2017届高三数学一轮总复习 不等式选讲试题（打包4套）选修4-5.zip

1开卷速查(选修 4－5－2) 不等式的证明1．[2014·江苏]已知 x＞0， y＞0，证明：(1＋ x＋ y2)(1＋ x2＋ y)≥9 xy。证明：因为 x＞0， y＞0，所以 1＋ x＋ y2≥3 ＞0,1＋ x2＋ y≥3 ＞0，故(1＋ x＋ y2)3xy2 3x2y(1＋ x2＋ y)≥3 ·3 ＝9 xy。3xy2 3x2y2．设 a， b， c 均为正数，且 a＋ b＋ c＝1，证明：(1)ab＋ bc＋ ca≤ ；13(2) ＋ ＋ ≥1。a2b b2c c2a证明：(1)由 a2＋ b2≥2 ab， b2＋ c2≥2 bc， c2＋ a2≥2 ca 得 a2＋ b2＋ c2≥ ab＋ bc＋ ca。由题设得( a＋ b＋ c)2＝1，即 a2＋ b2＋ c2＋2 ab＋2 bc＋2 ca＝1，所以 3(ab＋ bc＋ ca)≤1，即 ab＋ bc＋ ca≤ 。13(2)因为 ＋ b≥2 a， ＋ c≥2 b， ＋ a≥2 c，a2b b2c c2a故 ＋ ＋ ＋( a＋ b＋ c)≥2( a＋ b＋ c)，a2b b2c c2a即 ＋ ＋ ≥ a＋ b＋ c。a2b b2c c2a所以 ＋ ＋ ≥1。a2b b2c c2a3．[2015·课标Ⅱ]设 a， b， c， d 均为正数，且 a＋ b＝ c＋ d，证明：(1)若 ab＞ cd，则 ＋ ＞ ＋ ；a b c d(2) ＋ ＞ ＋ 是| a－ b|＜| c－ d|的充要条件。a b c d证明：(1)因为( ＋ )2＝ a＋ b＋2 ，( ＋ )2＝ c＋ d＋2 ，a b ab c d cd由题设 a＋ b＝ c＋ d， ab＞ cd 得( ＋ )2＞( ＋ )2。a b c d因此 ＋ ＞ ＋ 。a b c d(2)(ⅰ)若| a－ b|＜| c－ d|，则( a－ b)2＜( c－ d)2，即( a＋ b)2－4 ab＜( c＋ d)2－4 cd。因为 a＋ b＝ c＋ d，所以 ab＞ cd。由(1)得 ＋ ＞ ＋ 。a b c d(ⅱ)若 ＋ ＞ ＋ ，则( ＋ )2＞( ＋ )2，a b c d a b c d即 a＋ b＋2 ＞ c＋ d＋2 ，ab cd因为 a＋ b＝ c＋ d，所以 ab＞ cd。于是( a－ b)2＝( a＋ b)2－4 ab＜( c＋ d)2－4 cd＝( c－ d)2，因此| a－ b|＜| c－ d|。综上， ＋ ＞ ＋ 是| a－ b|＜| c－ d|的充要条件。a b c d4．[2015·湖南]设 a＞0， b＞0，且 a＋ b＝ ＋ 。1a 1b证明：(1)a＋ b≥2；2(2)a2＋ a＜2 与 b2＋ b＜2 不可能同时成立。证明：由 a＋ b＝ ＋ ＝ ， a＞0， b＞0，得 ab＝1。1a 1b a＋ bab(1)由基本不等式及 ab＝1，有 a＋ b≥2 ＝2，即 a＋ b≥2，当且仅当 a＝ b＝1 时等号成立。ab(2)假设 a2＋ a＜2 与 b2＋ b＜2 同时成立，则由 a2＋ a＜2 及 a＞0 得 0＜ a＜1；同理，0＜ b＜1，从而 ab＜1，这与 ab＝1 矛盾。故 a2＋ a＜2 与 b2＋ b＜2 不可能同时成立。5．设函数 f(x)＝2| x－1|＋ x－1， g(x)＝16 x2－8 x＋1。记 f(x)≤1 的解集为 M， g(x)≤4 的解集为 N。(1)求 M；(2)当 x∈ M∩ N 时，证明： x2f(x)＋ x[f(x)]2≤ 。14解析：(1) f(x)＝Error!当 x≥1 时，由 f(x)＝3 x－3≤1 得 x≤ ，故 1≤ x≤ ；43 43当 x＜1 时，由 f(x)＝1－ x≤1 得 x≥0，故 0≤ x＜1，所以 f(x)≤1 的解集为 M＝Error!。(2)证明：由 g(x)＝16 x2－8 x＋1≤4 得 16 2≤4，(x－14)解得－ ≤ x≤ ，因此 N＝Error!，14 34故 M∩ N＝ 。{x|0≤ x≤34}当 x∈ M∩ N 时， f(x)＝1－ x，于是 x2f(x)＋ x·[f(x)]2＝ xf(x)[x＋ f(x)]＝ x·f(x)＝ x(1－ x)＝ － 2≤ 。14 (x－ 12) 146．[2016·张掖一诊]已知函数 f(x)＝ m－| x－2|， m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]。(1)求 m 的值；(2)若 a， b， c∈R ＋ ，且 ＋ ＋ ＝ m，求证： a＋2 b＋3 c≥9。1a 12b 13c解析：(1)因为 f(x＋2)＝ m－| x|，所以 f(x＋2)≥0 等价于| x|≤ m，由| x|≤ m 有解，得 m≥0，且其解集为{ x|－ m≤ x≤ m}。又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1。(2)证明：由(1)知 ＋ ＋ ＝1，1a 12b 13c又 a， b， c∈R ＋ ，所以 a＋2 b＋3 c＝( a＋2 b＋3 c) ≥ 2＝9，(1a＋ 12b＋ 13c) (a·1a＋ 2b·12b＋ 3c·13c)所以 a＋2 b＋3 c≥9。31【状元之路】2017 届高三数学一轮总复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明模拟试题 选修 4-5高考模拟 备考套餐加固训练 练透考点1．[2016·清远模拟]已知 a， b＞0， a＋ b＝2， x， y＞0，求证：( ax＋ by)(bx＋ ay)≥4 xy。证明：已知( ax＋ by)(bx＋ ay)＝ ab(x2＋ y2)＋( a2＋ b2)xy，且 a， b， x， y＞0，所以由均值不等式：ab(x2＋ y2)＋( a2＋ b2)xy≥( a2＋2 ab＋ b2)xy＝( a＋ b)2xy＝4 xy，当且仅当 x＝ y 时取“＝” 。2．[2016·石家庄模拟]若 a， b， c∈R ＋ ，且满足 a＋ b＋ c＝2。(1)求 abc 的最大值；(2)证明： ＋ ＋ ≥ 。1a 1b 1c 92解析：(1)因为 a， b， c∈R ＋ ，所以 2＝ a＋ b＋ c≥3 ，故 abc≤ 。3abc827当且仅当 a＝ b＝ c＝ 时等号成立，23所以 abc 的最大值为 。827(2)证明：因为 a， b， c∈R ＋ ，且 a＋ b＋ c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋ ＋ ＝ (a＋ b＋ c)·1a 1b 1c 12 (1a＋ 1b＋ 1c)＝ [( )2＋( )2＋( )2]×12 a b c≥[(1a)2＋ (1b)2＋ (1c)2]2＝ 。12(a× 1a＋ b× 1b＋ c× 1c) 92所以 ＋ ＋ ≥ 。1a 1b 1c 921开卷速查(选修 4－5－1) 绝对值不等式1．[2016·山西四校二联]已知函数 f(x)＝|x＋3|－m，m＞0，f(x－3)≥0 的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)。(1)求 m 的值；(2)若∃ x∈R， f(x)≥|2 x－1|－ t2＋ t＋1 成立，求实数 t 的取值范围。32解析：(1)∵ f(x)＝| x＋3|－ m，∴ f(x－3)＝| x|－ m≥0，∵ m＞0，∴ x≥ m 或 x≤－ m，又 f(x－3)≥0 的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)。故 m＝2。(2)f(x)≥|2 x－1|－ t2＋ t＋1 等价于不等式| x＋3|－|2 x－1|≥－ t2＋ t＋3，32 32令 g(x)＝| x＋3|－|2 x－1|＝Error!故 g(x)max＝ g ＝ ，(12) 72则有 ≥－ t2＋ t＋3，72 32即 2t2－3 t＋1≥0，解得 t≤ 或 t≥1，12即实数 t 的取值范围是 ∪[1，＋∞)。(－ ∞ ，12]2．[2015·课标Ⅰ]已知函数 f(x)＝| x＋1|－2| x－ a|， a＞0。(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)＞1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围。解析：(1)当 a＝1 时， f(x)＞1 化为| x＋1|－2| x－1|－1＞0。当 x≤－1 时，不等式化为 x－4＞0，无解；当－1＜ x＜1 时，不等式化为 3x－2＞0，解得 ＜ x＜1；23当 x≥1 时，不等式化为－ x＋2＞0，解得 1≤ x＜2。所以 f(x)＞1 的解集为{ x| ＜ x＜2}。23(2)由题设可得， f(x)＝Error!所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A， B(2a＋1,0)， C(a， a＋1)，△ ABC 的面积为 (a＋1) 2。由题设得 (a＋1) 2＞6，故(2a－ 13 ， 0) 23 23a＞2。所以 a 的取值范围为(2，＋∞)。3．[2015·陕西]已知关于 x 的不等式| x＋ a|＜ b 的解集为{ x|2＜ x＜4}。(1)求实数 a， b 的值；(2)求 ＋ 的最大值。at＋ 12 bt2解析：(1)由| x＋ a|＜ b，得－ b－ a＜ x＜ b－ a，则Error! 解得 a＝－3， b＝1。(2) ＋ ＝ ＋ ≤－ 3t＋ 12 t 34－ t t＝2 ＝4 ，[ 3 2＋ 12][ 4－ t 2＋  t 2] 4－ t＋ t当且仅当 ＝ ，即 t＝1 时等号成立，4－ t3 t1故( ＋ )max＝4。－ 3t＋ 12 t4．[2015·福建]已知 a＞0， b＞0， c＞0，函数 f(x)＝| x＋ a|＋| x－ b|＋ c 的最小值为 4。(1)求 a＋ b＋ c 的值；(2)求 a2＋ b2＋ c2的最小值。14 19解析：(1)因为 f(x)＝| x＋ a|＋| x－ b|＋ c≥|( x＋ a)－( x－ b)|＋ c＝| a＋ b|＋ c，当且仅当－ a≤ x≤ b 时，等号成立。又 a＞0， b＞0，所以| a＋ b|＝ a＋ b，所以 f(x)的最小值为 a＋ b＋ c。又已知 f(x)的最小值为 4，所以 a＋ b＋ c＝4。(2)由(1)知 a＋ b＋ c＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(14a2＋ 19b2＋ c2)2＝( a＋ b＋ c)2＝16，(a2×2＋ b3×3＋ c×1)即 a2＋ b2＋ c2≥ 。14 19 87当且仅当 ＝ ＝ ，12a213b3 c1即 a＝ ， b＝ ， c＝ 时等号成立。87 187 27故 a2＋ b2＋ c2的最小值为 。14 19 875．[2016·衡水中学模拟]已知关于 x 的不等式|2 x＋1|－| x－1|≤log 2a(其中 a＞0)。(1)当 a＝4 时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数 a 的取值范围。解析：(1)当 a＝4 时，不等式为|2 x＋1|－| x－1|≤2。当 x＜－ 时，－ x－2≤2，12解得－4≤ x＜－ ；12当－ ≤ x≤1 时，3 x≤2，123解得－ ≤ x≤ ；12 23当 x＞1 时， x≤0，此时 x 不存在。∴原不等式的解集为Error!。(2)令 f(x)＝|2 x＋1|－| x－1|，则 f(x)＝Error!故 f(x)∈ ，即 f(x)的最小值为－ 。[－32， ＋ ∞ ) 32若 f(x)≤log 2a 有解，则 log2a≥－ ，32解得 a≥ ，即 a 的取值范围是 。24 [24， ＋ ∞ )6．[2016·洛阳模拟]设 f(x)＝| x|＋2| x－ a|(a＞0)。(1)当 a＝1 时，解不等式 f(x)≤8；(2)若 f(x)≥6 恒成立，求实数 a 的取值范围。解析：(1)当 a＝1 时， f(x)＝| x|＋2| x－1|＝Error!所以 f(x)≤8，则Error! 或Error!或Error!解得 1≤ x≤ 或 0＜ x＜1 或－2≤ x≤0，103∴不等式的解集为Error!。(2)∵ f(x)＝| x|＋2| x－ a|＝Error!由 f(x)的表达式及一次函数的单调性可知， f(x)在 x＝ a 时取得最小值， f(x)min＝ f(a)＝ a，若 f(x)≥6 恒成立，只需 a≥6，即 a 的取值范围为[6，＋∞)。1【状元之路】2017 届高三数学一轮总复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式模拟试题 选修 4-5高考模拟 备考套餐加固训练 练透考点1．[2015·甘肃一模]已知函数 f(x)＝|2 x－1|＋|2 x＋5|，且 f(x)≥ m 恒成立。(1)求 m 的取值范围；(2)当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式：| x－3|－2 x≤2 m－8。解析：(1)要使 f(x)≥ m 恒成立，只需 m≤ f(x)min。由绝对值不等式的性质，有|2 x－1|＋|2 x＋5|≥|(2 x－1)＋(2 x＋5)|＝6，即 f(x)min＝6，所以 m≤6。(2)由(1)知， m＝6，所以原不等式化为| x－3|－2 x≤4，即| x－3|≤4＋2 x，得－4－2 x≤ x－3≤4＋2 x，转化为Error! ，化简，得Error!，所以原不等式的解集为Error!。2．[2016·贵阳检测]已知函数 f(x)＝|2 x＋1|＋|2 x－3|。(1)求不等式 f(x)≤6 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)＜| a－1|的解集非空，求实数 a 的取值范围。解析：(1)原不等式等价于Error!或Error!或Error!解得 ＜ x≤2 或－ ≤ x≤ 或－1≤ x＜－ 。32 12 32 12即原不等式的解集为{ x|－1≤ x≤2}。(2)∵|2 x＋1|＋|2 x－3|≥|(2 x＋1)－(2 x－3)|＝4，∴| a－1|＞4，∴ a＜－3 或 a＞5。故实数 a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)。