1、使用完全平方公式分解因式“三注意”课本中介绍了两个完全平方公式，分别是和的完全平方公式 a2+2ab+b2 = (a+b)2，以及差的完全平方公式 a2-2ab+b2 = (a-b)2. 在学习这两个公式要注意那些问题呢？一、弄清公式的基本结构形式能够使用完全平方公式进行因式分解的多项式必须包含三部分.为了能够清楚地观察到多项式的特征，通常先将多项式按照某一字母进行将幂排列.排列后的多项式中，前后两部分是 a、b（a、b 可以是单项式，也可以是多项式）的平方形式，这两部分前面的符号必须一致；中间部分是 a、b 的乘积的 2倍，它前面的符号与前后两部分的符号可以相同，也可以不同.如果相同，则能够
2、使用和的完全平方公式进行因式分解；如果不同，则能够使用差的完全平方公式进行因式分解.例 1：因式分解 30mn-9m 2-25n2.分析：这个多项式包括三项，把它按照字母 m进行将幂排列，得-9m 2+30mn-25n2.其中 9m2 = (3m)2，25n 2= (5n)2，它们的前面都是“-”号，符号相同；中间一项30mn=23m5n，它前面的符号为“+”号，与与前后两部分的符号不同.所以使用差的完全平方公式进行因式分解.为了能够使其特征更加突出，通常对含有“-”号较多的多项式提出“-”号，相当于提出“-1”，则有原式=-9m 2+30mn-25n2= - (9m2-30mn+25n2)
3、= - (3m) 2 -23m5n+(5n)2= - (3m-5n)2.二、明确各个公式之间的相互关系若以和的完全平方公式 a2+2ab+b2 = (a+b)2为原型，当把 b改为- b 时，公式变为：a2+2a(-b)+(-b)2 = a+(-b)2 = (a-b)2.即 a2-2ab+b2 = (a-b)2.此即差的完全平方公式.在这些变形中，我们能很好的认识到事物在特定条件下可以相互转化的辩证关系，从而把不同的知识内容统一起来. 例 2：多项式 4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是 （填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）.分析：根据
4、完全平方公式 a22ab+b2 = (ab)2的特点，若 4x2+1表示了 a2+b2的话，则有a=2x，b=1，所以，缺少的一项为2ab=2（2x）1=4x，此时，4 x2+14x=(2x1)2；如果认为 4x2+1表示了 2ab+b2的话，则有 a=2x2，b=1，所以，缺少的一项为 a2=（2x）2= 4x4，此时，4x 4+4x2+1=(2x2+1)2.从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式. 注意到 4x2=(2x)2，1=1 2，所以，保留二项式 4x2+1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是-
5、1 或者 - 4x 2，此时有 4x2+1-1=4x2=(2x)2，或者 4x2+1-4x2=12. 综上分析，可知所加上的单项式可以是4x、4x 4、-1 或者 - 4x 2.三、正确合理地使用完全平方公式一般说来，对于一个多项式进行因式分解，首先要考虑提公因式法，即使学习了其他方法（比如运用公式法），提公因式法仍然具有“优选使用权”.这是因为提公因式后，能够使多项式所具备的公式特征更加明显，而且使后续解答更加简洁，减少出现错误的几率.例 3：分解因式 - ab 2 - a2b - b3.分析：这个多项式的所有各项中含有公因式，所以先提取公因式.由于原多项式中所含“-”号较多，所以可以提出“-”号；另外提出分数系数，使分数系数转化为整数.原式= - b (6ab+9a 2+b2) = - b (9a2+6ab+b2) = - b (3a+b)2 .使用完全平方公式进行因式分解，除了与提公因式法结合使用外，各种不同的公式之间也是经常组合出现的.解题时一定要把多项式分解彻底.例 4：分解因式 x5 8x3y4 + 16xy8.分析：先提出公因式，再进一步分析特征，合理选用公式.原式= x 5 8x3y4 + 16xy8= x (x4 8x2y4 + 16y8)= x (x2 4 y4)2= x (x+2y2) 2 (x-2y2) 2.
