1、2004 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(文史类)本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分，考试用时 120 分钟.第卷（选择题 共 60 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 柱体(棱柱、圆柱)的体积公式P（A+B）=P（A）+P（B） hVS柱 体如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 S 表示柱体的底面积，P（AB）=P（A）P（B） 表示柱体的高一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 那么下列结论正确的是 （ 1,2345,6|26,QxR）A B 包含 Q
2、 C D 真包含于 PPPPQ2 不等式 的解集为 （ 21x）A B C D )0, ),11,(),0(1,(3对任意实数 在下列命题中，真命题是 （ abc）A 是 的必要条件 B 是“ “acb的必要条件abC 是 的充分条件 D 是“c“ab“c的充分条件4若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 （ )2,1(o18053|bb）A B C D )6,3()6,3(),6()3,6(5设 P 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 、192yax 023yx1F分别是双曲线的左、右焦点。若 ，则 （ 2F3|1PF|2）A 或 B 6 C 7 D9156若函数 在区间 上的
3、最大值是最小值的 3 倍，则 =（ )0(log)(axf ,aa）A B C D42241217若过定点 且斜率为 的直线与圆 在第一象限内的部分有(1,0)Mk2250xy交点，则 的取值范围是 （ k）A B C D 50k13k05k8如图，定点 A 和 B 都在平面 内，定点 C 是 内异于 A 和 B 的动点，,PB且 那么，动点 C 在平面 内的轨迹是（ ）.PCA一条线段，但要去掉两个点 B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点 D半圆，但要去掉两个点9 函数 的反函数是 （ 13xy)0(）A B)(log3)0(log13xyC D1xy 10函数 )为增函数的区
4、间是 （ ,0)(26sin）A B C D3,0 17,65,3,6511如图，在长方体 中，DAC，分别过 BC、3,4,61DB的两个平行截面将长方体分成1A三部分，其体积分别记为 ， ,11DFAEV112DFCAEBV. 若 ，则截面 的面积为 （ CFBEV113:4:32）D1 C1A1 B1A BCDEFE1F1BA CBA B C D104381341612定义在 R 上的函数 既是偶函数又是周期函数.若 的最小正周期是 ，且当)(xf )(xf时， ，则 的值为 （ 2,xsin)35(f）A B C D121223第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小
5、题，每小题 4 分，共 16 分.答案填在题中横线上.13某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量n._n14已知向量 若 与 垂直，则实数 等于_(1,)2,3)ab2kabk15如果过两点 和 的直线与抛物线 没有交点，那么实数0A(B32xy的取值范围是_.16从 中任取 3 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被 5 整除的三位,124,5数共有_个.(用数字作答)三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17
6、（本小题满分 12 分）已知 21)4tan(I)求 的值；(II)求 的值.cos1i18 （本小题满分 12 分）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛.(I) 求所选 3 人都是男生的概率；(II)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率；(III)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率.19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 底面 ABCD，ABCDPPD，E 是 PC 的中点.D(I)证明 平面 ；(II)求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值. 20 （本小题满分 12 分）设 是一个公差为 的等差数列，它的前 10
7、项和 且 成等na(0)d10S124,a比数列.(I)证明 ；1(II)求公差 的值和数列 的通项公式.dna21 （本小题满分 12 分）AC BDPE已知函数 是 R 上的奇函数，当 时 取得极值 .3()(0)fxacd1x()f2(I)求 的单调区间和极大值；(II)证明对任意 不等式 恒成立.12,x(,)12|()|4fxf22 （本小题满分 14 分）椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 ，相应于焦点 的准线 与 轴2)0(,cFlx相交于点 A， ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点.|2|F(I) 求椭圆的方程及离心率；(II)若 求直线 PQ 的方程.,0.QP20
8、04 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题（文史类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分.1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 7.A 8.B 9.D 10.C 11.C 12.D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分.1380 14 15 16361)13,(三、解答题17本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查运算能力.满分12 分.解： (I)解： tan1t4an1t)4tan( 由 ，有21)4tan(t解得 4 分3a(II)解法一： 6 分1cos21in2cos
9、1in2i12 分65213tan解法二：由(I)， ，得31tancos31sin22cos91si6 分10cs2于是 8 分54os210 分53cosinsi 2代入得12 分65410932cos1i 18本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分 12 分.(I)解： 所选 3 人都是男生的概率为 3461.C(II)解：所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为1246.5C(III)解：所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为12146.5C19本小题考查直线直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 12 分.方法一：(
10、I)证明：连结 AC，AC 交 BD 于 O.连结 EO.底面 ABCD 是正方形， 点 O 是 AC 的中点在 中，EO 是中位线， .PACPAE而 平面 EDB 且 平面 EDB，EO所以， 平面 EDB. 3 分(II) 解： 作 交 DC 于 F.连结 BF.设正方形FDABCD 的边长为 .a底面 ABCD，P.PDC为 DC 的中点.,E底面 ABCD，BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影，故 为直线 EB 与底面 ABCDEBF所成的角.在 中，RtBCF225().a在 中，1,EPDRtEFB52tan.aBF所以 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 125.
11、分方法二(略)20本小题考查等差数列及其通项公式，等差数列前 项和公式以及等比中项等基础知识，n考查运算能力和推理论证能力。满分 12 分.(I)证明：因 成等比数列，故 124,a214a而 是等差数列，有 于是n2,3.d211()(3),dAOC BDPEF即 22113.adad化简得 (II)解：由条件 和 得到10S109,245.ad由(I)， 代入上式得 故1,5,d12()2.nan因此，数列 的通项公式为 12 分,12,3.a21本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.满分 12 分.(I) 解：由奇函
12、数定义，应有 .()(,fxfR即 330axcdacd因此， (),fx23.xc由条件 为 的极值，必有 故(1)f()fx(1)0,f230ac解得 1,.因此， 32(), (1),1)0.fxxff当 时， ，故 在单调区间 上是增函数.(,x()f(,1)当 时， ，故 在单调区间 上是减函数.)fxx当 时， ，故 在单调区间 上是增函数.(1,)x()0fx()fx(1,)所以， 在 处取得极大值，极大值为f2f(II)解：由(I)知， 是减函数，且3()(1,)fxx在 上的最大值()fx1,Mf在 上的最小值()2.m所以，对任意 恒有12,(,x|()|()4.ff22本
13、小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 满分 14 分.(I)解：由题意，可设椭圆的方程为 ).2(12ayx由已知得2,().ac解得 6,2.ac所以椭圆的方程为 ，离心率 4 分1xy6.3e(II)解： 由(I)可得 (3,0).A设直线 PQ 的方程为 由方程组().ykx216(3)xyk得 2228760.xk依题意 得1()0,6.3k设 则12(,)(,)PxyQ128,3k1276xk由直线 PQ 的方程得 于是12(3),(3).ykxykx221121(3)9ykx .0,021 yOQP由得 从而25,k56(,).3所以直线 PQ 的方程为或 14 分30xy0.xy
