1、1第 1 课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题学习目标 1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题知识点一 直线的方向向量与平面的法向量(1)用向量表示直线的位置直线 l 上一点 A条件表示直线 l 方向的向量 a(即直线的方向向量)形式 在直线 l 上取 a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实AB 数 t，使得 tAP AB 定位置 点 A 和向量 a 可以确定直线的位置作用定点 可以具体表示出 l 上的任意一点(2)用向量表示平面的位置通过平面 上的一个定点
2、O 和两个向量 a 和 b 来确定：条件 平面 内两条相交直线的方向向量 a， b 和交点 O形式对于平面 上任意一点 P，存在有序实数对( x， y)使得 xa ybOP 通过平面 上的一个定点 A 和法向量来确定：平面的法向量直线 l ，直线 l 的方向向量，叫做平面 的法向量确定平面位置 过点 A，以向量 a 为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量 a，叫做直线 l 的一个方向向量2平面的法向量直线 l ，取直线 l 的方向向量 n，叫做平面 的法向量知识点二 平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：(
3、1)设平面的法向量为 n( x， y， z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a( a1， b1， c1)， b( a2， b2， c2)；(3)根据法向量的定义建立关于 x， y， z 的方程组Error!(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量知识点三 用空间向量处理平行关系设直线 l， m 的方向向量分别为 a， b，平面 ， 的法向量分别为 ， v，则线线平行 l ma ba kb(kR)线面平行 l a a 0面面平行 v kv(kR).(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反()(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则
4、两直线垂直()(3)若向量 n1， n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行()(4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行()(5)若直线 l1， l2的方向向量分别为 a(1,2，2)， b(2,3,2)，则 l1 l2.()类型一 求平面的法向量例 1 已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1,0)， B(0,2,3)， C(1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量解 设平面 ABC 的法向量为 n( x， y， z) A(2,1,0)， B(0,2,3)， C(1,1,3)，
5、 (2,1,3)， (1，1,0)AB BC 则有Error! 即Error!解得Error! 令 z1，则 x y3.3故平面 ABC 的一个法向量为 n(3,3,1)反思与感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的跟踪训练 1 如图所示，在四棱锥 S ABCD 中，底面是直角梯形，AD BC， ABC90， SA底面 ABCD，且 SA AB BC1， AD ，建立12适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量解 以 A 为坐标原点， AD， AB， AS 所在
6、直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)， D ， C(1,1,0)， S(0,0,1)，(12， 0， 0)则 ， .DC (12， 1， 0) DS ( 12， 0， 1)向量 是平面 SAB 的一个法向量AD (12， 0， 0)设 n( x， y， z)为平面 SDC 的一个法向量，则Error!即Error!取 x2，得 y1， z1，故平面 SDC 的一个法向量为(2，1,1)类型二 利用空间向量证明平行问题例 2 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， E， F 分别是 BB1， DD1的中点，求证：(1)
7、FC1平面 ADE；(2)平面 ADE平面 B1C1F.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量证明 (1)以 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)， C1(0,2,2)， E(2,2,1)， F(0,0,1)， B1(2,2,2)，所以 (0,2,1)， (2,0,0)， (0,2,1)FC1- DA AE 设 n1( x1， y1， z1)是平面 ADE 的法向量，4则 n1 ， n1 ，DA AE 即Error! 得Error!令
8、z12，则 y11，所以 n1(0，1,2)因为 n1220，FC1- 所以 n1.FC1- 又因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.(2)因为 (2,0,0)，设 n2( x2， y2， z2)是平面 B1C1F 的一个法向量由C1B1- n2 ， n2 ，FC1- C1B1- 得Error! 得Error!令 z22，得 y21，所以 n2(0，1,2)，因为 n1 n2，所以平面 ADE平面 B1C1F.反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练 2 如图，在四棱锥 P ABCD
9、中， PA平面 ABCD， PB 与底面所成的角为 45，底面 ABCD 为直角梯形， ABC BAD90，PA BC AD1，问在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE平面 PAB？若12存在，求出 E 点的位置；若不存在，请说明理由考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量5解 存在点 E 使 CE平面 PAB.以 A 为坐标原点，分别以 AB， AD， AP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Axyz， P(0,0,1)， C(1,1,0)， D(0,2,0)，设 E(0， y， z)，则 (0， y， z1)，PE (0,2，1)，PD ， y(1)
10、2( z1)0，PE PD (0,2,0)是平面 PAB 的法向量，AD 又 (1， y1， z)， CE平面 PAB，CE ，(1， y1， z)(0,2,0)0.CE AD y1，代入得 z ，12 E 是 PD 的中点，存在 E 点，当点 E 为 PD 中点时， CE平面 PAB.1已知 l1的方向向量为 v1(1,2,3)， l2的方向向量为 v2( ，4,6)，若 l1 l2，则 等于( )A1B2C3D4考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 B解析 由 l1 l2，得 v1 v2，得 ，故 2.1 24 362已知直线 l1， l2的方向向量分别为 a， b
11、，且 a( 1,0,2)， b(6,2 1,2 )，若 l1 l2，则 与 的值可以分别是( )A2， B ， C3,2D2,212 13 12考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 A6解析 由题意知Error!解得Error!或Error!3若 A(1,0,1)， B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( )A(1,2,3) B(1,3,2) C(2,1,3) D(3,2,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 A解析 因为 (2,4,6)，所以与 共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量AB AB 4若直线 l ，
12、且 l 的方向向量为(2， m,1)，平面 的法向量为 ，则 m 为( )(1，12， 2)A4B6C8D8考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 C解析 l ，平面 的法向量为 ，(1，12， 2)(2， m,1) 0，(1，12， 2)2 m20， m8.125在正方体 ABCD A1B1C1D1中，平面 ACD1的一个法向量为_考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 (1,1,1)(答案不唯一)解析 不妨设正方体的棱长为 1，以点 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，则
13、 A(1,0,0)，C(0,1,0)， D1(0,0,1)，设平面 ACD1的一个法向量 a( x， y， z)，则 a 0, a 0.AC AD1- 因为 (1,1,0)， (1,0,1)，AC AD1- 所以Error!所以Error! 所以Error! 不妨取 x1，则 a(1,1,1)(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)71应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示即用平面向量基本定理证明线面平行2证明面面平行的方法设平面 的法向量为
14、n1( a1， b1， c1)，平面 的法向量为 n2( a2， b2， c2)，则 n1 n2(a1， b1， c1) k(a2， b2， c2)(kR)一、选择题1若直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 ，则能使 l 的是( )A a(1,0,0)， (2,0,0)B a(1,3,5)， (1,0,1)C a(0,2,1)， (1,0,1)D a(1，1,3)， (0,3,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 D解析 由 l ，故 a ，即 a 0，故选 D.2已知直线 l1的方向向量 a(2，3,5)，直线 l2的方向向量 b(4， x， y)，若两直
15、线 l1 l2，则 x， y 的值分别是( )A6 和10 B6 和 10C6 和10 D6 和 10考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 A解析 由两直线 l1 l2，得两向量 a， b 平行，即 ，所以 x， y 的值分别是 6 和2 4 3x 5y10.83直线 l 的方向向量 s(1,1,1)，平面 的一个法向量为 n(2， x2 x， x)，若直线 l ，则 x 的值为( )A2B C. D2 2 2考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 D解析 依题意得，121( x2 x)1( x)0，解得 x .24已知 A(1,0,0)， B(0,
16、1,0)， C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个单位法向量是( )A. B.(33， 33， 33) (33， 33， 33)C. D.(33， 33， 33) ( 33， 33， 33)考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 D解析 (1,1,0)， (1,0,1)AB AC 设平面 ABC 的一个法向量为 n( x， y， z)Error! Error!令 x1，则 y1， z1， n(1,1,1)，单位法向量为 或 .(33， 33， 33) ( 33， 33， 33)5设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 b，若 ab0，则( )A l B lC l
17、D l 或 l 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 D解析 当 ab0 时， l 或 l .6已知平面 的法向量是(2,3，1)，平面 的法向量是(4， ，2)，若 ，则 的值是( )A B6C6D.103 103考点 直线的方向向量与平面的法向量9题点 求平面的法向量答案 B解析 ， 的法向量与 的法向量也互相平行 ， 6.24 3 1 27已知平面 内两向量 a(1,1,1)， b(0,2，1)且 c ma nb(4，4,1)若 c 为平面 的法向量，则 m， n 的值分别为( )A1,2 B1，2C1,2 D1，2考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的
18、法向量答案 A解析 c ma nb(4，4,1)( m， m， m)(0,2 n， n)(4，4,1)( m4， m2 n4， m n1)，由 c 为平面 的法向量，得Error!即Error!解得Error!二、填空题8若 A ， B ， C 是平面 内三点，设平面 的法向量为(0， 2，198) (1， 1， 58) ( 2， 1， 58)a( x， y， z)，则 x y z_.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 23(4)解析 由已知得， ，AB (1， 3， 74) ，AC ( 2， 1， 74) a 是平面 的一个法向量， a 0， a 0，AB AC 即E
19、rror! 解得Error! x y z y y 23(4)23 ( 43y)9已知 l ，且 l 的方向向量为 m(2，8,1)，平面 的法向量为 n(1， y,2)，则y_.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量10答案 12解析 l ， l 的方向向量 m(2，8,1)与平面 的法向量 n(1， y,2)垂直，218 y20， y .1210设平面 的法向量为 m(1,2，2)，平面 的法向量为 n(2，4， k)，若 ，则 k_.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 4解析 由 得 ，解得 k4.1 2 2 4 2k三、解答题11已知平面 经过点
20、A(1,2,3)， B(2,0，1)， C(3，2,0)，试求平面 的一个法向量考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量解 A(1,2,3)， B(2,0，1)， C(3，2,0)， (1，2，4)， (2，4，3)AB AC 设平面 的法向量是 n( x， y， z)，依题意有Error!即Error!解得Error! 令 y1，则 x2，平面 的一个法向量是 n(2,1,0)12.如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD， E为 PD 的中点 AB AP1， AD ，试建立恰当的空间直角坐标系，3求平面 ACE 的一个法向量考点 直线的方向
21、向量与平面的法向量题点 求平面的法向量11解 因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，所以 AB， AD， AP 两两垂直如图，以 A 为坐标原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z轴，建立空间直角坐标系 Axyz，则 D(0， ，0)，3E ， B(1,0,0)，(0，32， 12)C(1， ，0)，3于是 ， (1 ， ，0)AE (0， 32， 12) AC 3设 n( x， y， z)为平面 ACE 的法向量，则Error! 即Error!所以Error!令 y1，则 x z .3所以平面 ACE 的一个法向量为 n( ，1， )3 313已知空间
22、四边形 ABCD， P， Q 分别是 ABC 和 BCD 的重心，求证： PQ平面 ACD.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量证明 如图，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 ED，易知 Q 在线段 ED 上， P， Q 分别是 ABC 和 BCD 的重心， PQ EQ EP ( ) ，13ED 13EA 13ED EA 13AD ，即 PQ AD，PQ AD 又 AD平面 ACD， PQ平面 ACD， PQ平面 ACD.四、探究与拓展14已知直线 l 过点 P(1,0，1)且平行于向量 a(2,1,1)，平面 过直线 l 与点M(1,2,3)，则平面 的法向量不可能
23、是( )A(1，4,2) B.(14， 1， 12)C. D(0，1,1)(14， 1， 12)考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量12答案 D解析 因为 (0,2,4)，直线 l 平行于向量 a，若 n 是平面 的一个法向量，则必须满PM 足Error! 把选项代入验证，只有选项 D 不满足，故选 D.15.如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB3， AA14， AD5.求证：平面 A1BD平面B1D1C.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量证明 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA， DC， DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)， A1(5,0,4)，B(5,3,0)， D1(0,0,4)，B1(5,3,4)， C(0,3,0)， (5,0，4)，A1D- (0,3，4)，A1B- (0,3，4)， (5,0，4)D1C- B1C- 设平面 A1BD 的一个法向量为 m( x， y， z)，则Error! 即Error!取 z1，得 x ， y ，则 m .45 43 ( 45， 43， 1)设平面 B1D1C 的一个法向量为 n( a， b， c)，则Error! 得 n .(45， 43， 1) m n，即 m n，平面 A1BD平面 B1D1C.
