1、1第五章 数列 5.1 数列的概念与表示练习 理A 组基础达标练12015三亚一模在数列 1,2， ， ， ，中，2 是这个数列的第_7 10 13 19项( )A16 B24C26 D28答案 C解析 设题中数列为 an，则a11 ， a22 ， a3 ， a4 ， a5 ，所以 an .令1 4 7 10 13 3n 2 2 ，解得 n26.故选 C.3n 2 19 762设 an3 n215 n18，则数列 an中的最大项的值是( )A. B.163 133C4 D0答案 D解析 an3 2 ，(n52) 34由二次函数性质，得当 n2 或 n3 时， an取最大值，最大值为 a2 a3
2、0.故选 D.3对于数列 an， a14， an1 f(an)，依照下表则 a2015等于( )x 1 2 3 4 5f(x) 5 4 3 1 2A.2 B3C4 D5答案 D解析 由题意 a2 f(a1) f(4)1， a3 f(a2) f(1)5，a4 f(a3) f(5)2， a5 f(a4) f(2)4， a6 f(a5) f(4)1.则数列 an的项周期性出现，其周期为 4， a2015 a45033 a35.故选 D.4已知数列 an满足 a11， an1 Error!则其前 6 项之和为( )A16 B20C33 D120答案 C解析 a22 a12， a3 a213， a42
3、a36， a5 a417， a62 a514，所以前 6项和 S6123671433，故选 C.5已知数列 an的通项公式为 an n22 n (nN *)，则“ 0，即 2n12 对任意的 nN *都成立，于是有 32 ， 0， a80， an0，解得 n6 或 n6(nN *)时， an0.令 n2 n300，且 a1)，若数列 an满足 an f(n)(nN *)，且 an是递增数列，则实数 a 的取值范围是( )A(0,1) B.83， 3)C(2,3) D(1,3)答案 C解析 因为 an是递增数列，所以Error!解得 21，两式相减可得， 2 n52( n1)52，an2n an
4、2 n1 ， n1， nN *.当 n1 时， 7， a114，a12综上可知，数列 an的通项公式为：anError! 故选 B.32016湖北八校联考设数列 an共有 n 项( n3，且 nN *)，且 a1 an1，对于每个 i(1 i n1)均有 .ai 1ai 13， 1， 3(1)若 n3，则满足条件的所有数列 an的个数为_；(2)若 n10，则满足条件的所有数列 an的个数为_答案 (1)3 (2)3139解析 (1)因为 ， ， a1 a31，所以 a2 ， a2a1 13， 1， 3 a3a2 13， 1， 3 13， 1， 3 1a2，所以 a2 或 a2 1 或 a23
5、.13， 1， 3 13所以满足条件的所有数列 an的个数为 3.(2)令 bi (1 i9)，则 b1b2b9 1，且 biai 1ai a2a1 a3a2 a10a9 a10a1(1 i9)13， 1， 3易知符合上述条件的项数为 9 的数列 bn可唯一确定一个符合条件的项数为 10 的数列an记符合条件的数列 bn的个数为 N，显然 b1， b2， b9中有 k 个 3， k 个 ，92 k 个 1.13当 k 给定时， bn的取法有 C C 种，又易得 k 的所有可能值为 0,1,2,3,4k9 k9 k故 N1C C C C C C C C 3139.1918 2927 3936 4
6、945所以满足条件的所有数列 an的个数为 3139.42015太原模拟设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a1 a， an1 Sn3 n， nN *.(1)记 bn Sn3 n，求数列 bn的通项公式；(2)若 an1 an， nN *，求 a 的取值范围解 (1)依题意得 Sn1 Sn an1 Sn3 n，即 Sn1 2 Sn3 n，由此得 Sn1 3 n1 2( Sn3 n)，即 bn1 2 bn，当 b1 a13 a3 时 bn0，当 b1 a30 时 2，bn 1bn6数列 bn是首项为 b1 a3，公比为 2 的等比数列因此， bn的通项公式为bn( a3)2 n1 ， nN
7、 *.(2)由(1)知 Sn3 n( a3)2 n1 ， nN *，于是，当 n2 时，an Sn Sn13 n( a3)2 n1 3 n1 ( a3)2 n223 n1 ( a3)2 n2 ，an1 an43 n1 ( a3)2 n22 n2 ，12(32)n 2 a 3 an1 an，12 n2 a30，(32) a9.又 a2 a13 a1， a 的取值范围是9，)1第五章 数列 5.2 等差数列及其前 n项和练习 理A组基础达标练12016陕西八校联考在等差数列 an中， a10，公差 d0，若am a1 a2 a9，则 m的值为( )A37 B36C20 D19答案 A解析 am a
8、1 a2 a99 a1 d36 d a37，982 m37.故选 A.2等差数列 an中， a1 a510， a47，则数列 an的公差为( )A1 B2C3 D4答案 B解析 a1 a52 a310， a35，又 a47， d2.故选 B.32015北京高考设 an是等差数列，下列结论中正确的是( )A若 a1 a20，则 a2 a30B若 a1 a3 a1a3D若 a10答案 C解析 因为 an为等差数列，所以 2a2 a1 a3.当 a2a10时，得公差d0， a30， a1 a32 ，2 a22 ，即 a2 ，故选 C.a1a3 a1a3 a1a342016兰州诊断已知等差数列 an的
9、前 n项和为 Sn，若 a418 a5，则 S8( )A18 B36C54 D72答案 D解析 由题意，得 a4 a518，所以 S8 72，8 a1 a82 8 a4 a52 8182故选 D.52016郑州一检已知数列 an是等差数列，其前 n项和为 Sn，若 a1a2a310，且 ，则 a2( )5S1S5 15A2 B3C4 D5答案 A解析 依题意得 ， a1a35， a2 2，选 A.55a1a3 15 10a1a362015浙江高考已知 an是等差数列，公差 d不为零，前 n项和是 Sn.若2a3， a4， a8成等比数列，则( )A a1d0， dS40 B a1d0， dS4
10、0答案 B解析 由 a a3a8，得( a12 d)(a17 d)( a13 d)2，整理得 d(5d3 a1)0，又24d0， a1 d，则 a1d d21时，Sn1 Sn1 2( Sn S1)都成立，则 S15_.答案 211解析 由 Sn1 Sn1 2( Sn S1)得( Sn1 Sn)( Sn Sn1 )2 S12，即an1 an2( n2)，所以数列 an从第二项起构成等差数列，则3S151246828211.112016浙江名校联考已知 an是一个公差大于 0的等差数列，且满足a3a655， a2 a716.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足： b1 a1且 bn
11、 an bn1 (n2， nN *)，求数列 bn的通项公式解 (1)由题意得：Error!.公差 d0，Error!， d2， an2 n1.(2) bn an bn1 (n2， nN *)， bn bn1 2 n1( n2， nN *) bn( bn bn1 )( bn1 bn2 )( b2 b1) b1(n2， nN *)，且 b1 a11， bn2 n12 n331 n2(n2， nN *) bn n2(nN *)122015临沂模拟已知在数列 an中， a11，当 n2 时，其前 n项和 Sn满足S an .2n (Sn12)(1)求 Sn的表达式；(2)设 bn ，数列 bn的前
12、n项和为 Tn，证明： Tn 成立，求正1an m20整数 m的最大值解 (1)证明：因为 an1 ，12 an5所以 1 ，1an 1 1 112 an 1 2 anan 1 1an 1即 1，1an 1 1 1an 1所以 是首项为2，公差为1 的等差数列，所以 2( n1)(1)1an 1 1an 1( n1)，所以 an .nn 1(2)bn 1 ，n 1n 1n令 Cn B3n Bn ，1n 1 1n 2 13n所以Cn1 Cn 1n 2 1n 3 13 n 1 1n 1 13n 1n 1 13n 2 13n 3 13n 1 13n 2 23n 3 13n 1 0，23n 3 23n
13、 3所以 Cn1 Cn0，所以 Cn为单调递增数列，所以( B3n Bn)min B6 B2 ，13 14 15 16 1920所以 ，所以 m19.m201920又 mN *，所以 m的最大值为 18.1第五章 数列 5.3 等比数列及其前 n项和练习 理A组基础达标练12016邢台摸底已知数列 an为等比数列， a51， a981，则 a7( )A9 或9 B9C27 或27 D27答案 B解析 依题意得 a a5a981，又注意到 q20(其中 q为公比)，因此 a5， a7的符27a7a5号相同，故 a79，选 B.22015唐山期末设 Sn是等比数列 an的前 n项和，若 3，则 (
14、 )S4S2 S6S4A2 B.73C. D1 或 2310答案 B解析 设 S2 k， S43 k，由数列 an为等比数列，得 S2， S4 S2， S6 S4为等比数列， S2 k， S4 S22 k， S6 S44 k， S67 k， S43 k， ，故选 B.S6S4 7k3k 7332014重庆高考对任意等比数列 an，下列说法一定正确的是( )A a1， a3， a9成等比数列 B a2， a3， a6成等比数列C a2， a4， a8成等比数列 D a3， a6， a9成等比数列答案 D解析 不妨设公比为 q，则 a a q4， a1a9 a q8， a2a6 a q6，当 q1
15、 时，23 21 21 21A、B 均不正确；又 a a q6， a2a8 a q8，同理，C 不正确；由24 21 21a a q10， a3a9 a q10，知 D正确26 21 2142015太原一模在单调递减的等比数列 an中，若 a31， a2 a4 ，则 a1( )52A2 B4C. D22 2答案 B解析 在等比数列 an中， a2a4 a 1，又 a2 a4 ，数列 an为递减数列，设其公2352比为 q， a22， a4 ， q2 ， q ， a1 4.12 a4a2 14 12 a2q52015洛阳模拟已知 an为等比数列， a4 a72， a5a68，则 a1 a10(
16、)A7 B5C5 D7答案 D解析 列出方程组Error!即Error!即Error!2 2得 ， 1 q3 2q3 12解得 q32 或 q3 .12当 q32 时， a11， a108，则 a1 a107；当 q3 时， a18， a101，12则 a1 a107.62016南昌调研已知等比数列 an的前 n项和为 Sn，则下列说法中一定成立的是( )A若 a30，则 a20150，则 a20140，则 S20150 D若 a40，则 S20140答案 C解析 等比数列 an的公比 q0.对于 A，若 a30，则 a1q20，所以 a10，所以a2015 a1q20140，所以 A不正确；
17、对于 B，若 a40，则 a1q30，所以 a1q0，所以a2014 a1q20130，所以 B不正确；对于 C，若 a30，则 a1 0，所以当 q1 时， S20150，a3q2当 q1 时， S2015 0(1 q与 1 q2015同号)，所以 C正确，同理可知 D错a1 1 q20151 q误，故选 C.72016山西四校联考等比数列 an的前 n项和为 Sn，若an0， q1， a3 a520， a2a664，则 S5( )A31 B36C42 D48答案 A解析 由等比数列的性质，得 a3a5 a2a664，于是由Error!，且 an0， q1，得a34， a516，所以Erro
18、r!，解得Error!，所以 S5 31，故选 A.1 1 251 282016郑州一检已知等比数列 an，其前 n项和为 Sn， a1 a2 ， a4 a56，则34S6_.答案 634解析 记等比数列 an的公比为 q，则有 q3 8， q2， S6( a1 a2)a4 a5a1 a2 q2(a1 a2) q4(a1 a2)21( a1 a2) .63492013江苏高考在正项等比数列 an中， a5 ， a6 a73.则满足12a1 a2 ana1a2an的最大正整数 n的值为_答案 12解析 设等比数列的首项为 a1，公比为 q0，由3Error!得 a1 ， q2.132由 a1 a
19、2 ana1a2an，得 2n12 . 检验知 n12 时，2 1212 11； n13 时，2 131a1a2an的最大正整数 n的值是 12.102016兰州诊断数列 an的首项为 a11，数列 bn为等比数列且 bn ，若an 1anb10b112015 ，则 a21_. 答案 2015解析 由 bn ，且 a11，得an 1anb1 a2； b2 ， a3 a2b2 b1b2； b3 ， a4 a3b3 b1b2b3； bn1 ， ana2a1 a3a2 a4a3 anan 1b1b2bn1 ， a21 b1b2b20.数列 bn为等比数列， a21( b1b20)(b2b19)(b1
20、0b11)( b10b11)10(2015 )102015. 112015洛阳期末已知等比数列 an的各项均为正数，且 2a13 a21， a 9 a2a6.23(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog an，求数列 的前 n项和 Tn.1bnbn 1解 (1)设数列 an的公比为 q，由 a 9 a2a6得 a 9 a ， q2 .23 23 2419由条件可知 q0，故 q .13由 2a13 a21 得 2a13 a1q1， a1 .13故数列 an的通项公式为 an .13n(2) an ， bnlog 2 n，13n 13n从而 ，1bnbn 1 14n n 1 14(1n
21、 1n 1) Tn14(1 12) (12 13) (1n 1n 1) .14(1 1n 1) n4 n 1122015山东高考设数列 an的前 n项和为 Sn.已知 2Sn3 n3.(1)求 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 anbnlog 3an，求 bn的前 n项和 Tn.解 (1)因为 2Sn3 n3，所以 2a133，故 a13，当 n1时，2 Sn1 3 n1 3，此时 2an2 Sn2 Sn1 3 n3 n1 23 n1 ，即 an3 n1 ，4所以 anError!(2)因为 anbnlog 3an，所以 b1 .13当 n1时， bn3 1 nlog33n1 ( n1)
22、3 1 n.所以 T1 b1 ；13当 n1时， Tn b1 b2 b3 bn 13 1 23 2 ( n1)3 1 n，13所以 3Tn113 023 1 ( n1)3 2 n，两式相减，得2Tn (3 03 1 3 2 3 2 n)( n1)3 1 n23 ( n1)3 1 n23 1 31 n1 3 1 ，136 6n 323n所以 Tn .1312 6n 343n经检验， n1 时也适合综上可得 Tn .1312 6n 343nB组能力提升练1定义在(，0)(0，)上的函数 f(x)，如果对于任意给定的等比数列 an，f(an)仍是等比数列，则称 f(x)为“保等比数列函数” 现有定义
23、在(，0)(0，)上的如下函数： f(x) x2； f(x)2 x； f(x) ； f(x)ln | x|.|x|则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( )A BC D答案 C解析 验证 q2， ，为f an 1f an a2n 1a2n f an 1f an |an 1|an| |q|“保等比数列函数” ，故选 C.22016泰安模拟在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么 x y z的值为( )5A1 B2C3 D4答案 B解析 由题知表格中第三纵列中的数成首项为 4，公比为 的等比数列，故有 x1.根据12每横行成等差数列得第四列前
24、两个数字依次为 5，故第四列的公比为 .所以52 12y5 3 ，同理 z6 4 ，因此 x y z2.(12) 58 (12) 3832015沈阳一模数列 an是等比数列，若 a22， a5 ，则14a1a2 a2a3 anan1 _.答案 (14 n)323解析 设等比数列 an的公比为 q，由等比数列的性质知 a5 a2q3，求得 q ，所以12a14. a2a3 a1a2， anan1 an1 an(n2)设 bn anan1 ，可(12a1)(12a2) 14 (12an 1)(12an) 14以得出数列 bn是以 8为首项，以 为公比的等比数列，所以 a1a2 a2a3 anan1
25、 为数列14bn的前 n项和，由等比数列前 n项和公式得a1a2 a2a3 anan1 (14 n)81 (14)n1 14 32342015临沂模拟在等比数列 an中， a10， nN *，且 a3 a28，又 a1， a5的等比中项为 16.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog 4an，数列 bn的前 n项和为 Sn，是否存在正整数 k，使得 k对任意 nN *恒成立，若存在，求出正整数 k的最小值；若不存在，1S1 1S2 1S3 1Sn请说明理由解 (1)设数列 an的公比为 q，由题意可得 a316，因为 a3 a28，则 a28，6所以 q2， a14，所以 an2
26、n1 .(2)因为 bnlog 42n1 ，n 12所以 Sn b1 b2 bn .n n 34因为 ，1Sn 4n n 3 43(1n 1n 3)所以 1S1 1S2 1S3 1Sn43(11 14 12 15 13 16 1n 1n 3)43(1 12 13 1n 1 1n 2 1n 3) 43 116 43 ( 1n 1 1n 2 1n 3) 229 43 ( 1n 1 1n 2 1n 3)当 n1 时， 121S1 229当 n2 时， 1S1 1S2 1Sn 3.229 43( 1n 1 1n 2 1n 3)229故存在 k3 时，对任意的 nN *都有 3.1S1 1S2 1S3
27、1Sn1第五章 数列 5.4 数列求和练习 理A 组基础达标练1 Sn 等于( )12 12 38 n2nA. B.2n n2n 2n 1 n 22nC. D.2n n 12n 1 2n 1 n 22n答案 B解析 由 Sn ，12 222 323 n2n得 Sn ，12 122 223 n 12n n2n 1得，Sn 12 12 122 123 12n n2n 1 ，121 (12)n1 12 n2n 1 Sn .2n 1 n 22n2已知 an为等差数列，其公差为2，且 a7是 a3与 a9的等比中项， Sn为 an的前 n项和， nN *，则 S10的值为( )A110 B90C90 D
28、110答案 D解析 由题意得 a a3a9，又公差 d2，( a38) 2 a3(a312)，27 a316. S10 5( a3 a35 d)5(161610)10 a1 a102 10 a3 a82110，故选 D.3已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a55， S515，则数列 的前 100 项和1anan 1为( )A. B.100101 99101C. D.99100 101100答案 A解析 由 S55 a3及 S515 得 a33，2 d 1， a11， an n， ，所以数列a5 a35 3 1anan 1 1n n 1 1n 1n 1的前 100 项和 T100 1
29、1 ，故选 A.1anan 1 12 12 13 1100 1101 1101 1001014已知数列 an满足 an1 ，且 a1 ，则该数列的前 2016 项的和等于( )12 an a2n 12A1509 B3018C1512 D2016答案 C解析 因为 a1 ，12又 an1 ，12 an a2n所以 a21，从而 a3 ， a41，12即得 anError!故数列的前 2016 项的和等于S20161008 1512.(112)52015日照一模已知数列 an的前 n 项和 Sn n26 n，则| an|的前 n 项和 Tn( )A6 n n2 B n26 n18C.Error!
30、D.Error!答案 C解析 由 Sn n26 n 可得，当 n2 时，an Sn Sn1 n26 n( n1) 26( n1)2 n7.当 n1 时， S15 a1，也满足上式，所以 an2 n7， nN *. n3 时， an3 时， an0， TnError!6已知函数 f(n)Error!且 an f(n) f(n1)，则 a1 a2 a3 a100等于( )A100 B100C1020 D1020答案 B解析 当 n 为奇数时， an n2( n1) 2(2 n1)当 n 为偶数时， an n2( n1) 22 n1. a1 a2 a3 a1003579199201(35)(79)(
31、199201)250100.72013重庆高考已知 an是等差数列， a11，公差 d0， Sn为其前 n 项和，若a1， a2， a5成等比数列，则 S8_.答案 643解析 由 a1、 a2、 a5成等比数列，得( a1 d)2 a1(a14 d)，即(1 d)214 d，解得d2( d0 舍去)， S8 864.1 15282013辽宁高考已知等比数列 an是递增数列， Sn是 an的前 n 项和若 a1， a3是方程 x25 x40 的两个根，则 S6_.答案 63解析 a1， a3是方程 x25 x40 的两个根且 an是递增数列，故 a34， a11，故公比 q2， S6 63.a
32、1 1 q61 q9数列 ， ， ， 的前 n 项和为_32942586516 n2n 12n答案 1n n 12 12n解析 由于 an n ，n2n 12n 12n前 n 项和 Sn (123 n)(1121) (2 122) (3 123) (n 12n)(12 122 123 12n) n 1 n212(1 12n)1 12 1.n n 12 12n102016贵州七校联考已知 an是等差数列， bn是等比数列， Sn是数列 an的前n 项和， a1 b11，且 b3S336， b2S28.(1)求 an和 bn；(2)若 an0，当 n1 时，2 a1 a a1，解得2n 21a11
33、( a10 舍去)；当 n2 时，有 2Sn1 a an1 .2n 1于是 2Sn2 Sn1 a a an an1 ，2n 2n 1即 2an a a an an1 .2n 2n 1于是 a a an an1 ，2n 2n 1即( an an1 )(an an1 ) an an1 .因为 an an1 0，所以 an an1 1( n2)故数列 an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以数列 an的通项公式为an n(nN *)(2)由(1)知， an n，所以 Sn ，n n 12则 2 ，1Sn 2n n 1 (1n 1n 1)所以 1S1 1S2 1Sn2(112) (12 13)
34、(1n 1n 1)2 0， a1 ，如果 an1 是 1 与 的等12 2anan 1 14 a2n比中项，那么 a1 的值是( )a222 a332 a442 a1001002A. B.10099 101100C. D.100101 99100答案 C解析 由题意可得， a (2an1 anan1 1)(2 an1 anan1 1)2n 12anan 1 14 a2n0 an1 an1 1 1， ( n1)12 an an 12 an 1an 1 1 1an 1 1an 1 112 1 n1 an ， a1 1 nn 1 ann2 1n n 1 1n 1n 1 a222 a1001002 1
35、2 12 13 .1100 1101 10010132015南昌零模等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 f(x) ，且 f(a22)2x 12x 1sin ， f(a20142)cos ，则 S2015_.20143 20156答案 40306解析 因为 f(x) ， f( x) ，2x 12x 1 2 x 12 x 1 1 2x2x 1所以 f(x) f( x)0，即 f( x) f(x)而 f(x) 1 ，所以 f(x)是 R 上的增函数2x 12x 1 22x 1又 f(a22)sin sin(671 )sin ，20143 3 3 32f(a20142)cos cos(336
36、)cos ，20156 6 6 32所以 f(a22) f(a20142) f(2 a2014)，所以 a222 a2014，所以 a2 a20144.所以 S2015 4030.2015 a1 a20152 2015 a2 a20142 20154242016宝鸡月考已知数列 an满足 a15， a25， an1 an6 an1 (n2)(1)求证： an1 2 an是等比数列；(2)求数列 an的通项公式；(3)设 3nbn n(3n an)，求| b1| b2| bn|.解 (1)证明： an1 an6 an1 (n2)， an1 2 an3 an6 an1 3( an2 an1 )(n
37、2) a15， a25， a22 a115， an2 an1 0( n2)， 3( n2)，an 1 2anan 2an 1数列 an1 2 an是以 15 为首项，3 为公比的等比数列(2)由(1)得 an1 2 an153 n1 53 n，则 an1 2 an53 n， an1 3 n1 2( an3 n)又 a132， an3 n0， an3 n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 an3 n2(2) n1 ，即 an2(2) n1 3 n3 n(2) n.(3)由(2)及 3nbn n(3n an)可得，3nbn n(an3 n) n2(2) n1 n(2) n， bn n n，| bn| n n.(23) (23) Tn| b1| b2| bn| 2 2 n n，23 (23) (23) ，得237Tn 22 3( n1) n n n1 ，23 (23) (23) (23) (23)，得Tn 2 n n n113 23 (23) (23) (23)23 n1 n n1(23) (23)2( n3) n1 ，(23) Tn62( n3) n.(23)
