新（浙江专用）2016高考数学二轮专题突破 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第1-3讲 理（打包3套）.zip

1第 1讲 三角函数的图象与性质1．(2014·浙江)为了得到函数 y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数 y＝ cos 3x的图2象( )A．向右平移 个单位π12B．向右平移 个单位π4C．向左平移 个单位π12D．向左平移 个单位π42．(2015·课标全国Ⅰ)函数 f(x)＝cos( ωx ＋ φ )的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( )A. ， k∈Z(kπ －14， kπ ＋ 34)B. ， k∈Z(2kπ －14， 2kπ ＋ 34)C. ， k∈Z(k－14， k＋ 34)D. ， k∈Z(2k－14， 2k＋ 34)3．(2015·安徽)已知函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(A， ω ， φ 均为正的常数)的最小正周期为 π，当 x＝ 时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )2π3A． f(2)0 或 向 右  φ 0 倍 横 坐 标 不 变例 2 (1)(2015·浙江名校联考)已知函数 y＝3sin ωx (ω 0)的周期是 π，将函数y＝3cos( ωx － )(ω 0)的图象沿 x轴向右平移 个单位，得到函数 y＝ f(x)的图象，则π2 π8函数 f(x)等于( )A．3sin(2 x－ ) B．3sin(2 x－ )π8 π4C．－3sin(2 x＋ ) D．－3sin(2 x＋ )π8 π4(2)函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(A， ω ， φ 为常数， A0， ω 0,00， ω 0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ω ；确定 φ 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量 x而言的，如果 x的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方4向．跟踪演练 2 (1)若将函数 y＝tan( ωx ＋ )(ω 0)的图象向右平移 个单位长度后，与函π4 π6数 y＝tan( ωx ＋ )的图象重合，则 ω 的最小正值为( )π6A. B.16 14C. D.13 12(2)(2015·陕西)如图，某港口一天 6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数 y＝3sin ＋ k，据此函数可知，这段时(π6x＋ φ )间水深(单位：m)的最大值为( )A．5 B．6C．8 D．10热点三 三角函数的性质(1)三角函数的单调区间：y＝sin x的单调递增区间是[2 kπ－ ，2 kπ＋ ](k∈Z)，单调递减区间是π2 π2[2kπ＋ ，2 kπ＋ ](k∈Z)；π2 3π2y＝cos x的单调递增区间是[2 kπ－π，2 kπ]( k∈Z)，单调递减区间是[2 kπ，2 kπ＋π](k∈Z)；y＝tan x的递增区间是( kπ－ ， kπ＋ )(k∈Z)．π2 π2(2)y＝ Asin(ωx ＋ φ )，当 φ ＝ kπ( k∈Z)时为奇函数；当 φ ＝ kπ＋ (k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx ＋ φ ＝ kπ＋ (k∈Z)求得．π2 π2y＝ Acos(ωx ＋ φ )，当 φ ＝ kπ＋ (k∈Z)时为奇函数；π2当 φ ＝ kπ( k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx ＋ φ ＝ kπ( k∈Z)求得．y＝ Atan(ωx ＋ φ )，当 φ ＝ kπ( k∈Z)时为奇函数．例 3 已知函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ )＋ cos(ωx ＋ φ )(ω 0,00)在( ，π)上单调递减，则 ω 的取值范围是π2( )A．[ ， ] B．[ ， ]12 54 12 34C．(0， ] D．(0,2]122．如图，函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(其中 A0， ω 0，| φ |≤ )与坐标轴的三个交点π2P、 Q、 R满足 P(2,0)，∠ PQR＝ ， M为 QR的中点， PM＝2 ，则 A的值为( )π4 5A. B.833 163 3C．8 D．163．设函数 f(x)＝sin(2 x＋ )＋ sin2x－ cos2x.π3 33 33(1)求 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求 g(x)在区间[－π3， ]上的值域．π6 π37提醒：完成作业 专题二 第 1讲8二轮专题强化练专题二第 1讲 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质A组 专题通关1．若 0≤sin α ≤ ，且 α ∈[－2π，0]，则 α 的取值范围是( )22A. ∪[－ 2π ， －7π4] [－ 5π4， － π ]B. ∪[－ 2π ＋ 2kπ ， －7π4＋ 2kπ ] [－ 5π4＋ 2kπ ， － π ＋ 2kπ ](k∈Z)C. ∪[0，π4] [3π4， π ]D. ∪ (k∈Z)[2kπ ， 2kπ ＋π4] [2kπ ＋ 3π4， 2kπ ＋ π ]2．为了得到函数 y＝cos(2 x＋ )的图象，可将函数 y＝sin 2 x的图象( )π3A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位5π6 5π6C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位5π12 5π123．已知函数 f(x)＝cos 2 x＋ sin xcos x－2，则函数 f(x)在[－1,1]上的单调递增区π2 3 π2 π2间为( )A．[－ ， ] B．[－1， ]23 13 12C．[ ，1] D．[－ ， ]13 34 234．(2015·湖南)将函数 f(x)＝sin 2x的图象向右平移 φ 个单位后得到函数(0＜ φ ＜π2)g(x)的图象，若对满足| f(x1)－ g(x2)|＝2 的 x1， x2，有| x1－ x2|min＝ ，则 φ 等于( )π3A. B. C. D.5π12 π3 π4 π65．已知函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0，| φ |0)和 g(x)＝3cos(2 x＋ φ )的图象的对称中心完全相π6同，若 x∈[0， ]，则 f(x)的取值范围是________．π28．给出命题：①函数 y＝2sin( － x)－cos( ＋ x)(x∈R)的最小值等于－1；②函数π3 π6y＝sin π xcos π x是最小正周期为 2的奇函数；③函数 y＝sin( x＋ )在区间[0， ]上π4 π2是单调递增的；④若 sin 2α 0，函数 f(x)＝－2 asin ＋2 a＋ b，当 x∈ 时，－5≤ f(x)≤1.(2x＋π6) [0， π2](1)求常数 a， b的值；(2)设 g(x)＝ f 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间．(x＋π2)10B组 能力提高11．将函数 h(x)＝2sin(2 x＋ )的图象向右平移 个单位，再向上平移 2个单位，得到函π4 π4数 f(x)的图象，则函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象( )A．关于直线 x＝0 对称B．关于直线 x＝1 对称C．关于(1,0)点对称D．关于(0,1)点对称12．已知函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(00)的部分图象如图所示，点 A， B是最高点，点 C是最低点，若△ ABC是直角三角形，则 f( )＝________.1214．已知函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ )(A0， ω 0)， g(x)＝tan x，它们的最小正周期之积π4为 2π 2， f(x)的最大值为 2g( )．17π4(1)求 f(x)的单调递增区间；11(2)设 h(x)＝ f2(x)＋2 cos2x.当 x∈[ a， )时， h(x)有最小值为 3，求 a的值32 3 π312学生用书答案精析专题二 三角函数、解三角形平面向量第 1讲 三角函数的图象与性质高考真题体验1．A [因为 y＝sin 3 x＋cos 3 x＝ sin(3x＋ )2π4＝ sin[3(x＋ )]，2π12又 y＝ cos 3x＝ sin(3x＋ )2 2π2＝ sin[3(x＋ )]，所以应由 y2π6＝ cos 3x的图象向右平移 个单位得到．]2π122．D [由图象知，周期 T＝2 ＝2，(54－ 14)∴ ＝2，∴ ω ＝π.2πω由 π× ＋ φ ＝ ＋2 kπ， k∈Z，14 π2不妨取 φ ＝ ，π4∴ f(x)＝cos .(π x＋π4)由 2kπ0，11π6∴ φ min＝ ，π6故 f(x)＝ Asin(2x＋ )．π6于是 f(0)＝ A， f(2)＝12Asin(4＋ )， f(－2)＝ Asin ＝ Asin ，π6 (－ 4＋ π6) (13π6－ 4)又∵－ 0，cos 0)的解析式为 y＝3cos(2 x－ )＝3sin 2x，再把π2 π2图象沿 x轴向右平移 个单位后得到 y＝3sin 2( x－ )＝3sin(2 x－ )．π8 π8 π4(2)根据图象可知， A＝2， ＝ － ，3T4 11π12 π6所以周期 T＝π，由 ω ＝ ＝2.2πT又函数过点( ，2)，π6所以有 sin(2× ＋ φ )＝1，而 00，可知 k≥0，因为 k∈Z，所以 k＝0，故 ω 的取值范围为[ ， ]．]12 542．B [由题意设 Q(a,0)， R(0，－ a)(a0)．则 M( ，－ )，由两点间距离公式得，a2 a2PM＝ ＝2 ， 2－ a2 2＋  a2 2 5解得 a＝8，由此得， ＝8－2＝6，T217即 T＝12，故 ω ＝ ，π6由 P(2,0)得 φ ＝－ ，π3代入 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )得，f(x)＝ Asin( x－ )，π6 π3从而 f(0)＝ Asin(－ )＝－8，π3得 A＝ .]163 33．解 (1) f(x)＝ sin 2x＋ cos 2x12 32－ cos 2x33＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin(2x＋ )．12 36 33 π6所以 f(x)的最小正周期为 T＝ ＝π.2π2令 2x＋ ＝ kπ＋ (k∈Z)，π6 π2得对称轴方程为 x＝ ＋ (k∈Z)．kπ2 π6(2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，π3得到函数 g(x)＝ sin[2(x－ )＋ ]＝－ cos 2x的图象，33 π3 π6 33即 g(x)＝－ cos 2x.33当 x∈[－ ， ]时，2 x∈[－ ， ]，π6 π3 π3 2π3可得 cos 2x∈[－ ，1]，12所以－ cos 2x∈[－ ， ]，33 33 36即函数 g(x)在区间[－ ， ]上的值域是[－ ， ]．π6 π3 33 3618二轮专题强化练答案精析专题二 三角函数、解三角形与平面向量第 1讲 三角函数的图象与性质1．A [根据题意并结合正弦线可知，α 满足 ∪[2kπ ， 2kπ ＋π4](k∈Z)，[2kπ ＋3π4， 2kπ ＋ π ]∵ α ∈[－2π，0]，∴ α 的取值范围是∪ .[－ 2π ， －7π4] [－ 5π4， － π ]故选 A.]2．C [ y＝cos(2 x＋ )＝sin[ ＋(2 x＋ )]π3 π2 π3＝sin(2 x＋ )＝sin[2( x＋ )]，5π6 5π12因此，把 y＝sin 2 x的图象向左平移 个单位得到5π12y＝cos(2 x＋ )的图象．]π33．A [ f(x)＝cos 2 x＋ sin xcos x－2＝ ＋ sin π x－2＝ sin π2 3 π2 π2 1＋ cos π x2 32 32π x＋ cos π x－ ＝sin(π x＋ )－ ，令－ ≤π x＋ ≤ ，12 32 π6 32 π2 π6 π2解得 x∈[－ ， ]．]23 134．D [因为 g(x)＝sin 2( x－ φ )＝sin(2 x－2 φ )，所以| f(x1)－ g(x2)|＝|sin 2 x1－sin(2 x2－2 φ )|＝2.因为－1≤sin 2 x1≤1，－1≤sin(2 x2－2 φ )≤1，所以 sin 2x1和 sin(2x2－2 φ )的值中，一个为 1，另一个为－1，不妨取 sin 2x1＝1，sin(2x2－2 φ )＝－1，则2x1＝2 k1π＋ ， k1∈Z,2 x2－2 φ ＝2 k2π－ ， k2∈Z,2 x1－2 x2＋2 φ ＝2( k1－ k2)π2 π2π＋π，( k1－ k2)∈Z，19得| x1－ x2|＝ .| k1－ k2 π ＋π2－ φ |因为 00，所以 α 一定为第二象限角．9．解 (1) f(x)＝sin sin x－ cos2x(π2－ x) 3＝cos xsin x－ (1＋cos 2 x)＝ sin 2x－ cos 2x－ ＝sin － ，32 12 32 32 (2x－ π3) 32因此 f(x)的最小正周期为 π，最大值为 .2－ 32(2)当 x∈ 时，0≤2 x－ ≤π，从而[π6， 2π3] π3当 0≤2 x－ ≤ ，即 ≤ x≤ 时，π3 π2 π6 5π12f(x)单调递增，当 ≤2 x－ ≤π，即 ≤ x≤ 时，π2 π3 5π12 2π3f(x)单调递减．综上可知， f(x)在 上单调递增；在 上单调递减．[π6， 5π12] [5π12， 2π3]10．解 (1)∵ x∈ ，[0，π2]∴2 x＋ ∈ .π6 [π6， 7π6]∴sin ∈ ，(2x＋π6) [－ 12， 1]∴－2 asin ∈[－2 a， a]．(2x＋π6)∴ f(x)∈[ b,3a＋ b]，又∵－5≤ f(x)≤1，∴ b＝－5,3 a＋ b＝1，因此 a＝2， b＝－5.(2)由(1)得， f(x)＝－4sin －1，(2x＋π6)g(x)＝ f ＝－4sin －1(x＋π2) (2x＋ 7π6)＝4sin －1，(2x＋π6)又由 lg g(x)0，得 g(x)1，∴4sin －11，(2x＋π6)21∴sin ，(2x＋π6)12∴2 kπ＋ 2x＋ 2kπ＋ ， k∈Z，π6 π6 5π6其中当 2kπ＋ 2x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z 时，π6 π6 π2g(x)单调递增，即 kπ x≤ kπ＋ ， k∈Z，π6∴ g(x)的单调增区间为 ， k∈Z.(kπ ， kπ ＋π6]又∵当 2kπ＋ 2x＋ 2kπ＋ ， k∈Z 时，π2 π6 5π6g(x)单调递减，即 kπ＋ xkπ＋ ， k∈Z.π6 π3∴ g(x)的单调减区间为， k∈Z.(kπ ＋π6， kπ ＋ π3)11．D [依题意，将 h(x)＝2sin(2 x＋ )的图象向右平移 个单位，再向上平移 2个单位π4 π4后得 y＝2sin[2( x－ )＋ ]＋2，即 f(x)＝2sin(2 x－ )＋2 的图象，π4 π4 π4又∵ h(－ x)＋ f(x)＝2，∴函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象关于点(0,1)对称．]12．B [由图象知 A＝5， ＝ － ＝π，T2 4π3 π3∴ T＝2π，∴ ω ＝ ＝1，2π2π且 1× ＋ φ ＝ ，∴ φ ＝ ，π3 π2 π6∴ f(x)＝5sin( x＋ )．π6由 f(x0)＝3，得 sin(x0＋ )＝ ，π6 35即 sin x0＋ cos x0＝ ，①32 12 35又 x0∈( ， )，π3 5π6∴ x0＋ ∈( ，π)，π6 π2∴cos( x0＋ )＝－ ，π6 45即 cos x0－ sin x0＝－ ，②32 12 4522由①②解得 sin x0＝ .]33＋ 41013.22解析 由已知得△ ABC是等腰直角三角形，且∠ ACB＝90°，所以 |AB|＝ f(x)max－ f(x)12min＝1－(－1)＝2，即| AB|＝4，而 T＝| AB|＝ ＝4，2πω解得 ω ＝ .π2所以 f(x)＝sin ，π x2所以 f( )＝sin ＝ .12 π4 2214．解 (1)由题意，得 ·π＝2π 2，2πω所以 ω ＝1.又 A＝2 g( )＝2tan π＝2tan ＝2，17π4 174 π4所以 f(x)＝2sin( x＋ )．π4令 2kπ－ ≤ x＋ ≤2 kπ＋ (k∈Z)，π2 π4 π2得 2kπ－ ≤ x≤2 kπ＋ (k∈Z)．3π4 π4故 f(x)的单调递增区间为[2 kπ－ ，2 kπ＋ ](k∈Z)．3π4 π4(2)因为 h(x)＝ f2(x)＋2 cos2x32 3＝ ×4×sin2(x＋ )＋2 cos2x32 π4 3＝3(sin x＋cos x)2＋2 cos2x3＝3＋3sin 2 x＋ (cos 2x＋1)3＝3＋ ＋2 sin(2x＋ )，3 3π6又 h(x)有最小值为 3，所以有 3＋ ＋2 sin(2x＋ )＝3，3 3π6即 sin(2x＋ )＝－ .π6 1223因为 x∈[ a， )，π3所以 2x＋ ∈[2 a＋ ， )，π6 π6 5π6所以 2a＋ ＝－ ，即 a＝－ .π6 π6 π61第 2 讲 三角变换与解三角形1．(2013·浙江)已知 α ∈R，sin α ＋2cos α ＝ ，则 tan 2α 等于( )102A. B.43 34C．－ D．－34 432．(2015·重庆)若 tan α ＝ ，tan( α ＋ β )＝ ，则 tan β 等于( )13 12A. B.17 16C. D57 563．(2014·福建)在△ ABC 中， A＝60°， AC＝4， BC＝2 ，则△ ABC 的面积等于________．34．(2014·江苏)若△ ABC 的内角满足 sin A＋ sin B＝2sin C，则 cos C 的最小值是2________．正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.热点一 三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值” 、 “给值求值” 、 “给值求角” ．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ ＋cos 2θ ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α ＋2cos 2α ＝(sin 2α ＋cos 2α )＋cos 2α ， α ＝( α － β )＋ β 等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；2(4)弦、切互化：一般是切化弦．例 1 (1)已知 sin(α ＋ )＋sin α ＝－ ，－ 0)的最小正周期为 .32π3(1)求 ω 的值；(2)在△ ABC 中，sin B，sin A，sin C 成等比数列，求此时 f (A)的值域．提醒：完成作业 专题二 第 2 讲6二轮专题强化练专题二第 2讲 三 角 变 换 与 解 三 角 形A 组 专题通关1．已知 α ∈( ，π)，sin( α ＋ )＝ ，则 cos α 等于( )π 2 π 4 35A．－ B.210 7210C．－ 或 D．－210 7210 72102．已知函数 f(x)＝4sin( ＋ )， f(3α ＋π)＝ ， f(3β ＋ )＝－ ，其中x3 π 6 165 5π2 2013α ， β ∈[0， ]，则 cos(α － β )的值为( )π 2A. B. C. D.1365 1565 4865 63653．设△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcos C＋ ccos B＝ asin A，则△ABC 的形状为( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定4．(2015·广东)设△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a＝2， c＝2 ，cos 3A＝ 且 b0，2tan αtan2α ＋ 4∴ ＝ ≤ ＝ ，2tan αtan2α ＋ 4 2tan α ＋ 4tan α 224 12故 的最大值为 .sin 2αsin2α ＋ 4cos2α 1212．100 6解析 在△ ABC 中， AB＝600，∠ BAC＝30°，∠ ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝ ，即 ＝ ，所以 BC＝300 .在 Rt△ BCD 中，BCsin∠ BAC ABsin∠ ACB BCsin 30° 600sin 45° 2∠ CBD＝30°， CD＝ BCtan∠ CBD＝300 ·tan 30°＝100 .2 613．2 3解析 在△ ABC 中，因为∠ ADC＝120°，所以∠ ADB＝60°，因为向量 ， 的夹角为 120°，AB→ BC→ 所以∠ B＝60°，所以△ ADB 为等边三角形．因为 AD＝2，所以 AB＝ BD＝2.因为 ＝2 ，所以点 D 为 BC 的中点，BC→ BD→ 所以 BC＝4，所以△ ABC 的面积 S△ ABC＝ BA·BC·sin B＝ ×2×4×sin 60°＝2 .12 12 314．(1)证明 tan ＝ ＝A2sin A2cos A2＝ .2sin2A22sin A2cos A2 1－ cos Asin A19(2)解 由 A＋ C＝180°，得 C＝180°－ A， D＝180°－ B，由(1)，有 tan ＋tan ＋tan ＋tan A2 B2 C2 D2＝ ＋ ＋ ＋1－ cos Asin A 1－ cos Bsin B 1－ cos 180°－ Asin 180°－ A 1－ cos 180°－ Bsin 180°－ B＝ ＋ .2sin A 2sin B连接 BD，在△ ABD 中，有 BD2＝ AB2＋ AD2－2 AB·ADcos A，在△ BCD 中，有 BD2＝ BC2＋ CD2－2 BC·CDcos C，所以 AB2＋ AD2－2 AB·ADcos A＝ BC2＋ CD2＋2 BC·CDcos A，则 cos A ＝AB2＋ AD2－ BC2－ CD22 AB·AD＋ BC·CD＝ ＝ ，62＋ 52－ 32－ 422 6×5＋ 3×4 37于是 sin A＝ 1－ cos2A＝ ＝ .1－ (37)2 2107连接 AC，同理可得cos B＝ ＝ ＝ ，AB2＋ BC2－ AD2－ CD22 AB·BC＋ AD·CD 62＋ 32－ 52－ 422 6×3＋ 5×4 119于是 sin B＝ ＝ ＝ .1－ cos2B1－ (119)2 61019所以 tan ＋tan ＋tan ＋tan A2 B2 C2 D2＝ ＋ ＝ ＋2sin A 2sin B 2×7210 2×19610＝ .41031第 3 讲 平面向量1．(2015·课标全国Ⅰ)设 D 为△ ABC 所在平面内一点， ＝3 ，则( )BC→ CD→ A. ＝－ ＋ B. ＝ －AD→ 13AB→ 43AC→ AD→ 13AB→ 43AC→ C. ＝ ＋ D. ＝ －AD→ 43AB→ 13AC→ AD→ 43AB→ 13AC→ 2．(2015·四川)设四边形 ABCD 为平行四边形，| |＝6，| |＝4，若点 M， N 满足 ＝3AB→ AD→ BM→ ， ＝2 ，则 · 等于( )MC→ DN→ NC→ AM→ NM→ A．20 B. 15 C．9 D．63．(2015·江苏)已知向量 a＝(2,1)， b＝(1，－2)，若 ma＋ nb＝(9，－8)( m， n∈R)，则m－ n 的值为________．4．(2015·浙江)已知 e1， e2是空间单位向量， e1·e2＝ ，若空间向量 b 满足12b·e1＝2， b·e2＝ ，且对于任意 x， y∈R，| b－( xe1＋ ye2)|≥| b－( x0e1＋ y0e2)52|＝1( x0， y0∈R)，则 x0＝__________， y0＝________，| b|＝________.1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接” ，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点” ，结果向量的方向是指向被减向量．2例 1 (1)(2014·陕西)设 0c，已知 · ＝2，cos B＝ ， b＝3.求：BA→ BC→ 13(1)a 和 c 的值；(2)cos(B－ C)的值．1．如图，在△ ABC 中， ＝ ， DE∥ BC 交 AC 于 E， BC 边上的中线 AMAD→ 13AB→ 交 DE 于 N，设 ＝ a， ＝ b，用 a， b 表示向量 .则 等于( )AB→ AC→ AN→ AN→ A. (a＋ b) B. (a＋ b)12 13C. (a＋ b) D. (a＋ b)16 182．如图， BC、 DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径， ＝2 ，则 · 等于( )BF→ FO→ FD→ FE→ 5A．－ B．－ C．－ D．－34 89 14 493．已知向量 a＝(1,2)， b＝(cos α ，sin α )，且 a⊥ b，则 tan(2α ＋ )＝________.π 44．如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中，∠ AOB＝60°， C 为弧上的动点， AB 与 OC 交于点 P，则 · 最小值是________________________．OP→ BP→ 提醒：完成作业 专题二 第 3 讲6二轮专题强化练专题二第 3 讲 平面向量A 组 专题通关1．在平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线， ＝(2,4)， ＝(1,3)，则 等于( )AB→ AC→ DA→ A．(2,4) B．(3,5)C．(1,1) D．(－1，－1)2．(2015·安徽)△ ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a， b 满足＝2 a， ＝2 a＋ b，则下列结论正确的是( )AB→ AC→ A．| b|＝1 B． a⊥ bC． a·b＝1 D．(4 a＋ b)⊥ BC→ 3．在△ ABC 中， N 是 AC 边上一点，且 ＝ ， P 是 BN 边上的一点，若 ＝ m ＋ ，则AN→ 12NC→ AP→ AB→ 29AC→ 实数 m 的值为( )A. B. C．1 D．319 134．(2015·福建)已知 ⊥ ，| |＝ ，| |＝ t，若点 P 是△ ABC 所在平面内的一点，且AB→ AC→ AB→ 1t AC→ ＝ ＋ ，则 · 的最大值等于( )AP→ AB→ |AB→ |4AC→ |AC→ | PB→ PC→ A．13 B．15 C．19 D．215．(2015·湖北)已知向量 ⊥ ，| |＝3，则 · ＝________.OA→ AB→ OA→ OA→ OB→ 6．若点 M 是△ ABC 所在平面内的一点，且满足 5 ＝ ＋3 ，则△ ABM 与△ ABC 的面积比AM→ AB→ AC→ 值为________．7．(2015·天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥ DC， AB＝2， BC＝1，∠ ABC＝60°.点 E 和7F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 ＝ ， ＝ ，则 · 的值为________．BE→ 23BC→ DF→ 16DC→ AE→ AF→ 8．设向量 a＝( a1， a2)， b＝( b1， b2)，定义一种向量积 a⊗b＝( a1b1， a2b2)，已知向量m＝(2， )， n＝( ，0)，点 P(x， y)在 y＝sin x 的图象上运动， Q 是函数 y＝ f(x)图象上12 π 3的点，且满足 ＝ m⊗ ＋ n(其中 O 为坐标原点)，则函数 y＝ f(x)的值域是________．OQ→ OP→ 9．(2015·温州二调)设向量 a＝( sin x，sin x)， b＝3(cos x，sin x)， x∈[0， ]．π 2(1)若| a|＝| b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)＝ a·b，求 f(x)的最大值．10．已知向量 a＝(2sin( ωx ＋ )，0)， b＝(2cos ωx, 3)(ω 0)，函数 f(x)＝ a·b 的图2π3象与直线 y＝－2＋ 的相邻两个交点之间的距离为 π.3(1)求 ω 的值；(2)求函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．8B 组 能力提高11．已知非零单位向量 a 与非零向量 b 满足| a＋ b|＝| a－ b|，则向量 b－ a 在向量 a 上的投影为( )A．1 B.22C．－1 D．－2212．设△ ABC， P0是边 AB 上一定点，满足 P0B＝ AB，且对于边 AB 上任一点 P，恒14有 · ≥ · ，则( )PB→ PC→ P0B→ P0C→ A．∠ ABC＝90° B．∠ BAC＝90°C． AB＝ AC D． AC＝ BC13．(2015·江苏)设向量 ak＝ (k＝0,1,2，…，12)，则(coskπ6， sinkπ6＋ coskπ6)(ak·ak＋1 )的值为________．11∑k＝ 014．(2014·陕西)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)， B(2,3)， C(3,2)，点 P(x， y)在△ ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若 ＋ ＋ ＝0，求| |；PA→ PB→ PC→ OP→ (2)设 ＝ m ＋ n (m， n∈R)，用 x， y 表示 m－ n，并求 m－ n 的最大值．OP→ AB→ AC→ 9学生用书答案精析第 3 讲 平面向量高考真题体验1．A [∵ ＝3 ，BC→ CD→ ∴ － ＝3( － )，AC→ AB→ AD→ AC→ 即 4 － ＝3 ，AC→ AB→ AD→ ∴ ＝－ ＋ .]AD→ 13AB→ 43AC→ 2．C [ ＝ ＋ ，AM→ AB→ 34AD→ ＝ － ＝－ ＋ ，NM→ CM→ CN→ 14AD→ 13AB→ ∴ · ＝ (4 ＋3 )·AM→ NM→ 14 AB→ AD→ (4 －3 )112 AB→ AD→ ＝ (16 2－9 2)＝ (16×62－9×4 2)＝9，选 C.]148 AB→ AD→ 1483．－3解析 ∵ a＝(2,1)， b＝(1，－2)，∴ ma＋ nb＝(2 m＋ n， m－2 n)＝(9，－8)，即Error!解得Error!故 m－ n＝2－5＝－3.4．1 2 2 2解析 方法一 对于任意 x， y∈R，| b－( xe1＋ ye2)|≥| b－( x0e1＋ y0e2)|＝1( x0， y0∈R)，说明当 x＝ x0， y＝ y0时，| b－( xe1＋ ye2)|取得最小值 1.|b－( xe1＋ ye2)|2＝| b|2＋( xe1＋ ye2)2－2 b·(xe1＋ ye2)＝| b|2＋ x2＋ y2＋ xy－4 x－5 y，要使|b|2＋ x2＋ y2＋ xy－4 x－5 y 取得最小值，需要把 x2＋ y2＋ xy－4 x－5 y 看成关于 x 的二次函数，即 f(x)＝ x2＋( y－4) x＋ y2－5 y，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝2－ ，所以当 x＝2－ 时， f(x)取得最小值，代入化简得 f(x)＝ (y－2) 2－7，显然当y2 y2 3410y＝2 时， f(x)min＝－7，此时 x＝2－ ＝1，所以 x0＝1， y0＝2.此时| b|2－7＝1，y2可得| b|＝2 .2方法二 ∵ e1·e2＝| e1|·|e2|cos〈 e1， e2〉＝ ，∴〈 e1， e2〉＝ .不妨设 e1＝12 π 3， e2＝(1,0,0)， b＝( m， n， t)．(12， 32， 0)由题意知Error!解得 n＝ ， m＝ ，32 52∴ b＝ .(52， 32， t)∵ b－( xe1＋ ye2)＝，(52－ 12x－ y， 32－ 32x， t)∴| b－( xe1＋ ye2)|2＝ 2＋ 2＋ t2＝ x2＋ xy＋ y2－4 x－5 y＋ t2＋7＝ 2＋ (y－2) 2＋ t2.(52－ x2－ y) (32－ 32x) (x＋ y－ 42 ) 34由题意知，当 x＝ x0＝1， y＝ y0＝2 时， 2＋ (y－2) 2＋ t2取到最小值．此时(x＋y－ 42 ) 34t2＝1，故| b|＝＝2 .(52)2＋ (32)2＋ t2 2热点分类突破例 1 (1) (2)－12 12解析 (1)因为 a∥ b，所以 sin 2θ ＝cos 2θ ，2sin θ cos θ ＝cos 2θ .因为 00，得 2sin θ ＝cos θ ，tan θ ＝ .1211(2)如图，设 FB 的中点为 M，连接 MD.因为 D 为 BC 的中点， M 为 FB 的中点，所以 MD∥ CF.因为 AF＝ AB，所以 F 为 AM 的中点， E 为 AD 的中点．13方法一 因为 ＝ a， ＝ b， D 为 BC 的中点，AB→ AC→ 所以 ＝ (a＋ b)．AD→ 12所以 ＝ ＝ (a＋ b)．AE→ 12AD→ 14所以 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ b＋ (a＋ b)＝ a－ b.CE→ CA→ AE→ AC→ AE→ 14 14 34所以 x＝ ， y＝－ ，所以 x＋ y＝－ .14 34 12方法二 易得 EF＝ MD， MD＝ CF，12 12所以 EF＝ CF，所以 CE＝ CF.14 34因为 ＝ ＋CF→ CA→ AF→ ＝－ ＋ ＝－ b＋ a，AC→ AF→ 13所以 ＝ (－ b＋ a)＝ a－ b.CE→ 34 13 14 34所以 x＝ ， y＝－ ，则 x＋ y＝－ .14 34 12跟踪演练 1 (1)C (2) －12 16解析 (1)因为 A， B， D 三点共线，所以 ＝ λ ⇔i＋ mj＝ λ (ni＋ j)， m≠1，又向量 iAB→ AD→ 与 j 不共线，所以Error!所以 mn＝1.(2)如图， ＝ ＋MN→ MC→ CN→ ＝ ＋13AC→ 12CB→ ＝ ＋ ( － )13AC→ 12AB→ AC→ ＝ － ，12AB→ 16AC→ ∴ x＝ ， y＝－ .12 16例 2 (1)22 (2)212解析 (1)由 ＝3 ，得 ＝ ＝ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ － ＝ ＋ －CP→ PD→ DP→ 14DC→ 14AB→ AP→ AD→ DP→ AD→ 14AB→ BP→ AP→ AB→ AD→ 14AB→ ＝ － .因为 · ＝2，所以( ＋AB→ AD→ 34AB→ AP→ BP→ AD→ )·( － )＝2，14AB→ AD→ 34AB→ 即 2－ · － 2＝2.AD→ 12AD→ AB→ 316AB→ 又因为 2＝25， 2＝64，所以 · ＝22.AD→ AB→ AB→ AD→ (2)如图，在△ AOB 中， ＝ ＝ ×OG→ 23OE→ 23 12( ＋ )OA→ OB→ ＝ ( ＋ )，13OA→ OB→ 又 · ＝| || |·cos 60°＝6，OA→ OB→ OA→ OB→ ∴| || |＝12，OA→ OB→ ∴| |2＝ ( ＋ )2＝ (| |2＋| |2＋2 · )＝ (| |2＋| |2＋12)OG→ 19OA→ OB→ 19 OA→ OB→ OA→ OB→ 19 OA→ OB→ ≥ ×(2| || |＋12)＝ ×36＝4(当且仅当| |＝| |时取等号)．19 OA→ OB→ 19 OA→ OB→ ∴| |≥2，故| |的最小值是 2.OG→ OG→ 跟踪演练 2 (1) (2)90°32解析 (1)由题意，圆心为 O(0,0)，半径为 1.如图所示，∵ P(1， )，∴ PA⊥ x 轴， PA＝ PB＝ .3 3∴△ POA 为直角三角形，其中 OA＝1， AP＝ ，则 OP＝2，3∴∠ OPA＝30°，∴∠ APB＝60°.∴ · ＝| || |·cos∠ APB＝ × ×cos 60°＝ .PA→ PB→ PA→ PB→ 3 3 32(2)∵ ＝ ( ＋ )，AO→ 12AB→ AC→ ∴点 O 是△ ABC 中边 BC 的中点，13∴ BC 为直径，根据圆的几何性质有〈 ， 〉＝90°.AB→ AC→ 例 3 解 (1)∵ b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α ，cos x＋2cos α )， α ＝ ，π 4∴ f(x)＝ b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α ＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋ (sin x＋cos x)．2令 t＝sin x＋cos x ，(π 4c，所以 a＝3， c＝2.(2)在△ ABC 中，sin B＝ ＝ ＝ ，1－ cos2B1－  13 2 223由正弦定理，得 sin C＝ sin B＝ × ＝ .cb 23 223 429因为 a＝ bc，所以 C 为锐角，因此 cos C＝ ＝ ＝ .1－ sin2C1－  429 2 79于是 cos(B－ C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝ × ＋ × ＝ .13 79 223 429 2327高考押题精练1．C [因为 DE∥ BC，所以 DN∥ BM，则△ AND∽△ AMB，所以 ＝ .ANAM ADAB因为 ＝ ，AD→ 13AB→ 所以 ＝ .AN→ 13AM→ 因为 M 为 BC 的中点，所以 ＝ ( ＋ )＝ (a＋ b)，AM→ 12AB→ AC→ 1215所以 ＝ ＝ (a＋ b)．AN→ 13AM→ 16故选 C.]2．B [∵ ＝2 ，圆 O 的半径为 1，BF→ FO→ ∴| |＝ ，FO→ 13∴ · ＝( ＋ )·( ＋ )＝ 2＋ ·( ＋ )＋ · ＝( )2＋0－1＝－ .]FD→ FE→ FO→ OD→ FO→ OE→ FO→ FO→ OE→ OD→ OD→ OE→ 13 893．－17解析 因为 a＝(1,2)， b＝(cos α ，sin α )，且 a⊥ b，所以 cos α ＋2sin α ＝0，则 tan α ＝－ .12所以 tan 2α ＝ ＝－ .2tan α1－ tan2α 43所以 tan(2α ＋ )＝π 4tan 2α ＋ tanπ 41－ tan 2α ·tanπ 4＝ ＝ ＝－ .－ 43＋ 11－  － 43 ×1－ 1373 174．－116解析 因为 ＝ ＋ ，所以 · ＝( ＋ )· ＝ · ＋( )2.又因为∠ AOB＝60°，OP→ OB→ BP→ OP→ BP→ OB→ BP→ BP→ OB→ BP→ BP→ OA＝ OB，∴∠ OBA＝60°. OB＝1.所以 · ＝| |cos 120°＝－ | |.所OB→ BP→ BP→ 12BP→ 以 · ＝－ | |＋| |2＝(| |－ )2－ ≥－ .故当且仅当| |＝ 时， · 最小OP→ BP→ 12BP→ BP→ BP→ 14 116 116 BP→ 14 OP→ BP→ 值是－ .11616二轮专题强化练答案精析第 3 讲 平面向量1．C [ ＝ ＝ － ＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]DA→ CB→ AB→ AC→ 2．D [在△ ABC 中，由 ＝ － ＝2 a＋ b－2 a＝ b，BC→ AC→ AB→ 得| b|＝2.又| a|＝1，所以 a·b＝| a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋ b)· ＝(4 a＋ b)·b＝4 a·b＋| b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4 a＋ b)⊥ ，故选 D.]BC→ BC→ 3．B [如图，因为 ＝ ，所以 ＝ ， ＝ m ＋ ＝ m ＋AN→ 12NC→ AN→ 13AC→ AP→ AB→ 29AC→ AB→ ，因为 B， P， N 三点共线，23AN→ 所以 m＋ ＝1，所以 m＝ .]23 134.A [建立如图所示坐标系，则B ， C(0， t)， ＝ ， ＝(0， t)，(1t， 0) AB→ (1t， 0) AC→ ＝ ＋AP→ AB→ |AB→ |4AC→ |AC→ |＝ t ＋ (0， t)＝(1,4)，(1t， 0) 4t∴ P(1,4)， · ＝ ·PB→ PC→ (1t－ 1， － 4)(－1， t－4)＝17－ ≤17－(1t＋ 4t)2 ＝13，故选 A.]1t·4t5．9解析 因为 ⊥ ，所以 · ＝0.所以 · ＝ ·( ＋ )OA→ AB→ OA→ AB→ OA→ OB→ OA→ OA→ AB→ ＝ 2＋ · ＝| |2＋0＝3 2＝9.OA→ OA→ AB→ OA→ 6.3517解析 设 AB 的中点为 D，由 5 ＝ ＋3 ，得 3 －3AM→ AB→ AC→ AM→ AC→ ＝2 －2 ，AD→ AM→ 即 3 ＝2 .CM→ MD→ 如图所示，故 C， M， D 三点共线，且 ＝ ，MD→ 35CD→ 也就是△ ABM 与△ ABC 对于边 AB 的两高之比为 3∶5，则△ ABM 与△ ABC 的面积比值为 .357.2918解析 在等腰梯形 ABCD 中， AB∥ DC， AB＝2， BC＝1，∠ ABC＝60°，∴ CD＝1， ＝ ＋ ＝ ＋ ，AE→ AB→ BE→ AB→ 23BC→ ＝ ＋ ＝ ＋ ，AF→ AD→ DF→ AD→ 16DC→ ∴ · ＝ · ＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＝2×1×cos AE→ AF→ (AB→ ＋ 23BC→ ) (AD→ ＋ 16DC→ ) AB→ AD→ AB→ 16DC→ 23BC→ AD→ 23BC→ 16DC→ 60°＋2× ＋ ×1×cos 60°＋ × ×cos 120°＝ .16 23 23 16 29188．[－ ， ]12 12解析 令 Q(c， d)，由新的运算可得 OQ→ ＝ m⊗ ＋ n＝(2 x， sin x)＋( ，0)＝(2 x＋ ， sin x)，OP→ 12 π 3 π 3 12∴Error!消去 x 得 d＝ sin( c－ )，12 12 π 6∴ y＝ f(x)＝ sin( x－ )，12 12 π 6易知 y＝ f(x)的值域是[－ ， ]．12 129．解 (1)由| a|2＝( sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2x，3|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及| a|＝| b|，得 4sin2x＝1.18又 x∈[0， ]，π 2从而 sin x＝ ，所以 x＝ .12 π 6(2)f(x)＝ a·b＝ sin x·cos x＋sin 2x3＝ sin 2x－ cos 2x＋ ＝sin(2 x－ )＋ ，32 12 12 π 6 12当 x＝ ∈[0， ]时，sin(2 x－ )取最大值 1.所以 f(x)的最大值为 .π 3 π 2 π 6 3210．解 (1)因为向量 a＝(2sin( ωx ＋ )，0)， b＝(2cos ωx, 3)(ω 0)，所以函数 f(x)2π3＝ a·b＝4sin( ωx ＋ )cos ωx ＝4[sin ωx ·(－ )＋cos ωx · ]cos 2π3 12 32ωx ＝2 ·cos2ωx －2sin ωx cos ωx ＝ (1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos(2 ωx ＋ )＋3 3π 6，3由题意，可知 f(x)的最小正周期为 T＝π，所以 ＝π，即 ω ＝1.2π2ω(2)易知 f(x)＝2cos(2 x＋ )＋ ，当 x∈[0,2π]时，2 x＋ ∈[ ，4π＋ ]，π 6 3 π 6 π 6 π 6故 2x＋ ∈[π，2π]或 2x＋ ∈[3π，4π]时，函数 f(x)单调递增，π 6 π 6所以函数 f(x)的单调递增区间为[ ， ]和[ ， ]．5π12 11π12 17π12 23π1211．C [因为| a＋ b|＝| a－ b|，所以( a＋ b)2＝( a－ b)2，解得 a·b＝0，所以向量 b－ a 在向量 a 上的投影为| b－ a|cos〈 a， b－ a〉＝ ＝a· b－ a|a| 0－ |a|2|a|＝－| a|＝－1.]12．D [设 BC 中点为 M，则 · ＝ 2－ 2＝ 2－ 2，PB→ PC→ (PB→ ＋ PC→ 2 ) (PB→ － PC→ 2 ) PM→ 14CB→ 同理 · ＝ 2－ 2，P0B→ P0C→ P0M→ 14CB→ ∵ · ≥ · 恒成立，PB→ PC→ P0B→ P0C→ ∴| |≥| |恒成立．PM→ P0M→ 即 P0M⊥ AB，19取 AB 的中点 N，又 P0B＝ AB，14则 CN⊥ AB，∴ AC＝ BC.故选 D.]13．9 3解析 ∵ ak＝，(coskπ6， sin kπ6＋ coskπ6)∴ ak·ak＋1 ＝·(coskπ6， sinkπ6＋ cos kπ6)(cosk＋ 16 π ， sink＋ 16 π ＋ cosk＋ 16 π )＝cos ·cos π＋kπ6 k＋ 16·(sinkπ6＋ coskπ6)(sink＋ 16 π ＋ cosk＋ 16 π )＝ cos ＋ cos π＋sin π.32 π 6 12 2k＋ 16 2k＋ 16故 (ak·ak＋1 )＝11∑k＝ 011∑k＝ 0＝( os ＋ os π＋ in π.)3211∑k＝ 0c π 6 1211∑k＝ 0c 2k＋ 16 11∑k＝ 0s 2k＋ 16由 os π＝0， in π＝0，得11∑k＝ 0c 2k＋ 1611∑k＝ 0s 2k＋ 16(ak·ak＋1 )＝ cos ×12＝9 .11∑k＝ 0 32 π 6 314．解 (1)方法一 ∵ ＋ ＋ ＝0，PA→ PB→ PC→ 又 ＋ ＋ ＝(1－ x,1－ y)＋(2－ x,3－ y)＋(3－ x,2－ y)＝(6－3 x,6－3 y)，PA→ PB→ PC→ ∴Error!解得Error!即 ＝(2,2)，故| |＝2 .OP→ OP→ 2方法二 ∵ ＋ ＋ ＝0，PA→ PB→ PC→ 20则( － )＋( － )＋( － )＝0，OA→ OP→ OB→ OP→ OC→ OP→ ∴ ＝ ( ＋ ＋ )＝(2,2)，OP→ 13OA→ OB→ OC→ ∴| |＝2 .OP→ 2(2)∵ ＝ m ＋ n ，OP→ AB→ AC→ ∴( x， y)＝( m＋2 n,2m＋ n)，∴Error!两式相减得， m－ n＝ y－ x.令 y－ x＝ t，由图知，当直线 y＝ x＋ t 过点B(2,3)时， t 取得最大值 1，故 m－ n 的最大值为 1.