1面积最大时，求直线 PQ 的方程.1|𝑃𝐹1|1|𝑄𝐹1| 112【解析】(1)设椭圆右焦点 F2的坐标为(c，0).由 = ，可得 a2+b2=7c2.又|A𝐵|72|𝐹1𝐹2|b2=a2-c2，则 = ，所以椭圆的离心率 e= .c2𝑎214 12(2)椭圆的离心率是 ，所以 b2= a2，所以椭圆方程可写为 3x2+4y2=3a2.12 34设直线 PQ 的方程为 x=my-2a，联立直线和椭圆方程，消去 x 得(3m2+4)y2-12may+9a2=0.设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2).则 y1+y2= ，y 1y2= .依题意，该方程的判别式 Δ0，12𝑚𝑎3𝑚2+4 9𝑎23𝑚2+4即 m2-40，由焦半径公式得 = ， = .|P𝐹1||m𝑦1|2 |Q𝐹1||m𝑦2|2因此 + = 可化为 = . ①1|𝑃𝐹1|1|𝑄𝐹1| 112 |1𝑦1+1𝑦2||m|242将 y1+y2= ，y 1y2= 代入①式得， = ，解得 a=32.12𝑚𝑎3𝑚2+4 9𝑎23𝑚2+4 |12𝑚𝑎|9𝑎2 |m|24所以 = · = · . ②S△𝑃𝑄𝐹1123𝑎2|𝑦1‒𝑦2|9𝑎22 m2‒43𝑚2+4令 t= (t0)，则②式可化为m2‒4= · ≤ · =192 .S△𝑃𝑄𝐹19𝑎22 t3𝑡2+169𝑎22 t2×4×3𝑡 3当且仅当 t2= 时， “=”成立，此时 m=± .163 2213所以直线 PQ 的方程为 x= y-64 或 x=- y-64.2213 22132.已知函数 f(x)=ln +x2-ax(a 为常数，a0).(12+12𝑎𝑥)(1)求证：当 0m(1-a2)成立，求实数 m[12,1]的取值范围.【解析】(1)f′(x)= = .a+(2𝑥‒𝑎)(𝑎𝑥+1)𝑎𝑥+1 2𝑎𝑥(𝑥+1𝑎‒𝑎2)𝑎𝑥+1得 f′(x)≥0，{a𝑥+10,2𝑎𝑥0,𝑥+1𝑎‒𝑎2≥12+12‒1=0,所以 f(x)在 上单调递增.[12,+∞)3(2)1m(1-a2)成立，得 f(x)maxm(1-a2)，[12,1]即 f(1)=ln +1-am(1-a2)，a∈(1，2).(a+12 )令 g(a)=ln +1-a+m(a2-1)，a∈(1，2)，g(1)=0.a+12g′(a)= · -1+2ma= -1+2ma= =2𝑎+112 1𝑎+1 2𝑚𝑎2+(2𝑚‒1)𝑎𝑎+1，a(2𝑚𝑎+2𝑚‒1)𝑎+1导函数的零点 a= ，1‒2𝑚2𝑚当 m≤0 时，g′(a)0 时， 即 m≥ ，g′(a)0，g(a) 在 a∈(1，2)上单调递增，1‒2𝑚2𝑚 14故 g(a)g(1)=0，当 1 2 时，即 m ，g(a)在 上递减， 上递增，1‒2𝑚2𝑚 16 14 (1,1‒2𝑚2𝑚) (1‒2𝑚2𝑚,2)不合题意；当 ≥2 时，即 m≤ ，g(a)在(1，2)上单调递减，不合题意 .1‒2𝑚2𝑚 16综上，实数 m 的取值范围是 .[14,+∞)1高考大题分层练 8.解析几何、函数与导数(D 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.设椭圆 C： + =1(ab0)，定义椭圆 C 的“相关圆 ”方程为 x2+y2= ，若抛x2𝑎2y2𝑏2 a2𝑏2𝑎2+𝑏2物线 y2=4x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.(1)求椭圆 C 的方程和“相关圆”E 的方程.(2)过“相关圆”E 上任意一点 P 作“相关圆”E 的切线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点.证明∠AOB 为定值.【解析】(1)因为若抛物线 y2=4x 的焦点为(1，0)与椭圆 C 的一个焦点重合，所以 c=1，又因为椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以 b=c=1，故椭圆 C 的方程为 +y2=1，x22“相关圆”E 的方程为 x2+y2= .23(2)当直线 l 的斜率不存在时，不妨设直线 AB 方程为 x= ，63则 A ，B ，所以∠AOB= .(63, 63) ( 63,‒ 63) π 2当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y=kx+m，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组 得 x2+2(kx+m)2=2，{y=𝑘𝑥+𝑚,𝑥22+𝑦2=1,即(1+2k 2)x2+4kmx+2m2-2=0，Δ=16k 2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)0，即 2k2-m2+10(*)，2{x1+𝑥2=‒ 4𝑘𝑚1+2𝑘2,𝑥1𝑥2=2𝑚2‒21+2𝑘2, 因为直线与相关圆相切，所以 d= = = ，|m|1+𝑘2 m21+𝑘2 23所以 3m2=2+2k2，所以 x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2= - +m2= =0，(1+𝑘2)(2𝑚2‒2)1+2𝑘2 4𝑘2𝑚21+2𝑘2 3𝑚2‒2𝑘2‒21+2𝑘2所以 OA⊥OB，所以∠AOB= 为定值.π 22.已知函数 f(x)=x-1-a(x-1)2-lnx(a∈R).(1)当 a=0 时，求函数 f(x)的单调区间.(2)若存在 k∈(1，2)，使得当 x∈(0，k]时，f(x)的值域是[f(k)，+∞)，求 a 的取值范围.(注：自然对数的底数 e=2.71828…)【解析】(1)f(x)的定义域为(0，+∞)当 a=0 时，f′(x)=1- = .由 f′(x)0，解得 x1.1𝑥x‒1𝑥所以，函数 f(x)的增区间为(1，+∞)，减区间为(0，1).(2)f′(x)=1-2a(x-1)- =- =- .1𝑥2𝑎𝑥2‒(2𝑎+1)𝑥+1𝑥 (𝑥‒1)(2𝑎𝑥‒1)𝑥①当 a≤0 时， 1 时，f′(x)0，f(x)在(1，+∞)上为增函数.所以，当 x∈(0，k](10 时，f′(x)=- .2𝑎(𝑥‒1)(𝑥‒12𝑎)𝑥(i)当 时，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：12𝑎 12x (0,12𝑎) 12𝑎 (12𝑎,1)1 (1，+∞)f′(x) - 0 + 0 -f(x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数若满足题意，只需满足 f f(2)，(12𝑎)即 -1-a -ln 1-a-ln2.12𝑎(12𝑎‒1)2 12𝑎整理得 +ln2a+ln2-10.14𝑎令 F(a)= +ln2a+ln2-1 ，当 a 时，F′(a)= - = 0，14𝑎 (a12) 12 1𝑎 14𝑎24𝑎‒14𝑎2所以 F(a)在 上为增函数，(12,+∞)所以，当 a 时，F(a)F =ln2- ln - =0.12 (12) 12 e12可见，当 a 时，f f(2)恒成立.12 (12𝑎)故若 a ，当 x∈(0，k](1 满足题意.12(ⅱ)当 =1，即 a= 时，f′(x)=- ≤0，当且仅当 x=1 时取等号.12𝑎 12 (𝑥‒1)2𝑥4所以 f(x)在(0，+∞)上为减函数.从而 f(x)在(0，k]上为减函数.符合题意.(ⅲ)当 1，即 01-ln2，且 a .14又 1-ln2 ，所以 a1-ln2.此时，1-ln21-ln2.所以实数 a 的取值范围是(1-ln2，+∞).