1、13.2 立体几何中的向量方法（3）向量法解决空间角和距离问题学习目标 1. 理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题. 3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.知识点一 利用空间向量求空间角思考 1 空间角包括哪些角？答案 线线角、线面角、二面角.思考 2 求解空间角常用的方法有哪些？答案 传统方法和向量法.梳理 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为 a， b，且 a 与 b 的夹角为 ，两条直线所成角为 ，则 cos |cos | .|ab|
2、a|b|(2)线面角：设 n 为平面 的一个法向量， a 为直线 a 的方向向量，直线 a 与平面 所成的角为 ，则 Error!(3)二面角：转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).如图所示，二面角 l 的大小为 ， A， B l， AC ， BD ， AC l 于 A， BD l与 B，则 ， ， .AC BD CA DB 2先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.如图所示，已知二面角 l ，在 内取一点 P，过 P 作 PO ， PA l，垂足分别为 O， A，连接 AO，则 AO
3、l 成立，所以 PAO 就是二面角的平面角.先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.知识点二 利用空间向量求距离思考 1 求点到直线距离的常用方法有哪些？答案 (1)找垂线段，求其长度；(2)利用等面积法；(3)借助向量的模，利用数量积的几何意义求解.思考 2 求点到平面的距离的常用方法有哪些？答案 (1)确定垂线段法；(2)等体积法；(3)空间向量法.梳理 (1)点到直线的距离已知直线 l 是由向量 a 所确定的直线， P l， P0l，如图， 在 l 上的射影长为PP0 | |cos ， a ，PP0 P
4、P0 |PP0 a|a|则点 P0到直线 l 的距离 d .|PP0 |2 (PP0 a|a| )2 1|a|PP0 |a|2 |PP0 a|2(2)点到平面的距离用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长.如图，设 n( a， b， c)是平面 的一个法向量， P0(x0， y0， z0)为 外一点，3P(x， y， z)是平面 内的任意一点，则点 P0到平面 的距离 d |PP0 n|n|.|ax0 x by0 y cz0 z|a2 b2 c2线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点到平面
5、距离的求法，就可解决其他的距离问题.类型一 求两条异面直线所成的角例 1 如图，在三棱柱 OAB O1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB， O1OB60， AOB90，且 OB OO12， OA ，求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值的大小.3解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0，0，0)， O1(0，1， )， A( ，0，0)， A1(3 3， 1， )， B(0，2，0)，3 3 ( ，1， )， ( ，1， ).A1B 3 3 O1A 3 3|cos ， | .A1B O1A |A1B O1A |A1B |O1A | | 3， 1， 33， 1， 3|77 17
6、异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值为 .17反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.4跟踪训练 1 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别是 A1D1、 A1C1的中点，求异面直线AE 与 CF 所成角的余弦值.解 不妨设正方体棱长为 2，分别取 DA， DC， DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2，0，0)， C(0，2，0)， E(1，0，2)， F(1，1，2)，则 (1，0，2)，
7、(1，1，2)，AE CF | | ，| | ， 1043.AE 5 CF 6 AE CF 又 | | |cos ， cos ， ，AE CF AE CF AE CF 30 AE CF cos ， ，AE CF 3010异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 .3010类型二 求直线和平面所成的角例 2 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 a，求 AC1与侧面 ABB1A1所成2的角.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)， B(0， a， 0)， A1(0，0， a)， C12，(32a， a2， 2a)方法一 取 A1B1的中点 M，则 M(0
8、， a)，连接 AM， MC1，a2 2有 ( a， 0，0)， (0， a， 0)， (0，0， a).MC1 32 AB AA1 2 0， 0，MC1 AB MC1 AA1 5 ， ，MC1 AB MC1 AA1 则 MC1 AB， MC1 AA1，又 AB AA1 A， MC1平面 ABB1A1. C1AM 是 AC1与侧面 ABB1A1所成的角.由于 ， (0， a)，AC1 ( 32a， a2， 2a) AM a2 2 0 2 a2 ，AC1 AM a24 9a24| | a，AC1 3a24 a24 2a2 3| | a，AM a24 2a2 32cos ， .AC1 AM 9a2
9、43a3a2 32 ， 0，180， ， 30，AC1 AM AC1 AM 又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30.方法二 (0， a， 0)， (0，0， a)， .AB AA1 2 AC1 ( 32a， a2， 2a)设侧面 ABB1A1的法向量为 n( ， y， z)， n 0 且 n 0. ay0 且 az0.AB AA1 2 y z0.故 n( ，0，0). ，AC1 ( 32a， a2， 2a)cos ， n ，AC1 nAC1 |n|AC1 | 2| |cos ， n| .AC1 12又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面
10、 ABB1A1所成的角为 30.反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即6先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.跟踪训练 2 如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 AB BC2 AD， AS平面ABCD， AD BC， AB BC，且 AS AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦值.解 由题设条件知，以点 A 为坐标原点，分别以 AD， AB， AS 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示). 设 AB1，则 A(0，0，0)， B
11、(0，1，0)， C(1，1，0)， D ， S(0，0，1).(12， 0， 0) (0，0，1)， (1，1，1).AS CS 显然 是底面的法向量，它与已知向量 的夹角 90 ，AS CS 故有 sin cos ，AS CS |AS |CS | 113 33 0，90，cos .1 sin263类型三 求二面角例 3 在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中， AB AC， PA平面 ABCD，且 PA AB， E是 PD 的中点，求平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角.解 方法一 如图，以 A 为原点，分别以 AC， AB， AP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直
12、角坐标系.设 PA AB a， AC b，连接 BD 与 AC 交于点 O，取 AD 中点 F，7则 C(b，0，0)， B(0， a，0)， .BA CD D(b， a，0)， P(0，0， a)， E ， O ， ， ( b，0，0).(b2， a2， a2) (b2， 0， 0) OE (0， a2， a2) AC 0，OE AC ， ， 0.OE AC OF 12BA (0， a2， 0) OF AC .OF AC EOF 等于平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角(或补角).cos ， .OE OF OE OF |OE |OF | 22平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45.
13、方法二 建系如方法一， PA平面 ABCD， (0，0， a)为平面 ABCD 的法向量，AP ， ( b，0，0).AE (b2， a2， a2) AC 设平面 AEC 的法向量为 m( x， y， z).由Error!得Error! x0， y z.取 m(0，1，1)，cos m， .AP mAP |m|AP | a2a 22平面 AEC 与平面 ABCD 的夹角为 45.反思与感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，
14、但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.跟踪训练 3 若 PA平面 ABC， AC BC， PA AC1， BC ，求二面角 A PB C 的余弦2值.解 如图所示建立空间直角坐标系，8则 A(0，0，0)， B( ，1，0)， C(0，1，0)， P(0，0，1)，2故 (0，0，1)， ( ，1，0)， ( ，0，0)， (0，1，1)，AP AB 2 CB 2 CP 设平面 PAB 的法向量为 m( x， y， z)，则Error!Error!Error!令
15、 x1，则 y ，故 m(1， ，0).2 2设平面 PBC 的法向量为 n( x， y， z)，则Error!Error!Error!令 y1，则 z1，故 n(0，1，1)，cos m， n .mn|m|n| 33又二面角 A PB C 是钝二面角，二面角 A PB C 的余弦值为 .33类型四 向量法解决距离问题命题角度 1 点线距离例 4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是 C1C， D1A1的中点，求点 A 到直线 EF 的距离.解 以 D 为坐标原点，分别以 DA， DC， DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图.设 DA2，则
16、 A(2，0，0)， E(0，2，1)， F(1，0，2)， (1，2，1)， (1，0，2).EF FA | | ，EF 12 22 12 6 110(2)(2)11，FA EF 9 在 上的投影为 .FA EF |FA EF |EF | 16点 A 到直线 EF 的距离 d .|FA|2 162 296 1746反思与感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影.(4)利用勾股定理求点到直线的距离.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.跟踪训练 4 如图，在空间
17、直角坐标系中有长方体ABCD A B C D， AB1， BC2， AA3，求点 B 到直线 A C 的距离.解 AB1， BC2， AA3， A(0，0，3)， C(1，2，0)， B(1，0，0)， (1，2，3).A C 又 (0，2，0)，BC 在 上的投影为 .BC A C |BC A C |A C | 414点 B 到直线 A C 的距离 d .|BC |2 |BC A C |A C |2 4 1614 2357命题角度 2 点面距离例 5 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， E， F 分别是边 AB， AD 的中点， CG 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，且 CG
18、2，求点 B 到平面 EFG 的距离.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 G(0，0，2)， E(4，2，0)， F(2，4，0)，B(4，0，0)， (4，2，2)， (2，4，2)， (0，2，0).GE GF BE 10设平面 EFG 的一个法向量为 n( x， y， z).由Error!得Error! x y， z3 y.取 y1，则 n(1，1，3).点 B 到平面 EFG 的距离 d .|BE n|n| 211 21111反思与感悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求出该平面的一个法向量.(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.(
19、4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.跟踪训练 5 在正三棱柱 ABC A1B1C1中， D 是 BC 的中点， AA1 AB2.(1)求证： A1C平面 AB1D；(2)求点 C1到平面 AB1D 的距离.(1)证明 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DC， DA 所在直线为 x 轴， y 轴，过点 D 且与 AA1平行的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)， C(1，0，0)， B1(1，0，2)，A1(0， ，2)， A(0， ，0)， C1(1，0，2)， (1， ，2)， (1， ，2)，3 3 A1C 3 AB1 3(0， ，0).AD 3设平面 AB1D 的一个法向量为 n( x， y， z)，则Error!即Error!令 z1，则 y0， x2. n(2，0，1). n12( )0(2)10，A1C 3 n.A1C A1C平面 AB1D， A1C平面 AB1D.
