1、 收 稿 日 期2022-10-25;修 改 日 期2022-11-14 作 者 简 介 李 华 冰(1978-),男,硕 士,讲 师,从 事 大 学 数 学 教 学 与 研 究.E-ma i l:Mus i c l i 121163.c om 通 讯 作 者 宁 荣 健(1962-),男,硕 士,教 授,从 事 计 算 数 学 研 究 和 大 学 数 学 教 学.E-ma i l:n r j i an126.c om第38卷 第6期 大 学 数 学Vo l.38,.62022年12月COLLEGEMATHEMATICS De c.2022上 阶 外 微 分 与 广 义 斯 托 克 斯 公 式
2、 的 逆 向 思 维李 华 冰1,宁 荣 健2(1.合 肥 工 业 大 学 宣 城 校 区 基 础 部,安 徽 宣 城242000;2.合 肥 工 业 大 学 数 学 学 院,合 肥230601)摘 要 引 入 上 阶 外 微 分 的 概 念,讨 论 其 存 在 条 件 和 表 现 形 式.并 在 此 基 础 上,探 讨 广 义 斯 托 克 斯 公 式的 逆 向 思 维,丰 富 了 外 微 分 和 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 的 理 论.关 键 词 上 阶 外 微 分,广 义 斯 托 克 斯 公 式,逆 向 思 维,格 林 公 式,高 斯 公 式,斯 托 克 斯 公 式 中 图 分 类
3、 号O13;O172.2 文 献 标 识 码C 文 章 编 号1672-1454(2022)06-0106-101 引 言目 前,已 有 不 少 学 者 通 过 外 微 分 对 格 林 公 式、高 斯 公 式 和 斯 托 克 斯 公 式 进 行 分 析 和 归 纳,得 出 其 下列 统 一 表 达 形 式.定 理1 1(广 义 斯 托 克 斯 公 式)设S是 三 维 空 间 中 的k维 有 界 区 域(k=1,2,3),S为S的 边 界,是 三 维 空 间 中 的p(p=0,1,2)阶 外 微 分,d 为的 外 微 分,则 S=Sd.并 对 广 义 斯 托 克 斯 公 式作 出 代 数 解 释
4、、性 质 研 究、实 际 应 用 等 方 面 的 探 讨.但 这 些 研 究 都 是 停 留 在 对 广 义 斯 托 克 斯 公 式 从 S到 Sd 这 个 层 面 上,尚 未 涉 及 到 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维 问 题,即 从 Sd 到 S的 研 究.具 体 地说,对 于 三 维 空 间 中 的p(p=1,2,3)阶 外 微 分,是 否 存 在p-1阶 外 微 分,使 得=d?如 果 存 在,则 有 S=Sd=S.这 就 是 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维 问 题.本 文 通 过 引 入 上 阶 外 微 分 的 概 念,并 对 上 阶 外 微
5、分 的 存 在 条 件 和 表 现 形 式 进 行 探 讨.由 此 讨 论 广 义斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维 问 题,并 将 其 结 论 具 体 应 用 到 格 林 公 式、高 斯 公 式、斯 托 克 斯 公 式 上 去.2 上 阶 外 微 分定 义1 设为 空 间 区 域内 的p(p=1,2,3)阶 外 微 分,如 果 存 在p-1阶 外 微 分,使 得=d,就 称为的 在 外 微 分 意 义 下内 的 一 个 上 阶 外 微 分.由 此 引 出 了 两 个 问 题:(i)应 满 足 什 么 条 件,才 能 使 得存 在 上 阶 外 微?(i i)如 果存 在 上 阶 外 微
6、 分,那 么 如 何 求 得?为 表 达 方 便,记Vp=d=0,为p阶 外 微 分,p=0,1,2.定 理2(i)Vp为 线 性 空 间,p=0,1,2;(i i)设0为的 一 个 上 阶 外 微 分,则的 所 有 上 阶 外 微 分 为0+,其 中 Vp,p=0,1,2.证(i)显 然0 Vp,所 以Vp为 非 空 集 合.对 于 任 意 的1,2 Vp和 常 数c1,c 2,由 于d 1=d 2=0,故d(c 1 1+c 2 2)=c 1d 1+c 2d 2=c 10+c 20=0,得c 1 1+c 2 2 Vp,所 以Vp为 线 性 空 间.(i i)对 于 任 意 的 Vp,d=0,
7、又d 0=,所 以d(0+)=+0=,故0+为的 上 阶外 微 分.反 之,对 于的 任 意 一 个 上 阶 外 微 分1,d 1=,有d(1-0)=-=0,所 以1-0 Vp,记=1-0,则1=0+,且 Vp.为 便 于 讨 论 上 阶 外 微 分 的 存 在 条 件 和 表 现 形 式,在 此 给 出 庞 加 莱 引 理.定 理3 2(庞 加 莱 引 理)设为 三 维 空 间 中 任 意 外 微 分,其 系 数 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数,则d(d)=0.定 理4 设为 空 间 区 域,(x0,y0,z 0)为内 给 定 一 点,则(i)Pd x+Qd y+Rd z在内 存 在 上
8、 阶 外 微 分 的 充 分 必 要 条 件 为r o tP,Q,R=0,并 且xx0P(x,y0,z 0)d x+yy0Q(x,y,z 0)d y+zz0R(x,y,z)d z为Pd x+Qd y+Rd z的 一 个 上 阶 外 微 分,其 中P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在内具 有 一 阶 连 续 偏 导 数;(i i)Pd yd z+Qd zd x+Rd xd y在内 存 在 上 阶 外 微 分 的 充 分 必 要 条 件 为d i vP,Q,R=0,并 且 zz0Q(x,y,z)d z-yy0R(x,y,z 0)d y d x-zz0P(x,y,z)d
9、 z d y为Pd yd z+Qd zd x+Rd xd y的 一 个 上 阶 外 微 分,其 中P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数;(i i i)f(x,y,z)d xd yd z在内 存 在 上 阶 外 微 分,并 且 xx0f(x,y,z)d x d yd z为f(x,y,z)d xd yd z的 一 个 上 阶 外 微 分,其 中f(x,y,z)为内 的 连 续 函 数.证(i)如 果Pd x+Qd y+Rd z存 在 上 阶 外 微 分0,则Pd x+Qd y+Rd z=d 0,由 定 理3,d(d 0)=d(Ad
10、 x+Bd y+Cd z)=r o tA,B,Cd yd z,d zd x,d xd y=0,得r o tA,B,C=0.反 之,如 果r o tP,Q,R=0,即 R y-Q z=0,P z-R x=0,Q x-P y=0,则 d xx0P(x,y0,z 0)d x+yy0Q(x,y,z 0)d y+zz0R(x,y,z)d z=P(x,y0,z 0)d x+Q(x,y,z 0)d y+yy0 Q(x,y,z 0)xd y d x+R(x,y,z)d z+zz0 R(x,y,z)xd z d x+zz0 R(x,y,z)yd z d y=P(x,y0,z 0)d x+Q(x,y,z 0)d
11、y+yy0 P(x,y,z 0)yd y d x+R(x,y,z)d z+zz0 P(x,y,z)zd z d x+zz0 Q(x,y,z)zd z d y.=P(x,y0,z 0)d x+Q(x,y,z 0)d y+P(x,y,z 0)-P(x,y0,z 0)d x+R(x,y,z)d z+P(x,y,z)-P(x,y,z 0)d x+Q(x,y,z)-Q(x,y,z 0)d y=P(x,y,z)d x+Q(x,y,z)d y+R(x,y,z)d z=Pd x+Qd y+Rd z,所 以xx0P(x,y0,z 0)d x+yy0Q(x,y,z 0)d y+zz0R(x,y,z)d z为Pd
12、x+Qd y+Rd z的 一 个 上 阶 外 微 分.(i i)如 果Pd yd z+Qd zd x+Rd xd y存 在 上 阶 外 微 分0,则Pd yd z+Qd zd x+Rd xd y=d 0,7 0 1第6期 李 华 冰,等:上 阶 外 微 分 与 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维由 定 理3d(d 0)=dPd yd z+Qd zd x+Rd xd y=d i vP,Q,Rd xd yd z=0,得d i vP,Q,R=0.反 之,如 果d i vP,Q,R=0,即 P x+Q y+R z=0,所 以 d zz0Q(x,y,z)d z-yy0R(x,y,z 0)
13、d y d x-zz0P(x,y,z)d z d y=Q(x,y,z)d zd x+zz0 Q(x,y,z)yd z d yd x-R(x,y,z 0)d yd x-P(x,y,z)d zd y-zz0 P(x,y,z)xd z d xd y=P(x,y,z)d yd z+Q(x,y,z)d zd x+R(x,y,z 0)d xd y-zz0 P(x,y,z)x+Q(x,y,z)y d z d xd y=P(x,y,z)d yd z+Q(x,y,z)d zd x+R(x,y,z 0)d xd y+zz0 R(x,y,z)zd z d xd y=P(x,y,z)d yd z+Q(x,y,z)d
14、zd x+R(x,y,z 0)d xd y+R(x,y,z)-R(x,y,z 0)d xd y=P(x,y,z)d yd z+Q(x,y,z)d zd x+R(x,y,z)d xd y=Pd yd z+Qd zd x+Rd xd y,所 以 zz0Q(x,y,z)d z-yy0R(x,y,z 0)d y d x-zz0P(x,y,z)d z d y为Pd yd z+Qd zd x+Rd xd y的 一 个 上 阶 外 微 分.(i i i)由 于d xx0f(x,y,z)d x d yd z=f(x,y,z)d xd yd z,所 以f(x,y,z)d xd yd z存 在 上 阶 外 微 分
15、,并 且 xx0f(x,y,z)d x d yd z为f(x,y,z)d xd yd z的 一 个 上 阶 外 微 分.下 面 讨 论Vp=d=0,为p阶 外 微 分 的 具 体 情 况,p=0,1,2.定 理5(i)V0=C C为 任 意 实 数;(i i)V1=|=Ad x+A yd x d y+A zd x d z+d(y,z),其 中A=A(x,y,z)为 具 有 二阶 连 续 偏 导 数 的 任 意 函 数,(y,z)为 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 的 任 意 函 数;(i i i)V2=|=-B y+C z d x+(y,z)d yd z+Bd zd x+Cd xd y,其
16、 中B=B(x,y,z),C=C(x,y,z),(y,z)为 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 的 任 意 函 数.证(i)对 任 意 的=f V0,其 中f=f(x,y,z)具 有 一 阶 连 续 偏 导 数,由d=d f=g r ad fd x,d y,d z=0,得g r ad f=0,进 而 有f=C,即=C,所 以V0=C C为 任 意 实 数.(i i)对 任 意 的=Ad x+Bd y+Cd z V1,其 中A=A(x,y,z),B=B(x,y,z),C=C(x,y,z)具 有 二 阶 连 续 偏 导 数,由d=d(Ad x+Bd y+Cd z)=r o tA,B,Cd yd
17、z,d zd x,d xd y=0,得r o tA,B,C=0,所 以 C y-B z=0,A z-C x=0,B x-A y=0.由 B x-A y=0得B=A yd x+1(y,z),由 A z-C x=0得C=A zd x+2(y,z),再 由 C y-B z=0,以 及8 0 1大 学 数 学 第38卷 z A yd x=z A yd x=y A zd x=y A zd x,得1(y,z)z=2(y,z)y,因 此 存 在(y,z),使 得1(y,z)d y+2(y,z)d z=d(y,z),所 以=Ad x+A yd x d y+A zd x d z+d(y,z),其 中A=A(x,
18、y,z)为 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 的 任 意 函 数,(y,z)为 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 的 任 意 函 数.反 之,如 果=Ad x+A yd x d y+A zd x d z+d(y,z),则 d=d Ad x+A yd x d y+A zd x d z+d(y,z)=A yd yd x+A zd zd x+A yd xd y+z A yd x d zd y+A zd xd z+y A yd x d yd z+d(d(y,z).由 于d yd x=-d xd y,d zd x=-d xd z,d zd y=-d yd z,z A yd x=z A yd x=y
19、A zd x=y A zd x,以 及 由 定 理3知d(d(y,z)=0,所 以d=0,V1.(i i i)对 任 意 的=Ad yd z+Bd zd x+Cd xd y V2,其 中A=A(x,y,z),B=B(x,y,z),C=C(x,y,z)具 有 一 阶 连 续 偏 导 数,由d=dAd yd z+Bd zd x+Cd xd y=d i vA,B,Cd xd yd z=0,得d i vA,B,C=0,即 A x+B y+C z=0,故A=-B y+C z d x+(y,z),所 以=-B y+C z d x+(y,z)d yd z+Bd zd x+Cd xd y,其 中B=B(x,y
20、,z),C=C(x,y,z),(y,z)为 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 的 任 意 函 数.反 之,如 果=-B y+C z d x+(y,z)d yd z+Bd zd x+Cd xd y,由 于d(y,z)d yd z=0,则 有d=-B y+C z d xd yd z-d(y,z)d yd z+B yd yd zd x+C zd zd xd y=-B y+C z+B y+C z d xd yd z=0,因 此 得 V2.由 定 理2、定 理4和 定 理5可 得 上 阶 外 微 分 的 存 在 条 件 和 表 现 形 式,并 且 其 表 现 形 式 不 唯 一.如 果 只 考 虑 平
21、 面 情 形,则 有推 论1 设 在 平 面 区 域D内,P=P(x,y),Q=Q(x,y)具 有 一 阶 连 续 偏 导 数,则Pd x+Qd y存 在上 阶 外 微 分 的 充 分 必 要 条 件 为 Q x=P y.若(x0,y0)为D内 给 定 一 点,则xx0P(x,y0)d x+yy0Q(x,y)d y+C为Pd x+Qd y的 所 有 上 阶 外 微 分.推 论2 设R=R(x,y)在 平 面 区 域D内 连 续,(x0,y0)为D内 给 定 一 点,则9 0 1第6期 李 华 冰,等:上 阶 外 微 分 与 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维 A-yy0R(x,
22、y)d y d x+A yd x d y+d c(y)为Rd xd y的 所 有 原 函 数,其 中A=A(x,y)为 具 有 一 阶 偏 导 数 的 任 意 函 数,c(y)为 具 有 一 阶 连 续 导数 的 任 意 函 数.下 面 举 例 介 绍 上 阶 外 微 分 的 存 在 条 件 和 求 法.例1 验 证yezd x+xezd y+x yezd z存 在 上 阶 外 微 分,并 求 其 所 有 上 阶 外 微 分.解 法 一 由 于r o tyez,xez,x yez=0,所 以 由 定 理4(i)知yezd x+xezd y+x yezd z存 在 上 阶 外微 分.取(x0,y
23、0,z 0)=(0,0,0),故 由 定 理2、定 理4(i)和 定 理5(i)得yezd x+xezd y+x yezd z的 所 有 上阶 外 微 分 为x00d x+y0 xd y+z0 x yezd z+C=x y+x y(ez-1)+C=x yez+C,其 中C为 任 意 常 数.解 法 二 由 于yezd x+xezd y+x yezd z=ezd(x y)+x yezd z=d(x yez),所 以yezd x+xezd y+x yezd z存 在 上 阶 外 微 分,且yezd x+xezd y+x yezd z的 所 有 上 阶 外 微 分 为x yez+C,其 中C为 任
24、意 常 数.本 例 中,解 法 一 为 运 用 本 文 结 论 的 求 解 方 法,解 法 二 为 全 微 分 法,两 者 结 论 完 全 一 样.定 理4(i i i)表 明 当f(x,y,z)在内 的 连 续 时,f(x,y,z)d xd yd z在内 总 存 在 上 阶 外 微 分,下 面 举 例 说 明 其 上 阶 外 微 分 的 求 法.例2 求yd xd yd z的 所 有 上 阶 外 微 分.解 取(x0,y0,z 0)=(0,0,0),由 定 理2、定 理4(i i i)和 定 理5(i i i)得 其 所 有 上 阶 外 微 分 为 x0yd x d yd z-B y+C z
25、 d x+(y,z)d yd z+Bd zd x+Cd xd y=x yd yd z-B y+C z d x+(y,z)d yd z+Bd zd x+Cd xd y,其 中B=B(x,y,z),C=C(x,y,z),(y,z)为 具 有 一 阶 偏 导 数 的 任 意 函 数.例3 问xd yd z+yd zd x+zd xd y是 否 存 在 上 阶 外 微 分?解 由 于d i vx,y,z=x x+y y+z z=30,所 以 由 定 理4(i i)知xd yd z+yd zd x+zd xd y不存 在 上 阶 外 微 分.例4 验 证2(y-z)d yd z+2(z-x)d zd x
26、+2(x-y)d xd y存 在 上 阶 外 微 分,并 求 其 所 有上 阶 外 微 分.解 由 于d i v2(y-z),2(z-x),2(x-y)=2(y-z)x+2(z-x)y+2(x-y)z=0,所 以 由 定 理4(i i)知2(y-z)d yd z+2(z-x)d zd x+2(x-y)d xd y存 在 上 阶 外 微 分.取(x0,y0,z 0)=(0,0,0),由 定 理2、定 理4(i i)和 定 理5(i i)得 其 所 有 上 阶 外 微 分 为 z02(z-x)d z-y02(x-y)d y d x-z02(y-z)d z d y+Ad x+A yd x d y+A
27、 zd x d z+d(y,z)=(z2+y2-2 x z-2 x y)d x+(z2-2 y z)d y+Ad x+A yd x d y+A zd x d z+d(y,z),其 中A=A(x,y,z)为 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 的 任 意 函 数,(y,z)为 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 的 任 意 函 数.例3和 例4为2阶 外 微 分 的 上 阶 外 微 分 存 在 性 以 及 求 法 举 例.在 例4中,若 取A(x,y,z)=2 x y-y2,(y,z)=y2z-y z2,则 得 其 一 个 上 阶 外 微 分 为(z2-2 x z)d x+(x2-2 x y)d
28、 y+(y2-2 y z)d z;若 取A(x,y,z)=2 x y+2 x z,(y,z)=y2z,则 得 其 另 一 个 上 阶 外 微 分 为0 1 1大 学 数 学 第38卷(y2+z2)d x+(z2+x2)d y+(x2+y2)d z.从 形 式 上 看,两 者 并 无 联 系,但 却 有 相 同 的 外 微 分.下 面 给 出 一 个 二 元 外 微 分 的 上 阶 外 微 分 求 法 举 例.例5 求 二 维 平 面 的2阶 外 微 分x yd xd y的 所 有 上 阶 外 微 分.解 取(x0,y0)=(0,0),由 推 论2得x yd xd y的 所 有 上 阶 外 微
29、分 为-y0 x yd y d x+Ad x+A yd x d y+d c(y)=-12x y2d x+Ad x+A yd x d y+d c(y),其 中A=A(x,y)为 具 有 一 阶 偏 导 数 的 任 意 函 数,c(y)为 具 有 一 阶 导 数 的 任 意 函 数.3 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维 形 式利 用 上 阶 外 微 分 的 概 念 以 及 上 述 有 关 结 论,可 以 帮 助 解 决 引 言 中 提 到 的 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向思 维 问 题.定 理6(广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维 形 式)设S是 三
30、 维 空 间 中 的k维 有 界 区 域(k=1,2,3),S为S的 边 界,是 三 维 空 间 中 的p(p=1,2,3)阶 外 微 分.如 果存 在 上 阶 外 微 分,则 有 S=S.下 面 是 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维 问 题 在 格 林 公 式、高 斯 公 式、斯 托 克 斯 公 式 中 的 具 体 表 现.定 理7(格 林 公 式 的 逆 向 思 维 形 式)设D是 由 平 面 上 分 段 光 滑 的 封 闭 曲 线L所 围 成 的 平 面 闭 区域,并 且L取 正 向,如 果 函 数f(x,y)在D上 具 有 连 续,(x0,y0)为D内 给 定 一 点
31、,则Df(x,y)d xd y=L A-yy0f(x,y)d y d x+A yd x d y,其 中A=A(x,y)为 具 有 一 阶 偏 导 数 的 任 意 函 数,A yd x为 A y关 于x的 一 个 原 函 数.考 虑 到Ld c(y)=0,定 理7由 推 论2和 定 理6即 可 证 得.例6(2020年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 数 学 二 第19题)设 平 面 区 域D由 直 线x=1,x=2,y=x与x轴 围 成,计 算I=Dx2+y2xd xd y.解 法 一 I=Dx2+y2xd=40d 2c o s 1c o s rrc o s rd r=32
32、401c o s3d=3240s e c3d=32s e c t an 40-3240t an ds e c=322-3240s e c t an2d=322-3240s e c(t an2+1)d+3240s e c d=322-I+3240s e c d,解 得I=342+3440s e c xd x=342+34l n(s e c x+t an x)40=342+l n(2+1).解 法 二 在 定 理7中 取y0=0.由 于y0 x2+y2xd y=y2 xx2+y2+x2l n(y+x2+y2)-x2l n x,故 取A=-x2l n x.考 虑 到 A y=0,故 取 A yd x
33、=0,并 取D的 边 界L为 正 向,则 由 定 理7得I=L-x2l n x-y0 x2+y2xd y d x+0d y=-L y2 xx2+y2+12xl n(y+x2+y2)d x=-y=0 x:12+x=2y:02+y=xx:21+x=1y:10 y2 xx2+y2+12xl n(y+x2+y2)d x1 1 1第6期 李 华 冰,等:上 阶 外 微 分 与 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维=-2112xl n xd x+0+12 122 x+12xl n x+12xl n(2+1)d x+0=122+12l n(2+1)21xd x=342+l n(2+1).例6中
34、,解 法 一 是 利 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分,思 路 较 简 单,但 有 一 定 的 积 分 技 巧.解 法 二 为 利 用定 理7将 二 重 积 分 转 化 为 曲 线 积 分 后 进 行 计 算,从 过 程 中 看,只 需 要 计 算y0 x2+y2xd y和21xd x,相对 简 单.定 理8(高 斯 公 式 的 逆 向 思 维 形 式)设 空 间 区 域是 由 分 片 光 滑 的 封 闭 曲 面所 围 成,并 且取外 侧,如 果 函 数f(x,y,z)在上 连 续,(x0,y0,z 0)为内 给 定 一 点,则f(x,y,z)d V=xx0f(x,y,z)d x-B y
35、+C z d xd yd z+Bd zd x+Cd xd y,其 中B=B(x,y,z),C=C(x,y,z)为 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 的 任 意 函 数.考 虑 到(y,z)d yd z=0,定 理9由 定 理4(i i i)、定 理5(i i i)和 定 理6即 可 证 得.例7 计 算 三 重 积 分I=(3 x2+y2+z2-1)(2 x+y+z)-2 x3d xd yd z,其 中 空 间 区 域为球 体x2+y2+z21在 平 面x+z+y=0的 上 方 部 分.分 析 本 例 中,由 于为 球 体x2+y2+z21在 平 面x+z+y=0的 上 方 部 分,因 此
36、直 接 利 用 直角 坐 标 的 投 影 法、截 面 法 和 对 称 性 方 法,以 及 利 用 柱 面 坐 标 和 球 面 坐 标 等 方 法 都 不 易 计 算.下 面 介 绍 利用 旋 转 变 换 方 法 和 高 斯 公 式 的 逆 向 思 维 方 法 计 算 此 三 重 积 分.解 法 一 利 用 旋 转 变 换 方 法 计 算 三 重 积 分作 变 换u=12(x-y),v=16(x+y-2 z),w=13(x+y+z),不 难 得 到(u,v,w)(x,y,z)=1,且x=12u+16v+13w,y=-12u+16v+13w,z=-26v+13w.在 此 变换 下,变 换 为O-u
37、 v w空 间 中 的 上 半 球 体:u2+v2+w21,w0,故 由 三 重 积 分 的 换 元 法,并 代 入整 理 得I=12u3+16v3+63w3+16u2v+73u2w+12u v2+52u w2+53v2w+56v w2+2 u v w-12u-16v-43w d ud vd w.利 用 三 重 积 分 的 奇 偶 对 称 性,得 u3d ud vd w=v3d ud vd w=u2vd ud vd w=u v2d ud vd w=u w2d ud vd w=v w2d ud vd w=u v wd ud vd w=ud ud vd w=vd ud vd w=0,所 以I=63
38、w3+73u2w+53v2w-43w d ud vd w.再 由 轮 换 对 称 性,得 u2wd ud vd w=v2wd ud vd w,进 而 有I=63w3+63u2w+63v2w-43w d ud vd w=233(w2+u2+v2)-2wd ud vd w.最 后 利 用 球 面 坐 标 计 算 得2 1 1大 学 数 学 第38卷I=232 0d 20d10(32-2)c o s2s i nd=4 320s i nco sd10(35-23)d=4 312s i n220 126-124 10=4 3120=0.解 法 二 利 用 高 斯 公 式 的 逆 向 思 维 方 法 三
39、重 积 分记为的 外 侧 边 界 曲 面,由 题 意 知,是 由 球 面x2+y2+z2=1在 平 面x+z+y=0上 方 部 分1和 平 面x+z+y=0含 在 球 面x2+y2+z2=1内 部 部 分2两 部 分 组 成.在 定 理8中 取x0=0,B=C=0,并 记f(x,y,z)=(3 x2+y2+z2-1)(2 x+y+z)-2 x3,则xx0f(x,y,z)d x=x02 x(2 x2+y2+z2-1)+(3 x2+y2+z2-1)(y+z)d x=(x4+x2y2+x2z2-x2)+(x3+x y2+x z2-x)(y+z)=xx(x2+y2+z2-1)+(x2+y2+z2-1)
40、(y+z)=x(x2+y2+z2-1)(x+y+z),由 定 理8得I=x(x2+y2+z2-1)(x+y+z)d yd z=1x(x2+y2+z2-1)(x+y+z)d yd z+2x(x2+y2+z2-1)(x+y+z)d yd z=1x0(x+y+z)d yd z+2x(x2+y2+z2-1)0d yd z=10d yd z+20d yd z=0.以 上 解 答 中,解 法 一 的 解 题 过 程 有 些 繁 琐,解 法 二 的 计 算 量 相 对 少 一 点.虽 说 本 例 中 三 重 积 分 的 被积 函 数(3 x2+y2+z2-1)(2 x+y+z)-2 x3有 刻 意 构 造
41、因 素,但 解 法 二 的 解 题 思 路 还 是 具 有 一 定 的 理论 价 值 和 应 用 价 值.定 理9(斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维 形 式)设为 空 间 光 滑 或 分 段 光 滑 的 有 向 封 闭 曲 线,是以为 边 界 曲 线 张 成 的 光 滑 或 分 片 光 滑 的 有 向 曲 面,的 方 向 和的 侧 符 合 右 手 法 则,如 果 函 数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在 包 含的 空 间 区 域内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数,并且d i vP,Q,R=0,(x0,y0,z 0)为内 给 定 一 点,则Pd yd
42、 z+Qd zd x+Rd xd y=zz0Q(x,y,z)d z-yy0R(x,y,z 0)d y d x-zz0P(x,y,z)d z d y+Ad x+A yd x d y+A zd x d z,其 中A=A(x,y,z)为 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 的 任 意 函 数,A yd x和 A zd x分 别 为 A y和 A z关 于x的一 个 原 函 数.考 虑 到 d(y,z)=0,定 理8由 定 理4(i i)、定 理5(i i)和 定 理6即 可 证 得.例8 计 算 曲 面 积 分I=xd yd z+(2 z-1)d zd x-(y+z)d xd y,其 中为 球 面x
43、2+y2+z2=1在 平 面z=y的 上 方 部 分,并 取 上 侧.解 法 一 补 充1为 平 面z=y含 在 球 面x2+y2+z2=1内 部 部 分,取 下 侧.并 记与1所 围 的空 间 区 域 为,1在x O y平 面 上 的 投 影 区 域 为D:x2+2 y21.利 用 高 斯 公 式 得+1xd yd z+(2 z-1)d zd x-(y+z)d xd y=0d xd yd z=0,所 以I=+1-1 xd yd z+(2 z-1)d zd x-(y+z)d xd y3 1 1第6期 李 华 冰,等:上 阶 外 微 分 与 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维=-
44、1xd yd z+(2 z-1)d zd x-(y+z)d xd y.由z=y得z x=0,z y=1,因 此 利 用 曲 面 积 分 的 三 合 一 投 影 法,得I=D-(y+z)-x0-(2 y-1)1d xd y=D(1-4 y)d xd y.再 由 二 重 积 分 的 奇 偶 对 称 性 知Dyd xd y=0,所 以I=Dd xd y=D的 面 积=122=22.解 法 二 记的 边 界 曲 线 为,且与成 右 手 法 则.由 于d i vx,2 z-1,-(y+z)=1+0-1=0,在 定 理9中 取y0=z 0=0,所 以 z0(2 z-1)d z-y0-(y+0)d y d
45、x-z0 xd z d y=z2-z+12y2 d x-x zd y,为 方 便 计 算,取A=12y2+x2,以 及 A yd x=x y,A zd x=0,由 定 理9得I=z2-z+12y2 d x-x zd y+12y2+x2 d x+x yd y+0d z=(x2+y2+z2-z)d x+x(y-z)d y.由 于的 方 程 为x2+y2+z2=1,z=y,其 参 数 方 程 可 取:x=c o s,y=22s i n,z=22s i n,:02,故I=(1-z)d x=2 0 1-22s i n(-s i n)d=22.以 上 解 法 一 和 解 法 二 都 得 力 于d i vx
46、,2 z-1,-(y+z)=0.解 法 一 的 本 质 为 曲 面 积 分 与 路 径 无关 的 问 题;解 法 二 采 用 的 是 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维.注1 本 文 的 上 阶 外 微 分 是 以 原 函 数 为 原 型 的.如 定 理5(i)中V0=C|C为 任 意 实 数 表 明0的 原函 数 为 任 意 常 数C 3;推 论1表 明 当 Q x=P y时,xx0P(x,y0)d x+yy0Q(x,y)d y+C为Pd x+Qd y的所 有 原 函 数 4;定 理4(i)表 明 当r o tP,Q,R=0时,xx0P(x,y0,z 0)d x+yy0Q(x,y,z
47、 0)d y+zz0R(x,y,z)d z为Pd x+Qd y+Rd z的 一 个 原 函 数.因 此 说 上 阶 外 微 分 是 原 函 数 的 进 一 步 引 伸.注2 本 文 的 定 理4和 定 理5结 论 的 形 式 不 唯 一,从 而 也 导 致 定 理7、定 理8和 定 理9中 结 论 的 表现 形 式 也 不 唯 一.如 定 理4(i)中,当r o tP,Q,R=0时,yy0Q(x0,y,z 0)d y+xx0P(x,y,z 0)d x+zz0R(x,y,z)d z也 是Pd x+Qd y+Rd z的 一 个 上 阶 外 微 分.再 如 定 理4(i i i)中,(zz0f(x,
48、y,z)d z)d xd y也 为f(x,y,z)d xd yd z的 一 个 上 阶 外 微 分;定 理5(i i i)中,也 有V2=|=-A x+B y d z+(x,y)d xd y+Ad yd z+Bd zd x,因 此 定 理8的 结 论 也 可 换 作f(x,y,z)d V=zz0f(x,y,z)d z-A x+B y d z d xd y+Ad yd z+Bd zd x.限 于 篇 幅,此 处 不 再 一 一 赘 述,请 感 兴 趣 的 同 仁 们 不 妨 自 行 演 算 一 下.4 结 论逆 向 思 维 是 数 学 教 学 和 数 学 研 究 中 的 一 种 常 用 数 学
49、思 想 和 数 学 方 法,是 为 了 实 现 某 一 创 新 理 念 或4 1 1大 学 数 学 第38卷解 决 某 一 正 向 思 维 难 以 解 决 的 问 题,而 采 取“反 其 道 而 行 之”的 思 维 途 径,对 问 题 的 相 反 面 进 行 深 入 地 探索,因 此,逆 向 思 维 是 摆 脱 正 向 思 维 羁 绊 的 一 种 具 有 创 造 性 的 思 维 方 式.例 如,利 用 导 数 的 定 义 或 定 积 分的 定 义 求 极 限,利 用 二 重 积 分 计 算 定 积 分,利 用 全 微 分 求 偏 导 数 等 等,都 体 现 了 逆 向 思 维 的 数 学 思
50、想.本 文 中 涉 及 到 的 格 林 公 式、高 斯 公 式 和 斯 托 克 斯 公 式 是 数 学 分 析 或 高 等 数 学 课 程 中 的 重 要 理 论.通常 情 况 下,通 过 格 林 公 式 将 曲 线 积 分 转 化 为 二 重 积 分 进 行 计 算,通 过 高 斯 公 式 将 曲 面 积 分 转 化 为 三 重 积分 进 行 计 算,通 过 斯 托 克 斯 公 式 将 曲 线 积 分 转 化 为 曲 面 积 分 进 行 计 算.这 里 通 过 引 入 上 阶 外 微 分 的 概念,采 用 逆 向 思 维,建 立 广 义 斯 托 克 斯 公 式 的 逆 向 思 维 形 式,利
