2017届高考数学一轮复习 阶段检测试题（打包6套）.zip

1阶段检测试题(二)(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】 知识点、方法 题号三角函数的化简求值 1,7,18三角函数的图像与性质 8,11,15,21解三角形 4,14,19,22平面向量的运算 5,13平面向量基本定理及应用 6平面向量的数量积及应用 2,3,10,20综合问题 9,12,16,17一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2015 台州模拟)sin 15°cos 15°等于( A )(A) (B) (C) (D)14 34 12 32解析:由题 sin 15°cos 15°= sin 30°= .12 142.(2015 哈尔滨校级期末)已知|a|=2,|b|=3,|a-b|= ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( C )7(A) (B) (C) (D)𝜋6 𝜋4 𝜋3 𝜋2解析:设向量 a 与向量 b 的夹角是 θ,则由题意可得|a-b| 2=7=a2-2a·b+b2=4-2a·b+9,所以 a·b=3,所以 2×3×cos θ=3,所以 cos θ= ,12再根据 0≤θ≤π,可得 θ= .𝜋33.(2015 高考北京卷)设 a,b 是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( A )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若 a·b=|a||b|,则 a 与 b 的方向相同,所以 a∥b.若 a∥b,则 a·b=|a||b|或 a·b=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.故选 A.4.(2015 嘉兴外国语学校模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知A= ,a= ,b=1,则 c 等于( B )𝜋3 3(A)1 (B)2 (C) -1 (D)3 3解析:法一 (余弦定理)由 a2=b2+c2-2bccos A 得3=1+c2-2c×1×cos =1+c2-c,𝜋3所以 c2-c-2=0,2所以 c=2 或-1(舍去).法二 (正弦定理)由 = ,𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵得 = ,3𝑠𝑖𝑛 𝜋3 1𝑠𝑖𝑛𝐵所以 sin B= ,12因为 b0,| |0,ω0,0b,所以 B= .𝜋6(2)由余弦定理:b 2=a2+c2-2accos B,故有 1=3+c2-3c,解得 c=2 或 c=1.20.(本小题满分 12 分)已知两个不共线的向量 a,b,它们的夹角为 θ,且|a|=3,|b|=1,x 为正实数.(1)若 a+2b 与 a-4b 垂直,求 tan θ;(2)若 θ= ,求|xa-b|的最小值及对应的 x 的值,并判断此时向量 a 与 xa-b 是否垂直.𝜋6解:(1)因为 a+2b 与 a-4b 垂直,所以(a+2b)·(a-4b)=0,所以 a2-2a·b-8b2=0,所以 32-2×3×1×cos θ-8×1 2=0,所以 cos θ= ,16又 θ∈(0,π),sin θ= = ,1‒𝑐𝑜𝑠2𝜃356所以 tan θ= = .𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 35(2)|xa-b|= (𝑥𝑎‒𝑏)2= 𝑥2𝑎2‒2𝑥𝑎·𝑏+𝑏2= ,9(𝑥‒ 36) 2+14故当 x= 时,|xa-b|取最小值为 ,36 1210此时 a·(xa-b)=xa2-a·b= ×9-3×1×cos 36 𝜋6=0,故向量 a 与 xa-b 垂直.21.(本小题满分 12 分)(2015 嘉兴外国语学校模拟)已知函数 f(x)=sin xcos x+ cos2x- ,332(1)求函数 y=f(x)的最小正周期;(2)若 f(α)= ,α∈[0, ),求 f(α+ )的值.12 𝜋3 𝜋4解:(1)f(x)= sin 2x+ cos 2x=sin(2x+ ),T=π.12 32 𝜋3(2)因为 f(α)= ,α∈[0, ),12 𝜋3所以 2α+ ∈[ ,π),sin（2α+ ）= ,𝜋3 𝜋3 𝜋3 12所以 2α+ = ,α= ,𝜋35𝜋6 𝜋4f（α+ ）=f（ ）=sin（π+ ）=- .𝜋4 𝜋2 𝜋3 3222.(本小题满分 12 分)(2015 绍兴县校级期中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知角 A,B,C 成等差数列.(1)若 b= ,求 a+c 的取值范围;32(2)若 , , 也成等差数列 ,求证:a=c.1𝑎1𝑏1𝑐(1)解:由已知得 B=60°,由正弦定理 = = = =1,𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵 32𝑠𝑖𝑛60°得 a+c=sin A+sin C=sin A+sin(120°-A)= cos(60°-A),3因为 A∈(0°,120°),所以 60°-A∈(-60°,60°),则 cos(60°-A)∈（ ,1],12因此 a+c∈( , ].32 3(2)证明:由已知 = + ,得 b= ,2𝑏1𝑎1𝑐 2𝑎𝑐𝑎+𝑐11又 b2=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac,将 b= 代入此式得( )2=a2+c2-ac,2𝑎𝑐𝑎+𝑐 2𝑎𝑐𝑎+𝑐化简此式得(a 2+c2)2+ac(a2+c2)-6a2c2=0,即(a 2+c2+3ac)(a2+c2-2ac)=0,因为 a2+c2+3ac0,所以 a2+c2-2ac=0,得 a=c.1阶段检测试题(六)(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】 知识点、方法 题号统计 3,7,11统计案例 4,6概率 2,9,16算法 5,8,15复数 1,13推理与证明 10,12,14,17,22综合问题 18,19,20,21一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.复数 m2-1+(m+1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为( B )(A)-1 (B)1 (C)±1 (D)±2解析:若复数 m2-1+(m+1)i 是纯虚数,则 m2-1=0 且 m+1≠0,解得 m=±1 且 m≠-1,解得 m=1,故选 B.2.从 3 个红球、2 个白球中随机取出 2 个球,则取出的 2 个球不全是红球的概率是( C )(A) (B) (C) (D)110 310 710 35解析:“取出的 2 个球全是红球”记为事件 A,则 P(A)= .310因为“取出的 2 个球不全是红球”为事件 A 的对立事件,所以其概率为 P( )=1-P(A)=1- = .故选 C.𝐴3107103.(2016 常德一模)现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有 150 件、120 件、180 件、150 件.为了调查产品的情况,需从这 600 件产品中抽取一个容量为 100 的样本,若采用分层抽样,设甲产品中应抽取产品件数为 x,且此次抽样中,某件产品 A 被抽到的概率为 y,则 x,y 的值分别为( D )(A)25, (B)20, (C)25, (D)25,14 16 1600 16解析:根据题意得 = ,𝑥150100600解得 x=25.由于分层抽样的每个个体被抽到的概率相等,所以 y= = .故选 D.100600164.(2016 高安市校级一模)为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用2×2 列联表进行独立性检验,经计算 χ 2=8.01,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为( C )(A)0.1% (B)1% (C)99% (D)99.9%P(χ 2≥k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.8282解析:因为 χ 2=8.016.635,对照表格可知,有 99%的把握说“喜欢乡村音乐与性别有关系”.故选 C.5.(2016 开封二模)给出一个如图所示的流程图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:当 x≤2 时,由 x2=x 得 x=0,1 满足条件;当 25 时,由 =x 得 x=±1,不满足条件,1𝑥所以这样的 x 值有 3 个.故选 C.6.(2016 济南一模)某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 y=8.5x+7.5,则表中的 m 的值为( C )x 2 4 5 6 8y 25 35 m 55 75(A)50 (B)55 (C)60 (D)65解析:由题意, = =5,𝑥2+4+5+6+85= =38+ .𝑦25+35+𝑚+55+755 𝑚5因为 y 关于 x 的线性回归方程为 y=8.5x+7.5,根据线性回归方程必过样本点的中心,得 38+ =8.5×5+7.5,𝑚5所以 m=60.故选 C.7.(2016 福州一模)如图是某篮球联赛中,甲、乙两名运动员 12 个场次得分的茎叶图.设甲、乙两人得分的平均数分别为 , ,中位数分别为 m 甲 ,m 乙 ,则( C )𝑥甲 𝑥乙(A) m 乙𝑥甲 𝑥乙 𝑥甲 𝑥乙(C) ,m 甲 m 乙 (D) ,m 甲 ,m 甲 m 乙 ,故选 C.𝑥甲 𝑥乙8.(2016 重庆模拟)如图给出的是计算 + + +…+ 的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执行框中121416 1100的(2)处应填的语句是( C )(A)i100,n=n+1 (B)i100,n=n+2(C)i50,n=n+2 (D)i≤50,n=n+2解析:经第一次循环得到的结果是{𝑆=12,𝑛=4,𝑖=2,经第二次循环得到的结果是{𝑆=12+14,𝑛=6,𝑖=3, 经第三次循环得到的结果是{𝑆=12+14+16,𝑛=8,𝑖=4. 据观察 S 中最后一项的分母与 i 的关系是分母=2(i-1),令 2(i-1)=100,解得 i=51,即需要 i=51 时输出,故图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句分别是 i50,n=n+2.故选 C.9.(2016 赤峰模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是( A )(A) (B) (C) (D)16 19 112 118解析:抛掷两枚质地均匀的骰子的基本事件共 36 个:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6);而向上的点数之差的绝对值为 3 的基本事件有 6 个:(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3),4所以向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是 = .6361610.在 R 上定义运算: =ad-bc.若不等式 ≥1 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的最大值为( D )|𝑎 𝑏𝑐 𝑑| |𝑥‒1 𝑎‒2𝑎+1 𝑥|(A)- (B)- (C) (D)12 32 12 32解析:据已知定义可得不等式 x2-x-a2+a+1≥0 恒成立,故 Δ=1-4(-a 2+a+1)≤0,解得- ≤a≤ ,故 a 的最大值为 .12 32 3211.(2016 黄冈模拟)一组数据中的每一个数据都乘以 2,再都减去 80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是 4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( A )(A)40.6,1.1 (B)48.8,4.4(C)81.2,44.4 (D)78.8,75.6解析:记原数据依次为 x1,x2,x3,…,xn,则新数据依次为 2x1-80,2x2-80,2x3-80,…,2xn-80,且 =1.2,2(𝑥1+𝑥2+…+𝑥𝑛)‒80𝑛𝑛因此有 = =40.6,𝑥1+𝑥2+…+𝑥𝑛𝑛 1.2+802结合各选项知正确选项为 A.12.(2016 漳州二模)对于定义域为 D 的函数 y=f(x)和常数 C,若对任意正实数 ξ,存在 x∈D,使得 0105,由此得到 y=173105,再循环一次得到 y=68n,故只剩下一半情况,即有 15 种,因此 P(A)= = .1536512答案:512三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知 a1,a2∈R,a 1+a2=1,求证: + ≥ .𝑎21𝑎22 12证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,f(x)=2x2-2(a1+a2)x+ + =2x2-2x+ + .𝑎21𝑎22 𝑎21𝑎22因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0,所以 Δ=4-8( + )≤0,从而得 + ≥ .𝑎21𝑎22 𝑎21𝑎22 12(1)若 a1,a2,…,an∈R,a 1+a2+…+an=1,请写出上述问题的推广式;(2)参考上述证法,对你推广的问题加以证明.(1)解:若 a1,a2,…,an∈R,a 1+a2+…+an=1.求证: + +…+ ≥ .𝑎21𝑎22 𝑎2𝑛 1𝑛7(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+ + +…+𝑎21𝑎22 𝑎2𝑛=nx2-2x+ + +…+ .𝑎21𝑎22 𝑎2𝑛因为对一切 x∈R,都有 f(x)≥0,所以 Δ=4-4n( + +…+ )≤0,𝑎21𝑎22 𝑎2𝑛从而证得 + +…+ ≥ .𝑎21𝑎22 𝑎2𝑛 1𝑛18.(本小题满分 12 分)(2016 南昌市一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取50 个进行调研,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示,若要在成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进行复查.(1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第 5 组,求学生甲或学生乙被选中复查的概率;(2)在已抽取到的 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受篮球项目的考核,求其中一人在第 3 组,另一人在第 4 组的概率.解:(1)设“学生甲或学生乙被选中复查”为事件 A,第 3 组人数为 50×0.06×5=15,第 4 组人数为 50×0.04×5=10,第 5 组人数为 50×0.02×5=5,根据分层抽样知,第 3 组应抽取 3 人,第 4 组应抽取 2 人,第 5 组应抽取 1 人,所以 P(A)= .25(2)记第 3 组选中的三人分别是 A1,A2,A3,第 4 组选中的二人分别为 B1,B2,第 5 组选中的人为 C,从这六人中选出两人,有以下基本事件:A 1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C,A2A3,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1B2,B1C,B2C,共 15 个基本事件,符合一人在第 3 组,另一人在第 4 组的基本事件有 A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共6 个,所以所求概率 P= = .6152519.(本小题满分 12 分)某游艇制造厂研发了一种新游艇,今年前 5 个月的产量如下:月份 x 1 2 3 4 5游艇数 y(艘) 2 3 5 7 88(1)设 y 关于 x 的回归直线方程为 y=bx+a.现根据表中数据已经正确计算出了 b 的值为 1.6,试求 a 的值,并估计该厂 6 月份的产量;(计算结果精确到 1)(2)质检部门发现该厂 1 月份生产的游艇存在质量问题,要求厂家召回;现有一旅游公司曾向该厂购买了今年前两个月生产的游艇 2 艘,求该旅游公司有游艇被召回的概率.解:(1) = =3,𝑥1+2+3+4+55= =5.𝑦2+3+5+7+85因为回归直线 y=bx+a 过点( , ),𝑥𝑦所以 a= -a =5-1.6×3=0.2,𝑦 𝑥所以 y=1.6x+0.2,当 x=6 时,y=1.6×6+0.2=9.8≈10,所以估计该厂 6 月份的产量为 10 艘.(2)法一 设一月份生产的 2 艘游艇为 a1,a2,二月份生产的 3 艘游艇为 b1,b2,b3,旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有{a 1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}共 10 种,其中 2 艘游艇全为二月份生产的结果有{b 1,b2},{b1,b3},{b2,b3},共 3 种,所以两艘游艇全部为二月份生产的概率为 P= ,310所以两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 1-P= ,710即该旅游公司有游艇被召回的概率为 .710法二 设一月份生产的 2 艘游艇为 a1,a2,二月份生产的 3 艘游艇为 b1,b2,b3,旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有{a 1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3},共 10 种,其中,两艘游艇中至少一艘为一月份生产的结果有{a 1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},共 7 种,所以两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 P= ,710即该旅游公司有游艇被召回的概率为 .71020.(本小题满分 12 分)(2016 安徽示范高中模拟)某数学老师对本校高三学生某次联考的数学成绩进行分析,按 1∶50 进行分层抽样抽取 20 名学生的成绩进行分析,分数用茎叶图记录如图所示(部分数据丢失)得到的频率分布表如下:分数段(分) [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150) 合计频数 b频率 a 0.259(1)求表中 a,b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数,并估计这次考试全校学生数学成绩及格率(分数在[90,150]范围内为及格).(2)从大于等于 110 分的学生中随机选 2 名学生得分,求 2 名学生的平均得分大于等于 130 分的概率.解:(1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有 2 人,在[110,130)范围内的有 3 人,所以 a= =0.1,b=3.220又分数在[110,150)范围内的频率为 =0.25,520所以分数在[90,110)范围内的频率为 1-0.1-0.25-0.25=0.4,所以分数在[90,110)范围内的人数为 20×0.4=8,由茎叶图可知分数在[100,110)范围内的人数为 4 人,所以分数在[90,100)范围内的学生数为 8-4=4.20 人中数学成绩及格的学生为 13 人.所以估计全校数学成绩及格率为 =65%.1320(2)设 A 表示事件“从大于等于 110 分的学生中随机选 2 名学生得分,平均得分大于等于 130 分”,由茎叶图可知大于等于 110 分的有 5 人,记这 5 人分别为 m,n,c,d,e,则选取学生的所有可能结果为(m,n),(m,c),(m,d),(m,e),(n,c),(n,d),(n,e),(c,d),(c,e),(d,e),基本事件数为 10,事件“2 名学生的平均得分大于等于 130 分”也就是“这 2 名学生的分数之和大于等于 260 分”,所以可能结果为(118,142),(128,136),(128,142),(136,142)共 4 种情况,基本事件数为 4,所以 P(A)= = .4102521.(本小题满分 12 分)(2016 长春市质量监测二)根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的 1 000 位上网购物者的年龄情况如图所示.(1)已知[30,40),[40,50),[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求 a,b 的值;10(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放 50 元的代金券,潜在消费人群每人发放 100 元的代金券,现采用分层抽样的方式从参与调查的 1 000 位上网购物者中抽取 5 人,并在这 5 人中随机抽取 3 人进行回访,求此三人获得代金券总和为 200 元的概率.解:(1)由题图及题意可知 a=0.035,b=0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取 5 人,其中属于高消费人群的有 3 人,属于潜在消费人群的有 2 人.令高消费的3 人为 A,B,C,潜在消费的 2 人为 a,b,从中取出三人,总共有 ABC,ABa,ABb,ACa,ACb,BCa,BCb,Aab,Bab,Cab,10种情况,其中 ABa,ABb,ACa,ACb,BCa,BCb 为获得代金券总和为 200 元的情况,因此,三人获得代金券总和为 200元的概率为 .3522.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 f′(x)= ,g(x)=f(x)+f′(x).1𝑥(1)求 g(x)的单调区间和最小值;(2)是否存在 x00,使得|g(x)-g(x 0)|0 成立? 若存在,求出 x0的取值范围;若不存在,请说明理由.1𝑥解:(1)因为(ln x)′= ,f(1)=0,1𝑥所以 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,1𝑥g′(x)= .令 g′(x)=0 得 x=1.𝑥‒1𝑥2当 x∈(0,1)时,g′(x)0,故(1,+∞)是 g(x)的单调递增区间,因此 x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为 g(1)=1.(2)满足条件的 x0不存在.理由如下:假设存在 x00,使得|g(x)-g(x 0)|0 成立,1𝑥即对任意 x0,有 ln x0,使得|g(x)-g(x 0)|0 成立.1𝑥1阶段检测试题(三)(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】 知识点、方法 题号求通项、证明 1,15,20等差数列、等比数列及应用 5,10,18数列求和 6,8,20不等式的性质及解法 2,3,17线性规划问题 4,11,13基本不等式及应用 7,14,19综合问题 9,12,16,21,22一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2015 沧州期末)已知数列{a n}中,a 1=3,an+1=2an+1,则 a3等于( C )(A)3 (B)7 (C)15 (D)18解析:因为 a1=3,an+1=2an+1,所以 a2=2a1+1=2×3+1=7,a3=2a2+1=2×7+1=15.2.(2015 石家庄二模)如果 a-b0,ab0,所以- - ,即- - .𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏 1𝑏 1𝑎A 成立;由 ab2,B 不成立;由 a0 得-a 2|b|.D 不成立.3.(2015 怀化二模)设集合 M={x|0≤xN (B)M=N(C)M2+2=4,1𝑎‒2 1𝑎‒2N=lo （x 2+ ）≤lo =40)则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以 a=20;由 (a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,17得 3a+3d=7(2a-3d);所以 24d=11a,所以 d= ,556所以,最小的 1 份为 a-2d=20- = .1106 5311.(2015 温江校级模拟)某企业拟生产甲、乙两种产品,已知每件甲产品的利润为 3 万元,每件乙产品的利润为 2 万元,且甲、乙两种产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在每台设备A、每台设备 B 上加工 1 件甲产品所需工时分别为 1 h 和 2 h,加工 1 件乙产品所需工时分别为 2 h 和 1 h,A 设备每天使用时间不超过 4 h,B 设备每天使用时间不超过 5 h,则通过合理安排生产计划,该企业在一天内的最大利润是( D )(A)18 万元 (B)12 万元 (C)10 万元 (D)8 万元4解析:设应生产甲、乙两种产品各 x,y 件,则企业获得的利润为 z=3x+2y,x,y 满足的约束条件为画出可行域,如图,可知最优解为(2,1),即应生产 A 产品 2 件,B 产品 1 件,可使{𝑥+2𝑦≤4,2𝑥+𝑦≤5,𝑥,𝑦∈𝑁, 企业获得最大利润,最大利润为 8 万元.12.若两个正实数 x,y 满足 + =1,且不等式 x+ 0,y0,且 + =1,1𝑥4𝑦所以 x+ =（x+ ）( + )= + +2≥2 +2=4,𝑦4 𝑦4 1𝑥4𝑦 4𝑥𝑦 𝑦4𝑥 4𝑥𝑦·𝑦4𝑥当且仅当 = ,即 x=2,y=8 时取“=”,4𝑥𝑦 𝑦4𝑥所以(x+ )min=4,𝑦4故 m2-3m4,即(m+1)(m-4)0,解得 m4,所以实数 m 的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.(2015 辽宁校级一模)若变量 x,y 满足约束条件 则 z=x+2y 的最小值为 .{3≤2𝑥+𝑦≤9,6≤𝑥‒𝑦≤9,解析:在坐标系中画出约束条件的可行域,得到的图形是一个平行四边形,目标函数 z=x+2y,即为 y=- x+ ,当直线过 A 点时,z 取到最小值,由 y=x-9 与 2x+y=3 得交点为 A(4,-5),所以12 𝑧2zmin=4+2×(-5)=-6.5答案:-614.(2016 天津模拟)函数 y=loga(x+3)-1(a0,a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线mx+ny+1=0 上,其中 mn0,则 + 的最小值为1𝑚2𝑛. 解析:由题意可得定点 A(-2,-1),又点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,所以 2m+n=1,又 mn0,则 m0,n0,则 + = + =4+ + ≥4+1𝑚2𝑛2𝑚+𝑛𝑚 4𝑚+2𝑛𝑛 𝑛𝑚4𝑚𝑛2 =8,𝑛𝑚·4𝑚𝑛当且仅当 = ,即 m= ,n= 时,等号成立.𝑛𝑚4𝑚𝑛 14 12答案:815.(2015 徐汇一模)设数列{a n}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,Sn- an+1=0(n∈N *),则{a n}的通项12公式为 . 解析:当 n≥2 时,a n=Sn-Sn-1= an+1- an,12 12化为 an+1=3an,由 a1- a2=0,解得 a2=2.12所以当 n≥2 时,数列{a n}为等比数列,所以 an=2×3n-2.所以{a n}的通项公式为 an={1,𝑛=1,2·3𝑛‒2,𝑛≥2.答案:a n={1,𝑛=1,2·3𝑛‒2,𝑛≥216.(2015 浉河区校级模拟)已知正项等比数列{a n}满足 a7=a6+2a5.若存在两项 am,an使得=2a1,则 + 的最小值为 . 𝑎𝑚𝑎𝑛1𝑚9𝑛解析:设正项等比数列{a n}的公比为 q,则 q0,因为 a7=a6+2a5,所以 a5q2=a5q+2a5,所以 q2-q-2=0,解得 q=2,因为存在两项 am,an使得 =2a1,𝑎𝑚𝑎𝑛6所以 a1qm-1·a1qn-1=4 ,把 q=2 代入解得 m+n=4,𝑎21所以 + = ( + )(m+n)1𝑚9𝑛141𝑚9𝑛= (10+ + )14 𝑛𝑚9𝑚𝑛≥ (10+2 )=4,14 𝑛𝑚·9𝑚𝑛当且仅当 = ,即 m=1 且 n=3 时取等号,𝑛𝑚9𝑚𝑛故 + 的最小值为 4.1𝑚9𝑛答案:4三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)(2015 达州期末)已知 f(x)=x2-(a+ )x+1.1𝑎(1)当 a= 时,解不等式 f(x)≤0;12(2)若 a0,解关于 x 的不等式 f(x)≤0.解:(1)当 a= 时,有不等式 f(x)=x2- x+1≤0,12 52所以(x- )(x-2)≤0,12所以不等式的解集为{x| ≤x≤2}.12(2)因为不等式 f(x)=(x- )(x-a)≤0,1𝑎当 0a,1𝑎所以不等式的解集为{x|a≤x≤ };1𝑎当 a1 时,有 0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%.3𝑥500(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则 a 的取值范围是多少?解:(1)由题意得 10(1 000-x)(1+ )≥10×1 000,0.2𝑥100即 x2-500x≤0,又 x0,所以 00,所以 0 对任意 n∈N 都成立的正整数 m 的最小值.1𝑇𝑛解:(1)因为 an+1=2an+1,所以 an+1+1=2(an+1),因为 a1=1,a1+1=2≠0,9所以数列{a n+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列.所以 an+1=2×2n-1,所以 an=2n-1.(2)因为 cn= = ( - ),1(2𝑛+1)(2𝑛+3)12 12𝑛+1 12𝑛+3所以 Tn= （ - + - +…+ - ）12 13151517 12𝑛+1 12𝑛+3= （ - ）12 13 12𝑛+3= = .𝑛3×(2𝑛+3) 𝑛6𝑛+9所以 = =6+ ,n∈N *,1𝑇𝑛6𝑛+9𝑛 9𝑛因为 6+ ≤15,所以当 n=1 时 , 取得最大值 15.9𝑛 1𝑇𝑛要使得 am 对任意 n∈N *都成立,结合(1)的结果,只需 2m-115,由此得 m4.1𝑇𝑛所以正整数 m 的最小值是 5.22.(本小题满分 12 分)(2015 衡水一模)已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn,函数 f(x)= px3- (p+q)x2+qx+q(其中 p,q13 12均为常数,且 pq0),当 x=a1时,函数 f(x)取得极小值,点(n,2S n)(n∈N *)均在函数 y=2px2-qx+q-f′(x)的图像上.(1)求 a1的值;(2)求数列{a n}的通项公式.解:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=px 2-(p+q)x+q,令 f′(x)=0,得 x=1 或 x= .𝑞𝑝又因为 pq0,故有 01)②①②相减可得 2an=2pn,所以 an=pn.再由 a1=1 可得 p=1,故 an=n.10综上可得,数列{a n}的通项公式为 an=n.1阶段检测试题(四)(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】 知识点、方法 题号空间几何体结构特征 1,16三视图与直观图 7,8,13几何体的表面积与体积 3,4,7,8,13,14,19,20空间点、线、面关系 2,5空间中的平行关系 9,12,17,18,19空间中的垂直关系 12,15,17,18,20空间直角坐标系 4综合问题 6,8,10,11,16,19,20,21,22一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( A )(A)棱柱 (B)棱台(C)棱柱与棱锥的组合体 (D)不能确定解析:不妨固定底面左边后倾斜,所以前后两个面可看作棱柱的底面,该几何体是棱柱.2.以下四个命题中,正确命题的个数是( B )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则 A,B,C,D,E 共面;③若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①中,假设存在三点共线,则这四点必共面,与题设矛盾,故①正确;②中,若 A,B,C 三点共线,则 A,B,C,D, E 有可能不共面,故②错误;③中,如图所示正方体的棱中,a,b 共面,a,c 共面,而 b,c 异面,故③错误;④中,空间四边形的四条线段不共面,故④错误.故选 B.3.一个平行于圆锥底面的平面将圆锥母线分成相等的两段,那么圆锥被分成的两部分侧面积之比为( C )(A)1∶1 (B)1∶2 (C)1∶3 (D)1∶42解析:母线被分成相等的两段,底面半径之比为 1∶2,所以小圆锥的侧面积为大圆锥侧面积的 ,故所求比值为 1∶3.144.(2015 贵州省适应性考试)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),该四面体的体积为( A )(A) (B) (C)1 (D)213 64 3解析:由已知四面体任意两顶点的距离即棱长 a= ,故其底面积 S= ×( )2= ,高 h=234 2 32,所以体积 V= Sh= × × = .233 13 13 32 233 135.(2016 山东日照校级联检)设 α,β,γ 为平面,m,n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是( D )(A)α⊥β,α∩β=n,m⊥n(B)α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ(C)α⊥β,β⊥γ,m⊥α(D)m⊥α,n⊥α,n⊥β解析:A,B,C 中条件均得不出 m⊥β.对于选项 D,因为 n⊥α,m⊥α,所以 m∥n,又因为 n⊥β,所以 m⊥β.6.(2015 宁夏银川 4 月模拟)设 a,b,c 表示三条直线,α,β 表示两个平面,则下列命题中逆命题不成立的是( C )(A)c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β(B)b α,c⊈ α,若 c∥α,则 b∥c(C)b β,若 b⊥α,则 β⊥α(D)a,b α,a∩b=P,c⊥a,c⊥b,若 α⊥β,则 c β解析:A 的逆命题为 c⊥α,若 α∥β,则 c⊥β,成立,B 的逆命题为 b α,c⊈ α,若 b∥c,则 c∥α,成立,C 的逆命题为 b β,若 β⊥α,则 b⊥α,不成立.D 的逆命题为a,b α,a∩b=P,c⊥a,c⊥b,若 c β,则 α⊥β,成立.7.(2015 辽宁沈阳二中月考)如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( A )(A)2π+8 (B)8π+8(C)4π+8 (D)6π+83解析:由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱,下面为一个长方体,所以其体积为π×1 2×2+2×4×1=2π+8.8.(2015 河南、河北、山西三省一模)某几何体的三视图如图所示,若其主视图为等腰梯形,左视图为正三角形,则该几何体的表面积为( B )(A)2 +2 (B)6 (C)4 +2 (D)83 3解析:根据几何体的三视图,得该几何体是三棱柱,两端各去掉一个全等的三棱锥,如图所示.底面 ABCD 是矩形,AB=2,AD=1,EF 平行于底面,且 EF=1,DE=AE= = ,12+(12) 2 52过点 E 作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM= ,12所以 EM=1,所以 S 梯形 ABFE= ×(1+2)×1= =S 梯形 CDEF,12 32S△ADE =S△BCF = ×1× = ×1×1= ,12 𝐷𝐸2‒(𝐴𝐷2) 212 12S 矩形 ABCD=2×1=2,所以该几何体表面积 S 表面积 =2+2× +2× =6.32 129.(2015 江西九江二模)在正方体 ABCD A1B1C1D1中,M 是棱 A1B1的中点,点 P 是侧面 CDD1C1上的动点,且 MP∥截面 AB1C,则线段 MP 扫过的图形是( B )(A)中心角为 30°扇形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形解析:4取 CD 的中点 N,CC1的中点 R,B1C1的中点 H,连接 MN,NR,MH,RH,MR,则 MN∥B 1C∥HR,MH∥AC,故平面 MNRH∥平面 AB1C,MP 平面 MNRH,线段 MP 扫过的图形是△MNR,设 AB=2,则MN=2 ,NR= ,MR= ,所以 MN2=NR2+MR2,所以△MNR 是直角三角形.2 2 610.(2015 河北衡水中学四调)已知直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在球 O 的球面上,且AB=AC=1,BC= ,若球 O 的体积为 π,则这个直三棱柱的体积等于 ( B )32053(A) (B) (C)2 (D)2 3 5解析:由球的体积公式得球的半径 R= ,由 AB=AC=1,BC= 得△ABC 是顶角是 120°的等腰5 3三角形,其外接圆半径 r=1,所以球心到三棱柱底面的距离为 2,所以此三棱柱的体积为×1×1×sin 120°×4= .12 311.(2015 河北衡水中学五调)将一张边长为 6 cm 的正方形纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型,如图(2)放置,若正四棱锥的主视图是正三角形(如图(3)),则正四棱锥的体积是( A )(A) cm3 (B) cm3836 436(C) cm3 (D) cm3832 432解析:因为题图(1)中的虚线长为题图(2)正四棱锥的底面边长,设为 x,又正四棱锥的主视图是正三角形,所以正四棱锥的斜高也为 x,由题图(1)得 x+ =3 ,解得 x=2 ,即正四棱锥的底面边长为 2 ,𝑥2 2 2 2所以四棱锥的高为 ,6所以四棱锥的体积 V= ×8× = .13 686312.(2015 河南、河北、山西三省一模)在多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2AB,F 为棱 CE 上异于点 C,E 的动点,则下列说法正确的有( C )①直线 DE 与平面 ABF 平行;②当 F 为 CE 的中点时,BF⊥平面 CDE;③存在点 F 使得直线 BF 与 AC 平行;④存在点 F 使得 DF⊥BC.(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个5解析:①因为 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,所以 DE∥AB,而 DE⊈平面 ABF,AB 平面 ABF,所以直线 DE 与平面 ABF 平行,正确;②当 F 为 CE 的中点时,取 CD 的中点 M,连接 AM,MF,则 MF DE,12又 AB DE,12所以 AB MF,所以四边形 ABFM 是平行四边形,BF∥AM.而 AM⊥CD,DE⊥AM,CD∩DE=D,所以 AM⊥平面 CDE.所以 BF⊥平面 CDE,正确;③点 C 是平面 ABF 外的一点,因此 BF 与 AC 为异面直线,不可能平行,不正确;④由②可得 BF⊥DF,当 F 为 CE 的中点时,DF⊥CE,BF∩CE=F,所以 DF⊥平面 BCE,所以存在点 F 使得 DF⊥BC,正确;综上可得①②④正确.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.(2015 广东中山一中等七校联考)一个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 cm 3. 解析:由三视图可得几何体为下方是以 4 为边长的正方体,上方为底面为正方形高为 3 的四棱锥,所以其体积为 43+ ×4×4×3=80(cm3).13答案:8014.(2015 河南洛阳市一模)若正四棱锥 P ABCD 的底面边长及高均为 2,则此四棱锥内切球的表面积为 . 6解析:根据题意得正四棱锥的底面面积为 4,一个侧面面积为 ,设球的半径为 R,则由等体5积法得, (4 +4)R= ×4×2⇒R= ,13 5 13 5‒12所以球的表面积为 2(3- )π.5答案:2(3- )π515.如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一个动点,当点 M 满足 时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 解析:由定理可知,BD⊥PC.所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 BMD,又 PC 平面 PCD,所以平面 MBD⊥平面 PCD.答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC)16.(2016 辽宁沈阳二中月考)已知正三棱锥 P ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 的球面上,若3PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到底面 ABC 的距离为 . 解析:由已知可把正三棱锥补形成球内接正方体,因为球的直径为 2 ,所以正方体的棱长为32,则 PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=2 ,S△ABC =2×(2 )2=2 ,设 P 到截面 ABC 的距离为 d,则有 ×2 ×d=34 2 3 13 3× ×2×2×2,解得 d= .所以球心到截面 ABC 的距离为 - = .13 12 233 3233 33答案:33三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)(2015 广东中山一中等七校二联考)如图四边形 ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.求证:(1)PA∥平面 BDE;(2)平面 PAC⊥平面 BDE.证明:7(1)连接 AC,OE,AC∩BD=O,在△PAC 中,因为 E 为 PC 中点,O 为 AC 中点,所以 PA∥EO,又因为 EO 平面 BDE,PA⊈平面 BDE,所以 PA∥平面 BDE.(2)因为 PO⊥底面 ABCD,所以 PO⊥BD.又因为 BD⊥AC,所以 BD⊥平面 PAC.又 BD 平面 BDE,所以平面 PAC⊥平面 BDE.18.(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高.(1)证明:平面 PAC⊥平面 PBD;(2)若 AB= ,∠APB=∠ADB=60°, 求四棱锥 P ABCD 的体积.6(1)证明:因为 PH 是四棱锥 P ABCD 的高,所以 AC⊥PH,又 AC⊥BD,PH,BD 都在平面 PBD 内,且 PH∩BD=H,所以 AC⊥平面 PBD.又 AC 平面 PAC,故平面 PAC⊥平面 PBD.(2)解:因为 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB= ,6所以 HA=HB= .3因为∠APB=∠ADB=60°,所以 PA=PB= ,HD=HC=1,6可得 PH= ,AC=BD= +1.3 3等腰梯形 ABCD 的面积为 S= AC×BD=2+ ,12 38所以四棱锥的体积为 V= ×(2+ )× = .13 3 33+23319.(本小题满分 12 分)(2015 吉林省实验中学二模)正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD= CD=2,点 M 是 EC 中点.12(1)求证:BM∥平面 ADEF;(2)求三棱锥 M BDE 的体积.(1)证明:取 ED 的中点 N,连接 MN,AN.又因为点 M 是 EC 中点,所以 MN∥DC,MN= DC.12而 AB∥DC,AB= DC.12所以 MN￿BA,所以四边形 ABMN 是平行四边形.所以 BM∥AN.而 BM⊈平面 ADEF,AN 平面 ADEF,所以 BM∥平面 ADEF.(2)解:因为 M 为 EC 的中点,所以 S△DEM = S△CDE =2,12因为 AD⊥CD,AD⊥DE,且 DE 与 CD 相交于 D,所以 AD⊥平面 CDE.因为 AB∥CD,所以三棱锥 B DME 的高为 AD=2,所以 = = S△DEM ·AD= .𝑉𝑀𝐵𝐷𝐸𝑉𝐵𝐷𝐸𝑀13 4320.(本小题满分 12 分)(2015 山西运城二模)如图,几何体 EF ABCD 中,四边形 CDEF 为边长为 2 的正方形,四边形 ABCD 为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.9(1)求证:AC⊥FB;(2)求几何体 EF ABCD 的体积.(1)证明:由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且 DC∩DF=D,所以 AD⊥平面 CDEF,所以 AD⊥FC,因为四边形 CDEF 为正方形.所以 DC⊥FC,由 DC∩AD=D,所以 FC⊥平面 ABCD,所以 FC⊥AC.又因为四边形 ABCD 为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,CD=2,所以 AC=2 ,BC=2 ,则有 AC2+BC2=AB2,2 2所以 AC⊥BC,由 BC∩FC=C,所以 AC⊥平面 FCB,所以 AC⊥FB.(2)解:连接 EC,因为 = +𝑉𝐸𝐹𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉𝐸𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉𝐵𝐸𝐶𝐹= S 四边形 ABCD·DE+ S△EFC ·AD13 13= .163所以几何体 EF ABCD 的体积为 .16321.(本小题满分 12 分)(2015 甘肃张掖 4 月模拟)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD的中点.(1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD;(2)若平面 PAD⊥平面 ABCD,PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,且 PM=2MC,求四棱锥 P ABCD 与三棱锥 P QBM 的体积之比.(1)证明:因为 PA=PD,Q 为 AD 的中点,所以 PQ⊥AD,10又因为底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,可证得 BQ⊥AD,又 PQ∩BQ=Q,所以 AD⊥平面 PQB,又 AD 平面 PAD,所以平面 PQB⊥平面 PAD.(2)解:过点 M 作 MH∥BC 交 PB 于点 H.因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PQ⊥AD,所以 PQ⊥平面 ABCD,因为 PA=PD=AD=2,所以 PQ=BQ= ,3所以 = PQ·S 菱形 ABCD= × ×2× =2,𝑉𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷13 13 3 3因为 PQ⊥平面 ABCD,且 BC 平面 ABCD,所以 PQ⊥BC,又因为 BQ⊥AD,AD∥BC,所以 BQ⊥BC,又因为 QB∩QP=Q,所以 BC⊥平面 PQB,又因为 MH∥BC,所以 MH⊥平面 PQB,又 PM=2MC,所以 = = ,𝑀𝐻𝐵𝐶𝑃𝑀𝑃𝐶23因为 BC=2,所以 MH= ,43所以 = = × × × × = ,𝑉𝑃𝑄𝐵𝑀𝑉𝑀𝑃𝑄𝐵13 12 3 3 4323所以 ∶ =3∶1.𝑉𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉𝑃𝑄𝐵𝑀22.(本小题满分 12 分)如图,C,D 是以 AB 为直径的圆上两点,AB=2AD=2 ,AC=BC,F 是 AB 上一点,且 AF= AB,将圆313沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 上的射影 E 在 BD 上,已知 CE= .211(1)求证:AD⊥平面 BCE;(2)求证:AD∥平面 CEF;(3)求三棱锥 A CFD 的体积.(1)证明:依题 AD⊥BD,因为 CE⊥平面 ABD,所以 CE⊥AD,因为 BD∩CE=E,所以 AD⊥平面 BCE.(2)证明:Rt△BCE 中,CE= ,BC= ,2 6所以 BE=2,Rt△ABD 中,AB=2 ,AD= ,3 3所以 BD=3.所以 = = .𝐵𝐹𝐵𝐴𝐵𝐸𝐵𝐷23所以 AD∥EF,因为 AD⊈平面 CEF,EF 平面 CEF,所以 AD∥平面 CEF.(3)解:由(2)知 AD∥EF,AD⊥ED,且 ED=BD-BE=1,所以 F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离为 1.所以 S△FAD = × ×1= .12 3 32因为 CE⊥平面 ABD,所以 = = ×S△AFD ×CE𝑉𝐴𝐶𝐹𝐷𝑉𝐶𝐴𝐹𝐷13= × ×13 32 2= .66