1、2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合 ， ，则集合 _【答案】【解析】2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 _【答案】5【解析】因为 ，所以 ，即 ， .3. 双曲线 的渐近线方程为_【答案】【解析】双曲线 的渐近线方程为 ,即 .4. 某中学共有 人，其中高二年级的人数为 .现用分层抽样的方法在全校抽取 人，其中高二年级被抽取的人数为 ，则 _【答案】63【解析】 5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字 ， ， ， ）先后抛
2、掷 次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于 的概率为_【答案】【解析】两次数字之和等于 有 三种基本事件，所以概率为 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 如图是一个算法的流程图，则输出 的值是_【答案】25【解析】执行循环得： 结束循环，输出 25. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.
3、先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 若正四棱锥的底面边长为 ，侧面积为 ，则它的体积为_ 【答案】【解析】设侧面斜高为 ，则 ，因此高为8. 设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 _【答案】8【解析】因为 ， ，所以 ，因此9. 已知 ， ，且 ，则 的最小值是_【答案】【解析】因为 ，当且仅当 时取等号.因此 的最小值是点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等
4、式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 设三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，则_【答案】【解析】因为 ，所以 11. 已知函数 （ 是自然对数的底）.若函数 的最小值是 ，则实数的取值范围为_【答案】【解析】当 时， （当且仅当 时取等号） ，当 时， ，因此12. 在 中，点 是边 的中点，已知 ， ， ，则_【答案】6【解析】 , 所以 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算(2)根据图形之间
5、的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解13. 已知直线 ： 与 轴交于点 ，点 在直线 上，圆 ： 上有且仅有一个点 满足 ，则点 的横坐标的取值集合为_【答案】【解析】 以 AP 为直径的圆与圆 C 相切，设 ，所以以 AP 为直径的圆圆心为 ，半径为 ，因此外切时：，内切时： ，即点 的横坐标的取值集合为点睛：研究直线与圆位置关系时，要注意隐圆，即利用直接法或转移法求轨迹方程，最后根据直线与圆或圆与圆位置关系求解参数取值范围.14. 若二次函数 在区间 上有两个不同的零点，则 的取值范围为_【答案】【解析】
6、设 ，则 点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知向量 ， .（1）若角 的终边过点 ，求 的值；（2）若 ，求锐角 的大小.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）先根据三角函数定义得 ， ，再根据向量数量积得结果， （2）由向量平
7、行得 ，再利用两角和正弦公式以及同角三角函数关系得，即得锐角 的大小试题解析：（1）由题意 ， ，所以 .（2）因为 ，所以 ，即 ，所以，则 ，对锐角 有 ，所以 ，所以锐角 .16. 如图，正三棱柱 的高为 ，其底面边长为 .已知点 ， 分别是棱 ，的中点，点 是棱 上靠近 的三等分点.求证：（1） 平面 ；（2） 平面 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据平行四边形性质得 ，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据平几知识得 ，再根据线面垂直性质定理得 ，最后根据线面垂直判定定理得结论.试题解析：（1）连结 ，正三棱柱 中， 且 ，则四边形是平行四边形，因为
8、点 、 分别是棱 ， 的中点，所以 且 ，又正三棱柱 中 且 ，所以 且 ，所以四边形是平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面；（2）正三棱柱 中， 平面 ，平面 ，所以 ，正 中， 是 的中点，所以 ，又 、 平面 ， ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，由题意， ， ， ， ，所以 ，又 ，所以 与 相似，则 ，所以 ，则 ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 .点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17. 已知椭圆 ： 经过点 ，
9、 ，点 是椭圆的下顶点.（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 且互相垂直的两直线 ， 与直线 分别相交于 ， 两点，已知 ，求直线 的斜率.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）将两点坐标代入椭圆方程，解方程组得 a,b,（2）设直线斜率，根据方程组解得 E,F,再根据 解得斜率.试题解析：（1）由题意得 ，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 ；（2）由题意知 ，直线 ， 的斜率存在且不为零，设直线 ： ，与直线 联立方程有 ，得 ，设直线 ： ，同理 ，因为 ，所以 ， ， 无实数解； ， ， ，解得 ，综上可得，直线 的斜率为 .18. 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 为 ，
10、 是圆心，且 .在 上有一座观赏亭 ，其中 .计划在 上再建一座观赏亭 ，记 .（1）当 时，求 的大小；（2）当 越大，游客在观赏亭 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭 处的观赏效果最佳时，角 的正弦值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）先根据直角三角形解得 ，再根据正弦定理列关于 三角方程，根据同角三角函数关系得 ，即得 的大小；（2）根据正弦定理列 关于 的函数关系，利用导数求最值，即得结果.试题解析：（1）设 ，由题， 中， ， ，所以 ，在 中， ， ，由正弦定理得 ，即 ，所以 ，则 ，所以 ，因为 为锐角，所以 ，所以 ，得 ；（2）设 ，在 中， ， ，由正弦定理
11、得 ，即 ，所以 ，从而 ，其中 ， ，所以 ，记 ， ， ；令 ， ，存在唯一 使得 ，当 时 ， 单调增，当 时 ， 单调减，所以当 时， 最大，即 最大，又 为锐角，从而 最大，此时 .答：观赏效果达到最佳时， 的正弦值为 .19. 已知函数 ， .（1）若 ， ，且 恒成立，求实数 的取值范围；（2）若 ，且函数 在区间 上是单调递减函数.求实数 的值；当 时，求函数 的值域.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）先利用参变分离将不等式化为函数最值： 的最大值，再利用导数求函数 最值，即得实数 的取值范围；（2）将单调性条件转化为 对 恒成立，再根据二次函数恒成立条件得不等
12、式 ，解不等式可得实数 的值；先利用导数研究函数 单调性，确定函数 值域，再结合图像确定 ，根据图像确定 值域.试题解析：（1）函数 的定义域为 .当 ， ， ， 恒成立， 恒成立，即 .令 ，则 ，令 ，得 ， 在 上单调递增，令 ，得 ， 在 上单调递减，当 时， ， .（2）当 时， ， .由题意， 对 恒成立， ， ，即实数 的值为 .函数 的定义域为 .当 ， ， 时， .，令 ，得 .- +极小值当 时， ，当 时， ，当 时， .对于 ，当 时， ，当 时， ，当 时， .当 时， ，当 时， ，当 时， .故函数 的值域为 .点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况
13、下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.20. 已知 是数列 的前 项和， ，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）对于正整数 ， ， ，已知 ， ， 成等差数列，求正整数 ， 的值；（3）设数列 前 项和是 ，且满足：对任意的正整数 ，都有等式 成立.求满足等式 的所有正整数 .【答案】 （1） ；（2） 和【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比
14、数列定义判断，最后根据等比数列通项公式求结果， （2）根据等差数列化简得 ，再根据正整数限制条件以及指数性质确定不定方程正整数解， （3）先根据定义求数列 通项公式，再根据等差数列求和公式求 ，根据数列相邻项关系确定 递减，最后根据单调性求正整数解.试题解析：（1）由 得 ，两式作差得 ，即 .， ，所以 ， ，则 ，所以数列是首项为 公比为 的等比数列，所以 ；（2）由题意 ，即 ，所以 ，其中 ， ，所以 ， ，所以 ， ， ；（3）由 得，所以 ，即 ，所以 ，又因为 ，得 ，所以 ，从而 ， ，当 时 ；当 时 ；当 时 ；下面证明：对任意正整数 都有 ，当 时， ，即 ，所以当 时，
15、 递减，所以对任意正整数 都有 ；综上可得，满足等式 的正整数 的值为 和 .2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学（附加题）【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 如图， 是圆 的直径， 为圆 上一点，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ，且满足 .（1）求证： ；（2）若 ，求线段 的长 .【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据角相等、边相等得三角形全等，即得 ，再根据直径性质得结果， （2）根据切割线定理求线段 的长.试题
16、解析：（1）连接 ， .因为 是圆 的直径，所以 ， .因为 是圆 的切线，所以 ，又因为 ，所以 ，于是 ，得到 ，所以 ，从而 .（2）解：由 及 得到 ， .由切割线定理，所以 .22. 已知矩阵 ， ，列向量 .（1）求矩阵 ；（2）若 ，求 ， 的值.【答案】 （1） ；（2） ，【解析】试题分析：（1）根据矩阵乘法得矩阵 ；（2）根据逆矩阵性质得 ，再根据矩阵乘法得结果.试题解析：（1） ；（2）由 ，解得 ，又因为 ，所以 ， .23. 在极坐标系中，已知圆 经过点 ，圆心为直线 与极轴的交点，求圆的极坐标方程.【答案】【解析】试题分析： 先令 ，得圆 的圆心的极坐标，再根据解三
17、角形得圆半径，最后根据解三角形得圆 的极坐标方程.试题解析：在 中，令 ，得 ，所以圆 的圆心的极坐标为 .因为圆 的半径 ，于是圆 过极点，所以圆的极坐标方程为 .24. 已知 ， 都是正数，且 ，求证： .【答案】见解析【解析】试题分析： 根据基本不等式以及不等式性质即得结果.试题解析：因为 ， 都是正数，所以 ， ，又因为 ，所以 .【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 垂直于底面 ，点 为线段 （不含端点）上一点.（1）当 是线段 的中点时，求
18、 与平面 所成角的正弦值；（2）已知二面角 的正弦值为 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解出平面 ，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求与平面 所成角的正弦值；（2）列方程组解出平面 ，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系列等量关系，解方程可得的值.；试题解析：（1）以 为原点， ， ， 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设，则 ， ， ， ， ， ；所以 ， ， ，设平面 的法向量 ，则 ，即 ，解得 ，所以平面 的一个法向量 ，则 与平面 所成角的正
19、弦值为 .（2）由（1）知平面 的一个法向量为 ，设 ，则 ， ，设平面 的法向量，则 ，即 ，解得 ，所以平面 的一个法向量 ，由题意得 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，则 .点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.26. 在含有 个元素的集合 中，若这 个元素的一个排列（ ， ， ）满足 ，则称这个排列为集合 的一个错位排列（例如：对于集合，排列 是 的一个错位排列；排列 不是 的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个
20、数为 .（1）直接写出 ， ， ， 的值；（2）当 时，试用 ， 表示 ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明： 为奇数.【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义列错位排列，根据错位排列的个数得 ， ， ，的值；（2）根据定义理解 ， ， 三者关系，需先确定两类，有两个数恰好错排与这两个数不错排，再降数处理， （3）先根据递推关系得对任意正奇数 ，有 均为偶数，再利用 以及归纳假设得结论.试题解析：（1） ， ， ， ，（2） ，理由如下：对 的元素的一个错位排列（ ， ， ） ，若 ，分以下两类：若 ，这种排列是 个元素的错位排列，共有 个；若 ，这种错位排列就是将 ， ， ， ， 排列到第 到第 个位置上， 不在第 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于 个元素的错位排列，共有个；根据 的不同的取值，由加法原理得到 ；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论， 均为自然数；当 ，且 为奇数时， 为偶数，从而 为偶数，又 也是偶数，故对任意正奇数 ，有 均为偶数.下面用数学归纳法证明 （其中 ）为奇数.当 时， 为奇数；假设当 时，结论成立，即 是奇数，则当 时， ，注意到 为偶数，又 是奇数，所以 为奇数，又 为奇数，所以，即结论对 也成立；根据前面所述，对任意 ，都有 为奇数.
