1、12015-2016 学年江苏省无锡市宜兴市和桥二中八年级（上）第一次段考数学试卷一、选择题1下面的图形都是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（ ）A B C D2等腰三角形的一个角是 80，则它顶角的度数是（ ）A80 B80或 20 C80或 50 D203如图，是 44 正方形网格，其中已有 4 个小方格涂成了黑色现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4如图，在ABC 中，AB=AC，AD=AE，BAD=30，EDC 的度数是（ ）A10 B15 C20 D255如图，将三角形纸片 A
2、BC 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 DE若B=82，BAE=26，则EAD 的度数为（ ）A28 B30 C36 D456如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，BD、CE 分别是ABC、BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）A5 个 B4 个 C3 个 D2 个7在联合会上，有 A、B、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（ ）A三边中线的交点 B三条角平分线的交点C三边中垂线的交点 D三边上高的交点8如图，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边
3、ABC 的边 AB、BC 上的动点（其中 P、Q 不与端点重合），点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，连接 AQ、CP 交于点 M，则在2P、Q 运动的过程中，下列结论：（1）BP=CM；（2）ABQCAP；（3）CMQ 的度数始终等于60；（4）当第秒或第秒时，PBQ 为直角三角形其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题9正方形是轴对称图形，它共有 条对称轴10等腰三角形的顶角是 80，一腰上的高与底边的夹角是 11如图，ABC 中，C=90，AC=BC=a，AB=b，AD 平分CAB 交 BC 于 D，DEAB，垂足
4、为 E，则DEB 的周长为 （用 a、b 代数式表示）12若一个等腰三角形两边长分别为 4cm 和 2cm，则它的周长为 13等腰三角形的一条边长为 6cm，周长为 14cm，它的底边长为 14如图，在ABC 中，C=90，DE 垂直平分 AB，CBE：A=1：2，则AED= 15一直角三角形的两条直角边长分别为 12，5，则斜边长是 ，斜边上的中线是 16在直角ABC 中，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 CD=4，则点 D 到斜边 AB 的距离为 17平面上有 A、B 两个点，以线段 AB 为一边作等腰直角三角形能作 个18如图，ABC 为等边三角形，BDAB，BD=AB
5、，则DCB= 19如图，ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分 AB，BEAC，AFBC 分别交 DE、BE 于点 G、H，则EFC= ，图中共有 个等腰三角形三、解答题20如图，锐角三角形 ABC 的两条高 BE、CD 相交于点 O，且 OB=OC（1）求证：AB=AC； （2）求证：点 O 在BAC 的平分线上321如图，在ABC 中，AB=BC，点 D 在 AB 的延长线上（1）利用尺规按要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）作CBD 的平分线；作 BC 边的中垂线交 BC 边于点 E，连接 AE 并延长交CBD 的平分线于点 F（2）由（1）得：BF 与边 AC 的
6、位置关系是 22如图，在ABC 中，AB=AC，AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点 D、E（1）若A=40，求DCB 的度数（2）若 AE=4，DCB 的周长为 13，求ABC 的周长23如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=5，AC=3，求 AE、BE 的长24如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D 为ABC 内一点，CAD=CBD=15，E 为 AD延长线上的一点，且 CE=CA（1）求证：DE 平分BDC；（2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，请判断 M
7、E、BD 的数量关系，并给出证明25几何模型：条件：如图 1，A、B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连结 AB 交 l 于点 P，则 PA+PB=AB 的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图 2，正方形是大家喜爱的一种轴对称图形，它的对角线所在的直线就是对称轴现在有一个边长为 2 的正方形 ABCD，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点 请求出 EP+PB 的最小值4（2）如图 3，AOC=45，P 是AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小
8、值52015-2016 学年江苏省无锡市宜兴市和桥二中八年级（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1下面的图形都是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（ ）A B C D【考点】轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合2等腰三角形的
9、一个角是 80，则它顶角的度数是（ ）A80 B80或 20 C80或 50 D20【考点】等腰三角形的性质【专题】分类讨论【分析】分 80角是顶角与底角两种情况讨论求解【解答】解：80角是顶角时，三角形的顶角为 80，80角是底角时，顶角为 180802=20，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80或 20故选：B【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解63（2015 秋睢宁县期中）如图，是 44 正方形网格，其中已有 4 个小方格涂成了黑色现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有（ ）A1 个 B2 个
10、 C3 个 D4 个【考点】利用轴对称设计图案【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案【解答】解：如图所示：蓝色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，故选：C【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键4如图，在ABC 中，AB=AC，AD=AE，BAD=30，EDC 的度数是（ ）A10 B15 C20 D25【考点】等腰三角形的性质【分析】可以设EDC=x，B=C=y，根据ADE=AED=x+y，ADC=B+BAD 即可列出方程，从而求解【解答】解：设EDC=x，B=C=y，AED=EDC+C=x+y，又因为 AD=AE，所以ADE=AED=x+y，
11、则ADC=ADE+EDC=2x+y，又因为ADC=B+BAD，所以 2x+y=y+30，解得 x=15，所以EDC 的度数是 15故选 B【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角正确确定相等关系列出方程是解题的关键75（2014 秋崇安区校级期中）如图，将三角形纸片 ABC 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为DE若B=82，BAE=26，则EAD 的度数为（ ）A28 B30 C36 D45【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】求出AEC 的度数，根据翻折变换的性质得到EAD=C，即可解决问题【解答】解：由题意得：EAD=C；AEC=B+BAE=82+26=108，EAD=36，故
12、选 C【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，是解题的关键6（2015淄博模拟）如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，BD、CE 分别是ABC、BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）A5 个 B4 个 C3 个 D2 个【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理【专题】证明题【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案【解答】解：共有 5 个（1）AB=ACABC 是等腰三角形；（2）BD、CE 分别是ABC、BCD 的角平分线EBC=ABC，ECB=BCD，ABC 是等腰三角形，EBC=
13、ECB，BCE 是等腰三角形；8（3）A=36，AB=AC，ABC=ACB=（18036）=72，又 BD 是ABC 的角平分线，ABD=ABC=36=A，ABD 是等腰三角形；同理可证CDE 和BCD 是等腰三角形故选：A【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题7（2013 秋龙岗区期末）在联合会上，有 A、B、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（ ）A三边中线的交点 B三条角平分线的交点C三边中垂线的交点 D三边上高的交点
14、【考点】线段垂直平分线的性质【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上【解答】解：三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，凳子应放在ABC 的三条垂直平分线的交点最适当故选：C【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键8（2014 秋忠县校级期末）如图，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边ABC 的边 AB、BC 上的动点（其中 P、Q 不与端点重合），点 P 从顶点 A，点 Q 从顶
15、点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，下列结论：（1）BP=CM；（2）ABQCAP；（3）CMQ 的度数始终等于 60；（4）当第秒或第秒时，PBQ 为直角三角形其中正确的结论有（ ）9A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】易证ABQCAP，可得AQB=CPA，即可求得AMP=B=60，易证CQM60，可得 CQCM，根据 t 的值易求 BP，BQ 的长，即可求得 PQ 的长，即可解题【解答】解：ABC 是等边三角形，AB=BC=AC，BAC=B=ACB=60，根据题意
16、得：AP=BQ，在ABQ 和CAP 中，ABQCAP（SAS），（2）正确；AQB=CPA，BAQ+APC+AMP=180，BAQ+B+AQB=180，AMP=B=60，QMC=60，（3）正确；QMC=60，QCM60，CQM60，CQCM，BP=CQ，CMBP，（1）错误；当 t=时，BQ=，BP=4=，PQ 2=BP2+BQ22BPBQcos60，PQ=，PBQ 为直角三角形，同理 t=时，PBQ 为直角三角形仍然成立，（4）正确；故选 C【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证ABQCAP 是解题的关键二、填空题109（2013 秋抚州期
17、末）正方形是轴对称图形，它共有 4 条对称轴【考点】轴对称图形【分析】根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可【解答】解：如图所示，正方形是轴对称图形，它共有 4 条对称轴故答案为：4【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义得出个正多边形的对称轴条数是解决问题的关键10（2014 秋崇安区校级期中）等腰三角形的顶角是 80，一腰上的高与底边的夹角是 40 【考点】等腰三角形的性质【分析】从已知条件根据等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半进行解答即可【解答】解：因为等腰三角形的顶角是 80，根据等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半得所求的角为 40故答案为：40【点
18、评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半的理解及运用11（2014 秋江阴市期中）如图，ABC 中，C=90，AC=BC=a，AB=b，AD 平分CAB 交 BC 于D，DEAB，垂足为 E，则DEB 的周长为 b （用 a、b 代数式表示）【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形【分析】由题目的已知条件应用 AAS 易证CADEAD得到 DE=CD，于是 BD+DE=BC=AC=AE，则周长可利用对应边相等代换求解【解答】解：AD 平分CAB，C=90，DEAB，CAD=BAD，C=AED在CAD 和EAD 中，CADEAD（AAS），11AC=A
19、E，CD=DEAC=BC，BC=AEDEB 的周长为 DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=AB=b故答案为：b【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；解决本题的关键是利用全等把所求的三角形的周长的各边整理到已知的线段上12若一个等腰三角形两边长分别为 4cm 和 2cm，则它的周长为 10cm 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为 2cm 或腰长为 4cm 两种情况【解答】解：当腰长是 2cm 时，则三角形的三边是 2cm，2cm，4cm，2cm+2cm=4cm 不满足三角形的三边关系；当腰长是 4cm 时，
20、三角形的三边是 4cm，4cm，2cm，4cm+2cm=6cm4cm，能构成三角形，此时三角形的周长=4+4+2=10（cm），故答案为：10cm【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键13（2014 秋江阴市校级期中）等腰三角形的一条边长为 6cm，周长为 14cm，它的底边长为 6cm 或 2cm 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系【分析】根据题意得出两种情况，分别求出即可【解答】解：当腰为 6cm 时，底边为 14cm6cm6cm=2cm；
21、底边为 6cm；故答案为：6cm 或 2cm【点评】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的两腰相等，题目比较好，难度不是很大1214（2014 秋江阴市校级期中）如图，在ABC 中，C=90，DE 垂直平分AB，CBE：A=1：2，则AED= 54 【考点】线段垂直平分线的性质【分析】由 DE 垂直平分 AB，可得 AE=BE，又由在ABC 中，C=90，CBE：A=1：2，可设A=2x，即可得方程：2x+3x=90，继而求得答案【解答】解：DE 垂直平分 AB，AE=BE，A=ABE，在ABC 中，C=90，CBE：A=1：2，设A=2x，则ABC=ABE+CBE=2x+x=3
22、x，2x+3x=90，解得：x=18，A=36，AED=90A=54故答案为：54【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用15（2015 秋邗江区期中）一直角三角形的两条直角边长分别为 12，5，则斜边长是 13 ，斜边上的中线是 6.5 【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线【分析】根据勾股定理求出斜边长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半解答【解答】解：根据勾股定理，斜边长为=13，斜边上的中线为 13=6.5，故答案为 13，6.5【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的计算，同事要注意斜边上的中线等于斜边的一半1316（20
23、12舟山）在直角ABC 中，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 CD=4，则点 D 到斜边 AB 的距离为 4 【考点】角平分线的性质【专题】计算题【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可；【解答】解：如右图，过 D 点作 DEAB 于点 E，则 DE 即为所求，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），CD=4，DE=4故答案为：4【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等17（2013 秋兴化市期中）平面上有 A、B 两个点，以线段 AB 为一边作等腰直角三角形能作 6 个【考点】等腰直
24、角三角形【分析】如图，以 AB 为斜边可以作两个等腰直角三角形，以 AB 为直角边可以作 4 个等腰直角三角形通过作图可以得出结论【解答】解：根据题意，作出图形以 AB 为斜边可以作两个等腰直角三角形：ABC，ABD，以AB 为斜边可以作出 4 个等腰直角三角形：ABE，ABF，ABG，ABH以线段 AB 为一边作等腰直角三角形能作 6 个故答案为 6【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，分类讨论思想的运用，作图在解决实际问题中的运用，解答时弄清等腰直角三角形的性质是关键18（2015 秋盐都区期中）如图，ABC 为等边三角形，BDAB，BD=AB，则DCB= 15 14【考点】等腰三
25、角形的性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形【分析】首先根据等边三角形和等腰直角三角形求得DBC 的度数，然后利用等腰三角形的性质求得DCB 的度数即可【解答】解：ABC 为等边三角形，BDAB，DBC=90+60=150，BD=AB，DB=CB，DCB=（180150）=15，故答案为：15【点评】本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是求得DBC 的度数19（2014 秋江阴市期中）如图，ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分 AB，BEAC，AFBC 分别交DE、BE 于点 G、H，则EFC= 45 ，图中共有 8 个等腰三角形【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与
26、性质；直角三角形斜边上的中线【分析】由已知条件，根据等边对等角，线段的垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质得到等腰三角形，根据等边对等角，利用三角形的内角和定理得出EFC 的度数【解答】解：AB=AC，ABC 是等腰三角形DE 垂直平分 AB，AE=BEABE 是等腰三角形；BEAC，ABE 是等腰直角三角形，BAC=ABE=45，ADE 和BDF 是等腰直角三角形；AFBC，BF=FC，在 RTBEC 中，EF=BF，EF=FC，BEF 和EFC 是等腰三角形151=2，BAE=AED=45，EGH=AHE，GEH 是等腰三角形，EBC=FAC，EBF=BEF，GEF=45+BE
27、F=ABF=FGE，GEF 是等腰三角形，图中共有 8 个等腰三角形，EFC 是等腰三角形，C=FEC，EFC+2C=180，BAC+2C=180，EFC=BAC=45故答案为 45，6【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质及三角形内角和定理；熟练掌握性质定理是解题的关键三、解答题20（2015 秋工业园区期中）如图，锐角三角形 ABC 的两条高 BE、CD 相交于点 O，且 OB=OC（1）求证：AB=AC； （2）求证：点 O 在BAC 的平分线上【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】（1）先根据
28、条件可以得出AEC=ADB=BEC=CDB=90就可以得出BCDCBE，则DBC=ECB，故 AB=AC（2）由（1）中全等三角形的性质得到：BD=CE，就可以得出 OE=OD，再证明ODAOEA 就可以得出DAO=EAO 而得出结论【解答】证明：如图，连接 AO（1）CEAB，BDAC，AEC=ADB=BEC=CDB=9016OB=OC，DBC=ECB在BCD 和CBE 中，BCDCBE（AAS），DBC=ECB，故 AB=AC（2）由（1）知，BCDCBE，BD=CEOB=OC，BDOB=ECOCOD=OE在 RtODA 和 RtOEA 中，RtADORtAEO（HL），DAO=EAO，O
29、A 平分BAC【点评】本题考查了垂直的性质的运用，AAS，HL 证明三角形全等的运用，等式的性质的运用，角平分线的判定的运用，解答时证明三角形是关键21（2014 秋忠县校级期末）如图，在ABC 中，AB=BC，点 D 在 AB 的延长线上（1）利用尺规按要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）作CBD 的平分线；作 BC 边的中垂线交 BC 边于点 E，连接 AE 并延长交CBD 的平分线于点 F（2）由（1）得：BF 与边 AC 的位置关系是 平行 【考点】作图复杂作图；三角形的外角性质；等腰三角形的性质【分析】（1）利用角平分线的作法得出 BM；17首先作出 BC 的垂
30、直平分线，进而得出 BC 的中点，进而得出边 BC 上的中线 AE；（2）利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得出即可【解答】解：（1）如图所示：BM 即为所求；如图所示：AF 即为所求；（2）AB=BC，CAB=C，C+CAB=CBD，CBM=MBD，C=CBM，BFAC故答案为：平行【点评】此题主要考查了复杂作图以及三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质等知识，正确利用角平分线的性质得出是解题关键22（2014 秋江阴市期中）如图，在ABC 中，AB=AC，AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点D、E（1）若A=40，求DCB 的度数（2）若 AE=4，DCB 的周长为 13，求
31、ABC 的周长【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【分析】（1）由在ABC 中，AB=AC，A=40，根据等腰三角形的性质，可求得ACB 的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得 AD=CD，即可求得ACD 的度数，继而求得答案；（2）由 AE=4，DCB 的周长为 13，即可求得ABC 的周长【解答】解：（1）在ABC 中，AB=AC，A=40，ABC=ACB=70，DE 垂直平分 AC，DA=DC，在DAC 中，DCA=A=40，DCB=ACBACD=30；18（2）DE 垂直平分 AC，DA=DC，EC=EA=4，AC=2AE=8，ABC 的周长为：AC+BC+BD+DA=8+B
32、C+BD+DC=8+13=21【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用23（2014 秋江阴市期中）如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于E，DFAC 于 F（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=5，AC=3，求 AE、BE 的长【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）连接 BD，CD，由 AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，根据角平分线的性质，即可得 DE=DF，又由 DGBC 且平分 BC，根据线段垂直平分线的性质，可得 BD=CD，继而可证得RtBE
33、DRtCFD，则可得 BE=CF；（2）首先证得AEDAFD，即可得 AE=AF，然后设 BE=x，由 ABBE=AC+CF，即可得方程5x=3+x，解方程即可求得答案【解答】（1）证明：连接 BD，CD，AD 平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，BED=CFD=90，DGBC 且平分 BC，BD=CD，在 RtBED 与 RtCFD 中，RtBEDRtCFD（HL），BE=CF；（2）解：在AED 和AFD 中，19AEDAFD（AAS），AE=AF，设 BE=x，则 CF=x，AB=5，AC=3，AE=ABBE，AF=AC+CF，5x=3+x，解得：x=1，BE=1，AE=ABBE
34、=51=4【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解24（2014 秋滨湖区期中）如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D 为ABC 内一点，CAD=CBD=15，E 为 AD 延长线上的一点，且 CE=CA（1）求证：DE 平分BDC；（2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，请判断 ME、BD 的数量关系，并给出证明【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质【分析】（1）易证 BD=AD，可得ADCBDC，即可求得ACD=BCD=45即可解题（2）连接
35、MC，易证MCD 为等边三角形，即可证明BDCEMC 即可解题【解答】证明：（1）AC=BC，CBA=CAB，又ACB=90，CBA=CAB=45，又CAD=CBD=15，DBA=DAB=30，BDE=30+30=60，AC=BC，CAD=CBD=15，BD=AD，在ADC 和BDC 中，20ADCBDC（SAS），ACD=BCD=45，CDE=60，CDE=BDE=60，DE 平分BDC；（2）ME=BD，连接 MC，DC=DM，CDE=60，MCD 为等边三角形，CM=CD，EC=CA，EMC=120，ECM=BCD=45在BDC 和EMC 中，BDCEMC（SAS），ME=BD【点评】本
36、题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ADCBDC 是解题的关键25（2014 秋江阴市校级期中）几何模型：条件：如图 1，A、B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连结 AB 交 l 于点 P，则 PA+PB=AB 的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图 2，正方形是大家喜爱的一种轴对称图形，它的对角线所在的直线就是对称轴现在有一个边长为 2 的正方形 ABCD，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点 请求出 EP+PB 的最小值21（2）如图 3，AOC=4
37、5，P 是AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值【考点】轴对称-最短路线问题【分析】（1）根据正方形的性质，点 B、D 关于 AC 对称，连接 DE 与 AC 的交点即为所求点P，EP+PB 的最小值等于 DE，然后利用勾股定理列式计算即可得解；（2）作点 P 关于 OA 的对称点 P1，关于 OB 的对称点 P2，连接 P1P2，求出PQR 周长的最小值=P1P2，连接 OP1、OP 2，根据轴对称的性质求出OP 1P2是等腰直角三角形，然后求解即可【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形，点 B、D 关于 AC 对称，连接 DE 与 AC 的交点即为所求点 P，EP+PB 的最小值=DE，由勾股定理得，DE=；（2）作点 P 关于 OA 的对称点 P1，关于 OB 的对称点 P2，连接 P1P2，则PQR 周长的最小值=P 1P2，连接 OP1、OP 2，则 OP=OP1=OP2，AOP=AOP 1，BOP=BOP 2，所以，OP 1=OP2，P 1OP2=2AOB=245=90，所以，OP 1P2是等腰直角三角形，PO=10，PO 1=10，P 1P2=PO1=10，即PQR 周长的最小值为 10【点评】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰直角三角形的判定与性质，熟记轴对称的性质以及最短路线的确定方法是解题的关键
