1、1开卷速查(选修 452) 不等式的证明12014江苏已知 x0， y0，证明：(1 x y2)(1 x2 y)9 xy。证明：因为 x0， y0，所以 1 x y23 0,1 x2 y3 0，故(1 x y2)3xy2 3x2y(1 x2 y)3 3 9 xy。3xy2 3x2y2设 a， b， c 均为正数，且 a b c1，证明：(1)ab bc ca ；13(2) 1。a2b b2c c2a证明：(1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ca 得 a2 b2 c2 ab bc ca。由题设得( a b c)21，即 a2 b2 c22 ab2 bc2 ca1，
2、所以 3(ab bc ca)1，即 ab bc ca 。13(2)因为 b2 a， c2 b， a2 c，a2b b2c c2a故 ( a b c)2( a b c)，a2b b2c c2a即 a b c。a2b b2c c2a所以 1。a2b b2c c2a32015课标设 a， b， c， d 均为正数，且 a b c d，证明：(1)若 ab cd，则 ；a b c d(2) 是| a b| c d|的充要条件。a b c d证明：(1)因为( )2 a b2 ，( )2 c d2 ，a b ab c d cd由题设 a b c d， ab cd 得( )2( )2。a b c d因此
3、。a b c d(2)()若| a b| c d|，则( a b)2( c d)2，即( a b)24 ab( c d)24 cd。因为 a b c d，所以 ab cd。由(1)得 。a b c d()若 ，则( )2( )2，a b c d a b c d即 a b2 c d2 ，ab cd因为 a b c d，所以 ab cd。于是( a b)2( a b)24 ab( c d)24 cd( c d)2，因此| a b| c d|。综上， 是| a b| c d|的充要条件。a b c d42015湖南设 a0， b0，且 a b 。1a 1b证明：(1)a b2；2(2)a2 a2 与
4、 b2 b2 不可能同时成立。证明：由 a b ， a0， b0，得 ab1。1a 1b a bab(1)由基本不等式及 ab1，有 a b2 2，即 a b2，当且仅当 a b1 时等号成立。ab(2)假设 a2 a2 与 b2 b2 同时成立，则由 a2 a2 及 a0 得 0 a1；同理，0 b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾。故 a2 a2 与 b2 b2 不可能同时成立。5设函数 f(x)2| x1| x1， g(x)16 x28 x1。记 f(x)1 的解集为 M， g(x)4 的解集为 N。(1)求 M；(2)当 x M N 时，证明： x2f(x) xf(x)2 。14解析
5、：(1) f(x)Error!当 x1 时，由 f(x)3 x31 得 x ，故 1 x ；43 43当 x1 时，由 f(x)1 x1 得 x0，故 0 x1，所以 f(x)1 的解集为 MError!。(2)证明：由 g(x)16 x28 x14 得 16 24，(x14)解得 x ，因此 NError!，14 34故 M N 。x|0 x34当 x M N 时， f(x)1 x，于是 x2f(x) xf(x)2 xf(x)x f(x) xf(x) x(1 x) 2 。14 (x 12) 1462016张掖一诊已知函数 f(x) m| x2|， mR，且 f(x2)0 的解集为1,1。(1
6、)求 m 的值；(2)若 a， b， cR ，且 m，求证： a2 b3 c9。1a 12b 13c解析：(1)因为 f(x2) m| x|，所以 f(x2)0 等价于| x| m，由| x| m 有解，得 m0，且其解集为 x| m x m。又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1。(2)证明：由(1)知 1，1a 12b 13c又 a， b， cR ，所以 a2 b3 c( a2 b3 c) 29，(1a 12b 13c) (a1a 2b12b 3c13c)所以 a2 b3 c9。31【状元之路】2017 届高三数学一轮总复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明模拟试题 选修 4-5高考模
7、拟 备考套餐加固训练 练透考点12016清远模拟已知 a， b0， a b2， x， y0，求证：( ax by)(bx ay)4 xy。证明：已知( ax by)(bx ay) ab(x2 y2)( a2 b2)xy，且 a， b， x， y0，所以由均值不等式：ab(x2 y2)( a2 b2)xy( a22 ab b2)xy( a b)2xy4 xy，当且仅当 x y 时取“” 。22016石家庄模拟若 a， b， cR ，且满足 a b c2。(1)求 abc 的最大值；(2)证明： 。1a 1b 1c 92解析：(1)因为 a， b， cR ，所以 2 a b c3 ，故 abc 。
8、3abc827当且仅当 a b c 时等号成立，23所以 abc 的最大值为 。827(2)证明：因为 a， b， cR ，且 a b c2，所以根据柯西不等式，可得 (a b c)1a 1b 1c 12 (1a 1b 1c) ( )2( )2( )212 a b c(1a)2 (1b)2 (1c)22 。12(a 1a b 1b c 1c) 92所以 。1a 1b 1c 921开卷速查(选修 451) 绝对值不等式12016山西四校二联已知函数 f(x)|x3|m，m0，f(x3)0 的解集为(，22，)。(1)求 m 的值；(2)若 xR， f(x)|2 x1| t2 t1 成立，求实数
9、t 的取值范围。32解析：(1) f(x)| x3| m， f(x3)| x| m0， m0， x m 或 x m，又 f(x3)0 的解集为(，22，)。故 m2。(2)f(x)|2 x1| t2 t1 等价于不等式| x3|2 x1| t2 t3，32 32令 g(x)| x3|2 x1|Error!故 g(x)max g ，(12) 72则有 t2 t3，72 32即 2t23 t10，解得 t 或 t1，12即实数 t 的取值范围是 1，)。( ，1222015课标已知函数 f(x)| x1|2| x a|， a0。(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的
10、图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围。解析：(1)当 a1 时， f(x)1 化为| x1|2| x1|10。当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当1 x1 时，不等式化为 3x20，解得 x1；23当 x1 时，不等式化为 x20，解得 1 x2。所以 f(x)1 的解集为 x| x2。23(2)由题设可得， f(x)Error!所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A， B(2a1,0)， C(a， a1)， ABC 的面积为 (a1) 2。由题设得 (a1) 26，故(2a 13 ， 0) 23 23a2。所以 a 的取值范围为(2，)
11、。32015陕西已知关于 x 的不等式| x a| b 的解集为 x|2 x4。(1)求实数 a， b 的值；(2)求 的最大值。at 12 bt2解析：(1)由| x a| b，得 b a x b a，则Error! 解得 a3， b1。(2) 3t 12 t 34 t t2 4 ， 3 2 12 4 t 2 t 2 4 t t当且仅当 ，即 t1 时等号成立，4 t3 t1故( )max4。 3t 12 t42015福建已知 a0， b0， c0，函数 f(x)| x a| x b| c 的最小值为 4。(1)求 a b c 的值；(2)求 a2 b2 c2的最小值。14 19解析：(1)
12、因为 f(x)| x a| x b| c|( x a)( x b)| c| a b| c，当且仅当 a x b 时，等号成立。又 a0， b0，所以| a b| a b，所以 f(x)的最小值为 a b c。又已知 f(x)的最小值为 4，所以 a b c4。(2)由(1)知 a b c4，由柯西不等式得(491)(14a2 19b2 c2)2( a b c)216，(a22 b33 c1)即 a2 b2 c2 。14 19 87当且仅当 ，12a213b3 c1即 a ， b ， c 时等号成立。87 187 27故 a2 b2 c2的最小值为 。14 19 8752016衡水中学模拟已知关
13、于 x 的不等式|2 x1| x1|log 2a(其中 a0)。(1)当 a4 时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数 a 的取值范围。解析：(1)当 a4 时，不等式为|2 x1| x1|2。当 x 时， x22，12解得4 x ；12当 x1 时，3 x2，123解得 x ；12 23当 x1 时， x0，此时 x 不存在。原不等式的解集为Error!。(2)令 f(x)|2 x1| x1|，则 f(x)Error!故 f(x) ，即 f(x)的最小值为 。32， ) 32若 f(x)log 2a 有解，则 log2a ，32解得 a ，即 a 的取值范围是 。24 24， )62
14、016洛阳模拟设 f(x)| x|2| x a|(a0)。(1)当 a1 时，解不等式 f(x)8；(2)若 f(x)6 恒成立，求实数 a 的取值范围。解析：(1)当 a1 时， f(x)| x|2| x1|Error!所以 f(x)8，则Error! 或Error!或Error!解得 1 x 或 0 x1 或2 x0，103不等式的解集为Error!。(2) f(x)| x|2| x a|Error!由 f(x)的表达式及一次函数的单调性可知， f(x)在 x a 时取得最小值， f(x)min f(a) a，若 f(x)6 恒成立，只需 a6，即 a 的取值范围为6，)。1【状元之路】2
15、017 届高三数学一轮总复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式模拟试题 选修 4-5高考模拟 备考套餐加固训练 练透考点12015甘肃一模已知函数 f(x)|2 x1|2 x5|，且 f(x) m 恒成立。(1)求 m 的取值范围；(2)当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式：| x3|2 x2 m8。解析：(1)要使 f(x) m 恒成立，只需 m f(x)min。由绝对值不等式的性质，有|2 x1|2 x5|(2 x1)(2 x5)|6，即 f(x)min6，所以 m6。(2)由(1)知， m6，所以原不等式化为| x3|2 x4，即| x3|42 x，得42 x x342 x，转化为Error! ，化简，得Error!，所以原不等式的解集为Error!。22016贵阳检测已知函数 f(x)|2 x1|2 x3|。(1)求不等式 f(x)6 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)| a1|的解集非空，求实数 a 的取值范围。解析：(1)原不等式等价于Error!或Error!或Error!解得 x2 或 x 或1 x 。32 12 32 12即原不等式的解集为 x|1 x2。(2)|2 x1|2 x3|(2 x1)(2 x3)|4，| a1|4， a3 或 a5。故实数 a 的取值范围为(，3)(5，)。
