1、教材习题点拨1.2.1 排列1思考：你能归纳一下排列的特征吗？解：排列的两个特征：一是“取出元素” ；二是“按一定的顺序排列” 2？你能概括一下排列数公式的特点吗？解：排列数公式的特点是：右边第一个因数是 n，后面每个因数都比它前面一个因数少 1，最后一个因数是 nm 1，共 m 个连续的正整数相乘练习1解：(1)设这 4 个不同元素分别为 a，b，c，d，则从中任取 2 个元素的所有排列为：ab，ac，ad，ba ，bc ，bd，ca，cb，cd，da，db，dc；(2)设这 5 个不同元素分别为 a，b，c，d，e，则从中任取 2 个元素的所有排列为：ab，ac，ad，ae，ba，bc ，
2、bd ，be，ca，cb，cd ，ce，da ，db，dc，de ，ea，eb，ec，ed.点拨：直接应用排列的定义2解：(1) 1514131232 760；415A(2) 7！5 040；(3) 87652871 568；42(4) .172=A点拨：应用排列数公式3解：n 2 3 4 5 6 7 8n！ 2 6 24 120 720 5 040 40 320点拨：利用计算器直接计算4证明：(1) n(n1)(n2) (nm1) n(n1)(n2)Am(n1) (m1)1 ；1m(2) .8768777A+=+=点拨：利用排列数公式化简即可得到答案5解：60.点拨：从 5 名运动员中选 3
3、 名，即为从 5 个数中选 3 个数的排列6解：24.点拨：从 4 种蔬菜中选 3 种，种在 3 种不同的地上，即为从 4 个数中选 3 个数的排列1.2.2 组合1探究：对于本题的(2)，你还能想到别的解决方法吗？解：还可以这样来分步：第一步，从 17 人中选 1 人担任守门员，有 种选法；第二17C步，从剩下的 16 人中选 10 人，有 种选法，所以共有选法 (种) 106C1076=3 2探究：你能根据上述思想方法，利用分类加法计数原理，证明下列组合数的性质吗？性质 2 11C=+mnn证明：可以根据组合的定义与分类加法计数原理得出从 a1，a 2，a n1 这(n1)个不同的元素中取
4、出 m 个的组合数是 ，这些组合可以分成两类，一类含有 a1，一类不1Cmn含 a1.含有 a1 的组合是从 a2，a 3，a n1 这 n 个元素中取出(m 1)个元素与 a1 组成的，共有 个；不含 a1 的组合是从 a2，a 3，a n1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的，Cmn共有 个根据分类加法计数原理，得 .=+练习1解：(1)甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁；(2)冠军 甲 乙 甲 丙 甲 丁亚军 乙 甲 丙 甲 丁 甲冠军 乙 丙 乙 丁 丙 丁亚军 丙 乙 丁 乙 丁 丙点拨：(1)属于组合问题；(2)属于排列问题2解：ABC，ABD，ACD，BCD.点拨
5、：4 个点中选 3 个不用排序，属于组合问题3解：20.点拨：6 门课中选 3 门，不用考虑顺序，属于组合问题4解：6.点拨：不用考虑顺序，直接利用组合数公式5解：(1) ；265C=1(2) ；387(3) ；276510(4) .38C=48点拨：应用组合数公式6解： 1Cmn !1! .!=mn点拨：应用组合数公式证明习题 1.2A 组1解：(1)348；(2)64.点拨：用计算器计算2解：(1)455；(2)1 313 400；(3) ；(4) .2721n点拨：用计算器计算注意 .19320C=3证明：(1) ；+1 21A()Annn(2) !k .1!1!nkn点拨：利用排列数公
6、式及其性质以及阶乘的性质转化证明4解： 1 680.48A点拨：由于 4 列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关5解：24.点拨：就是对 4 个单位进行全排列6解： .20点拨：由于书架是单层的，所以问题相当于 20 个元素的全排列7解：可以分三步完成：第一步，安排 4 个音乐节目，共有 种排法；第二步，安4A排舞蹈节目，共有 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有 种排法所以不同的排法3A2有 种432=8点拨：本题是一道有限制条件的排列问题，要注意根据题目的要求合理安排分步的顺序8解：由于 n 个不同元素的全排列共有 n！个，而 n！n，所以由 n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一
7、行，并且任意两行的顺序都不同为使每一行都不重复，m 可以取的最大值是 n！.点拨：本题的关键在于明确题中条件，从而得出结果9解：(1)由于圆上任意 3 点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画 45210C条不同的弦；(2) 由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有 1203个点拨：本题中所作的弦及内接三角形与点的顺序无关，所以属于组合问题10解：(1)凸五边形有 5 个顶点，任意 2 个顶点的连线中，除凸五边形的边外都是对角线，所以共有对角线 55 条；2C(2)与(1)同理可得对角线条数为 .23n点拨：本题应用间接法求解更方便，要注意减去的是哪些情况11解：可分为有 1
8、张、2 张、3 张、4 张人民币组成的币值共四类，共有不同的币值种数为 .12344C+=5点拨：由于四张人民币的币值都不相同，组成的币值与顺序无关，所以可以分以上四类12解：(1)由“三个不共线的点确定一个平面” ，所确定的平面与点的顺序无关，所以可确定的平面数是 56.38C(2)由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以可确定的四面体个数是 210.410点拨：本题所求的平面及四面体均与所选点的顺序无关，所以是组合问题13(1) 10；(2) 60；(3)3 5243；(4)mn.35C35A点拨：(1)由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题；(2) 由于礼物互不相同，与
9、分送的顺序有关系，所以是排列问题；(3)由于 5 个人中每个人都有 3 种选择，而且选择的时间对别人没有影响，所以是一个“可重复排列问题” ；(4) 由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步，从集合 A 中取，有 m 种取法；第二步，从集合 B中取，有 n 种取法，所以共有取法 mn 种14解：可以分三步分别从第 1,2,3 题中选题，不同的选法种数为 .3214C=点拨：由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题15解：(1) ；254C=60(2)其余 2 人可以从剩下的 7 人中任意选择，所以共有 种选法；27=1(3)用间接法，在 9 人中选 4 人的选法中，把男
10、甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为 ；497C=1(4)用间接法，在 9 人中选 4 人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为 .4520点拨：由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题16解：按照去的人数分类，去的人数分别为 1,2,3,4,5,6，而去的人大家没有地位差异，所以不同的去法有 种12345666C+C=3点拨：由于只要有人去就行，而没有限制去的人数，所以可以按去的人数分类17解：(1) ；(2) ；(3) ；3198= 714298 10 5198C=2 40 73(4)方法 1： .方法 2： .425 036 598 6B 组1解：由题意从
11、 37 个数中选 7 个数有 种方法，其中与一等奖的 7 个数完全相同73C的只有一注，即 注彩票中可有一个一等奖73C设取 x 个数，则 500 000 6 000 000，且 xN ，解得 x6 或 31.37x可在 37 个数中取 6 个或 31 个数2解：可以按照，的顺序分别着色，分别有 5,4,3,3 种方法，所以着色种数有 5433180 种点拨：此题属于分步乘法计数原理的应用3解：分三步完成：第一步，从 1,3,5,7,9 中取三个数，有 种取法；第二步，从35C2,4,6,8 中取两个数，有 种取法；第三步，将取出的 5 个数全排列，有 种排法共有24C5A符合条件的五位数 个
12、35A70点拨：本题的关键是注意到先取元素后排列4解：由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其他三人中的一个，有 种可能；乙13不是最差的，所以是第 2,3,4 名中的一种有 种可能；上述位置确定后，甲连同其他 2 人13可任意排列，有 种排法所以名次排列的可能情况的种数是 .3A13A=545解：等式两边都是两个相乘，可以想到分步乘法计数原理，于是可得如下分步取组合的方法在 n 个人中选择 m 个人打扫卫生，其中 k 个人擦窗， mk 个人拖地，问共有多少种不同的选取人员的方法？解法一：利用分步乘法计数原理，先从 n 个人中选 m 个人，然后从选出的 m 个人中再选出 k 个人擦窗，剩余的人拖地，这样有 种不同的选取人员的方法；Cmk解法二：直接从 n 个人中选 k 个人擦窗，然后在剩下的 nk 个人中选 mk 个人拖地，这样，由分步乘法计数原理，得共有 种不同的选取人员的方法Ckmn所以 .C=mkmknn点拨：从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释，有助于我们对问题的深入理解，检查结果，纠正错误
