1、问题 28 立体几何中折叠问题一、考情分析立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 二、经验分享(1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何
2、的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点.(2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量” 求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键(3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.三、题型分析(一) 平面图形的折叠解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关
3、系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.1. 折叠后的形状判断【例 1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_(要求：把你认为正确图形的序号都填上) 【分析】根据平面图形的特征,想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】【解析】可以.把横着的小方形折起后,再折竖着的小方形,则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合,导致正方体缺少一个侧面；把
4、下方的小方形折起后,则上方的小方形中的第 1,2 个重合,导致正方体的底面缺少,不能折成正方体；把中间的小方形当成正方体的底面,则右下方的小方形折叠不起来,构不成正方体.【小试牛刀】下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（ ） A. B. C. D.【例 2】将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线折起得到空间四边形 ABCD(如图 2),则在空间四边形 ABCD 中, AD 与 BC 的位置关系是 ( )图 1 图 2A相交且垂直 B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直【答案】C【解析】在图 1 中的等腰直角三角形 ABC 中,斜边上的中线 A
5、D 就是斜边上的高,则 AD BC,折叠后如图2,AD 与 BC 变成异面直线,而原线段 BC 变成两条线段 BD、 CD,这两条线段与 AD 垂直,即 AD BD,AD CD,故AD平面 BCD,所以 AD BC.【小试牛刀】如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为边 BC,AD 的中点,将 沿 BF 所在直线进行翻折,将沿 DE 所在直线进行翻折,在翻折过程中（ ）A. 点 A 与点 C 在某一位置可能重合B. 点 A 与点 C 的最大距离为C. 直线 AB 与直线 CD 可能垂直D. 直线 AF 与直线 CE 可能垂直3.折叠后几何体的数字特征折叠后几何体的数字特征包括线段长度、
6、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.【例 3】 （体积问题）如图所示,等腰 ABC 的底边 6,高 3CD,点 E是线段 BD上异于点BD，的动点,点 F在 B边上,且 EF ,现沿 将 BF 折起到 P 的位置,使 AE ,记 Ex, ()V表示四棱锥 P的体积（1）求 ()Vx的表达式；（2）当 为何值时, ()x取得最大值？PEDFBCA【解析】 （1）由折起的过程可知,PE平面 ABC, 96ABCS,V(x)= （ 036x）（2） ,所以 (,)时,
7、 ()0vx ,V(x)单调递增； 63x时 ()0vx ,V(x)单调递减；因此 x=6 时,V(x)取得最大值 126.【小试牛刀】 【河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期一诊】在平面四边形 中，AB=BC=2,AC=AD=2 ，现沿对角线 AC 折起,使得平面 DAC 平面 ABC，则此时得到的三棱锥 D-ABC 外接球的表面积为（ ）A B C D 【例 4】 （空间角问题）如左图,矩形 AB中, 12, 6A,E、 F分别为 CD、 AB边上的点,且3DE, 4F,将 E沿 折起至 PE位置(如右图所示),连结 P、 、 ,其中25P.()求证: 平面 D； ()求直线 A与
8、平面 P所成角的正弦值.【解析】()由翻折不变性可知, , ,在 PBF中, ,所以 PFB在图 1中,易得 , 在 E中, ,所以 E 又 ,BF平面 AED, F平面 ABD,所以 PF平面 ABED.ACDBEF图 图A BCDPEF()方法一:以 D为原点,建立空间直角坐标系 Dxyz如图所示,则 6,0A, ,0,3E, 680F,所以 , , , 设平面 P的法向量为 ,xyzn,则0FPEn,即 ,解得560xyz令 6y,得 ,设直线 AP与平面 EF所成角为 ,则81247.所以直线 与平面 所成角的正弦值为81247. 方法二:过点 作 H于 ,由()知 PF平面 ABED
9、,而 平面 ABED所以 ,又 , F平面 P, F平面 PE,所以 平面 ,所以 APH为直线 与平面 E所成的角. 在 RtF中, 在 AE中,由等面积公式得4861在 RtPH中,所以直线 A与平面 EF所成角的正弦值为81247. 解法二图A BCDPEFHxyz解法一图A BCDPEF【点评】折叠 问题分析求解两原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变.【小试牛刀】 【广东省汕头市 2019 届高三上学期期末】如图 ，已知 是边长为 6 的等边三角形，点 D、 E 分别是边 AB、 AC 上的点，且满足 ，如图
10、，将 沿 DE 折成四棱锥 ，且有平面 平面 BCED求证： 平面 BCED；记 的中点为 M， 求二面角 的余弦值(二) 几何体的展开几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试.1.展开后形状的判断【例 5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）解析：这是图模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形做“上面”,显然是正方体 C 的展形图,故选（C）.【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面
11、、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝” 、 “你” 、 “前”分别表示正方体的_.2.展开后的数字特征表面上的最短距离问题【例 6】如图,已知圆柱体底面圆的半径为2,高为 2, ABCD， 分别是两底面的直径, ADBC， 是母线若一只小虫从 A 点出发,从侧面爬行到 C点,求小虫爬行的最短路线的长度【解析】如图,将圆柱的侧面展开, 其中 AB为底面周长的一半,即 , 2AD.则小虫爬行的最短路线为线段 AC.在矩形 CD中, .所以小虫爬行的最短路线长度为 2.【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表
12、面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值.【小试牛刀】如图,在长方体中, ,求沿着长方体表面从 A到 1C的最短路线长. 四、迁移运用1 【浙江省 2019 年高考模拟训练】已知四边形 中， ， ，在将 沿着 翻折成三棱锥 的过程中，直线 与平面 所成角的角均小于直线 与平面 所成的角，设二面角 ， 的大小分别为 ，则（ ）A B C存在 D 的大小关系无法确定【答案】B【解析】如图，在三棱锥 中，作 平面 于 ，连 ，则 分别为 与平面 所成的角
13、直线 与平面 所成角的角均小于直线 与平面 所成的角， 过 作 ，垂足分别为 ，连 ，则有 ， 分别为二面角 ， 的平面角， 在 中， ，设 BD 的中点为 O，则 为 边上的中线，由 可得点 H 在 CO 的左侧（如图所示） ， 又 ， 又 为锐角， 故选 B2.【四川省德阳市 2018 届高三二诊】以等腰直角三角形 ABC的斜边 上的中线 AD为折痕，将AD与 C折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论： 平面 C； B为等边三角形；平面 平面 ABC；点 D在平面 内的射影为 的外接圆圆心.其中正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由于三角形 ABC为等腰直角三角形,故
14、 ,所以 BD平面 AC,故正确,排除 B选项.由于 D,且平面 D平面 AC,故 平面 ,所以 ,由此可知,三角形为等比三角形,故正确,排除 选项.由于 ,且 为等边三角形,故点 在平面 AB内的射影为 B的外接圆圆心, 正确,故选 .3.已知梯形 如下图所示,其中 , , 为线段 的中点,四边 形 为正方形,现沿 进行折叠,使得平面 平面 ,得到如图所示的几何体.已知当点 满足 时,平面 平面 ,则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为四边形 为正方形,且平面 平面 ,所以 两两垂直,且 ,所以建立空间直角坐标系（如图所示）,又因为 , ,所以 ,则 , ,设平面 的
15、法向量为 ,则由得 ,取 ,平面 的法向量为 ,则由 得 ,取,因为平面 平面 ,所以 ,解得 .故选 C.4.如图是棱长为 1 的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论错误的是（ ）A点 M到 B的距离为2B 与 EF所成角是 90C三棱锥 DN的体积是16D 与 是异面直线【答案】D【解析】根据正方体的平面展开图,画出它的立体图形如图所示, A中 M到 B的距离为2C, A正确； AB与 EF所成角是 90,B正确；三棱锥 CDNE的体积是 , 正确；/MC,D错误5.把正方形 ABCD沿对角线 折起,当以 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD和平面 所成的角的大小为（ ）度A
16、90 B60 C45 D30【答案】C【解析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面 A垂直平面 BC时三棱锥的体积最大设 AC的中点为O,则 D即为所求,而 O是等腰直角三角形,所以 ,故选 C6.【辽宁省辽阳市 2018 学届高三第一次模拟】 如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 6cm，该纸片上的正方形 ABC的中心为 ， E， F， G， H为圆 上的点， ABE， F， DGA， H分别以 ， B， CD， A为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 B， C， D， 为折痕折起 A， ， ， DA，使得 ， ， ， H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的 2倍时，该四棱锥的外接
17、球的体积为_【答案】503273cm【解析】如图： 连接 OE 交 AB 于点 I，设 E，F，G，H 重合于点 P，正方形的边长为 x0，则 OI= 2x， IE62x.因为该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，所以 ，解得 4， 设该四棱锥的外接球的球心为 Q，半径为 R，则 ， ，解得5R3，外接球的体积 3cm7 【山东省济南市 2019 届高三上学期期末】在正方形 中，点 ， 分别为 ， 的中点，将四边形沿 翻折，使得平面 平面 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_【答案】【解析】连接 FC，与 DE 交于 O 点，取 BE 中点为 N，连接 ON，CN，易得 ONBDCON 就是异面
18、直线 与 所成角设正方形的边长为 2，OC= ，ON= ，CN=cosCON= =故答案为：8.如图所示,在四边形 ABCD中, ,将四边形 ABCD沿对角线BD折成四面体 ,使平面 /平面 BCD,则下列结论正确的是 （1） BDCA；（2） ；（3） 与平面 所成的角为 30； （4）四面体 BCDA的体积为 61【答案】 （2） （4）【解析】平面 /平面 平面 ABD, /C与平面 BA/所成的角为 CAD,四面体 /的体积为 ,综上（2） （4）成立9如图,矩形 ABCD中, A,E为边 B的中点,将 ADE沿直线 翻折成 1ADE,若 M为线段 1的中点,则在 翻折过程中,下面四个
19、选项中正确的是 (填写所有的正确选项)（1） |BM是定值 （2）点 M在某个球面上运动（3）存在某个位置,使 1DEAC （4）存在某个位置,使 /B平面【答案】 （1） （2） （4） 【解析】取 C中点 F,连接 M, ,则 1/FDA, /BE,平面 /MBF平面 1ADE, /MB平面 1ADE,故（4）正确；由 , 为定值, 为定值,由余弦定理可得 , B是定值,故（1）正确； 是定点, 是在以 B为圆心, M为半径的圆上, 故（2）正确； AC在平面 BD中的射影为AC, 与 DE不垂直,存在某个位置,使 1DEAC错误,故（3）错误10 【四川省广元市高 2018 届第二次高考
20、适应性统考】如图，在矩形 ABCD中， 4， 2AD， E是 CD的中点，以 AE为折痕将 D向上折起， 变为 ，且平面 E平面 BC.（）求证： ADEB；（）求二面角 的大小.【答案】 （）证明见解析；（） 90.【解析】 （）证明： ， AB4， ， AEB， 取 AE的中点 M，连结 D，则 ， 平面 平面 C， D平面 ， E，从而 B平面 ， AB（）如图建立空间直角坐标系，则 A4,20、 C,、 B0,2、 D3,12，E，从而=（4,0,0） ， ， .设 为平面 A的法向量，则 可以取设 为平面 BDE的法向量，则 可以取因此， 12n0，有 12n，即平面 A 平面 BD
21、E，故二面角 的大小为 90.11.【福建省龙岩市 2019 届高三下学期教学质量检查】如图 1， 已知菱形 的对角线 交于点 ，点 为线段 的中点， ， ，将三角形 沿线段 折起到 的位置， ，如图2 所示（）证明：平面 平面 ；（）求三棱锥 的体积【解析】 （）折叠前，因为四边形 为菱形，所以 ；所以折叠后， ， , 又 ， 平面 ，所以 平面 因为四边形 为菱形，所以 又点 为线段 的中点，所以 所以四边形 为平行四边形所以 又 平面 ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 （）图 1 中，由已知得 ， ，所以图 2 中， ，又所以 ，所以又 平面 ，所以 又 ， 平面 ，所以 平面
22、 ， 所以 所以三棱锥 的体积为 12 【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模】如图，在多边形 中（图1） ， 为长方形， 为正三角形 ，现以 为折痕将 折起，使点 在平面内的射影恰好在 上（图 2）.（）证明： 平面 ；（）若点 在线段 上，且 ，当点 在线段 上运动时，求三棱锥 的体积.【解析】 （）过点 作 ，垂足为 .由于点 在平面 内的射影恰好在 上， 平面 . .四边形 为矩形， .又 ， 平面 ， .又由 ， ，可得 ，同理 .又 ， ， ，且 ， 平面 .（）设点 到底面 的距离为 ，则 .由 ，可知 ， .又 ， .13 【江西省上饶市重点中学
23、2019 届高三六校第一次联考】如图所示，在边长为 2 的菱形 中，现将 沿 边折到 的位置（1）求证： ；（2）求三棱锥 体积的最大值【解析】 （1）如图所示，取 的中点为 ，连接 ，易得 ， ,又 面 （2）由（1）知 ， = ,当时， 的最大值为 1.14 【云南师范大学附属中学 2019 届高三上学期第一次月考】如图所示甲，在四边形 ABCD 中， ， 是边长为 8 的正三角形，把 沿 AC 折起到 的位置，使得平面平面 ACD，如图所示乙所示，点 O，M，N 分别为棱 AC，PA，AD 的中点求证： 平面 PON；求三棱锥 的体积【解析】 如图所示， 为正三角形，O 为 AC 的中点
24、，平面 平面 ACD，平面 平面 ，平面 ACD， 平面 ACD， ， ，即 ，N 分别为棱 AC，AD 的中点，又 ，平面 PON；解：由 ， ， ，可得 ，点 O、N 分别是 AC、AD 的中点，是边长为 8 的等边三角形，又 为 PA 的中点，点 M 到平面 ANO 的距离 ，又 ，15 【湖北省荆门市 2019 届高三元月调研】如图 ，梯形 中， ，过 分别作 ，垂足分别 ， ，已知 ，将梯形 沿 同侧折起，得空间几何体 ，如图 1 若 ，证明： 平面 ；2 若 ， ，线段 上存在一点 ，满足 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长【解析】 1 由已知得四边形 ABFE 是正方形，且边长
25、为 2，在图 2 中， ，由已知得 ， ， 平面又 平面 BDE， ，又 ， ， 平面2 在图 2 中， ， ， ，即 面 DEFC，在梯形 DEFC 中，过点 D 作 交 CF 于点 M，连接 CE，由题意得 ， ，由勾股定理可得 ，则 ， ，过 E 作 交 DC 于点 G，可知 GE， EA， EF 两两垂直，以 E 为坐标原点，以 分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，设平面 ACD 的一个法向量为 ，由 得 ,取 得 ，设 ，则 m， ， ，得设 CP 与平面 ACD 所成的角为 ，所以16 【山西省吕梁市 2019 届高三上学期第一次模拟】已知如图（1）
26、直角梯形 ， ， ， ， 为 的中点，沿 将梯形 折起（如图 2） ，使 .（1）证明： 平面 ；（2）求点 到平面 的距离.【解析】 （1）由已知可得 为直角三角形，所以 .又 ，所以 ，所以 平面 .（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又因为 ， 平面 ， 平面 ， ，所以， 平面 ，又因为 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 .在直角 中， ，设点 到平面 的距离为 ，由 ，则 ，所以 .16.正 ABC的边长为 4, D是 AB边上的高, ,EF分别是 AC和 B边的中 点,现将 ABC沿 D翻折成直二面角 （1）试判断直线 与平面 EF的位置关系,并说明理由；（2）求二面角 的余
27、弦值；（3）在线段 BC上是否存在一点 P,使 ADE？证明你的结论【分析】 （1）问可利用翻折之后的几何体侧面 ABC的中位线得到 /ABEF,便可由线面平行的判定定理证得；（2）先根据直二面角 AD将条件转化为 D面 ,然后做出过点 且与面 BCD垂直的直线 EM,再在平面 BC内过 M作 F的垂线即可得所求二面角的平面角；（3）把 APE作为已知条件利用,利用 中过 与 E垂直的直线确定点 P的位置.【解析】 （1）如图：在ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF/AB,又 AB平面 DEF,EF平面 DEFAB平面 DEF （2）ADCD,BDCD ADB 是二面角 ACDB 的平面角ADBD AD平面 BCD取 CD 的中点 M,这时 EMAD EM平面 BCD过 M 作 MNDF 于点 N,连结 EN,则 ENDFMNE 是二面角 EDFC 的平面角,在 RtEMN 中,EM=1,MN= 23tanMNE= 3,cosMNE= 71（3）在线段 BC 上存在点 P,使 APDE.证明如下：在线段 BC 上取点 P,使BCP31,过 P 作 PQCD 与点 Q,PQ平面 ACD ,在等边ADE 中,DAQ=30,AQDEAPDE.
