1、第 1 页2012 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，考试时间 120 分钟满分 150 分第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1复数 等于（ ）2()iA B C D344i32i52i2已知集合 ， ，下列结论成立的是（ ）1,3M2,NA B C DNMNMN3已知向量 ， ，则 的充要条件是（ ）(,2)xa(,1)babA B C D1x5x0x4一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个
2、几何体不可以是（ ）A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 5已知双曲线 的右焦点为 ，则该双曲线的离心率等于（ ）215xya(3,0)A B C D 3142432436阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出 s 值等于（ ）A B C D07直线 与圆 相交于 ， 两点，则弦 的长度等于（ 32xy2xyABA）A B . C D1538函数 的图像的一条对称轴是（ ）()sin)4fxA B C D 24x2x9设 ，则 的值为（ ）1,0(),xf为 无 理 数为 有 理 数g,1)( ()fgA1 B0 C D110若直线 上存在点 满足约束条件 则实数 的最大值为（ ）2yx(,
3、)y30,2,xymA B1 C D2111数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 等于（ ）nacos2nannS201A1006 B2012 C503 D0开 始k=1,sk4 ?s =2-k是k +1输 出 s否结 束第 2 页12已 ， ，且 现给出如下结论：32()69fxxabc()()0fabfc ； ； ； 01(0)1f 033f其中正确结论的序号是（ ）A B C D第卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题 ：本大题共 4 小题， 每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题卡相应位置13在 中，已知 ， ， ，则 _ABC60A5BC3AC14一支田径队有男女运动员 98
4、 人，其中男运动员有 56 人按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取女运动员人数是_15已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是_x2axRa16某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图 1，则最优设计方案如图 2，此时铺设道路的最小总费用为 10现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3，则铺设道路的最小总费用为_三、解答题 ：本
5、大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17(本小题满分 12 分) 在等差数列 和等比数列 中， ， ， 的前 10 项和 nanb1a48bna105S（I）求 和 ；nab（II）现分别从 和 前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率n18(本小题满分 12 分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价 （元）x8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量 （件）y90 84 83 80 75 68（I）求回归直线方程 ，其中 ， ；ba20aybx（II）预计在今后的销售中
6、，销量与单价仍然服从（I ）中的关系，且该产品的成本是 4 元/ 件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润 销售收入 成本）19(本小题满分 12 分) 如图，在长方体 中， ， 1ADCB,1A2上 的 一 点为 棱 1DM（I）求三棱锥 的体积；1MCA（II）当 取得最小值时，求证： 1 M平 面1第 3 页20(本小题满分 12 分) 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：（1） ；22sin3cos17in3cos17（2） ；55（3） ；22si8csi8cs2（4） ；n(1)o4n(1)o48（5） 22si5csi5cs（I）试从
7、上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据（I）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论21(本小题满分 12 分) 如图，等边三角形 的边长为 ，且其三个顶点均在抛物线 ： （ ）OAB83E2xpy0上（I）求抛物线 的方程；E（II）设动直线 与抛物线 相切于点 ，与直线 相 交于点 证明以 为直径的圆恒过 轴上某定lP1yQPy点22(本小题满分 14 分) 已知函数 （ ） ，且在 上的最大值为 3()sin2fxaRa0,232（I）求函数 的解析式；(fx（II）判断函数 在 内的零点个数，并加以证明)(0,第 4 页2012 年普通高等学校招生全国统一
8、考试（福建卷）数学（文史类） （参考答案）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。1考点：复数代数形式的乘除运算。 专题：计算题。 难度：易。分析：直接根据复数的乘法的运算法则，以及 i2=1 可求出所求解答：（2+i） 2=4+4i+i2=3+4i 故选 A点评：本题主要考查了复数代数形式的乘法运算，解题的关键利用 i2=1，属于容易题2考点：集合的包含关系判断及应用。 专题：计算题。 难度：易。分析：由 M=1，2，3，4，N= 2，2 ，则可知，2N，但是2 M，则 N M，MN=1，2，3，4，2M， MN=2 N，从而可判断解答：由 M=1，2，3，4，N=
9、2，2 ，可知2N ，但是 2 M，则 NM，故 A 错误。MN=1， 2，3，4， 2M，故 B 错误。MN=2 N，故 C 错误，D 正确。故选 D点评：本题主要考查了集合的包含关系的判断，解题的关键是熟练掌握集合的基本运算3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系。 专题：计算题。难度：易。分析：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出 x 的值即可解答：因为向量 =（x 1，2） ， =（2，1） ， ，所以 2（x1）+2=0，解得 x=0故选 D点评：本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力4考点：由三视图还原实物图。 专题：作
10、图题。 难度：易。分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的的正视图（主视图） 、侧视图（左视图）和俯视图均为圆，且大小均等；三棱锥的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱。故选 D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题5考点：双曲线的简单性质。 专题：计算题。 难度：易。分析：根据双曲线 =1 的右焦点为（3，0） ，可得 a=2，进而可
11、求双曲线的离心率解答：双曲线 =1 的右焦点为（3，0） ，a 2+5=9 a 2=4 a=2 c=3 故选 C点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，正确运用几何量之间的关系是关键6考点：循环结构。 专题：计算题。 难度：中。分析：通过循环，计算 s，k 的值，当 k=4 时退出循环，输出结果即可解答： k=1，满足判断框，第 1 次循环，s=1，k=2 ，第 2 次判断后循环，s=0，k=3 ，第 3 次判断并循环s=3，k=4，第 3 次判断退出循环，输出 S=3，结束。故选 A点评：本题考查循环结构，注意循环条件的判断，循环计算的结果，考查计算能力7考点：直线与圆相交的性
12、质。 专题：计算题。 难度：中。第 5 页分析：由直线与圆相交的性质可知， ，要求 AB，只要先求圆心（0，0）到直线 x+ 2=0 的距离 d，即可求解。 2drl解答：图形如图所示，圆心为 )0,(，半径为 2，圆心到直线的距离，所以圆心（0，0）到直线 x+ 2=0 的距离 1)3(|20|d 由直线与圆相交的性质可知，即 。 故选 B点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，解题的关键是公式 的应用8考点：正弦函数的对称性。 专题：计算题。 难度：中。分析：将内层函数 x 看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数 f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果解答：由题意，令 x =k
13、+ ，kz，得 x=k+ ， kz 是函数 f（x）=sin （x ）的图象对称轴方程令 k=1，得 x= 故选 C点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角复合函数对称轴的求法，整体代入的思想方法，属基础题9考点：函数的值。 专题：计算题。 难度：中。分析：根据 是无理数可求出 g（）的值，然后根据分段函数 f（x）的解析式可求出 f（g（ ） ）的值解答： 是无理数 g（）=0 则 f（g（） ）=f（0）=0 ，故选 B点评：本题主要考查了分段函数的求值，解题的关键判定 是否为有理数，属于基础题10考点：简单线性规划的应用。 专题：计算题；数形结合。 难度：中。分析：根据 ，确定交点
14、坐标为（1，2）要使直线 y=2x 上存在点（x，y）满足约束条件，则 m1，由此可得结论解答：由题意， ，可求得交点坐标为（1，2）要使直线 y=2x 上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示则 m23可得 m1，实数 m 的最大值为 1，故选 B点评：本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题11考点：数列的求和。 专题：计算题。 难度：中。分析：由于 an=ncos ，a 1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=2，则四项结合的和为定值，可求解答：a n=ncos ，又f（n）=cos 是以 T= 为周期的周期函数a 1+a2+a3+a4=（02+0+4）= 2，a
15、 5+a6+a7+a8=（06+0+8）=2，第 6 页a2009+a2010+a2011+a2012=（02010+0+2012）=2 ，S 2012=a1+a2+a3+a4+a2012=（02+0+4 ）+（06+0+8 ）+（02010+0+2012 ）=2503=1006。故选 A点评：本题主要考查了由数列的通项求解数列的和，解题的关键是由通项发现四项结合为定值的规律12考点：利用导数研究函数的单调性。 专题：综合题。 难度：难。分析：根据 f（x）=x 36x2+9xabc，abc，且 f（a）=f （b）=f（c）=0，确定函数的极值点及 a、b、c 的大小关系，由此可得结论解答：
16、求导函数可得 f（x） =3x212x+9=3（x1） （x 3） abc，且 f（a）=f（b）=f（c ）=0 a1b3c 。 设 f（x）=（xa） （x b） （xc）=x 3（a+b+c）x 2+（ab+ac+bc ）x abcf（x）=x 36x2+9xabc，a+b+c=6，ab+ac+bc=9 b+c=6abc=9 a（6 a） a 24a0 0a4 0a1b3cf（0）0，f（1）0，f （3）0 f （0）f（1）0，f（0）f（3）0 故选 C或： f（x）导数和函数图像如下：由图 04961)( abcf ， 02754)3( abcf ，且 030fabcf ，所以
17、。()1,0f点评：本题考查函数的零点、极值点，考查解不等式，综合性强，确定 a、b、c 的大小关系是关键二、填空题 ：本大题共 4 小题， 每小题 4 分，共 16 分13考点：正弦定理。 专题：计算题。 难度：易。分析：结合已知两角一对边，要求 B 的对边，可利用正弦定理 ，进行求解。解答：BAC=60，ABC=45，BC= 由正弦定理可得 ，可得 AC= = =故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，掌握正弦定理及其使用的范围是求解的关键14考点：分层抽样方法。 专题：计算题。 难度：易。分析：根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率
18、，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到结果解答：田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人，这支田径队有女运动员 9856=42 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 28 的样本，每个个体被抽到的概率是 =田径队有女运动员 42 人，女运动员要抽取 42 =12 人，故答案为：12点评：本题主要考查了分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，属于基础题15考点：一元二次不等式的应用。 专题：计算题。 难度：易。分析：将关于 x 的不等式 x2ax+2a0 在 R 上恒成立，转化成0，从而得到关于 a 的不等式，求得 a
19、的范围第 7 页解答：因为不等式 x2ax+2a0 在 R 上恒成立=（a） 28a0，解得 0a8。故答案为：（0，8）点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题16考点：统筹方法在实际中的应用。 专题：阅读型。 难度：中。分析：确定铺设道路的总费用最小时的线路为：A EFGD，从 G 分叉，GCB，即可求得铺设道路的最小总费用解答：由题意，铺设道路的总费用最小时的线路为：A EFGD，从 G 分叉，GCB 总费用为2+3+1+2+3+5=16。连接方法如下：（1） 连接 GF,，此时联通两个城市 ,，费用为 1；（2） 再连接 D，此时联
20、通三个城市 ，费用为 32；（3） 再连接 C，此时联通四个城市 C,，费用为 6；（4） 再连接 A,，此时联通五个城市 A，费用为 9；（5） 再连接 B，此时联通六个城市 BF，费用为 145；（6） 再连接 E，此时联通七个城市 EDG,，费用为 621。所以铺设道路的最小总费用为 16。故答案为：16点评：本题考查统筹方法在实际中的应用，考查学生阅读能力，属于基础题三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17 （本小题满分 12 分）考点：等差数列与等比数列的综合；列举法计算基本事件数及事件发生的概率。730953 专题：计算题；转化思想
21、。 难度：易。分析：（）先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；（）先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论解答：（）设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为 q则 10 145()Sadn，34 1822nbqbq，得： 1,2nb（） 1213,4，各随机抽取一项写出相应的基本事件有()()()(),()共 9个符合题意有 (,)共 2个这两项的值相等的概率为 9点评：本题主要考察等差数列等比数列，古典概型等基础知识，考察运算能力，化归与转化思想是对基础知识的综合考察，属于中档题目18 （本小题满分 12 分）考点：回归分析的初步应用；线性回归方程。7
22、30953 专题：计算题。 难度：易。分析：（I）计算平均数，利用 b=20，a= b ，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为 L 元，利用利润=销售收入成本，利用配方法可求工厂获得的利润最大解答：（I） 1(8.248.69)8.56x， 1(9084307568)06y0202ay x（II）工厂获得利润 ()3zxyx= ，当 34x时，2.14-max361.25z（元） 该产品的单价应定为 8.25 元时，工厂获得的利润最大点评：本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题19 （本小题满分 12 分）考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台
23、的体积。730953 专题：计算题；证明题。 难度：中。分析：（I）由题意可知，A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1，易求 =1，从而可求 ；（II）将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90展开，与侧面 ADD1A1 共面，当 B1MAM，问题得到解决第 8 页2003sinco(3)sinco()4解答：（I）由长方体 ABCDA1B1C1D1 知，AD平面 CDD1C1， 点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1，又 = CC1CD= 21=1， = AD = （II）将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90展开，与侧面 ADD1A1 共面，当 A1，M
24、，C 共线时，A 1M+MC 取得最小值 由 AD=CD=1，AA 1=2，得 M 为 DD1 的中点连接 C1M，在 C 1MC 中，C 1M= ，MC= ，C 1C=2， = +MC2，得CMC 1=90，即 CMC 1M，又 B1C1平面 CDD1C1，B 1C1CM，又 B1C1C 1M=C1，CM平面B1C1M，CMB 1M，同理可证，B 1MAM，又 AMMC=M ，B 1M平面 MAC点评：本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题20 （本小题满分 12 分）考点：分析法
25、和综合法；归纳推理。730953 专题：计算题。 难度：中。分析：（）选择（2） ，由 sin215+cos215sin15cos15=1 sin30= ，可得这个常数的值（）推广，得到三角恒等式 sin2+cos2（30 ）sincos（30 ）= 证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 + sin（cos30cos +sin30sin） ，即 1 + cos2+ sin2 sin2 ，化简可得结果解答：（I）选择（2） ，计算如下： sin215+cos215sin15cos15=1 sin30= ，故这个
26、常数为 （）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式（方法一）sin 2+cos2（30 ）sin cos（30 ）=sin 2+ sin（cos30cos +sin30sin）=sin2+ cos2+ sin2+ sincos sincos sin2= sin2+ cos2= （方法二）sin 2+cos2（30 ）sin cos（30 ）= + sin（cos30cos +sin30sin）=1 + （cos60cos2+sin60sin2） sin2 sin2=1 + cos2+ sin2 sin2 =1 + = 点评： 本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的
27、应用，考查归纳推理以及计算能力。21 （本小题满分 12 分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程。730953 专题：综合题。 难度：难。分析：（I）依题意，|OB|=8 ，BOy=30，从而可得 B（4 ，12） ，利用 B 在 x2=2py（p0）上，可求抛物线 E 的方程；（II）由（I）知， ， ，设 P（x 0，y 0） ，可得 l： ，与 y=1 联立，求得取 x0=2，x 0=1，猜想满足条件的点 M 存在，再进行证明即可解答：（I）依题意，|OB|=8 ，BOy=30，设 B（x，y） ，则 x=|OB|sin30=4 ，y=|OB|cos30=12第 9 页B（
28、4 ，12）在 x2=2py（p0）上， p=2，抛物线 E 的方程为x2=4y；（II）由（I）知， ， 设 P（x 0，y 0） ，则 x00l ： 即由 得 ，取 x0=2，此时 P（2，1） ，Q（0，1） ，以 PQ 为直径的圆为（ x1） 2+y2=2，交 y 轴于点 M1（0，1）或 M2（0， 1） ，取 x0=1，此时 P（1， ） ，Q （ ，1） ，以 PQ 为直径的圆为（x ） 2+（y+ ） 2=2，交 y 轴于点 M3（0，1）或 M4（ 0， ）故若满足条件的点 M 存在，只能是M（0，1） ，证明如下 =2y022y0+2=0，故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴
29、上的定点 M（0，1） 点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题22 （本小题满分 14 分）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点；利用导数研究函数的极值。730953 专题：综合题；转化思想。 难度：难。分析：（I）由题意，可借助导数研究函数 ，在 上的单调性，确定出最值，令最值等于 ，即可得到关于 a 的方程，由于 a 的符号对函数的最值有影响，故可以对a 的取值范围进行讨论，分类求解；（II）借助导数研究函数 f（ x）在（0，）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数解答：（I）由已知得 f（x）=a（
30、sinx+xcosx） ，对于任意的 x（0， ） ，有 sinx+xcosx0，当 a=0 时，f（x）= ，不合题意；当 a0 时，x（0， ） ，f（ x）0，从而 f（x）在（0， ）单调递减，又函数 在 上图象是连续不断的，故函数在 上的最大值为 f（0）= ，不合题意；当 a0 时，x（0， ） ，f（x）0，从而 f（x）在（0， ）单调递增，又函数 在 上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为 f（ ）= = ，解得 a=1，综上所述，得（II）函数 f（ x）在（0，）内有且仅有两个零点证明如下：由（I）知， ，从而有 f（0）= 0，f（ ）= 0，又函数在 上图象是连续不
31、断的，所以函数 f（x）在（0， ）内至少存在一个零点，第 10 页又由（I）知 f（x）在（0， ）单调递增，故函数 f（x）在（0， ）内仅有一个零点当 x ， 时，令 g（x）=f（x）=sinx+xcosx，由 g（ ）=10，g（ ）= 0，且 g（x）在 ，上的图象是连续不断的，故存在 m（ ，） ，使得 g（m）=0由 g（x）=2cosxxsinx ，知 x（ ，）时，有 g（x）0，从而 g（x）在 ，上单调递减当 x（ ，m） ，g（x） g（m ）=0，即 f（x）0，从而 f（x）在（ ，m）内单调递增故当 x（ ，m）时，f（x）f（ ）= 0，从而（x）在（ ，m）内无零点；当 x（m，）时，有 g（x ）g（m）=0，即 f（x）0，从而 f（x）在（ ，m ）内单调递减又 f（m）0，f（ ）0 且 f（x）在m， 上的图象是连续不断的，从而 f（x）在m，内有且仅有一个零点 综上所述，函数 f（x）在（0，）内有且仅有两个零点点评：本题考查利用导数研究函数的最值，研究函数的单调性，及函数零点的判定定理，解题的关键是利用导数这个工具研究清楚函数的单调性，本题考察了转化的思想方法及判断推理的能力，是高考中常见的题型，必考题，学习时要悉心掌握此类题的解题规律
