1、4.2 数列大题核心知识 考点精题核心知识 -2-核心知识 考点精题核心知识 -3-核心知识 考点精题核心知识 -4-核心知识 考点精题考点精题 -5-1.求通项公式的常见类型(1)已知 an与 Sn的关系或 Sn与 n的关系 ,利用公式(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差 (比 )数列求通项 .(3)由递推关系式求数列的通项公式 . 形如 an+1=an+f(n),利用累加法求通项 . 形如 an+1=anf(n),利用累乘法求通项 .核心知识 考点精题考点精题 -6-2.数列求和的常用方法(1)公式法 :利用等差数列、等比数列的求和公式 .(2)错位相减法 :适合求数列 anbn的前
2、 n项和 Sn,其中 an,bn一个是等差数列 ,另一个是等比数列 .(3)裂项相消法 :即将数列的通项分成两个式子的代数和 ,通过累加抵消中间若干项的方法 .(4)拆项分组法 :先把数列的每一项拆成两项 (或多项 ),再重新组合成两个 (或多个 )简单的数列 ,最后分别求和 .(5)并项求和法 :把数列的两项 (或多项 )组合在一起 ,重新构成一个数列再求和 ,适用于正负相间排列的数列求和 .核心知识 考点精题考点精题 -7-3.数列单调性的常见题型及方法(1)求最大 (小 )项时 ,可利用 : 数列的单调性 ; 函数的单调性 ;导数 .(2)求参数范围时 ,可利用 : 作差法 ; 同号递推
3、法 ; 先猜后证法 .4.数列不等式问题的解决方法(1)利用数列 (或函数 )的单调性 .(2)放缩法 : 先求和后放缩 ; 先放缩后求和 ,包括放缩后成等差 (或等比 )数列再求和 ,或者放缩后裂项相消再求和 .4.2.1 等差、等比数列与 数列的 通项及求和核心知识 考点精题 -9-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五等差、等比数列的通项及求和例 1Sn为等差数列 an的前 n项和 ,且 a1=1,S7=28.记 bn=lg an,其中x表示不超过 x的最大整数 ,如 0.9=0,lg 99=1.(1)求 b1,b11,b101;(2)求数列 bn的前 1 000项和 .解 (1)设
4、an的公差为 d,据已知有 7+21d=28,解得 d=1.所以 an的通项公式为 an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.所以数列 bn的前 1 000项和为 190+2900+31=1 893. 核心知识 考点精题 -10-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五解题心得 对于等差、等比数列 ,求其通项及前 n项和时 ,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可 .核心知识 考点精题 -11-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五对点训练 1已知等差数列 an的公差不为零 ,a1=25,且 a1,a11,a13成等比数列 .(1)求
5、an的通项公式 ;即 (a1+10d)2=a1(a1+12d).于是 d(2a1+25d)=0.又 a1=25,所以 d=0(舍去 )或 d=-2.故 an=-2n+27.(2)令 Sn=a1+a4+a7+ +a3n-2.由 (1)知 a3n-2=-6n+31,故 a3n-2是首项为 25,公差为 -6的等差数列 .核心知识 考点精题 -12-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五可转化为等差、等比数列的问题例 2已知等比数列 an的前 n项和为 Sn,a1=3,且 3S1,2S2,S3成等差数列 .(1)求数列 an的通项公式 ;(2)设 bn=log3an,求 Tn=b1b2-b2b3+
6、b3b4-b4b5+ +b2n-1b2n-b2nb2n+1.解 (1) 3S1,2S2,S3成等差数列 , 4S2=3S1+S3, 4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即 a3=3a2, 公比 q=3, an=a1qn-1=3n.(2)由 (1)知 ,bn=log3an=log33n=n, b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n, Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+ +(b2n-1b2n-b2nb2n+1)=-核心知识 考点精题 -13-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五解题心得 无论是求数列的通项还是求数列的前 n
7、项和 ,通过变形、整理后 ,能够把数列转化为等差数列或等比数列 ,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 .核心知识 考点精题 -14-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五对点训练 2设 an是公比大于 1的等比数列 ,Sn为数列 an的前 n项和 ,已知 S3=7,且 a1+3,3a2,a3+4构成等差数列 .(1)求数列 an的通项 ;核心知识 考点精题 -15-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五求数列的通项及错位相减求和例 3(2017天津 ,理 18)已知 an为等差数列 ,前 n项和为Sn(n N*),bn是首项为 2的等比数列 ,且公比大于 0,b2+b3
8、=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求 an和 bn的通项公式 ;(2)求数列 a2nb2n-1的前 n项和 (n N*).解 (1)设等差数列 an的公差为 d,等比数列 bn的公比为 q.由已知 b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而 b1=2,所以 q2+q-6=0.又因为 q0,解得 q=2.所以 ,bn=2n.由 b3=a4-2a1,可 得 3d-a1=8.由 S11=11b4,可得 a1+5d=16,联立 ,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2.所以 ,数列 an的通项公式为 an=3n-2,数列 bn的通项公式为 bn=2n.核心知识 考点精
9、题 -16-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五(2)设数列 a2nb2n-1的前 n项和为 Tn,由 a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故 Tn=24+542+843+ +(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+ +(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减 ,得 -3Tn=24+342+343+ +34n-(3n-1)4n+1解题心得 求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公式 ,或通过变形转换成等差、等比数列求通项 ;如果数列 an与数列bn分别是等差数列和等比数列 ,那么数列 anbn的前 n项和采用错位相减法
10、来求 .核心知识 考点精题 -17-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五对点训练 3(2017湖南郴州二模 ,理 17)已知等差数列 an满足:an+1an(n N*),a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1,3后成等比数列 ,an+2log2bn=-1.(1)求数列 an,bn的通项公式 ;(2)求数列 anbn的前 n项和 Tn.解 (1)设等差数列 an的公差为 d,且 d0,由 a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1,1,3后成等比数列 ,得 (2+d)2=2(4+2d),解得 d=2, an=1+(n-1)2=2n-1. an+2log2bn=-1,核心知识 考点
11、精题 -18-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五核心知识 考点精题 -19-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五求数列的通项及裂项求和例 4(2017山西临汾二模 ,理 17)已知数列 an的前 n项和为 Sn,且对任意正整数 n,都有 3an=2Sn+3成立 .(1)求数列 an的通项公式 ;解 (1)在 3an=2Sn+3中 ,取 n=1,得 a1=3,且 3an+1=2Sn+1+3,两式相减 ,得 3an+1-3an=2an+1, an+1=3an. a10, 数列 an是以 3为公比的等比数列 , an=33n-1=3n.核心知识 考点精题 -20-考向一 考向二 考向三 考
12、向四 考向 五(2)由 (1)得 bn=log3an=n, 解题心得 对于已知等式中含有 an,Sn的求数列通项的题目 ,一般有两种解题思路 ,一是消去 Sn得到 f(an)=0,求出 an;二是消去 an得到g(Sn)=0,求出 Sn,再求 an.把数列的通项拆成两项之差 ,求和时中间的项能够抵消 ,从而求得其和 .注意抵消后所剩余的项一般前后对称 .核心知识 考点精题 -21-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五对点训练 4Sn为数列 an的前 n项和 .已知 an0, +2an=4Sn+3.(1)求 an的通项公式 ;所以 an是首项为 3,公差为 2的等差数列 ,通项公式为 an=
13、2n+1.核心知识 考点精题 -22-考向一 考向二 考向三 考向四 考向 五(2)由 an=2n+1可知 核心知识 考点精题 -23-考向一 考向二 考向三 考向四 考向五涉及奇偶数讨论的数列求和例 5已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,且 a1=2,S5=30.数列 bn的前 n项和为 Tn,且 Tn=2n-1.(1)求数列 an,bn的通项公式 ;(2)设 cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求数列 cn的前 n项和 . d=2, an=2n.对数列 bn:当 n=1时 ,b1=T1=21-1=1,当 n 2时 ,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,当 n=1时也满
14、足上式 . bn=2n-1.核心知识 考点精题 -24-考向一 考向二 考向三 考向四 考向五(2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln Sn. ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1).而 (-1)nanbn=(-1)n2n2n-1=n(-2)n,设数列 (-1)nanbn的前 n项和为 An,数列 (-1)nln Sn的前 n项和为Bn,则 An=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+ +n(-2)n,则 -2An=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+ +n(-2)n+1, - 得 3An=1(-2)1+(-2)2+(-2)
15、3+ +(-2)n-n(-2)n+1核心知识 考点精题 -25-考向一 考向二 考向三 考向四 考向五当 n为偶数时 ,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ +ln n+ln(n+1)=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);当 n为奇数时 ,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ -ln n+ln(n+1)=-ln(n+1)-ln 1=-ln(n+1).由以上可知 ,Bn=(-1)nln(n+1).核心知识 考点精题 -26-考向一 考向二 考向三 考向四 考向五对点训练 5已知函数 f(x)=4x,4,f(a1),f(a2), f(an),2n+3(n N*)成等比数列 .(1)求数列 an的通项公式 ;解 (1) 4,f(a1),f(a2), ,f(an),2n+3成等比数列 ,其公比设为 q, 2n+3=4qn+2-1,解得 q=2.核心知识 考点精题 -27-考向一 考向二 考向三 考向四 考向五当 n为偶数时 ,Sn=(c1+c3+c5+ +cn-1)+(c2+c4+ +cn)
