1、- 1 -普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(三)理科数学第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2017郑州一模)设全集 ，集合 ， ，则4UxN1,4A2,B（ ）UABA B C D1,231,241,3,32.(2017保定市一模)设 为复数 的共轭复数，则 （ ）zi2016zA B C D201620162016i3.（2017河南八市质检）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）fxxA 是偶函数，递增区间是 B 是偶函数，递减区间是fx0,fC 是奇函数，递增区间是 D 是奇函数，,
2、1fx,1fx递增区间是 ,4.（2017太原一模）已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，210,xyab3yx它的一个焦点坐标为 ，则双曲线方程为（ ）2,0A B C. D216xy216xy213yx213xy5.（2017咸阳市二模）如图，若在矩形 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部OABC分的概率为（ ）- 2 -A B C. D2122216.已知函数 的部分图象如图所示，且sin0,fxAx， ，则 （ ）1f0,35co26A B C. D132323237.我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有坦厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自信，小鼠日自半，
3、问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 （ ）nA B C. D4523- 3 -8.（2017海口市调研） （ ）cos104sin8iA B C. D332239.不等式组 的解集为 ，下列命题中正确的是（ ）1,24xyA ， B ， ,D,xy2xyC ， D ，xy3xy10.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一2:8FlPlQPFC个交点，若 ，则 （ ）FPQA B C. D83523211.（2017昆明市统测）设函数 ，若存在 ，使 ，lnfxa0,x0fx则 的取值范围是（ ）aA B C. D1,e1,e1,1,e12.已知
4、，则43sinsin35cos3A B C. D4545第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量 ， 的夹角为 ，则向量 与 的夹角为 1e26012e1e14.（2017东北四市一联）在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀” ；乙说：“我得了优秀” ；甲说：“丙说的是真话” 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是 15.（2017海口市调研）若 的展开式中 的系数为 ，则 102xax6x30a- 4 -16.（2017山西四校联考）在 中，角
5、、 、 所对的边分别为 、 、 ，且ABC Cabc，1cos2aBbAc当 取最大值时，角 的值为 tn三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （2017成都市二诊）已知数列 中， ，又数列 是首项为 、na12nNa2公差为 的等差数列.1（1）求数列 的通项公式 ；nan（2）求数列 的前 项和 .S18. 为迎接 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收02费标准是：滑雪时间不超过 小时免费，超过 小时的部分每小时收费标准为 元(不足 小11401时的部分按 小时计算).有1甲、乙两人相互独立地来该滑雪场
6、运动，设甲、乙不超过 小时离开的概率分别为 ， ；6小时以上且不超过 小时离开的概率分别为 ， ；两人滑雪时间都不会超过 小时.21233（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 E19. （2017邯郸模拟）如图，在四棱锥 中， 是边长为 的正三角PABCD 23形， 为棱 的中点.30CBDE- 5 -（1）求证： 平面 ；/DEPBC（2）若平面 平面 ， ，求二面角 的余弦值.A2APBCE20. （2017河南九校联考）已知椭圆 的离心率为 ，其左顶2:10xyWab32点 在圆 上.2:16Oxy（1）求椭圆
7、 的方程；W（2）若点 为椭圆 上不同于点 的点，直线 与圆 的另一个交点为 .是否存在点PAPOQ，使得 ?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.3QA21. (2017唐山市二模)设函数 .21lnxfkx（1）讨论 的单调性；fx（2）若 为正数，且存在 使得 ，求 的取值范围.k0x203fk请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）.xOyC32cos4inxy（1）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；C（2）已知 ， ，圆 上任意一点
8、 ，求 面积的最大值.2,0A,B,MxyAB23.选修 4-5：不等式选讲（1）已知 ， 都是正数，且 ，求证： ；abab32aba- 6 -（2）已知 ， ， 都是正数，求证： .abc22abcabc试卷答案一、选择题1-5：AADCA 6-10：DABBA 11、12：DD二、填空题13. 14.丙 15. 16.2326三、解答题17.解析：（1）数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，2na1 ，21na解得 .（2） .21nan 1123nS .n18.解析:（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为 ， ， 元，048两人都付 元的概率为 ，01462P两人都付 元的概率为 ，
9、423两人都付 元的概率为 ，8012114634p- 7 -则两人所付费用相同的概率为 .1231542P（2）设甲、乙所付费用之和为 ， 可能取值为 ， ， ， ， ，08016，10462P，134，5862，1206P，42的分布列为 0 40 80 120 160P124512412.80608E19. 解析：（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 、 ，ABFEDF ，/EFPB ， 为正三角形，30CDABC ，/ 平面 ， 平面 ，、 EFP、平面 平面 ，/ 平面 ，DE 平面 ./BC- 8 -（2） ，2PAB ，F平面 平面 ，交线为 ，CDAB 平面 ，且 ，1PF连接
10、 ，分别取 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，如图Bxyz所示.则点 ，3,0A， ， ， ， ，,B,2C0,3D,01P31,02E设平面 的法向量为 ，P,mxy则 ， ，0,2301B ， ，mC， 即 ，y1x,设平面 的法向量为 ，BE,3nab， ， ，3,0210 .1,n ，57cos,14mn- 9 -因此所求二面角的余弦值为 .571420.解析：（1）因为椭圆 的左顶点 在圆 上，令 ，得 ，所WA2:16Oxy0y4x以 ，又离心率为 ，所以 ，所以 ，所以 ，4a323cea3c22bac所以 的方程为 .164xy（2）设点 ， ，设直线 的方程
11、为 ，1,P2,QAP4ykx与椭圆方程联立得 21,64ykx化简得到 ，因为 为方程的一个根，2221360kxk4所以 ，所以 ，124x124x所以 .28kAP因为圆心到直线 的距离为 ，241kd所以 ，2226816AQk因为 ，1PAQP代入得到 ，222 2843114kkAPk显然 ，所以不存在直线 ，使得 .231kAP3Q21. 解析：（1） ， （ ） ，2111xkxkkfx0x- 10 -当 时， ， 在 上单调递增；0k0fxfx,当 时， ， ； ， ，,k,k0fx所以 在 上单调递减，在 上单调递增.fx,（2）因为 ，由（1）知 的最小值为 ，0k23f
12、xk2233ln2kfkk由题意得 ，即 .23ln02kk31ln02kk令 ，则 ，1l2g223g所以 在 上单调递增，又 ，k0,10所以 时， ，1gk于是 ；23ln02k时， ，于是 .1,gk23ln02kk故 的取值范围为 .k0122. 解析：（1）圆 的参数方程为 （ 为参数） ，C3cos42inxy所以普通方程为 .223x由 ， ，可得 ，化简可得圆 的极cosxsiny22cos3si4C坐标方程： .268i10（2）点 到直线 的距离为,Mxy:2ABxycos2in9d的面积 ，所以AB 12cosin92sin92 4SABd- 11 -面积的最大值为 .ABM 9223.证明：（1） ， ， ，ab0220ab ，而 ， 均为正数，22a ， ，0b22 成立.32a（2） ， ， 都是正数，c ， ， ，22abb22cab22cabc三式相加可得 ，a ，22cc .abab
