1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试( 四川卷)数学(文史类)1.(2016 四川,文 1)设 i 为虚数单位 ,则复数(1 +i)2=( )A.0 B.2 C.2i D.2+2i答案 C 由题意, (1+i)2=1+2i+i2=2i ,故选 C.2.(2016 四川,文 2)设集合 A=x|1x5,Z 为整数集,则集合 AZ 中元素的个数是( )A.6 B.5 C.4 D.3答案 B 由题意, AZ=1,2,3,4,5 ,故其中的元素个数为 5,选 B.3.(2016 四川,文 3)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是( )A.(0,2) B.(0,1)C.(2,0) D.(1,0)答案 D
2、 由题意,y 2=4x 的 焦点坐标 为(1,0),故选 D.4.(2016 四川,文 4)为了得到函数 y=sin 的图象,只需把函数 y=sin x 的图象上所有的点( )(+3)A.向左平行移动 个单位长度3B.向右平行移动 个单位长度3C.向上平行移动 个单位长度3D.向下平行移动 个单位长度3答案 A 由题意,为得到函数 y=sin ,只需把函数 y=sinx 的图象上所有点 向左平行移动 个单(+3) 3位长度,故选 A.5.(2016 四川,文 5)设 p:实数 x,y 满足 x1 且 y1,q:实数 x,y 满足 x+y2,则 p 是 q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充
3、分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 由题意,x1 且 y1,则 x+y2,而 当 x+y2 时不能得出 x1 且 y1 .故 p 是 q 的充分不必要条件,选 A.6.(2016 四川,文 6)已知 a 为函数 f(x)=x3-12x 的极小值点,则 a=( )A.-4 B.-2 C.4 D.2答案 D f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令 f(x)=0,得 x=-2 或 x=2,易得 f(x)在(- 2,2)上单调递减,在( -,-2),(2,+) 上单调递增 ,故 f(x)极小值为 f(2),由已知得 a=2,故选 D.7.(2016 四川,文 7)某公司为激
4、励创新,计划逐年加大研发资金投入 .若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年答案 B 设从 2015 年后第 n 年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元,由已知得 130(1+12%)n200, 1.12n . 200130两边取常用对数得 nlg1.12lg ,200130 n =3.8,2-1.31.120.3
5、0-0.110.05 n4,故选 B.8.(2016 四川,文 8)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为( )A.35 B.20 C.18 D.9答案 C 程序运行如下 n=3,x=2v=1,i= 20v=1 2+2=4,i=10 v=42+1=9,i=00v=9 2+ 0=18,i=-11 直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则PAB 的面积的取值范围是(
6、)A.(0,1) B.(0,2)C.(0,+) D.(1,+)答案 A 由题意得 P1,P2 分别位于两段函数的图象上 . 设 P1(x1,lnx1),P2(x2,-lnx2)(不妨设 x11,01, SPAB= |yA-yB|xP|= =1.12 211+210.5,而前 4 组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480).=则 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入 中,有 ,+= +=变形可得 sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB= sin(A+B). 在ABC 中,由 A+B+C=,有 sin(A+B)=sin(-C)=sinC,所以
7、sinAsinB=sinC.(2)由已知,b 2+c2-a2= bc,65根据余弦定理,有 cosA= .2+2-22=35所以 sinA= .1-2=45由(1),sinA sinB=sinAcosB+cosAsinB,所以 sinB= cosB+ sinB,45 45 35故 tanB= =4.19.(2016 四川,文 19)已知数列a n的首项为 1,Sn 为数列a n的前 n 项和,S n+1=qSn+1,其中 q0,nN *.(1)若 a2,a3,a2+a3 成等差数列,求数列a n的通项公式;(2)设双曲线 x2- =1 的离心率为 en,且 e2=2,求 + .22 21+22
8、 2解 (1)由 已知,S n+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式 相减得到 an+2=qan+1,n 1. 又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1,故 an+1=qan 对所有 n1 都成立 .所以,数列a n是首项为 1,公比为 q 的等比数列.从而 an=qn-1.由 a2,a3,a2+a3 成等差数列,可得 2a3=a2+a2+a3.所以 a3=2a2,故 q=2.所以 an=2n-1(n N*).(2)由(1)可知,a n=qn-1.所以双曲线 x2- =1 的离心率 en= .22 1+2=1+2(-1)由 e2= =2,解得 q= .1+2 3所以 +21+22
9、 2=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1)=n+1+q2+q2(n-1)=n+ =n+ (3n-1).2-12-1 1220.(2016 四川,文 20)已知椭圆 E: =1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个22+22顶点,点 P 在椭圆 E 上.( 3,12)(1)求椭圆 E 的方程;(2)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与12椭圆 E 交于 C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.解 (1)由已知,a=2b.又椭圆 =1(ab0)过点 P ,22+22 ( 3,12)故 =1,解
10、得 b2=1.342+142所以椭圆 E 的方程是 +y2=1.24(2)设直线 l 的方程为 y= x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),12由方程组 得 x2+2mx+2m2-2=0, 24+2=1,=12+,方程 的判别式为 =4(2-m2).由 0,即 2-m20,解得- 1 时,g(x) 0;(3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)g(x)在区间(1, +)内恒成立 .解 (1)f(x)=2ax- (x0).1=22-1当 a0 时,f (x)0 时,由 f(x)=0 有 x= .12当 x 时,f (x)0,f(x)单调递增. (12,+)(2)令 s(x)=e
11、x-1-x,则 s(x)=ex-1-1.当 x1 时,s(x) 0,所以 ex-1x,从而 g(x)= 0.1 1-1(3)由(2),当 x1 时,g( x)0.当 a0,x 1 时,f(x )=a(x2-1)-lnxg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有 a0. 当 01.12 12由(1)有 f 0,(12) (12)所以此时 f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当 a 时,令 h(x)=f(x)-g(x)(x1) .12当 x1 时, h(x)=2ax- -e1-xx- + 0. 1+12 1 121=3-2+12 2-2+12因此,h(x) 在区间(1,+)单调递增.又因为 h(1)=0,所以当 x1 时,h(x)=f(x)-g (x)0,即 f(x)g(x)恒成立.综上,a .12,+)
