高优指导2017版高考数学一轮复习 第十三章 选修4系列 文（课件+考点规范练）（打包6套）北师大版.zip

第十 三 章 选修 4系列13.1 选修 4—1 几何证明选讲-3-考纲要求 :1.理解相似三角形的定义与性质 ,了解平行截割定理 . 2.会证明和应用以下定理 :(1)直角三角形射影定理 ;(2)圆周角定理 ;(3)圆的切线判定定理与性质定理 ;(4)相交弦定理 ;(5)圆内接四边形的性质定理与判定定理 ;(6)切割线定理 .-4-1.平行截割定理(1)平行 线 等分 线 段定理如果一 组 平行线 在一条直 线 上截得的 线 段相等 ,那么在其他直线 上截得的 线 段也 相等 .(2)平行 线 分 线 段成比例定理① 定理 :三条平行 线 截两条直 线 ,所得的 对应线段 成比例 .② 推 论 :平行于三角形一 边 的直 线 截其他两 边 (或两 边 的延 长线)所得的 对应线段 成比例 .-5-2.相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理① 两角 对应 相等 的两个三角形相似 .② 两 边对应 成比例 并且 夹 角相等的两个三角形相似 .③ 三 边对应 成比例 的两个三角形相似 .(2)相似三角形的性 质 定理① 相似三角形 对应 高的比、 对应 中 线 的比、 对应 角平分 线 的比和 对应 周 长 的比都等于 相似比 .② 相似三角形面 积 的比等于 相似比的平方 .-6-3.直角三角形的射影定理 :直角三角形斜 边 上的高是 两直角边 在斜 边 上射影的比例中 项 ;两直角 边 分 别 是它 们 在 斜边 上射影与 斜边 的比例中 项 .如 图 ,在 Rt△ABC中 ,CD是斜 边 上的高 ,则 有 CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.-7-4.圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论① 定理 :圆 上一条弧所 对 的 圆周角 等于它所 对 的 圆心角 的一半 .② 推 论 :(ⅰ )推 论 1:同弧或等弧 所 对 的 圆 周角相等 ;同圆或等圆 中,相等的 圆 周角所 对 的 弧 也相等 .(ⅱ )推 论 2:半 圆 (或直径 )所 对 的 圆 周角是 直角 ;90° 的 圆 周角所对 的弦是 直径 .(2)圆 心角定理 :圆 心角的度数等于 它所对弧的度数 .5.弦切角的性质弦切角定理 :弦切角等于它 所夹的弧 所 对 的 圆 周角 .-8-6.圆的切线的性质及判定定理(1)定理 :圆 的切 线 垂直于 经过 切点 的半径 .(2)推 论 :① 推 论 1:经过 圆心 且垂直于切 线 的直 线 必 经过 切点 .② 推 论 2:经过 切点 且垂直于切 线 的直 线 必 经过 圆心 .-9-7.与圆有关的比例线段 -10--11-8.圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆 内接四 边 形的性 质 定理① 定理 1:圆 内接四 边 形的 对 角 互补 .② 定理 2:圆 内接四 边 形的外角等于它的 内角的对角 .(2)圆 内接四 边 形的判定定理及推 论① 判定定理 :如果一个四 边 形的 对 角 互补 ,那么 这 个四 边 形的四个 顶 点 共圆 .② 推 论 :如果四 边 形的一个外角等于它的内角的 对角 ,那么 这 个四 边 形的四个 顶 点 共圆 .-12-1 2 3 4 51.下列 结论 正确的打 “√”,错误 的打 “×”.(1)有一个角等于 100度的两个等腰三角形相似 . ( )(2)有一个角相等的平行四 边 形相似 . ( )(3)圆 内接四 边 形的 对 角和是 180° ,反之 ,如果一个四 边 形的 对角和是 180° ,那么四点共 圆 . ( )(4)在一个 圆 内 ,平分弦的直径一定垂直于 这 条弦 .( )(5)在同 圆 或等 圆 中 ,如果弧相等 ,那么它 们 所 对应 的 圆 心角也相等 . ( )√ × √ × √ -13-1 2 3 4 52.(2015天津 ,文 6)如 图 ,在 圆 O中 ,M,N是弦 AB的三等分点 ,弦CD,CE分 别经过 点 M,N.若 CM=2,MD=4,CN=3,则线 段 NE的 长为 ()答案解析解析关闭答案解析关闭-14-1 2 3 4 53.如 图 ,AD,BE是 △ABC的两条高 ,∠ ABC=60° ,则 ∠ CED= . 答案解析解析关闭在四边形 ABDE中 ,由题意 ∠ AEB=∠ ADB=90°,所以 A,B,D,E四点共圆 .答案解析关闭60°-15-1 2 3 4 54. 如 图 ,PA是 圆 的切 线 ,A为 切点 ,PBC是 圆 的割 线 ,且 BC=3PB,则答案解析解析关闭答案解析关闭-16-1 2 3 4 55.如 图 ,AB为圆 O的直径 ,E为 AB延 长线 上一点 ,过 E作 圆 O的切线 ,切点 为 C,过 A作直 线 EC的垂 线 ,垂足 为 D.若 AB=4,CE=2 ,则AD= . 答案解析解析关闭答案解析关闭-17-1 2 3 4 5自 测 点 评1.判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理 ,特别要注意对应角与对应边 .2.弦切角是很重要的与圆相交的角 ,其主要功能是协调与圆相关的各种角 ,如圆心角、圆周角等 ,是连接圆与全等三角形、三角形相似及圆知识的桥梁 .-18-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6考点 1平行 线 分 线 段成比例定理的 应 用 例 1如 图 ,AD平分 ∠ BAC,DE∥ AC,EF∥ BC,AB=15 cm,AF=4 cm,求 BE和 DE的 长 .答案答案关闭-19-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6思考 :如何利用平行线分线段成比例定理进行计算或证明 ?解题心得 :1.利用平行线分线段成比例定理来计算或证明 ,首先要观察平行线组 ,再确定所截直线 ,进而确定比例线段及比例式 ,同时注意合比性质、等比性质的运用 .2.解决此类问题往往需要作辅助的平行线 ,要结合条件构造平行线组 ,再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题 .-20-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6对点训练 1 如图 ,在 △ABC中,DE∥ BC,DF∥ AC,AE∶AC=3∶5,DE=6,求 BF的 长 . 答案答案关闭-21-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6考点 2相似三角形的判定及性 质 例 2(2015石家庄二中一模 )如 图 ,☉O的半径 为 6,线 段 AB与 ☉O相交于点 C,D,AC=4,∠ BOD=∠ A,OB与 ☉O相交于点 E.(1)求 BD的 长 ;(2)当 CE⊥ OD时 ,求 证 :AO=AD.答案答案关闭-22-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6思考 :判定三角形相似的基本思路是什么 ?利用相似三角形的性质能解决哪些问题 ?解题心得 :1.证明相似三角形的一般思路 :(1)先找两对内角对应相等 .(2)若只有一个角对应相等 ,再判定这个角的两邻边是否对应成比例 .(3)若无角对应相等 ,就要证明三边对应成比例 .2.相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等 ;可间接证明线段相等 .-23-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6对点训练 2 如 图 ,AB与 CD相交于点 E,过 E作 BC的平行 线 与 AD的延 长线 交于点 P,已知 ∠ A=∠ C,PD=2DA=2,求 PE的 长 .答案答案关闭-24-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6考点 3直角三角形的射影定理及其 应 用 例 3如 图 ,AD,BE是 △ABC的两条高 ,DF⊥ AB,垂足 为 F,直 线 FD交BE于点 G,交 AC的延 长线 于点 H,求 证 :DF2=GF·HF.答案答案关闭-25-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6思考 :应用直角三角形的射影定理应注意什么 ?解题心得 :应用直角三角形的射影定理应注意以下几点 :(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影 .(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化 ,有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式 ,并且注意射影定理的其他变式 .(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用 .-26-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6对点训练 3 如 图 ,AB是 ☉O的直径 ,AC是 ☉O的切 线 ,BC交 ☉O于点 E.(1)若 D为 AC的中点 ,证 明 :DE是 ☉O的切 线 ;(2)若 OA= CE,求 ∠ ACB的大小 .答案答案关闭-27-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6考点 4圆 周角、弦切角及 圆 的切 线问题 例 4如 图 ,EP交 圆 于 E,C两点 ,PD切 圆 于 D,G为 CE上一点 ,且PG=PD,连 接 DG并延 长 交 圆 于点 A,作弦 AB垂直 EP,垂足 为 F.(1)求 证 :AB为圆 的直径 ;(2)若 AC=BD,求 证 :AB=ED.-28-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6证明 :(1)因为 PD=PG,所以 ∠ PDG=∠ PGD.由于 PD为切线 ,故 ∠ PDA=∠ DBA.又由于 ∠ PGD=∠ EGA,故 ∠ DBA=∠ EGA,所以 ∠ DBA+∠ BAD=∠ EGA+∠ BAD,从而 ∠ BDA=∠ PFA.由于 AF⊥ EP,所以 ∠ PFA=90° .于是 ∠ BDA=90° .故 AB是直径 .-29-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6(2)连接 BC,DC.由于 AB是直径 ,故 ∠ BDA=∠ ACB=90° .在 Rt△BDA与 Rt△ACB中 ,AB=BA,AC=BD,从而 Rt△BDA≌Rt△ACB.于是 ∠ DAB=∠ CBA.又因为 ∠ DCB=∠ DAB,所以 ∠ DCB=∠ CBA,故 DC∥ AB.由于 AB⊥ EP,所以 DC⊥ EP,∠ DCE为直角 .于是 ED为直径 .由 (1)得 ED=AB.-30-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 6思考 :解决与圆周角、弦切角及圆的切线有关的问题常用的数学思想是什么 ?解题心得 :1.解决与圆周角、弦切角及圆的切线有关的问题常用的数学思想是转化的思想 .常有以下相关转化 :(1)圆周角与圆周角之间的转化 ;(2)圆周角与圆心角之间的转化 ;(3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化 ;(4)圆内接四边形的外角与其相对的内角的转化 ;(5)圆周角与弦切角之间的转化 .2.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 ,从而证明三角形全等或相似 ,从而可求线段或角的大小 .13.2 选修 4—4 坐标系与参数方程考纲要求 -2-考纲要求 :1.了解坐标系的作用 ,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 . 2.了解极坐标的基本概念 ,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置 ,能进行极坐标和直角坐标的互化 . 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 . 4.了解参数方程 ,了解参数的意义 . 5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程 .知识梳理 -3-1.极坐标系(1)极坐 标 系的建立 :在平面上取一个定点 O,叫作 极点 ,从 O点引一条射 线 Ox,叫作 极轴 ,再 选 定一个 单 位 长 度和角的正方向 (通常取逆 时针 方向 ),这样 就确定了一个极坐 标 系 .设 M是平面内一点 ,极点 O与点 M的距离 OM叫作点 M的 极径 ,记为 ρ,以极 轴 Ox为 始 边 ,射 线 OM为终边 的角叫作点 M的极角 ,记为θ.有序数 对 (ρ,θ)叫作点 M的极坐 标 ,记 作 M(ρ,θ).(2)极坐 标 与直角坐 标 的关系 :把直角坐 标 系的原点作 为 极点 ,x轴 的正半 轴 作 为 极 轴 ,并在两种坐 标 系中取相同的 长 度 单 位 ,设 M是平面内任意一点 ,它的直角坐 标 是 (x,y),极坐 标为 (ρ,θ),则 它 们 之间 的关系 为 x=ρcos θ,y=ρsin θ.另一种关系 为 ρ2=x2+y2,t (x≠0). 知识梳理 -4-2.直线的极坐标方程若直 线过 点 M(ρ0,θ0),且极 轴 到此直 线 的角 为 α,则 它的方程 为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).几个特殊位置的直 线 的极坐 标 方程 :(1)直 线过 极点 :θ=θ0和 θ=π+θ0;(2)直 线过 点 M(a,0),且垂直于极 轴 :ρcos θ=a; (3)直 线过 ,且平行于极 轴 :ρsin θ=b. 知识梳理 -5-4.曲线的参数方程在平面直角坐 标 系 xOy中 ,如果曲 线 上任意一点的坐 标 x,y都是某个 变 量 t的函数 并且 对 于 t的每一个允 许值 ,上式所确定的点 M(x,y)都在 这 条曲 线 上 ,则 称上式 为该 曲 线 的 参数方程 ,其中变 量 t称 为 参数 .知识梳理 -6-双击自测 -7-2 3 41 5× × √ √ × 双击自测 -8-2 3 41 52.(2015江西九江模拟 )若原点与极点重合 ,x轴 正半 轴 与极 轴 重合,则 点 (-5,-5 )的极坐 标 是 ( )答案解析解析关闭答案解析关闭双击自测 -9-2 3 41 53.(2015陕西咸阳模拟 )已知直 线 l的参数方程 为 (t为 参数 ),圆 C的极坐 标 方程 为 ρ=2 sin θ,则 直 线 l与 圆 C的位置关系 为 ( )A.相离 B.相切C.相交 D.由参数确定答案解析解析关闭答案解析关闭双击自测 -10-2 3 41 54.在平面直角坐 标 系 xOy中 ,以原点 O为 极点 ,x轴 的正半 轴为 极轴 建立极坐 标 系 ,曲 线 C1的极坐 标 方程 为 ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲 线 C2的参数方程 为 (t为 参数 ),则 C1与 C2交点的直角坐 标为. 答案解析解析关闭答案解析关闭双击自测 -11-2 3 41 5答案解析解析关闭答案解析关闭双击自测 -12-2 3 41 5自 测 点 评1.在极坐标系下 ,点的极坐标不是唯一的 ,极坐标 (ρ,θ),(ρ,θ+2kπ)等表示同一点的坐标 .因此曲线上点的极坐标不一定适合曲线的极坐标方程 .2.判断曲线的极坐标方程或者曲线的参数方程表示什么曲线时 ,一般先化为直角坐标方程再判断 .3.在极坐标系中判断两曲线的位置关系 ,或者求两曲线的交点 ,都是把曲线方程化为直角坐标方程后再进行判断或求解 .核心考点 -13-考点 1 考点 2 考点 3考点 1直角坐 标 与极坐 标 的互化 例 1(2015课标 全国 Ⅰ ,理 23)在直角坐 标 系 xOy中 ,直 线 C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐 标 原点 为 极点 ,x轴 的正半 轴为 极 轴 建立极坐 标 系 .(1)求 C1,C2的极坐 标 方程 ;(2)若直 线 C3的极坐 标 方程 为 θ= (ρ∈ R),设 C2与 C3的交点 为M,N,求 △C2MN的面 积 .知识方法 易错易混考点 4答案答案关闭核心考点 -14-考点 1 考点 2 考点 3思考 :如何进行直角坐标与极坐标的互化 ?解题心得 :1.直角坐标方程化为极坐标方程 ,只需把公式 x=ρcos θ及 y=ρsin θ直接代入并化简即可 ;2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形 ,构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式 ,进行整体代换 .其中方程的两边同乘以 (或同除以 )ρ及方程两边平方是常用的变形方法 .知识方法 易错易混考点 4核心考点 -15-考点 1 考点 2 考点 3对点训练 1 在极坐标系中 ,曲线 C1和 C2的方程分别为 ρsin2θ=cos θ和 ρsin θ=1.以极点 为 平面直角坐 标 系的原点 ,极 轴为 x轴 的正半轴 ,建立平面直角坐 标 系 ,求曲 线 C1和 C2交点的直角坐 标 . 知识方法 易错易混考点 4答案答案关闭核心考点 -16-考点 1 考点 2 考点 3考点 2求曲 线 的极坐 标 方程 例 2(2015石家庄二中一模 )在直角坐 标 系 xOy中 ,圆 C的参数方程为 (φ为 参数 ),以 O为 极点 ,x轴 的正半 轴为 极 轴建立极坐 标 系 .(1)求 圆 C的极坐 标 方程 ;(2)直 线 l的极坐 标 方程是 ,射 线 OM:θ= 与 圆C的交点 为 O,P,与直 线 l的交点 为 Q,求 线 段 PQ的 长 .知识方法 易错易混考点 4答案答案关闭核心考点 -17-考点 1 考点 2 考点 3思考 :如何求直线或曲线的极坐标方程 ?解题心得 :求曲线的极坐标方程的步骤 :(1)建立适当的极坐标系 ,设 P(ρ,θ)是曲线上任意一点 ;(2)由曲线上的点所适合的条件 ,列出曲线上任意一点的极径 ρ和极角 θ之间的关系式 ,解决这类问题 ,关键是抓住问题的几何意义 .(3)将列出的关系式进行整理、化简 ,得出曲线的极坐标方程 .知识方法 易错易混考点 4核心考点 -18-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 4答案答案关闭核心考点 -19-考点 1 考点 2 考点 3考点 3参数方程与普通方程的互化 例 3(2015河北唐山一模 )已知 椭圆 C: ,直 线(1)写出 椭圆 C的参数方程及直 线 l的普通方程 ;(2)设 A(1,0),若 椭圆 C上的点 P满 足到点 A的距离与其到直 线 l的距离相等 ,求点 P的坐 标 .知识方法 易错易混考点 4答案答案关闭核心考点 -20-考点 1 考点 2 考点 3思考 :参数方程与普通方程的互化的基本方法是什么 ?解题心得 :1.参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法 ,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等 .对于与角 θ有关的参数方程 ,经常用到公式 sin2θ+cos2θ=1;在将曲线的参数方程化为普通方程时 ,还要注意其中的 x,y的取值范围 ,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 .2.直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程 ,只需套用公式即可 .知识方法 易错易混考点 4核心考点 -21-考点 1 考点 2 考点 3对点训练 3 已知直线 l的参数方程为 (t为参数 ),圆 C的参数方程为 (θ为 参数 ). (1)求直 线 l和 圆 C的普通方程 ;(2)若直 线 l与 圆 C有公共点 ,求 实 数 a的取 值 范 围 .知识方法 易错易混考点 4答案答案关闭核心考点 -22-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 4考点 4极坐 标 方程及参数方程的 应 用 例 4(2015课标 全国 Ⅱ ,理 23)在直角坐 标 系 xOy中 ,曲 线 C1: (t为 参数 ,t≠0),其中 0≤ απ.在以 O为 极点 ,x轴 正半 轴为 极 轴 的极坐 标 系中 ,曲 线 C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 cos θ.(1)求 C2与 C3交点的直角坐 标 ;(2)若 C1与 C2相交于点 A,C1与 C3相交于点 B,求 |AB|的最大 值 .答案答案关闭核心考点 -23-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 4思考 :解决参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路是什么 ?解题心得 :求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般思路是 :分别化为普通方程和直角坐标方程后求解 .转化后可使问题变得更加直观 ,它体现了化归思想的具体运用 .当然 ,还要结合题目本身特点 ,确定选择何种方程 .核心考点 -24-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 4对点训练 4 (2015河北保定一模 )已知直 线 l在直角坐 标 系 xOy中的参数方程 为 (t为 参数 ,α为倾 斜角 ),曲 线 C的极坐 标 方程 为 ρ=4cos θ(其中坐 标 原点 O为 极点 ,x轴 正半 轴为 极 轴 ,取相同 单 位 长 度 ). (1)写出曲 线 C的直角坐 标 方程 ;(2)若曲 线 C与直 线 l相交于不同的两点 M,N,设 P(4,2),求|PM|+|PN|的取 值 范 围 .解 :(1)∵ ρ=4cos θ,∴ ρ2=4ρcos θ,∴ 曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2=4x.核心考点 -25-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 4核心考点 -26-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 41.曲 线 的极坐 标 方程与直角坐 标 方程的互化思路 :对 于 简单 的我 们 可以直接代入公式 ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,但有 时 需要作适当的 变 化 ,如将式子的两 边 同 时 平方 ,两 边 同 时 乘以 ρ等 .2.如果要判断极坐 标 系中曲 线 的形状 ,我 们 可以将方程化 为 直角坐 标 方程再 进 行判断 ,这时 我 们 直接 应 用 x=ρcos θ,y=ρsin θ即可 .3.参数方程化普通方程常用的消参技巧 :代入消元、加减消元、平方后加减消元等 ,经 常用到公式 :cos2θ+sin2θ=1,1+tan2θ= 等 .4.利用曲 线 的参数方程来求解两曲 线间 的最 值问题 非常 简 捷方便 ,是我 们 解决 这类问题 的好方法 .核心考点 -27-考点 1 考点 2 考点 3 知识方法 易错易混考点 41.极坐 标 与平面直角坐 标 不同 ,极坐 标 与 P点之 间 不是一一 对应的 ,所以我 们规 定 ρ≥ 0,0≤ θ2π来使平面上的点与它的极坐 标 之间 是一一 对应 的 ,但仍然不包括极点 .2.在将曲 线 的参数方程化 为 普通方程 时 ,不 仅仅 要把其中的参数消去 ,还 要注意其中的 x,y的取 值 范 围 .也即在消去参数的 过 程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性 .13.3 选修 4—5 不等式选讲-2-考纲要求 :1.理解绝对值的几何意义 ,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件 :|a+b|≤ |a|+|b|(a,b∈ R);|a-b|≤ |a-c|+|c-b|(a,b∈ R). 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤ c,|ax+b|≥ c,|x-c|+|x-b|≥ a. 3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法 :比较法、综合法、分析法 .-3-1.绝对值三角不等式(1)定理 1:若 a,b是 实 数 ,则 |a+b|≤ |a|+|b|,当且 仅 当 ab≥ 0时 ,等号成立 ;(2)性 质 :|a|-|b|≤ |a± b|≤ |a|+|b|;(3)定理 2:若 a,b,c是 实 数 ,则 |a-c|≤ |a-b|+|b-c|,当且 仅 当 (a-b)(b-c)≥ 0时 ,等号成立 .-4-2.绝对值不等式的解法(1)含 绝对值 的不等式 |x|a(a0)的解法 :① |x|a⇔xa或 x0)和 |ax+b|≥ c(c0)型不等式的解法 :① |ax+b|≤ c⇔-c≤ ax+b≤ c;② |ax+b|≥ c⇔ax+b≥ c或 ax+b≤ -c.-5-(3)|x-a|+|x-b|≥ c(c0)和 |x-a|+|x-b|≤ c(c0)型不等式的解法法一 :利用 绝对值 不等式的几何意 义 求解 ,体 现 了数形 结 合的思想 ;法二 :利用 “零点分段法 ”求解 ,体 现 了分 类讨论 的思想 ;法三 :通 过 构造函数 ,利用函数的 图 像求解 ,体 现 了函数与方程的思想 .-6--7-4.柯西不等式(1)设 a,b,c,d均 为实 数 ,则 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2,当且 仅 当ad=bc时 等号成立 .(3)柯西不等式的向量形式 :设 α,β为 平面上的两个向量 ,则|α||β|≥ |α·β|,当且 仅 当 α,β共 线时 等号成立 .5.不等式的证明方法证 明不等式常用的方法有比 较 法、 综合法 、 分析法 、反 证 法、放 缩 法等 .-8-1 2 3 4 51.下列 结论 正确的打 “√”,错误 的打 “×”.(1)不等式 |x||a-2|+1对 于一切非零 实 数 x均成立 ,则实 数 a的取 值 范 围 是 ( )A.2b1,x=a+ ,y=b+ ,则 x与 y的大小关系是( )A.xyB.x1.答案解析关闭a1-13-1 2 3 4 5自 测 点 评1.对于绝对值三角不等式 ,易忽视等号成立的条件 .对 |a+b|≥ |a|-|b|,当且仅当 a-b≥ 0时 ,等号成立 ;对 |a|-|b|≤ |a-b|≤ |a|+|b|,如果 a0)的不等式一般可用零点分段法求解 ,利用实数绝对值的几何意义求解较简便 .3.求函数 y=|x-a|+|x-b|的最值问题 ,一般利用绝对值三角不等式 ,但要找出等号成立的条件 ,只有等号成立 ,才存在最值 .-14-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 1含 绝对值 不等式的解法 例 1(2015河北石家庄二中一模 )设 f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求 f(x)≤ x+2的解集 ;(2)若不等式 对 任意 实 数 a≠0恒成立 ,求 实 数 x的取 值 范 围 .-15-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混-16-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混思考 :绝对值不等式的常见解法有哪些 ?解题心得 :绝对值不等式的常见解法有 :(1)解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次或一元二次不等式 (组 )进行求解 .(2)含有多个绝对值符号的不等式 ,一般可用零点分段法求解 ,其一般步骤为 :① 令每个含绝对值符号的代数式为零 ,并求出相应的根 ;② 将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间 ;③ 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式 ,解这些不等式,求出解集 ;④ 取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集 .-17-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混(3)对于形如 |x-a|+|x-b|m或 |x-a|+|x-b|0).(1)证 明 :f(x)≥ 2;(2)若 f(3)-1.-22-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 3含参数的 绝对值 不等式 问题 例 3(2015课标 全国 Ⅰ ,理 24)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当 a=1时 ,求不等式 f(x)1的解集 ;(2)若 f(x)的 图 象与 x轴围 成的三角形面 积 大于 6,求 a的取 值 范 围 .答案答案关闭-23-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混思考 :求解含参数的绝对值不等式问题的常用基本方法是什么 ?解题心得 :求解含参数的绝对值不等式问题时 ,根据绝对值的定义 ,分类讨论去掉绝对值符号 ,转化为分段函数 ,然后数形结合解决是常用的基本方法 .-24-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混对点训练 3 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2时 ,求不等式 f(x)-1,且当 x∈ 时 ,f(x)≤ g(x),求 a的取 值 范 围 .-25-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混-26-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 4不等式的 证 明 例 4(2015课标 全国 Ⅱ ,理 24)设 a,b,c,d均 为 正数 ,且 a+b=c+d,证 明 :-27-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混-28-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混思考 :证明不等式常用的方法有哪些 ?解题心得 :证明不等式常用的方法有 :(1)比较法证明不等式 :① 作差比较法 ;② 作商比较法 .(2)用分析法证明不等式 :使用分析法证明的关键是寻找推理的每一步的充分条件 .(3)用综合法证明不等式 :在用综合法证明不等式时 ,常用到不等式的性质和 基本不等式 等 .-29-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混对点训练 4 (2015辽宁丹东二模 )已知 a,b为正实数 . (1)若 a+b=2,求 的最小 值 ;(2)求 证 :a2b2+a2+b2≥ ab(a+b+1).答案答案关闭-30-考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 5 知识方法 易错易混考点 5柯西不等式的 应 用 例 5(2015福建 ,理 21)已知 a0,b0,c0,函数 f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小 值为 4.(1)求 a+b+c的 值 ;(2)求 的最小 值 .解 :(1)因为 f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥ |(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当 -a≤ x≤ b时 ,等号成立 .又 a0,b0,所以 |a+b|=a+b,所以 f(x)的最小值为 a+b+c.又已知 f(x)的最小值为 4,所以 a+b+c=4.1考点规范练 57 几何证明选讲考点规范练 A 册第 46 页 基础巩固组1.如图所示,已知 DE∥ BC,BF∶EF= 3∶ 2,求 AC∶AE 和 AD∶DB 的值 .解: ∵DE ∥ BC,∴.∵BF∶EF= 3∶ 2,∴.同理 DE∥ BC,得 AB∶AD= 3∶ 2,∴ ,则 AD∶BD= 2∶ 1.2.(2015 南昌一模)如图, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO 交圆 O 于 B,C 两点, PA=20,PB=10,∠ BAC 的角平分线与 BC 和圆O 分别交于点 D 和 E.(1)求证: AB·PC=PA·AC;(2)求 AD·AE 的值 .(1)证明: ∵PA 为圆 O 的切线, ∴ ∠ PAB=∠ ACB,又∠ P 为公共角, ∴ △ PAB∽△ PCA,∴ ,即 AB·PC=PA·AC.(2)解: ∵PA 为圆 O 的切线, PC 是过点 O 的割线,∴PA 2=PB·PC,∴PC= 40,BC=30.又 ∵ ∠ CAB=90°,∴AC 2+AB2=BC2=900.又由(1)知, ∴AC= 12,AB=6,连接 EC,则∠ CAE=∠ EAB,△ ACE∽△ ADB,∴ ,AD·AE=AB·AC=6×12=360.〚导学号 32470554〛3.如图, AB 为圆 O 的直径, CD 为垂直于 AB 的一条弦,垂足为 E,弦 BM 与 CD 交于点 F.(1)证明: A,E,F,M 四点共圆;(2)若 MF=4BF=4,求线段 BC 的长 .(1)证明:如图,连接 AM.由 AB 为直径可知∠ AMB=90°.又 CD⊥ AB,所以∠ AEF=∠ AMB=90°.所以∠ AEF+∠ AMB=180°.因此 A,E,F,M 四点共圆 .(2)解:连接 AC,由 A,E,F,M 四点共圆,2可知 BF·BM=BE·BA.在 Rt△ ABC 中, BC2=BE·BA.又由 MF=4BF=4,知 BF=1,BM=5,所以 BC2=5,BC=.4.(2015 东北三校一模)如图,在△ ABC 中,∠ ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边上的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M.(1)求证: DE 是圆 O 的切线;(2)求证: DE·BC=DM·AC+DM·AB.证明:(1)连接 BE,OE,∵AB 是直径, ∴ ∠ AEB=90°.∵ ∠ ABC=90°=∠ AEB,∠ A=∠ A,∴ △ AEB∽△ ABC,∴ ∠ ABE=∠ C.∵BE ⊥ AC,D 为 BC 的中点, ∴DE=BD=DC ,∴ ∠ DEC=∠ DCE=∠ ABE=∠ BEO,∠ DBE=∠ DEB,∴ ∠ BEO+∠ DEB=∠ DCE+∠ CBE=90°,∴ ∠ OED=90°,∴DE 是圆 O 的切线 .(2)∵O ,D 分别为 AB,BC 的中点,∴DM=OD-OM= (AC-AB),∴DM ·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)=(AC-AB)·(AC+AB)=(AC2-AB2)=BC2=DE·BC.∴DE ·BC=DM·AC+DM·AB.能力提升组5.如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点,☉ O 与△ ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点 .(1)证明: EF∥ BC;(2)若 AG 等于☉ O 的半径,且 AE=MN=2,求四边形 EBCF 的面积 .解:(1)由于△ ABC 是等腰三角形, AD⊥ BC,所以 AD 是∠ CAB 的平分线 .又因为☉ O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE=AF,故 AD⊥ EF.从而 EF∥ BC.(2)由(1)知, AE=AF,AD⊥ EF,故 AD 是 EF 的垂直平分线 .又 EF 为☉ O 的弦,所以 O 在 AD 上 .连接 OE,OM,则 OE⊥ AE.3由 AG 等于☉ O 的半径得 AO=2OE,所以∠ OAE=30°.因此△ ABC 和△ AEF 都是等边三角形 .因为 AE=2,所以 AO=4,OE=2.因为 OM=OE=2,DM=MN=,所以 OD=1.于是 AD=5,AB=.所以四边形 EBCF 的面积为 ×(.〚导学号 32470555〛6.如图, AB 切☉ O 于点 B,直线 AO 交☉ O 于 D,E 两点, BC⊥ DE,垂足为 C.(1)证明:∠ CBD=∠ DBA;(2)若 AD=3DC,BC=,求☉ O 的直径 .(1)证明:因为 DE 为☉ O 直径,则∠ BED+∠ EDB=90°.又 BC⊥ DE,所以∠ CBD+∠ EDB=90°,从而∠ CBD=∠ BED.又 AB 切☉ O 于点 B,得∠ DBA=∠ BED,所以∠ CBD=∠ DBA.(2)解:由(1)知 BD 平分∠ CBA,则 =3,又 BC=,从而 AB=3.所以 AC==4,所以 AD=3.由切割线定理得 AB2=AD·AE,即 AE==6,故 DE=AE-AD=3,即☉ O 直径为 3.〚导学号 32470556〛1考点规范练 58 坐标系与参数方程考点规范练 B册第 43页 基础巩固组1.(2015河北衡水中学二模)在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为( t为参数),以该直角坐标系的原点 O为极点, x轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线 P的方程为 ρ 2-4ρ cos θ+ 3=0.(1)求曲线 C的普通方程和曲线 P的直角坐标方程;(2)设曲线 C和曲线 P的交点为 A,B,求 |AB|.解:(1)曲线 C的普通方程为 x-y-1=0.曲线 P的直角坐标方程为 x2+y2-4x+3=0.(2)曲线 P可化为( x-2)2+y2=1,表示圆心为(2,0),半径 r=1的圆,则圆心到直线 C的距离为 d=,所以 |AB|=2.2.在直角坐标系 xOy中,以 O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为ρ cos=1,M,N分别为曲线 C与 x轴, y轴的交点 .(1)写出曲线 C的直角坐标方程,并求 M,N的极坐标;(2)设 M,N的中点为 P,求直线 OP的极坐标方程 .解:(1)由 ρ cos=1得, ρ cos θ ·cos+ρ sin θ ·sin=1.即曲线 C的直角坐标方程为 x+y-2=0.令 y=0,则 x=2;令 x=0,则 y=.∴M (2,0),N.∴M 的极坐标为(2,0), N的极坐标为 .(2)M,N连线的中点 P的直角坐标为, P的极角为 θ=.∴ 直线 OP的极坐标方程为 θ= (ρ ∈R) .〚导学号 32470854〛3.(2015沈阳一模)在平面直角坐标系 xOy中,圆 C的参数方程为( θ 为参数),直线 l经过点 P(1,2),倾斜角 α=.(1)写出圆 C的普通方程和直线 l的参数方程;(2)设直线 l与圆 C相交于 A,B两点,求 |PA|·|PB|的值 .解:(1)消去 θ ,得圆的普通方程为 x2+y2=16.直线 l的参数方程为即( t为参数) .(2)把直线 l的参数方程代入 x2+y2=16,得 =16,即 t2+(2+)t-11=0.所以 t1t2=-11,即 |PA|·|PB|=11.4.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 A的极坐标为,直线 l的极坐标方程为 ρ cos=a,且点 A在直线 l上 .(1)求 a的值及直线 l的直角坐标方程;(2)圆 C的参数方程为( α 为参数),试判断直线 l与圆 C的位置关系 .解:(1)由点 A在直线 ρ cos=a上,可得 a=.所以直线 l的方程可化为 ρ cos θ+ρ sin θ= 2,从而直线 l的直角坐标方程为 x+y-2=0.(2)由已知得圆 C的直角坐标方程为( x-1)2+y2=1,所以圆 C的圆心为(1,0),半径 r=1.因为圆心 C到直线 l的距离 d=1,所以直线 l与圆 C相交 .〚导学号 32470855〛能力提升组5.已知曲线 C:=1,直线 l:(t为参数) .(1)写出曲线 C的参数方程,直线 l的普通方程;(2)过曲线 C上任意一点 P作与 l夹角为 30°的直线,交 l于点 A,求 |PA|的最大值与最小值 .解:(1)曲线 C的参数方程为( θ 为参数) .2直线 l的普通方程为 2x+y-6=0.(2)曲线 C上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到 l的距离为 d=|4cos θ+ 3sin θ- 6|,则 |PA|=|5sin(θ+α )-6|,其中 α 为锐角,且 tan α=.当 sin(θ+α )=-1时, |PA|取得最大值,最大值为 .当 sin(θ+α )=1时, |PA|取得最小值,最小值为 .〚导学号 32470856〛6.(2015河北石家庄高三质检二)在平面直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为( t为参数) .以坐标原点 O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线 C2的极坐标方程为ρ cos.(1)把曲线 C1的方程化为普通方程, C2的方程化为直角坐标方程;(2)若曲线 C1,C2相交于 A,B两点, AB的中点为 P,过点 P作曲线 C2的垂线交曲线 C1于 E,F两点,求|PE|·|PF|的值 .解:(1)消去参数可得 C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 AB中点为 P(x0,y0),联立可得 x2-6x+1=0.∴x 1+x2=6,x1x2=1,∴∴AB 中垂线的参数方程为( t为参数) .①y2=4x.②将 ① 代入 ② 中,得 t2+8t-16=0,∴t 1·t2=-16.∴|PE| ·|PF|=|t1·t2|=16.〚导学号 32470857〛