2017届高考数学一轮复习 第五章 数列 理（课件+习题）（打包8套）.zip

1第五章 数列 5.1 数列的概念与表示练习 理[A 组·基础达标练]1．[2015·三亚一模]在数列 1,2， ， ， ，…中，2 是这个数列的第________7 10 13 19项( )A．16 B．24C．26 D．28答案 C解析 设题中数列为{ an}，则a1＝1＝ ， a2＝2＝ ， a3＝ ， a4＝ ， a5＝ ，…，所以 an＝ .令1 4 7 10 13 3n－ 2＝ 2 ＝ ，解得 n＝26.故选 C.3n－ 2 19 762．设 an＝－3 n2＋15 n－18，则数列{ an}中的最大项的值是( )A. B.163 133C．4 D．0答案 D解析 an＝－3 2＋ ，(n－52) 34由二次函数性质，得当 n＝2 或 n＝3 时， an取最大值，最大值为 a2＝ a3＝0.故选 D.3．对于数列{ an}， a1＝4， an＋1 ＝ f(an)，依照下表则 a2015等于( )x 1 2 3 4 5f(x) 5 4 3 1 2A.2 B．3C．4 D．5答案 D解析 由题意 a2＝ f(a1)＝ f(4)＝1， a3＝ f(a2)＝ f(1)＝5，a4＝ f(a3)＝ f(5)＝2， a5＝ f(a4)＝ f(2)＝4， a6＝ f(a5)＝ f(4)＝1.则数列{ an}的项周期性出现，其周期为 4， a2015＝ a4×503＋3 ＝ a3＝5.故选 D.4．已知数列{ an}满足 a1＝1， an＋1 ＝Error!则其前 6 项之和为( )A．16 B．20C．33 D．120答案 C解析 a2＝2 a1＝2， a3＝ a2＋1＝3， a4＝2 a3＝6， a5＝ a4＋1＝7， a6＝2 a5＝14，所以前 6项和 S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选 C.5．已知数列{ an}的通项公式为 an＝ n2－2 λn (n∈N *)，则“ λ 0，即 2n＋12 λ 对任意的 n∈N *都成立，于是有 32λ ， λ 0， a80， an0，解得 n6 或 n6(n∈N *)时， an0.令 n2－ n－300，且 a≠1)，若数列{ an}满足 an＝ f(n)(n∈N *)，且{ an}是递增数列，则实数 a 的取值范围是( )A．(0,1) B.[83， 3)C．(2,3) D．(1,3)答案 C解析 因为{ an}是递增数列，所以Error!解得 21，两式相减可得， ＝2 n＋5－2( n－1)－5＝2，an2n∴ an＝2 n＋1 ， n1， n∈N *.当 n＝1 时， ＝7，∴ a1＝14，a12综上可知，数列{ an}的通项公式为：an＝Error! 故选 B.3．[2016·湖北八校联考]设数列{ an}共有 n 项( n≥3，且 n∈N *)，且 a1＝ an＝1，对于每个 i(1≤ i≤ n－1)均有 ∈ .ai＋ 1ai {13， 1， 3}(1)若 n＝3，则满足条件的所有数列{ an}的个数为________；(2)若 n＝10，则满足条件的所有数列{ an}的个数为________．答案 (1)3 (2)3139解析 (1)因为 ∈ ， ∈ ， a1＝ a3＝1，所以 a2∈ ， ∈a2a1 {13， 1， 3} a3a2 {13， 1， 3} {13， 1， 3} 1a2，所以 a2＝ 或 a2＝ 1 或 a2＝3.{13， 1， 3} 13所以满足条件的所有数列{ an}的个数为 3.(2)令 bi＝ (1≤ i≤9)，则 b1·b2·…·b9＝ · ·…· ＝ ＝1，且 bi∈ai＋ 1ai a2a1 a3a2 a10a9 a10a1(1≤ i≤9)．{13， 1， 3}易知符合上述条件的项数为 9 的数列{ bn}可唯一确定一个符合条件的项数为 10 的数列{an}．记符合条件的数列{ bn}的个数为 N，显然 b1， b2，…， b9中有 k 个 3， k 个 ，9－2 k 个 1.13当 k 给定时，{ bn}的取法有 C C 种，又易得 k 的所有可能值为 0,1,2,3,4k9 k9－ k故 N＝1＋C C ＋C C ＋C C ＋C C ＝3139.1918 2927 3936 4945所以满足条件的所有数列{ an}的个数为 3139.4．[2015·太原模拟]设数列{ an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝ a， an＋1 ＝ Sn＋3 n， n∈N *.(1)记 bn＝ Sn－3 n，求数列{ bn}的通项公式；(2)若 an＋1 ≥ an， n∈N *，求 a 的取值范围．解 (1)依题意得 Sn＋1 － Sn＝ an＋1 ＝ Sn＋3 n，即 Sn＋1 ＝2 Sn＋3 n，由此得 Sn＋1 －3 n＋1 ＝2( Sn－3 n)，即 bn＋1 ＝2 bn，当 b1＝ a1－3＝ a－3 时 bn＝0，当 b1＝ a－3≠0 时 ＝2，bn＋ 1bn6∴数列{ bn}是首项为 b1＝ a－3，公比为 2 的等比数列．因此，{ bn}的通项公式为bn＝( a－3)2 n－1 ， n∈N *.(2)由(1)知 Sn＝3 n＋( a－3)2 n－1 ， n∈N *，于是，当 n≥2 时，an＝ Sn－ Sn－1＝3 n＋( a－3)×2 n－1 －3 n－1 －( a－3)×2 n－2＝2×3 n－1 ＋( a－3)2 n－2 ，an＋1 － an＝4×3 n－1 ＋( a－3)2 n－2＝2 n－2 ，[12·(32)n－ 2＋ a－ 3]∵ an＋1 ≥ an，∴12· n－2 ＋ a－3≥0，(32)∴ a≥－9.又 a2＝ a1＋3 a1，∴ a 的取值范围是[－9，＋∞)．1第五章 数列 5.2 等差数列及其前 n项和练习 理[A组·基础达标练]1．[2016·陕西八校联考]在等差数列{ an}中， a1＝0，公差 d≠0，若am＝ a1＋ a2＋…＋ a9，则 m的值为( )A．37 B．36C．20 D．19答案 A解析 am＝ a1＋ a2＋…＋ a9＝9 a1＋ d＝36 d＝ a37，9×82∴ m＝37.故选 A.2．等差数列{ an}中， a1＋ a5＝10， a4＝7，则数列{ an}的公差为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析 ∵ a1＋ a5＝2 a3＝10，∴ a3＝5，又∵ a4＝7，∴ d＝2.故选 B.3．[2015·北京高考]设{ an}是等差数列，下列结论中正确的是( )A．若 a1＋ a20，则 a2＋ a30B．若 a1＋ a3 a1a3D．若 a10答案 C解析 因为{ an}为等差数列，所以 2a2＝ a1＋ a3.当 a2a10时，得公差d0，∴ a30，∴ a1＋ a32 ，∴2 a22 ，即 a2 ，故选 C.a1a3 a1a3 a1a34．[2016·兰州诊断]已知等差数列{ an}的前 n项和为 Sn，若 a4＝18－ a5，则 S8＝( )A．18 B．36C．54 D．72答案 D解析 由题意，得 a4＋ a5＝18，所以 S8＝ ＝ ＝ ＝72，8 a1＋ a82 8 a4＋ a52 8×182故选 D.5．[2016·郑州一检]已知数列{ an}是等差数列，其前 n项和为 Sn，若 a1a2a3＝10，且＝ ，则 a2＝( )5S1S5 15A．2 B．3C．4 D．5答案 A解析 依题意得 ＝ ， a1a3＝5， a2＝ ＝2，选 A.55a1a3 15 10a1a36．[2015·浙江高考]已知{ an}是等差数列，公差 d不为零，前 n项和是 Sn.若2a3， a4， a8成等比数列，则( )A． a1d0， dS40 B． a1d0， dS40答案 B解析 由 a ＝ a3a8，得( a1＋2 d)(a1＋7 d)＝( a1＋3 d)2，整理得 d(5d＋3 a1)＝0，又24d≠0，∴ a1＝－ d，则 a1d＝－ d21时，Sn＋1 ＋ Sn－1 ＝2( Sn＋ S1)都成立，则 S15＝________.答案 211解析 由 Sn＋1 ＋ Sn－1 ＝2( Sn＋ S1)得( Sn＋1 － Sn)－( Sn－ Sn－1 )＝2 S1＝2，即an＋1 － an＝2( n≥2)，所以数列{ an}从第二项起构成等差数列，则3S15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.11．[2016·浙江名校联考]已知{ an}是一个公差大于 0的等差数列，且满足a3a6＝55， a2＋ a7＝16.(1)求数列{ an}的通项公式；(2)若数列{ bn}满足： b1＝ a1且 bn＝ an＋ bn－1 (n≥2， n∈N *)，求数列{ bn}的通项公式．解 (1)由题意得：Error!.∵公差 d0，∴Error!，∴ d＝2， an＝2 n－1.(2)∵ bn＝ an＋ bn－1 (n≥2， n∈N *)，∴ bn－ bn－1 ＝2 n－1( n≥2， n∈N *)．∵ bn＝( bn－ bn－1 )＋( bn－1 － bn－2 )＋…＋( b2－ b1)＋ b1(n≥2， n∈N *)，且 b1＝ a1＝1，∴ bn＝2 n－1＋2 n－3＋…＋3＋1＝ n2(n≥2， n∈N *)．∴ bn＝ n2(n∈N *)．12．[2015·临沂模拟]已知在数列{ an}中， a1＝1，当 n≥2 时，其前 n项和 Sn满足S ＝ an .2n (Sn－12)(1)求 Sn的表达式；(2)设 bn＝ ，数列{ bn}的前 n项和为 Tn，证明： Tn 成立，求正1an m20整数 m的最大值．解 (1)证明：因为 an＋1 ＝ ，12－ an5所以 ＝ ＝ ＝－1＋ ，1an＋ 1－ 1 112－ an－ 1 2－ anan－ 1 1an－ 1即 － ＝－1，1an＋ 1－ 1 1an－ 1所以 是首项为－2，公差为－1 的等差数列，所以 ＝－2＋( n－1)×(－1){1an－ 1} 1an－ 1＝－( n＋1)，所以 an＝ .nn＋ 1(2)bn＝ －1＝ ，n＋ 1n 1n令 Cn＝ B3n－ Bn＝ ＋ ＋…＋ ，1n＋ 1 1n＋ 2 13n所以Cn＋1 － Cn＝ ＋ ＋…＋ － －…－ ＝－ ＋ ＋ ＋1n＋ 2 1n＋ 3 13 n＋ 1 1n＋ 1 13n 1n＋ 1 13n＋ 2 13n＋ 3 13n＋ 1＝ － ＋13n＋ 2 23n＋ 3 13n＋ 1 － ＝0，23n＋ 3 23n＋ 3所以 Cn＋1 － Cn0，所以{ Cn}为单调递增数列，所以( B3n－ Bn)min＝ B6－ B2＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ，13 14 15 16 1920所以 ，所以 m19.m201920又 m∈N *，所以 m的最大值为 18.1第五章 数列 5.3 等比数列及其前 n项和练习 理[A组·基础达标练]1．[2016·邢台摸底]已知数列{ an}为等比数列， a5＝1， a9＝81，则 a7＝( )A．9 或－9 B．9C．27 或－27 D．27答案 B解析 依题意得 a ＝ a5·a9＝81，又注意到 ＝ q20(其中 q为公比)，因此 a5， a7的符27a7a5号相同，故 a7＝9，选 B.2．[2015·唐山期末]设 Sn是等比数列{ an}的前 n项和，若 ＝3，则 ＝( )S4S2 S6S4A．2 B.73C. D．1 或 2310答案 B解析 设 S2＝ k， S4＝3 k，由数列{ an}为等比数列，得 S2， S4－ S2， S6－ S4为等比数列，∴ S2＝ k， S4－ S2＝2 k， S6－ S4＝4 k，∴ S6＝7 k， S4＝3 k，∴ ＝ ＝ ，故选 B.S6S4 7k3k 733．[2014·重庆高考]对任意等比数列{ an}，下列说法一定正确的是( )A． a1， a3， a9成等比数列 B． a2， a3， a6成等比数列C． a2， a4， a8成等比数列 D． a3， a6， a9成等比数列答案 D解析 不妨设公比为 q，则 a ＝ a q4， a1·a9＝ a q8， a2·a6＝ a ·q6，当 q≠±1 时，23 21 21 21A、B 均不正确；又 a ＝ a q6， a2·a8＝ a q8，同理，C 不正确；由24 21 21a ＝ a q10， a3·a9＝ a q10，知 D正确．26 21 214．[2015·太原一模]在单调递减的等比数列{ an}中，若 a3＝1， a2＋ a4＝ ，则 a1＝( )52A．2 B．4C. D．22 2答案 B解析 在等比数列{ an}中， a2a4＝ a ＝1，又 a2＋ a4＝ ，数列{ an}为递减数列，设其公2352比为 q，∴ a2＝2， a4＝ ，∴ q2＝ ＝ ，∴ q＝ ， a1＝ ＝4.12 a4a2 14 12 a2q5．[2015·洛阳模拟]已知{ an}为等比数列， a4＋ a7＝2， a5a6＝－8，则 a1＋ a10＝( )A．7 B．5C．－5 D．－7答案 D解析 列出方程组Error!即Error!即Error!2① 2÷②得 ＝－ ， 1＋ q3 2q3 12解得 q3＝－2 或 q3＝－ .12当 q3＝－2 时， a1＝1， a10＝－8，则 a1＋ a10＝－7；当 q3＝－ 时， a1＝－8， a10＝1，12则 a1＋ a10＝－7.6．[2016·南昌调研]已知等比数列{ an}的前 n项和为 Sn，则下列说法中一定成立的是( )A．若 a30，则 a20150，则 a20140，则 S20150 D．若 a40，则 S20140答案 C解析 等比数列{ an}的公比 q≠0.对于 A，若 a30，则 a1q20，所以 a10，所以a2015＝ a1q20140，所以 A不正确；对于 B，若 a40，则 a1q30，所以 a1q0，所以a2014＝ a1q20130，所以 B不正确；对于 C，若 a30，则 a1＝ 0，所以当 q＝1 时， S20150，a3q2当 q≠1 时， S2015＝ 0(1－ q与 1－ q2015同号)，所以 C正确，同理可知 D错a1 1－ q20151－ q误，故选 C.7．[2016·山西四校联考]等比数列{ an}的前 n项和为 Sn，若an0， q1， a3＋ a5＝20， a2a6＝64，则 S5＝( )A．31 B．36C．42 D．48答案 A解析 由等比数列的性质，得 a3a5＝ a2a6＝64，于是由Error!，且 an0， q1，得a3＝4， a5＝16，所以Error!，解得Error!，所以 S5＝ ＝31，故选 A.1× 1－ 251－ 28．[2016·郑州一检]已知等比数列{ an}，其前 n项和为 Sn， a1＋ a2＝ ， a4＋ a5＝6，则34S6＝________.答案 634解析 记等比数列{ an}的公比为 q，则有 q3＝ ＝8， q＝2， S6＝( a1＋ a2)a4＋ a5a1＋ a2＋ q2(a1＋ a2)＋ q4(a1＋ a2)＝21( a1＋ a2)＝ .6349．[2013·江苏高考]在正项等比数列{ an}中， a5＝ ， a6＋ a7＝3.则满足12a1＋ a2＋…＋ ana1a2…an的最大正整数 n的值为________．答案 12解析 设等比数列的首项为 a1，公比为 q0，由3Error!得 a1＝ ， q＝2.132由 a1＋ a2＋…＋ ana1a2…an，得 2n－12 . 检验知 n＝12 时，2 12－12 11； n＝13 时，2 13－1a1a2…an的最大正整数 n的值是 12.10．[2016·兰州诊断]数列{ an}的首项为 a1＝1，数列{ bn}为等比数列且 bn＝ ，若an＋ 1anb10b11＝2015 ，则 a21＝________. 答案 2015解析 由 bn＝ ，且 a1＝1，得an＋ 1anb1＝ ＝ a2； b2＝ ， a3＝ a2b2＝ b1b2； b3＝ ， a4＝ a3b3＝ b1b2b3；……； bn－1 ＝ ， an＝a2a1 a3a2 a4a3 anan－ 1b1b2…bn－1 ，∴ a21＝ b1b2…b20.∵数列{ bn}为等比数列，∴ a21＝( b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝( b10b11)10＝(2015 )10＝2015. 11．[2015·洛阳期末]已知等比数列{ an}的各项均为正数，且 2a1＋3 a2＝1， a ＝9 a2a6.23(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设 bn＝－log an，求数列 的前 n项和 Tn.{1bnbn＋ 1}解 (1)设数列{ an}的公比为 q，由 a ＝9 a2a6得 a ＝9 a ，∴ q2＝ .23 23 2419由条件可知 q0，故 q＝ .13由 2a1＋3 a2＝1 得 2a1＋3 a1q＝1，∴ a1＝ .13故数列{ an}的通项公式为 an＝ .13n(2)∵ an＝ ，∴ bn＝－log ＝2 n，13n 13n从而 ＝ ＝ ，1bnbn＋ 1 14n n＋ 1 14(1n－ 1n＋ 1)∴ Tn＝14[(1－ 12)＋ (12－ 13)＋ …＋ (1n－ 1n＋ 1)]＝ ＝ .14(1－ 1n＋ 1) n4 n＋ 112．[2015·山东高考]设数列{ an}的前 n项和为 Sn.已知 2Sn＝3 n＋3.(1)求{ an}的通项公式；(2)若数列{ bn}满足 anbn＝log 3an，求{ bn}的前 n项和 Tn.解 (1)因为 2Sn＝3 n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3，当 n1时，2 Sn－1 ＝3 n－1 ＋3，此时 2an＝2 Sn－2 Sn－1 ＝3 n－3 n－1 ＝2×3 n－1 ，即 an＝3 n－1 ，4所以 an＝Error!(2)因为 anbn＝log 3an，所以 b1＝ .13当 n1时， bn＝3 1－ nlog33n－1 ＝( n－1)·3 1－ n.所以 T1＝ b1＝ ；13当 n1时， Tn＝ b1＋ b2＋ b3＋…＋ bn＝ ＋[1×3 －1 ＋2×3 －2 ＋…＋( n－1)×3 1－ n]，13所以 3Tn＝1＋[1×3 0＋2×3 －1 ＋…＋( n－1)×3 2－ n]，两式相减，得2Tn＝ ＋(3 0＋3 －1 ＋3 －2 ＋…＋3 2－ n)－( n－1)×3 1－ n23＝ ＋ －( n－1)×3 1－ n23 1－ 31－ n1－ 3－ 1＝ － ，136 6n＋ 32×3n所以 Tn＝ － .1312 6n＋ 34×3n经检验， n＝1 时也适合．综上可得 Tn＝ － .1312 6n＋ 34×3n[B组·能力提升练]1．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)，如果对于任意给定的等比数列{ an}，{f(an)}仍是等比数列，则称 f(x)为“保等比数列函数” ．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：① f(x)＝ x2；② f(x)＝2 x；③ f(x)＝ ；④ f(x)＝ln | x|.|x|则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( )A．①② B．③④C．①③ D．②④答案 C解析 验证① ＝ ＝ q2，③ ＝ ＝ ，∴①③为f an＋ 1f an a2n＋ 1a2n f an＋ 1f an |an＋ 1||an| |q|“保等比数列函数” ，故选 C.2．[2016·泰安模拟]在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么 x＋ y＋ z的值为( )5A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析 由题知表格中第三纵列中的数成首项为 4，公比为 的等比数列，故有 x＝1.根据12每横行成等差数列得第四列前两个数字依次为 5，，故第四列的公比为 .所以52 12y＝5× 3＝ ，同理 z＝6× 4＝ ，因此 x＋ y＋ z＝2.(12) 58 (12) 383．[2015·沈阳一模]数列{ an}是等比数列，若 a2＝2， a5＝ ，则14a1a2＋ a2a3＋…＋ anan＋1 ＝________.答案 (1－4 － n)323解析 设等比数列{ an}的公比为 q，由等比数列的性质知 a5＝ a2q3，求得 q＝ ，所以12a1＝4. a2a3＝ ＝ a1a2， anan＋1 ＝ ＝ an－1 an(n≥2)．设 bn＝ anan＋1 ，可(12a1)(12a2) 14 (12an－ 1)(12an) 14以得出数列{ bn}是以 8为首项，以 为公比的等比数列，所以 a1a2＋ a2a3＋…＋ anan＋1 为数列14{bn}的前 n项和，由等比数列前 n项和公式得a1a2＋ a2a3＋…＋ anan＋1 ＝ ＝ (1－4 － n)．8[1－ (14)n]1－ 14 3234．[2015·临沂模拟]在等比数列{ an}中， a10， n∈N *，且 a3－ a2＝8，又 a1， a5的等比中项为 16.(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设 bn＝log 4an，数列{ bn}的前 n项和为 Sn，是否存在正整数 k，使得＋ ＋ ＋…＋ k对任意 n∈N *恒成立，若存在，求出正整数 k的最小值；若不存在，1S1 1S2 1S3 1Sn请说明理由．解 (1)设数列{ an}的公比为 q，由题意可得 a3＝16，因为 a3－ a2＝8，则 a2＝8，6所以 q＝2， a1＝4，所以 an＝2 n＋1 .(2)因为 bn＝log 42n＋1 ＝ ，n＋ 12所以 Sn＝ b1＋ b2＋…＋ bn＝ .n n＋ 34因为 ＝ ＝ ，1Sn 4n n＋ 3 43(1n－ 1n＋ 3)所以 ＋ ＋ ＋…＋1S1 1S2 1S3 1Sn＝43(11－ 14＋ 12－ 15＋ 13－ 16＋ …＋ 1n－ 1n＋ 3)＝43(1＋ 12＋ 13－ 1n＋ 1－ 1n＋ 2－ 1n＋ 3)＝ × － ×43 116 43 ( 1n＋ 1＋ 1n＋ 2＋ 1n＋ 3)＝ － ×229 43 ( 1n＋ 1＋ 1n＋ 2＋ 1n＋ 3)当 n＝1 时， ＝121S1 229当 n≥2 时， ＋ ＋…＋1S1 1S2 1Sn＝ － 3.229 43( 1n＋ 1＋ 1n＋ 2＋ 1n＋ 3)229故存在 k＝3 时，对任意的 n∈N *都有 ＋ ＋ ＋…＋ 3.1S1 1S2 1S3 1Sn1第五章 数列 5.4 数列求和练习 理[A 组·基础达标练]1． Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ 等于( )12 12 38 n2nA. B.2n－ n2n 2n＋ 1－ n－ 22nC. D.2n－ n＋ 12n＋ 1 2n＋ 1－ n＋ 22n答案 B解析 由 Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，①12 222 323 n2n得 Sn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ，②12 122 223 n－ 12n n2n＋ 1①－②得，Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ －12 12 122 123 12n n2n＋ 1＝ － ，12[1－ (12)n]1－ 12 n2n＋ 1∴ Sn＝ .2n＋ 1－ n－ 22n2．已知{ an}为等差数列，其公差为－2，且 a7是 a3与 a9的等比中项， Sn为{ an}的前 n项和， n∈N *，则 S10的值为( )A．－110 B．－90C．90 D．110答案 D解析 由题意得 a ＝ a3·a9，又公差 d＝－2，∴( a3－8) 2＝ a3(a3－12)，27∴ a3＝16.∴ S10＝ ＝ ＝5( a3＋ a3＋5 d)＝5×(16＋16－10)10 a1＋ a102 10 a3＋ a82＝110，故选 D.3．已知等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn， a5＝5， S5＝15，则数列 的前 100 项和{1anan＋ 1}为( )A. B.100101 99101C. D.99100 101100答案 A解析 由 S5＝5 a3及 S5＝15 得 a3＝3，2∴ d＝ ＝1， a1＝1，∴ an＝ n， ＝ ＝ － ，所以数列a5－ a35－ 3 1anan＋ 1 1n n＋ 1 1n 1n＋ 1的前 100 项和 T100＝ 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ ，故选 A.{1anan＋ 1} 12 12 13 1100 1101 1101 1001014．已知数列{ an}满足 an＋1 ＝ ＋ ，且 a1＝ ，则该数列的前 2016 项的和等于( )12 an－ a2n 12A．1509 B．3018C．1512 D．2016答案 C解析 因为 a1＝ ，12又 an＋1 ＝ ＋ ，12 an－ a2n所以 a2＝1，从而 a3＝ ， a4＝1，12即得 an＝Error!故数列的前 2016 项的和等于S2016＝1008× ＝1512.(1＋12)5．[2015·日照一模]已知数列{ an}的前 n 项和 Sn＝ n2－6 n，则{| an|}的前 n 项和 Tn＝( )A．6 n－ n2 B． n2－6 n＋18C.Error! D.Error!答案 C解析 由 Sn＝ n2－6 n 可得，当 n≥2 时，an＝ Sn－ Sn－1 ＝ n2－6 n－( n－1) 2＋6( n－1)＝2 n－7.当 n＝1 时， S1＝－5＝ a1，也满足上式，所以 an＝2 n－7， n∈N *.∴ n≤3 时， an3 时， an0，∴ Tn＝Error!6．已知函数 f(n)＝Error!且 an＝ f(n)＋ f(n＋1)，则 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a100等于( )A．－100 B．100C．－1020 D．1020答案 B解析 当 n 为奇数时， an＝ n2－( n＋1) 2＝－(2 n＋1)．当 n 为偶数时， an＝－ n2＋( n＋1) 2＝2 n＋1.∴ a1＋ a2＋ a3＋…＋ a100＝－3＋5－7＋9－…－199＋201＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋(－199＋201)＝2×50＝100.7．[2013·重庆高考]已知{ an}是等差数列， a1＝1，公差 d≠0， Sn为其前 n 项和，若a1， a2， a5成等比数列，则 S8＝________.答案 643解析 由 a1、 a2、 a5成等比数列，得( a1＋ d)2＝ a1(a1＋4 d)，即(1＋ d)2＝1＋4 d，解得d＝2( d＝0 舍去)， S8＝ ×8＝64.1＋ 1528．[2013·辽宁高考]已知等比数列{ an}是递增数列， Sn是{ an}的前 n 项和．若 a1， a3是方程 x2－5 x＋4＝0 的两个根，则 S6＝________.答案 63解析 a1， a3是方程 x2－5 x＋4＝0 的两个根且{ an}是递增数列，故 a3＝4， a1＝1，故公比 q＝2， S6＝ ＝63.a1 1－ q61－ q9．数列 ，， ， ，…， 的前 n 项和为________．32942586516 n·2n＋ 12n答案 － ＋1n n＋ 12 12n解析 由于 an＝ ＝ n＋ ，n·2n＋ 12n 12n∴前 n 项和 Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝(1＋2＋3＋…＋ n)＋(1＋121) (2＋ 122) (3＋ 123) (n＋ 12n)(12＋ 122＋ 123＋ …＋ 12n)＝ ＋ n＋ 1 n212(1－ 12n)1－ 12＝ － ＋1.n n＋ 12 12n10．[2016·贵州七校联考]已知{ an}是等差数列，{ bn}是等比数列， Sn是数列{ an}的前n 项和， a1＝ b1＝1，且 b3S3＝36， b2S2＝8.(1)求 an和 bn；(2)若 an0，当 n＝1 时，2 a1＝ a ＋ a1，解得2n 21a1＝1( a1＝0 舍去)；当 n≥2 时，有 2Sn－1 ＝ a ＋ an－1 .2n－ 1于是 2Sn－2 Sn－1 ＝ a － a ＋ an－ an－1 ，2n 2n－ 1即 2an＝ a － a ＋ an－ an－1 .2n 2n－ 1于是 a － a ＝ an＋ an－1 ，2n 2n－ 1即( an＋ an－1 )(an－ an－1 )＝ an＋ an－1 .因为 an＋ an－1 0，所以 an－ an－1 ＝1( n≥2)．故数列{ an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以数列{ an}的通项公式为an＝ n(n∈N *)．(2)由(1)知， an＝ n，所以 Sn＝ ，n n＋ 12则 ＝ ＝2 ，1Sn 2n n＋ 1 (1n－ 1n＋ 1)所以 ＋ ＋…＋ ＝1S1 1S2 1Sn2[(1－12)＋ (12－ 13)＋ …＋ (1n－ 1n＋ 1)]＝2 0， a1＝ ，如果 an＋1 是 1 与 的等12 2anan＋ 1＋ 14－ a2n比中项，那么 a1＋ ＋ ＋ ＋…＋ 的值是( )a222 a332 a442 a1001002A. B.10099 101100C. D.100101 99100答案 C解析 由题意可得， a ＝ ⇒(2an＋1 ＋ anan＋1 ＋1)(2 an＋1 － anan＋1 －1)2n＋ 12anan＋ 1＋ 14－ a2n＝0⇒ an＋1 ＝ ⇒an＋1 －1＝ ⇒ ＝ － 1，∴ ＝ －( n－1)12－ an an－ 12－ an 1an＋ 1－ 1 1an－ 1 1an－ 1 112－ 1＝－ n－1⇒ an＝ ⇒ ＝ ＝ － ，∴ a1＋ ＋…＋ ＝1－ ＋ － ＋…＋nn＋ 1 ann2 1n n＋ 1 1n 1n＋ 1 a222 a1001002 12 12 13－ ＝ .1100 1101 1001013．[2015·南昌零模]等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，已知 f(x)＝ ，且 f(a2－2)2x－ 12x＋ 1＝sin ， f(a2014－2)＝cos ，则 S2015＝________.2014π3 2015π6答案 40306解析 因为 f(x)＝ ， f(－ x)＝ ＝ ，2x－ 12x＋ 1 2－ x－ 12－ x＋ 1 1－ 2x2x＋ 1所以 f(x)＋ f(－ x)＝0，即 f(－ x)＝－ f(x)．而 f(x)＝ ＝1－ ，所以 f(x)是 R 上的增函数．2x－ 12x＋ 1 22x＋ 1又 f(a2－2)＝sin ＝sin(671π＋ )＝－sin ＝－ ，2014π3 π 3 π 3 32f(a2014－2)＝cos ＝cos(336π－ )＝cos ＝ ，2015π6 π 6 π 6 32所以 f(a2－2)＝－ f(a2014－2)＝ f(2－ a2014)，所以 a2－2＝2－ a2014，所以 a2＋ a2014＝4.所以 S2015＝ ＝ ＝ ＝4030.2015 a1＋ a20152 2015 a2＋ a20142 2015×424．[2016·宝鸡月考]已知数列{ an}满足 a1＝5， a2＝5， an＋1 ＝ an＋6 an－1 (n≥2)．(1)求证：{ an＋1 ＋2 an}是等比数列；(2)求数列{ an}的通项公式；(3)设 3nbn＝ n(3n－ an)，求| b1|＋| b2|＋…＋| bn|.解 (1)证明：∵ an＋1 ＝ an＋6 an－1 (n≥2)，∴ an＋1 ＋2 an＝3 an＋6 an－1 ＝3( an＋2 an－1 )(n≥2)．∵ a1＝5， a2＝5，∴ a2＋2 a1＝15，∴ an＋2 an－1 ≠0( n≥2)，∴ ＝3( n≥2)，an＋ 1＋ 2anan＋ 2an－ 1∴数列{ an＋1 ＋2 an}是以 15 为首项，3 为公比的等比数列．(2)由(1)得 an＋1 ＋2 an＝15×3 n－1 ＝5×3 n，则 an＋1 ＝－2 an＋5×3 n，∴ an＋1 －3 n＋1 ＝－2( an－3 n)．又∵ a1－3＝2，∴ an－3 n≠0，∴{ an－3 n}是以 2 为首项，－2 为公比的等比数列．∴ an－3 n＝2×(－2) n－1 ，即 an＝2×(－2) n－1 ＋3 n＝3 n－(－2) n.(3)由(2)及 3nbn＝ n(3n－ an)可得，3nbn＝－ n(an－3 n)＝－ n[2×(－2) n－1 ]＝ n(－2) n，∴ bn＝ n n，∴| bn|＝ n n.(－23) (23)∴ Tn＝| b1|＋| b2|＋…＋| bn|＝ ＋2× 2＋…＋ n n，①23 (23) (23)①× ，得237Tn＝ 2＋2× 3＋…＋( n－1) n＋ n n＋1 ，②23 (23) (23) (23) (23)①－②，得Tn＝ ＋ 2＋…＋ n－ n n＋113 23 (23) (23) (23)＝2－3× n＋1 － n n＋1(23) (23)＝2－( n＋3) n＋1 ，(23)∴ Tn＝6－2( n＋3) n.(23)