1、1高考大题分层练1.三角、数列、概率统计、立体几何(A 组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知向量 a=(cosx+sinx,2sinx),b=(cosx-sinx,cosx),令 f(x)=ab.(1)求 f(x)的最小正周期.(2)当 x 时,求 f(x)的最小值以及取得最小值时 x 的值. 4,34【解析】f(x)=cos 2x-sin2x+2sinxcosx=cos 2x+sin 2x= sin .2 (2+4)(1)由最小正周期公式得:T= =.22(2)x ,则 2x+ ,4,34 434,74令 2x+ = ,则 x= ,432 58所以当 x= 时,函数 f(
2、x)取得最小值- .58 22.已知a n为等差数列,且满足 a1+a3=8,a2+a4=12.(1)求数列a n的通项公式.(2)记a n的前 n 项和为 Sn,若 a3,ak+1,Sk成等比数列,求正整数 k 的值.【解析】(1)设数列a n的公差为 d,由题意知 解得 a1=2,d=2,21+2=8,21+4=12,所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,即 an=2n.(2)由(1)得 Sn= = =n(1+n)=n2+n,(1+)2 (2+2)2所以 a3=23=6,ak+1=2(k+1)=2k+2,Sk=k2+k,因为 a3,ak+1,Sk成等比数列,所以 =a3S
3、k,从而(2k+2) 2=6(k2+k),即 k2-k-2=0,kN *,解a2+1得 k=2 或 k=-1(舍去),所以 k=2.23.甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，求：(1)摸出 3 个白球的概率.(2)摸出至少两个白球的概率.(3)若将摸出至少有两个白球记为 1 分，则一个人不放回地摸 2 次，求得分 X 的分布列及数学期望.【解析】设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=0，1，2，3)，(1)由题意得 P(A3)= = .C2325C122315(2)设“摸出
4、至少两个白球”为事件 B，则 B=A2A 3，又 P(A2)= + = ，C2325C2223C131212252312且 A2，A 3互斥，所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= + = .1215710(3)X 的所有可能取值为 0，1，2.P(X=0)= = ，(1710)2 9100P(X=1)= = ，C12710(1710)2150P(X=2)= = ，(710)249100所以 X 的分布列是X 0 1 2P91002150 49100X 的数学期望 E(X)=0 +1 +2 = .91002150 49100754.如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为
5、 4 的正方形，EFAD，平面ADEF平面 ABCD，且 BC=2EF，AE=AF，点 G 是 EF 的中点.3(1)证明：AG平面 ABCD.(2)若直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为 ，求 AG 的长.69【解析】(1)因为 AE=AF，点 G 是 EF 的中点，所以 AGEF.又因为 EFAD，所以 AGAD.因为平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCD=AD，AG平面 ADEF，所以 AG平面 ABCD.(2)因为 AG平面 ABCD，ABAD，所以 AG，AD，AB 两两垂直.以 A 为原点，以 AB，AD，AG 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，如图建立
6、空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0)，设 AG=t(t0)，则 E(0，1，t)，F(0，-1，t)，所以 =(-4， -1，t)， =(4，4，0)， =(0，1，t).B A A设平面 ACE 的法向量为 n=(x，y，z)，由 n=0， n=0，得A A 4+4=0,+=0,令 z=1，得 n=(t，-t，1).因为 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为 ，69所以|cos|= = ，B 69即 = ，解得 t2=1 或 t2= .|-2|17+222+1 69 172所以 AG=1 或 AG= .3421高考大题分层练2.三角、数列、概率统计、立体
7、几何(B 组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知函数 f(x)=cos2 - ,g(x)= sin .(x+3)12 12 (2+23)(1)要得到 y=f(x)的图象,只需把 y=g(x)的图象经过怎样的变换?(2)设 h(x)=f(x)-g(x),求:函数 h(x)的最大值及对应的 x 的值;函数 h(x)的单调递增区间.【解析】f(x)= -1+(2+23)2 12= cos .12 (2+23)(1)因为 f(x)= cos12 (2+23)= sin ,12 2(+4)+23所以将 y=g(x)的图象向左平移 个单位得到 y=f(x)的图象.4(2)h(x)=f(x
8、)-g(x)= cos - sin12 (2+23)12 (2+23)= cos = cos .22 (2+23+4) 22 (2+1112)h(x) max= .当 2x+ =2k(kZ),22 1112即 x=k- (kZ)时取最大值.11242由 2k-2x+ 2k,kZ,解得 k- xk- ,kZ,1112 2324 1124所以递增区间为 (kZ).k2324,11242.已知数列b n为单调递增的等差数列,b 3+b8=26,b5b6=168,设数列a n满足2a1+22a2+23a3+2nan= .2(1)求数列b n的通项.(2)求数列a n的前 n 项和 Sn.【解析】(1)
9、设等差数列b n的公差为 d,因为数列b n为单调递增的等差数列,所以 d0.由 b3+8=26,56=168,得 解得21+9=26,(1+4)(1+5)=168, b1=4,=2.所以 bn=b1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,所以 bn=2n+2.(2) =22n+2=4n+1,2由 2a1+22a2+23a3+2n-1an-1+2nan= 2得 2a1+22a2+23a3+2n-1an-1= 21-得 2nan=4n+1-4n=34n,n2,所以 an=32n,n2.又因为 a1= =8 不符合上式,212所以 an=8,=1,32,2,当 n2 时,3Sn=8+3(22+
10、23+2n)=8+3 =32n+1-4,22(121)12因为 S1=8 符合上式,所以 Sn=32n+1-4,nN *.3.A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5(1)试估计 C 班的学生人数.(2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.
11、(3)再从 A，B，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8(单位：小时)，这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均数记为 0，试判断 0和 1的大小.(结论不要求证明)【解析】(1)由题意知，抽出的 20 名学生中，来自 C 班的学生有 8 名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为 100 =40.820(2)设事件 Ai为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人” ，i=1，2，5，事件 Cj为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人” ，j=1，2，8，由题意可知，P(A i)= ，i=1， 2，5；P(C j)= ，15
12、18j=1，2，8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)= = ，i=1，2，5，1518140j=1，2，8.设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，E=A1C1A 1C2A 2C1A 2C2A 2C3A 3C1A 3C2A 3C3A 4C1A 4C2A 4C3A 5C1A 5C2A 5C3A 5C4，4因此 P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15 = .1
13、4038(3) 1 0.4.已知在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，平面PAD平面 ABCD，E，F，G 分别是 PA，PB，BC 的中点.(1)求证：EF平面 PAD.(2)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小.【解析】(1)因为平面 PAD平面 ABCD，ABAD，所以 AB平面 PAD，因为 E，F 为 PA，PB 的中点，所以 EFAB，所以 EF平面 PAD.(2)过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，因为平面 PAD平面 ABCD，则 PO平面 ABCD.取 AO 中点 M，连接 OG，EO，EM，因为 EFABO
14、G，所以 OG 即为平面 EFG 与平面 ABCD 的交线又 EMOP，则 EM平面 ABCD，且 OGAO，故 OGEO，所以EOM 即为所求.在 RtEOM 中，EM= ，OM=1，35所以 tanEOM= ，故EOM=60，3所以平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小是 60.1高考大题分层练3.三角、数列、概率统计、立体几何(C 组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知向量 m= ,n= .记 f(x)=mn,(34,1) (cos4,24)(1)求 f(x)的最小正周期.(2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos
15、B=bcosC,若 f(A)= ,试判断ABC 的形状.1+ 32【解析】f(x)= sin cos +cos2 = sin + cos + =sin + .3x4 x4 x4 32 x212 x212 (x2+6)12(1)T= =4.212(2)根据正弦定理知:(2a-c)cosB=bcosC(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC2sinAcosB=sin(B+C)=sinAcosB= B= ,12 3因为 f(A)= ,1+ 32所以 sin + = + = 或 A= 或 .(A2+6)121+ 32 A26323 3而 0A ,所以 A= ,因此ABC 为等边三角形.23
16、32.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=n-n2.(nN *)(1)求数列a n的通项公式.2(2)设 bn= (nN *),求数列b n的前 2n 项和 T2n.(22(1)(1+2),=21,=2,【解析】(1)当 n2 时,2an=2Sn-2Sn-1=n-n2-(1)(1)2=2-2n.an=1-n(n2),当 n=1 时,由 2S1=1-12得 a1=0,显然当 n=1 时上式也适合,所以 an=1-n.(2)因为 = = - ,2(1)(1+2) 2(+2)1 1+2所以 T2n=(b1+b3+b2n-1)+(b2+b4+b2n)=(20+2-2+22-2n)+
17、+ +(1214)(1416) (1 1+2)= + - = - - .1(14)114 12 1+211643 (14) 1+23.某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了 20 名用户的评分，得到如图所示茎叶图，对不低于 75 的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意.3(1)根据以上资料完成下面的 22 列联表，若据此数据算得 K2的观测值 k3.7781，则在犯错的概率不超过 5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？不满意 满意 总计男 4 7女总计附：P(K2k 0) 0.100 0.050 0.010k0 2.706 3.841 6.635(2)以此“满意
18、”的频率作为概率，求在 3 人中恰有 2 人满意的概率.(3)从以上男性用户中抽取 2 人，女性用户中抽取 1 人，其中满意的人数为 ，求 的分布列与数学期望.【解析】(1)不满意 满意 总计男 3 4 7女 11 2 13总计 14 6 20因为 K2的观测值 k3.77813.841，所以在犯错的概率不超过 5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关.4(2)由频率估计“满意”的概率为 =0.3，620所以在 3 人中恰有 2 人满意的概率为 (0.3)2(1-0.3)=0.189；C23 (或 1891 000)(3) 的可能取值为 0，1，2，3，P(=0)= = ，C2327C
19、1111131191P(=1)= + = ，C131427C111113C2327C121134691P(=3)= = ，C2427C12113491P(=2)=1- - - = ，119146914913091 的分布列为 0 1 2 3P1191 4691 3091 491数学期望 E()=1 +2 +3 = .4691 3091 491118914.正方体 ABCD -A1B1C1D1中，沿平面 A1ACC1将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线 A1C 的平面 A1CM 与线段 BB1交于点 M.(1)当 M 与 B1重合时，求证：MCAC 1.(2)当平面 A1CM平面 A1
20、ACC1时，求平面 A1CM 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值.5【解析】(1)连接 C1B，AC 1，在正方形 B1BCC1中，BC1B 1C，在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，AB平面 B1BCC1，B1C平面 B1BCC1，所以 ABB 1C，又因为 ABBC 1=B，所以 B1C平面 ABC1，所以 B1CAC 1，即 MCAC 1.(2)在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，CB，AB，BB 1两两垂直，分别以 CB，AB，BB 1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=a，所以 C(-a，0，0)，A 1(0，-a，a)，设 M(0，0，z)，所以 =(a，
21、-a，a)， =(a，0，z)，设平面 A1MC 的法向量为 n1=(x1，y 1，z 1)，C1 C则 即 令 z1=a，得 n1=(-z，a-z，a)，a11+1=0,1+1=0, 平面 A1ACC1的一个法向量为 n2=(1，1，0)，平面 ABC 的一个法向量为 n3=(0，0，1)，因为平面 A1CM平面 A1ACC1，所以 n1n2=0，得 z= a，所以 n1= ，12 (-2,2,)设平面 A1CM 与平面 ABC 所成锐二面角为 ，则 cos= = = .a162 6361高考大题分层练4.三角、数列、概率统计、立体几何(D 组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1
22、.设ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.(1)求 的值.sin(2)若 cosB= ,且ABC 的周长为 14,求 b 的值.16【解析】(1)因为 b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.由正弦定理得, = .cos33即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB,化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C).又 A+B+C=,所以 sinC=3sinA,因此 = .sin13(2)由 = 得 c=3a.由余弦定理及 cosB= 得sin13 16b2=a2+c2-2accosB=
23、a2+9a2-6a2 =9a2.16所以 b=3a.又 a+b+c=14.从而 a=2,因此 b=6.2.设 Sn是正数数列a n的前 n 项和,且 Sn= + an- .14212 34(1)求数列a n的通项公式.(2)是否存在等比数列b n,使 a1b1+a2b2+anbn=(2n-1)2n+1+2 对一切正整数 n 都成立?并证明你的结论.【解析】(1)由 Sn= + an- 得 Sn+1= + an+1- ,14212 34 142+112 34两式相减并整理得(a n+1+an)(an+1-an-2)=0,2又由于 an+1+an0,则 an+1=an+2,故数列a n是等差数列.
24、因为 a1=S1= + a1- 0,141212 34所以 a1=3,故 an=2n+1.(2)当 n=1,2 时,a 1b1=22(21-1)+2=6,a1b1+a2b2=23(22-1)+2=26,可解得 b1=2,b2=4,猜想 bn=2n,使 a1b1+a2b2+anbn=2n+1(2n-1)+2 成立.证明:32+52 2+723+(2n+1)2n=2n+1(2n-1)+2 恒成立.令 S=32+522+723+(2n+1)2n,2S=322+523+724+(2n+1)2n+1,-得:S=(2n+1)2 n+1-22n+1+2=(2n-1)2n+1+2,故存在等比数列b n符合题意
25、.3.学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100 分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取 10 名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎，个位数字为叶)，规定若满意度不低于 98 分，评价该教师为“优秀”.(1)求从这 10 人中随机选取 3 人，至多有 1 人评价该教师是“优秀”的概率.(2)以这 10 人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选 3 人，记 表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求 的分布列及数学期望.【解析】(1)设 Ai表示所取 3 人中有 i 个人评价该教师为“优秀” ，至多 1 人评价该教师为“优秀”记为事件 A，则 P(A
26、)=P(A0)+P(A1)= + = .C37310C13273104960(2)由已知得 的可能取值为 0，1，2，3，3P(=0)= = ，P(=1)= = ，(710)33431 000 C13 310(710)24411 000P(=2)= = ，P(=3)= = .C23(310)2 7101891 000 (310)3 271 000故 的分布列为： 0 1 2 3P3431 0004411 0001891 000271 000E()=0 +1 +2 +3 =0.9.3431 0004411 0001891 000271 0004.如图，矩形 ABCD 中， =(1)，将其沿 AC
27、 翻折，使点 D 到达点 E 的位置，且二面A角 C -AB-E 为直二面角.(1)求证：平面 ACE平面 BCE.(2)设 F 是 BE 的中点，二面角 E-AC-F 的平面角的大小为 ，当 2，3时，求 cos的取值范围.【解析】(1)因为二面角 C-AB-E 为直二面角，ABBC，所以 BC平面 ABE，所以 BCAE，因为 AECE，BCCE=C，所以 AE平面 BCE，又因为 AE平面 ACE，所以平面 ACE平面 BCE.(2)方法一：如图，以 E 为坐标原点，以 AD 长为一个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB=，A(0，1，0)，B ，( 21,0,0)4C ，E
28、，F ，( 21,0,1) (0,0,0) ( 212 ,0,0)则 =(0，1， 0)， = ，E E( 21,0,1)设平面 EAC 的一个法向量为 m=(x，y，z)，则 y=0,21+=0,取 x=1，则 m= ，(1,0, 21)同理平面 FAC 的一个法向量为n= ，(2, 21, 21)所以 cos= = = ， 2+12(2+1)22 1+12因为 2，3，所以 cos .53, 104方法二：过 F 作 FGCE 于 G，过 G 作 GHAC 于 H，连接 FH，则 FGAC，则二面角 E-AC-F的平面角为FHG，因为 AF=CF= = ，1+( 212 )2 2+32所以
29、 H 为 AC 的中点，所以 FH= = ，( 2+32 )2( 2+12 )2 22由 SCEF = SBCE ，得 FG= ，12 212所以 GH= ， 2+125所以 cos= ，因为 2，3，22 1+12所以 cos .53, 1041高考大题分层练 5.解析几何、函数与导数(A 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知抛物线 C：y 2=2px(p0)过点 M(m，2)，其焦点为 F，且 =2.|M|(1)求抛物线 C 的方程.(2)设 E 为 y 轴上异于原点的任意一点，过点 E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线 C 和圆 F：(x-1) 2+y2=1 相切，
30、切点分别为 A，B，求证：直线 AB 过定点.【解析】(1)抛物线 C 的准线方程为：x=- ，p2所以 =m+ =2，又因为 4=2pm，|M|p2即 4=2p ，(22)所以 p2-4p+4=0，所以 p=2.抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)设点 E(0，t)(t0)，由已知切线不为 y 轴，设 EA：y=kx+t，联立 消去 y，可得 k2x2+(2kt-4)x+t2=0，y=+,2=4,因为直线 EA 与抛物线 C 相切，所以 =(2kt-4) 2-4k2t2=0，即 kt=1，代入 x2-2x+t2=0，所以 x=t2，即 A(t2，2t)，12设切点 B(x0，y 0)，则
31、由几何性质可以判断点 O，B 关于直线 EF：y=-tx+t 对称，则解得：y00001=1,02=02+, x0=222+1,0= 22+1,即 B .(222+1, 22+1)方法一：直线 AB 的斜率为 kAB= (t1)，2212直线 AB 的方程为 y= (x-t2)+2t，整理 y= (x-1)，221 221所以直线 AB 过定点恒过定点 F(1，0)，当 t=1 时，A(1，2)，B(1，1)，此时直线 AB 为 x=1，过点 F(1，0).综上，直线 AB 过定点恒过定点 F(1，0).方法二：直线 AF 的斜率为 kAF= (t1)，221直线 BF 的斜率为 kBF= =
32、 (t1)，22+10222+11 221所以 kAF=kBF，即 A，B，F 三点共线，当 t=1 时，A(1，2)，B(1，1)，此时 A，B，F 共线.所以直线 AB 过定点 F.2.已知函数 f(x)=ln(1+x2)+ax.(a0)(1)若 f(x)在 x=0 处取得极值，求 a 的值.(2)讨论 f(x)的单调性.(3)证明： 0 得 ax2+2x+a0，所以 或 x ，-1 12 -1+12所以 f(x)在 上单调递增，(-1+12 ,1 12 )在 和 上单调递减，(- ,1+12 ) (-1 12 ,+)综上所述，若 a-1，f(x)在(-，+)上单调递减；若-1a0，f(x
33、)在( ， )上单调递增，-1+12 -1 12和 上单调递减；(- ,1+12 ) (-1 12 ,+,)若 a=0，f(x)在(0，+)单调递增，在(-，0)单调递减.(3)由(2)知，当 a=-1 时，f(x)在(-，+)单调递减，当 x(0，+)时，由 f(x)f(0)=0，所以 ln(1+x2)x，所以 ln(1+19)(1+181)(1+132)4=ln +ln +ln + + =(1+19) (1+181) (1+132)13132 1313(113)113= ，12(113)12所以 = (nN *，e 为自然对数的底数).(1+19)(1+181) (1+132)e12 ()
34、1高考大题分层练 6.解析几何、函数与导数(B 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.以椭圆 C： + =1(ab0)的中心 O 为圆心， 为半径的圆称为该椭圆的x22y22 a2+2“准圆”.设椭圆 C 的左顶点为 P，左焦点为 F，上顶点为 Q，且满足 =2，S |P|OPQ= SOFQ .62(1)求椭圆 C 及其“准圆”的方程.(2)若椭圆 C 的“准圆”的一条弦 ED(不与坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 M，N 两点，试证明：当 =0 时，弦 ED 的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.OO【解析】(1)设椭圆 C 的左焦点 F(-c，0)，c0，由 SO
35、PQ = SOFQ 得 a= c，又62 62=2，即 a2+b2=4 且 b2+c2=a2，所以 a2=3，b 2=1，|P|则椭圆 C 的方程为 +y2=1；椭圆 C 的“准圆”方程为 x2+y2=4.x23(2)设直线 ED 的方程为 y=kx+m(k，mR)，且与椭圆 C 的交点 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，联列方程组 代入消元得：y=+,23+2=1(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0，由 x1+x2= ；x 1x2= ，-61+32 3231+32可得 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)= ，由 =0，m2321+32 OO得 x1x1+y1y2=0，即
36、+3231+32m2321+322= =0，423231+32所以 m2= (k2+1)，34此时 =36k 2m2-4(1+3k2)(3m2-3)=27k2+30 成立，则原点 O 到弦 ED 的距离 d= = = = ，|m|2+1 m22+1 34 32所以原点 O 到弦 ED 的距离为 ，32则 =2 = ，|E|434 13故弦 ED 的长为定值，定值为 .132.已知函数 f(x)=lnx-kx+1(k 为常数)，函数 g(x)=xex-ln ，(a 为常数，且(4+1)a0).(1)若函数 f(x)有且只有 1 个零点，求 k 的取值的集合.(2)当(1)中的 k 取最大值时，求
37、证：ag(x)-2f(x)2(lna-ln2).【解析】(1)f(x)= ，1当 k0 时，f(x)0，则 f(x)在(0，+)单调递增.而 f(ek-2)=k-2-kek-2+1=k(1-ek-2)-1-10，故 f(x)在(e k-2，1)上存在唯一零点，满足题意；当 k0 时，令 f(x)0 得 0 ，则 f(x)在 上单调递减；1 (1,+)若 f =0，得 k=1，显然满足题意；(1)3若 f 0，则 00，得 x1，故 h(x)在(1，+)上单调递减；故 h(x)h(1)=0，则 h =ln - +11，故 ln (4+1)axex-a x-2lnx+2x-2=axex-2lnx-
38、2x-2，4记 F(x)=axex-2lnx-2x-2，4则 F(x)=(x+1) = (axex-2)，(a2)x+1令 G(x)=axex-2，则 G(x)=a(x+1)e x0，故 G(x)在(0，+)上单调递增.而 G(0)=-20，故存在 x0 ，(2) e2 (0,2)使得 G(x0)=0，即 ax0 -2=0.e0则 x(0，x 0)时，G(x)0，故 F(x)0.则 F(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，+)上单调递增，故 F(x)F(x 0)=ax0 -2x0-2lnx0-2=-2(x0+lnx0)=-2ln(x0 )e0 e0=-2ln =2lna-2ln2.2故
39、 ag(x)-2f(x)2(lna-ln2).1高考大题分层练 7.解析几何、函数与导数(C 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.椭圆 ： + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，右顶点为 A，上顶点为 B.已知x22y22= .|A|72|12|(1)求椭圆的离心率.(2)过点 M(-2a，0)的直线交椭圆 于 P，Q(不同于左、右顶点)两点，且+ = .当PQF 1面积最大时，求直线 PQ 的方程.1|1|1|1| 112【解析】(1)设椭圆右焦点 F2的坐标为(c，0).由 = ，可得 a2+b2=7c2.又|A|72|12|b2=a2-c2，则 = ，所以椭
40、圆的离心率 e= .c2214 12(2)椭圆的离心率是 ，所以 b2= a2，所以椭圆方程可写为 3x2+4y2=3a2.12 34设直线 PQ 的方程为 x=my-2a，联立直线和椭圆方程，消去 x 得(3m2+4)y2-12may+9a2=0.设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2).则 y1+y2= ，y 1y2= .依题意，该方程的判别式 0，1232+4 9232+4即 m2-40，由焦半径公式得 = ， = .|P1|m1|2 |Q1|m2|2因此 + = 可化为 = . 1|1|1|1| 112 |11+12|m|242将 y1+y2= ，y 1y2= 代入式得， = ，解
41、得 a=32.1232+4 9232+4 |12|92 |m|24所以 = = . S11232|12|922 m2432+4令 t= (t0)，则式可化为m24= =192 .S1922 t32+16922 t243 3当且仅当 t2= 时， “=”成立，此时 m= .163 2213所以直线 PQ 的方程为 x= y-64 或 x=- y-64.2213 22132.已知函数 f(x)=ln +x2-ax(a 为常数，a0).(12+12)(1)求证：当 0m(1-a2)成立，求实数 m12,1的取值范围.【解析】(1)f(x)= = .a+(2)(+1)+1 2(+12)+1得 f(x)
42、0，a+10,20,+1212+121=0,所以 f(x)在 上单调递增.12,+)3(2)1m(1-a2)成立，得 f(x)maxm(1-a2)，12,1即 f(1)=ln +1-am(1-a2)，a(1，2).(a+12 )令 g(a)=ln +1-a+m(a2-1)，a(1，2)，g(1)=0.a+12g(a)= -1+2ma= -1+2ma= =2+112 1+1 22+(21)+1，a(2+21)+1导函数的零点 a= ，122当 m0 时，g(a)0 时， 即 m ，g(a)0，g(a) 在 a(1，2)上单调递增，122 14故 g(a)g(1)=0，当 1 2 时，即 m ，g
43、(a)在 上递减， 上递增，122 16 14 (1,122) (122,2)不合题意；当 2 时，即 m ，g(a)在(1，2)上单调递减，不合题意 .122 16综上，实数 m 的取值范围是 .14,+)1高考大题分层练 8.解析几何、函数与导数(D 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.设椭圆 C： + =1(ab0)，定义椭圆 C 的“相关圆 ”方程为 x2+y2= ，若抛x22y22 a222+2物线 y2=4x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.(1)求椭圆 C 的方程和“相关圆”E 的方程.(2)过“相关圆”E
44、上任意一点 P 作“相关圆”E 的切线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点.证明AOB 为定值.【解析】(1)因为若抛物线 y2=4x 的焦点为(1，0)与椭圆 C 的一个焦点重合，所以 c=1，又因为椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以 b=c=1，故椭圆 C 的方程为 +y2=1，x22“相关圆”E 的方程为 x2+y2= .23(2)当直线 l 的斜率不存在时，不妨设直线 AB 方程为 x= ，63则 A ，B ，所以AOB= .(63, 63) ( 63, 63) 2当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y=kx+m，设 A(x1，y 1)，B(x
45、2，y 2)，联立方程组 得 x2+2(kx+m)2=2，y=+,22+2=1,即(1+2k 2)x2+4kmx+2m2-2=0，=16k 2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)0，即 2k2-m2+10(*)，2x1+2= 41+22,12=2221+22, 因为直线与相关圆相切，所以 d= = = ，|m|1+2 m21+2 23所以 3m2=2+2k2，所以 x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2= - +m2= =0，(1+2)(222)1+22 4221+22 322221+22所以 OAOB，所以AOB= 为定值. 22.已知函数
46、 f(x)=x-1-a(x-1)2-lnx(aR).(1)当 a=0 时，求函数 f(x)的单调区间.(2)若存在 k(1，2)，使得当 x(0，k时，f(x)的值域是f(k)，+)，求 a 的取值范围.(注：自然对数的底数 e=2.71828)【解析】(1)f(x)的定义域为(0，+)当 a=0 时，f(x)=1- = .由 f(x)0，解得 x1.1x1所以，函数 f(x)的增区间为(1，+)，减区间为(0，1).(2)f(x)=1-2a(x-1)- =- =- .122(2+1)+1 (1)(21)当 a0 时， 1 时，f(x)0，f(x)在(1，+)上为增函数.所以，当 x(0，k(
47、10 时，f(x)=- .2(1)(12)(i)当 时，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：12 12x (0,12) 12 (12,1)1 (1，+)f(x) - 0 + 0 -f(x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数若满足题意，只需满足 f f(2)，(12)即 -1-a -ln 1-a-ln2.12(121)2 12整理得 +ln2a+ln2-10.14令 F(a)= +ln2a+ln2-1 ，当 a 时，F(a)= - = 0，14 (a12) 12 1 1424142所以 F(a)在 上为增函数，(12,+)所以，当 a 时，F(a)F =ln2- ln - =0.12 (12) 12 e12可见，当 a 时，f f(2)恒成立.12 (12)故若 a ，当 x(0，k(1 满足题意.12()当 =1，即 a= 时，f(x)=- 0，当且仅当 x=1 时取等号.12 12 (1)24所以 f(x)在(0，+)上为减函数.从而 f(x)在(0，k上为减函数.符合题意.()当 1，即 01-ln2，且 a .14又 1-ln2 ，所以 a1-ln2.此时，1-ln21-ln2.所以实数 a 的取值范围是(1-ln2，+).
