2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 文 （课件+习题）（打包12套）北师大版.zip

1计时双基练三十四 不等关系与不等式A 组 基础必做1．已知 m0， m＋ n0， m＋ n0，所以 abb2，B 错误；因为 ab－ a2＝ a(b－ a)－ a2，C 错误； a|b|，D 错误，故选 A。答案 A3．(2015·太原测评)已知 aabab2 B． ab2abaC． abaab2 D． abab2a解析 由－1ab2a。答案 D4．设 α ∈ ， β ∈ ，那么 2α － 的取值范围是( )(0，π 2) [0， π 2] β 3A. B.(0，5π6) (－ π 6， 5π6)C．(0，π) D.(－π 6， π )解析 由已知得 00b－ a， cbc；② ＋ b－ d；④ a·(d－ c)b(d－ c)中成立的个数是( )ad bc2A．1 B．2C．3 D．4解析 ∵ a0b， c0。∴ ad0b－ a，∴ a－ b0。∵ c－ d0。∴ a(－ c)(－ b)(－ d)，∴ ac＋ bd－ d。∵ ab，∴ a＋(－ c)b＋(－ d)。即 a－ cb－ d，故③正确。∵ ab， d－ c0，∴ a(d－ c)b(d－ c)，故④正确。答案 C6．(2016·九江模拟)已知 a， b 为实数，命题甲： abb2，命题乙： b2，不能推出命题乙： b2，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选 B。答案 B7．(2015·北京西城一模)已知 6 支玫瑰与 3 支康乃馨的价格之和大于 24 元，而 4 支玫瑰与 4 支康乃馨的价格之和小于 20 元，那么 2 支玫瑰和 3 支康乃馨的价格的比较结果是( )A．2 支玫瑰的价格高 B．3 支康乃馨的价格高C．价格相同 D．不确定解析 设 1 支玫瑰与 1 支康乃馨的价格分别为 x 元、 y 元，则6x＋3 y24,4x＋4 y8， x＋ y5×8－8×5＝0，所以 2x3y，因此 2 支玫瑰的价格高，故选 A。答案 A38．下列四个不等式：① ab0， c 。e a－ c 2 e b－ d 2证明 ∵ c－ d0。∵ ab0，∴ a－ cb－ d0。∴0 。e a－ c 2 e b－ d 211．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往。甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受 7.5 折优惠。 ”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠。 ”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠。解 设该单位职工有 n 人( n∈N *)，全票价为 x 元，坐甲车需花 y1元，坐乙车需花 y2元，则 y1＝ x＋ x·(n－1)＝ x＋ xn，34 14 34y2＝ nx。45所以 y1－ y2＝ x＋ xn－ nx＝ x－ nx14 34 45 14 120＝ x 。14(1－ n5)当 n＝5 时， y1＝ y2；4当 n5 时， y1y2。因此当单位去的人数为 5 人时，两车队收费相同；多于 5 人时，甲车队更优惠；少于5 人时，乙车队更优惠。B 组 培优演练1．(2016·合肥模拟)已知有 a， b∈R，下列四个条件中，使 1 成立的必要不充分条ab件是( )A． ab－1 B． ab＋1C．| a||b| D．ln aln b解析 由 1⇔ －10⇔ 0⇔(a－ b)b0⇔ab0 或 a|b|，但由| a||b|ab ab a－ bb不能得到 ab0 或 a1，故| a||b|是使 1 成立的必要不充分条件。故选ab abC。答案 C2．已知－ ”连接)解析 － ABD。C－ A＝ －(1＋ a2)＝11＋ a － a a2＋ a＋ 11＋ a＝ ，－ a[(a＋ 12)2＋ 34]1＋ a∵1＋ a0，－ a0， 2＋ 0，∴ CA。(a＋12) 34∵ A－ B＝(1＋ a2)－(1－ a2)＝2 a20，∴ AB。B－ D＝1－ a2－ ＝11－ a a a2－ a－ 11－ a＝ 。a[(a－ 12)2－ 54]1－ a5∵－ 0， 2－ D。答案 CABD3．若－1≤lg ≤2,1≤lg xy≤4，则 lg 的取值范围是________。xy x2y解析 由 1≤lg xy≤4，－1≤lg ≤2 得 1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2，xy而 lg ＝2lg x－lg y＝ (lg x＋lg y)＋ (lg x－lg y)，所以－1≤lg ≤5。x2y 12 32 x2y答案 [－1,5]4．已知奇函数 f(x)在 R 上是单调递减函数，α ， β ， γ ∈R， α ＋ β 0， β ＋ γ 0， γ ＋ α 0，试说明： f(α )＋ f(β )＋ f(γ )的值与0 的关系。解 由 α ＋ β 0，得 α － β ，∵ f(x)在 R 上是减函数，且为奇函数，∴ f(α )f(－ β )＝－ f(β )，∴ f(α )＋ f(β )0。同理 f(β )＋ f(γ )0， f(γ )＋ f(α )0。以上三式相加，得 2[f(α )＋ f(β )＋ f(γ )]0，故 f(α )＋ f(β )＋ f(γ )0。1计时双基练三十五 一元二次不等式A组 基础必做1．已知 f(x)＝Error!则不等式 f(x)2，因此 x1。答案 A3．函数 f(x)＝ 的定义域是( )1ln － x2＋ 4x－ 3A．(－∞，1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．(1,2)∪(2,3)解析 由题意知Error!即Error!故函数 f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)。答案 D4．关于 x的不等式 x2－( a＋1) x＋ a1时，得 11}，则函数y＝ f(－ x)的图像可以为( )A. B.C. D.解析 由 f(x)1}知 a0 对于一切x∈R 恒成立。(1)当 a2＋4 a－5＝0 时，有 a＝－5 或 a＝1。若 a＝－5，不等式化为 24x＋30，不满足题意；若 a＝1，不等式化为 30，满足题意。(2)当 a2＋4 a－5≠0 时，应有Error!解得 11的解集为{ x|11，得 1－ 4 的解集为{ x|xb}。(1)求 a， b；(2)解不等式 ax2－( ac＋ b)x＋ bc4 的解集为{ x|xb}，所以 x1＝1 与 x2＝ b是方程 ax2－3 x＋2＝0 的两个实数根，且 b1。由根与系数的关系，得Error!解得Error!(2)由(1)知不等式 ax2－( ac＋ b)x＋ bc2时，不等式( x－2)( x－ c)2时，不等式的解集为{ x|20恒成立，则 x的取值范围为( )A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1,3)解析 把不等式的左端看成关于 a的一次函数，记 f(a)＝( x－2) a＋( x2－4 x＋4)，则 f(a)0对于任意的 a∈[－1,1]恒成立，易知只需 f(－1)＝ x2－5 x＋60 ①，且 f(1)＝ x2－3 x＋20 ②即可，联立①②，解得 x3。答案 C2．若不等式 x2＋ ax－20 在区间[1,5]上有解，则 a的取值范围是( )A. B.(－235， ＋ ∞ ) [－ 235， 1]C．(1，＋∞) D.(－ ∞ ， －235]解析 由 Δ＝ a2＋80，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根。于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)0，解得 a－ ，235故 a的取值范围为 。(－235， ＋ ∞ )答案 A3．某种产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝3 000＋20 x－0.1 x2， x∈(0,240)，若每台产品的售价为 25万元，则生产者不亏本时的最低产量是________台。解析 由题意知 3 000＋20 x－0.1 x2－25 x≤0，5即 0.1x2＋5 x－3 000≥0，∴ x2＋50 x－30 000≥0，∴( x－150)( x＋200)≥0。又 x∈(0,240)，∴150≤ x0的解集；(2)若 a0，且 00，即 a(x＋1)·( x－2)0。当 a0时，不等式 F(x)0的解集为{ x|x2}；当 a0的解集为{ x|－10，且 00。1a∴ f(x)－ m0，即 f(x)m。1计时双基练三十六 基本不等式A组 基础必做1．已知 f(x)＝ x＋ －2( xlg x(x0)(x2＋14)B．sin x＋ ≥2( x≠kπ，k∈Z)1sin xC． x2＋1≥2| x|(x∈R)D. 1(x∈R)1x2＋ 1解析 对选项 A，当 x0时， x2＋ － x＝ 2≥0，14 (x－ 12)即 lg ≥lg x，故不成立；对选项 B，当 sin x0。∴ x(3－3 x)＝3 x(1－ x)≤3 2＝ 。(x＋ 1－ x2 ) 34当且仅当 x＝1－ x，即 x＝ 时取等号。12答案 B24．若函数 f(x)＝ x＋ (x2)在 x＝ a处取最小值，则 a等于( )1x－ 2A．1＋ B．1＋2 3C．3 D．4解析 f(x)＝ x＋ ＝ x－2＋ ＋2。1x－ 2 1x－ 2∵ x2，∴ x－20。∴ f(x)＝ x－2＋ ＋2≥2 ＋2＝4。1x－ 2  x－ 2 ·1x－ 2当且仅当 x－2＝ ，即 x＝3 时， “＝”成立。1x－ 2又 f(x)在 x＝ a处取最小值。∴ a＝3。答案 C5．函数 y＝ (x1)的最小值是( )x2＋ 2x－ 1A．2 ＋2 B．2 －23 3C．2 D．23解析 ∵ x1，∴ x－10。∴ y＝ ＝ ＝x2＋ 2x－ 1 x2－ 2x＋ 2x＋ 2x－ 1 x2－ 2x＋ 1＋ 2 x－ 1 ＋ 3x－ 1＝ ＝ x－1＋ ＋2≥ x－ 1 2＋ 2 x－ 1 ＋ 3x－ 1 3x－ 12 ＋2＝2 ＋2。 x－ 1 3x－ 1 3当且仅当 x－1＝ ，即 x＝1＋ 时取等号。3x－ 1 3答案 A6．已知不等式( x＋ y) ≥9 对任意正实数 x， y恒成立，则正实数 a的最小值为( )(1x＋ ay)A．2 B．4C．6 D．8解析 ( x＋ y) ＝1＋ a＋ ＋ ≥1＋ a＋2 ，(1x＋ ay) yx axy a∴当 1＋ a＋2 ≥9 时不等式恒成立，故 ＋1≥3， a≥4。a a答案 B7．已知 ＋ ＝1( x0， y0)，则 x＋ y的最小值为________。2x 2y3解析 ∵ x0， y0，∴ x＋ y＝( x＋ y)· ＝4＋2 ≥4＋4 ＝8。(2x＋ 2y) (xy＋ yx) xy·yx当且仅当 ＝ ，即 x＝ y＝4 时取等号。xy yx答案 88．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站 10公里处建仓库，这两项费用y1和 y2分别为 2万元和 8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处。解析 设 x为仓库与车站距离，由已知 y1＝ ， y2＝0.8 x。20x费用之和 y＝ y1＋ y2＝0.8 x＋ ≥2 ＝8，当且仅当 0.8x＝ ，即 x＝5 时20x 0.8x·20x 20x“＝”成立。答案 59．(2016·南昌模拟)已知 x0， y0， x＋3 y＋ xy＝9，则 x＋3 y的最小值为________。解析 由已知，得 xy＝9－( x＋3 y)，即 3xy＝27－3( x＋3 y)≤ 2，令(x＋ 3y2 )x＋3 y＝ t，则 t2＋12 t－108≥0，又∵ t0，解得 t≥6，即 x＋3 y≥6。答案 610．已知 a0， b0， c0，且 a＋ b＋ c＝1。求证： ＋ ＋ ≥9。1a 1b 1c证明 ∵ a0， b0， c0，且 a＋ b＋ c＝1，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋1a 1b 1c a＋ b＋ ca a＋ b＋ cb a＋ b＋ cc＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ba ca ab cb ac bc＝3＋ ＋ ＋(ba＋ ab) (ca＋ ac) (cb＋ bc)≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝ b＝ c＝ 时，取等号。1311．已知 x0， y0，且 2x＋5 y＝20。求：(1) u＝lg x＋lg y的最大值；(2) ＋ 的最小值。1x 1y4解 (1)∵ x0， y0，∴由基本不等式，得 2x＋5 y≥2 。10xy∵2 x＋5 y＝20，∴2 ≤20， xy≤10，10xy当且仅当 2x＝5 y时，取等号。因此有Error! 解得Error!此时 xy有最大值 10。∴ u＝lg x＋lg y＝lg( xy)≤lg 10＝1。∴当 x＝5， y＝2 时， u＝lg x＋lg y有最大值 1。(2)∵ x0， y0，∴ ＋ ＝ ·1x 1y (1x＋ 1y) 2x＋ 5y20＝ ≥120(7＋ 5yx＋ 2xy)＝ ，120(7＋ 2 5yx·2xy) 7＋ 21020当且仅当 ＝ 时，取等号。5yx 2xy由Error! 解得Error!∴ ＋ 的最小值为 。1x 1y 7＋ 21020B组 培优演练1．设 ＝(1，－2)， ＝( a，－1)， ＝(－ b,0)(a0， b0， O为坐标原点)，若OA→ OB→ OC→ A， B， C三点共线，则 ＋ 的最小值是( )2a 1bA．4 B.92C．8 D．9解析 ∵ ＝ － ＝( a－1,1)，AB→ OB→ OA→ ＝ － ＝(－ b－1,2)，AC→ OC→ OA→ 若 A， B， C三点共线，则有 ∥ ，AB→ AC→ ∴( a－1)×2－1×(－ b－1)＝0。∴2 a＋ b＝1。又∵ a0， b0，5∴ ＋ ＝ ·(2a＋ b)2a 1b (2a＋ 1b)＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，2ba 2ab 2ba×2ab当且仅当Error!即 a＝ b＝ 时取等号。故选 D。13答案 D2．已知 00， a＋ b＝5，则 ＋ 的最大值为________。a＋ 1 b＋ 3解析 因为 a， b0， a＋ b＝5，所以( a＋1)＋( b＋3)＝9。令 x＝ a＋1， y＝ b＋3，则x＋ y＝9( x1， y3)，于是 ＋ ＝ ＋ ，而( ＋ )2＝ x＋ y＋2 ≤ x＋ y＋( x＋ y)＝18，所以a＋ 1 b＋ 3 x y x y xy＋ ≤3 ，此时 x＝ y，即 a＋1＝ b＋3，结合 a＋ b＝5 可得 a＝3.5， b＝1.5，故当x y 2a＝3.5， b＝1.5 时， ＋ 的最大值为 3 。a＋ 1 b＋ 3 2答案 3 24．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 1个单位的净化剂，空气中释放的浓度 y(单位：毫克/立方米)随着时间 x(单位：天)变化的函数关系式近似为 y＝Error!若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用。(1)若一次喷洒 4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒 2个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a(1≤ a≤4)个单位的药剂，要使接下来的 4天中能够持续有效净化，试求 a的最小值(精确到 0.1，参考数据： 取 1.4)。2解 (1)因为一次喷洒 4个单位的净化剂，所以浓度 f(x)＝4 y＝Error!当 0≤ x≤4 时，由 －4≥4，解得 0≤ x≤8，648－ x所以此时 0≤ x≤4。当 4x≤10 时，由 20－2 x≥4，解得 x≤8，6所以此时 4x≤8。综上可得 0≤ x≤8，若一次投放 4个单位的净化剂，则有效净化时间可达 8天。(2)设从第一次喷洒起，经 x(6≤ x≤10)天，浓度 g(x)＝2 ＋ a ＝10－ x＋ － a＝(14－ x)(5－12x) [ 168－  x－ 6 － 1] 16a14－ x＋ － a－4≥2 － a－4＝8 － a－ 4。因为 14－ x∈[4,8]，而16a14－ x  14－ x ·16a14－ x a1≤ a≤4，所以 4 ∈[4,8]，故当且仅当 14－ x＝4 时， y有最小值为 8 － a－4。令 8a a a－ a－ 4≥4，解得 24－16 ≤ a≤4，所以 a的最小值为 24－16 ≈1.6。a 2 21计时双基练三十七 简单线性规划A组 基础必做1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线 3x－2 y－ a＝0 的两侧，则 a的取值范围为( )A．(－24,7)B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析 根据题意知(－9＋2－ a)·(12＋12－ a) D．00时，由目标函数 z＝ x＋ ay得 y＝－ x＋ ，则由题意得－3＝ kAC 。1a za 1a 13答案 C6．(2015·福建卷)变量 x， y满足约束条件Error!若 z＝2 x－ y的最大值为 2，则实数3m等于( )A．－2 B．－1C．1 D．2解析 画出约束条件Error!表示的可行域，如图，作直线 2x－ y＝2，与直线 x－2 y＋2＝0 交于可行域内一点 A(2,2)，由题知直线 mx－ y＝0 必过点 A(2,2)，即 2m－2＝0，得 m＝1。故选 C。答案 C7．(2015·课标全国Ⅱ卷)若 x， y满足约束条件Error!则 z＝2 x＋ y的最大值为________。解析 如图所示，可行域为阴影部分。由可行域可知，目标函数 z＝2 x＋ y过点 B取得最大值。联立Error! 解得Error! 则 B(3,2)，故 zmax＝6＋2＝8。答案 88．已知点 P(x， y)在不等式组Error!所确定的平面区域内，则 的取值范围为yx－ 1________。解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 表示可行域内的点与yx－ 1点 C(1,0)的连线的斜率。由图可知，直线 CA的斜率为 0，直线 CB的斜率为 ＝4，所以43－ 043－ 1的取值范围为[0,4]。yx－ 14答案 [0,4]9．变量 x， y满足约束条件Error!若使 z＝ ax＋ y取得最大值的最优解有无数个，则实数 a的取值集合是________。解析 作出不等式组Error!表示的区域如图所示。由 z＝ ax＋ y得： y＝－ ax＋ z。当－ a0时，平行直线的倾斜角为锐角，从图 1可看出，a＝－1 时，线段 AC上的所有点都是最优解；当－ a0， b0)的最大值为 4，则 ab的取值范围是( )A．(0,4) B．(0,4]C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)解析 作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知， z＝ ax＋ by(a0， b0)过点 A(1,1)时取最大值，∴ a＋ b＝4， ab≤ 2＝4，∵ a0， b0，∴ ab∈(0,4]，故选(a＋ b2 )B。答案 B2．(2014·山东卷)已知 x， y满足约束条件Error!当目标函数 z＝ ax＋ by(a0， b0)在该约束条件下取到最小值 2 时， a2＋ b2的最小值为( )5A．5 B．4C. D．25解析 约束条件Error!满足的可行域如图中的阴影部分所示。由图可知，目标函数z＝ ax＋ by(a0， b0)取最小值时，最优解为(2,1)。所以 2a＋ b＝2 。5解法一(配方法)：由 b＝2 －2 a，5所以 a2＋ b2＝ a2＋(2 －2 a)2＝5 a2－8 a＋20＝5 2＋4，即当 a＝ ， b＝5 5 (a－455) 455时， a2＋ b2有最小值 4。255解法二(几何法)： 表示坐标原点与直线 2a＋ b＝2 上的点之间的距离，故a2＋ b2 57的最小值为 ＝2，即 a2＋ b2的最小值为 4。a2＋ b22522＋ 12答案 B3．(2016·湖南省东部六校高三联考)已知不等式组Error!表示平面区域 Ω ，过区域Ω 中的任意一个点 P，作圆 x2＋ y2＝1 的两条切线且切点分别为 A， B，当△ PAB的面积最小时，cos∠ APB的值为( )A. B.78 12C. D.34 32解析 设点 P(x， y)，|PO|＝ ，sin∠ APO＝ ，cos∠ APO＝ ，sin∠ APB＝ ，故 S△x2＋ y21|PO| |PO|2－ 1|PO| 2|PO|2－ 1|PO|2APB＝ |PA|·|PB|sin∠ APB＝ ( )2· ＝( )2· ，12 12  |PO|2－ 1 2|PO|2－ 1|PO|2 |PO|2－ 1 |PO|2－ 1|PO|2令 t＝| PO|2－1，则( )2· ＝ t· ，令 f(t)＝ ，则 f′( t)＝|PO|2－ 1|PO|2－ 1|PO|2 tt＋ 1 ttt＋ 1，又| PO|≥ ＝2，∴ t≥3， f′( t)0， f(t)在[3，＋∞)上单调递增，t t＋ 32 t＋ 1 2 |0＋ 0－ 22|12＋ 12即| PO|＝ 取最小值时， △ PAB的面积最小，此时x2＋ y2sin∠ APB＝ ＝ ，cos∠ APB＝ 。2|PO|2－ 1|PO|2 32 12答案 B4．(2016·西安模拟)设函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ b，且方程 f(x)＝0 在区间(0,1)和(1,2)上各有一解，则 2a－ b的取值范围用区间表示为________。解析 因为函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ b，且方程 f(x)＝0 在区间(0,1)和(1,2)上各有一解，则函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ b在区间(0,1)和(1,2)上各有一个零点，又因为 f(x)＝ x2＋ ax＋ b是开口向上的抛物线，所以 f(1)0， f(0)0，所以 f(1)＝ a＋ b＋10，②f(0)＝ b0，③画出约束条件①②③表示的可行域如图，设 2a－ b＝ z，8由Error! 解得 A(－3,2)， z＝2 a－ b经过点A时取得最小值，最小值为－8，由Error! 得 B(－1,0)， z＝2 a－ b经过 B点时取得最大值，最大值为－2，所以 2a－ b的取值范围用区间表示为(－8，－2)。答案 (－8，－2)5．已知点 A(1，－1)， B(3,0)， C(2,1)。若平面区域 D由所有满足A ＝ λ ＋ μ (1≤ λ ≤2,0≤ μ ≤1)的点 P组成，则 D的面积为________。P→ AB→ AC→ 解析 A ＝(2,1)， ＝(1,2)。B→ AC→ 设 P(x， y)，由 A ＝ λ ＋ μ ，P→ AB→ AC→ 得Error! 故有Error!又 λ ∈[1,2]， μ ∈[0,1]，故有Error! 即Error!则平面区域 D如图中阴影部分所示。由图可知平面区域 D为平行四边形，可求出 M(4,2)， N(6,3)，故| MN|＝ 。又5x－2 y＝0 与 x－2 y－3＝0 之间的距离为 d＝ ＝ ，故平面区域 D的面积为35 355S＝ × ＝3 。5355答案 31计时双基练三十八 合情推理与演绎推理A组 基础必做1．(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数， f(x)＝sin( x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin( x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确解析 因为 f(x)＝sin( x2＋1)不是正弦函数，而是复合函数，所以小前提不正确。答案 C2．观察( x2)′＝2 x，( x4)′＝4 x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数 f(x)满足 f(－ x)＝ f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(－ x)＝( )A． f(x) B．－ f(x)C． g(x) D．－ g(x)解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当 f(x)是偶函数时，其导函数为奇函数，故 g(－ x)＝－ g(x)。答案 D3．在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 ＝ 。推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体 P－ ABC的内切球体积为 V1，外接S1S2 14球体积为 V2，则 ＝( )V1V2A. B.18 19C. D.164 127解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3，故 ＝ 。V1V2 127答案 D4．下列推理是归纳推理的是( )A． A， B为定点，动点 P满足| PA|＋| PB|＝2 a|AB|，则 P点的轨迹为椭圆B．由 a1＝1， an＝3 n－1，求出 S1， S2， S3，猜想出数列的前 n项和 Sn的表达式C．由圆 x2＋ y2＝ r2的面积 π r2，猜想出椭圆 ＋ ＝1 的面积 S＝π abx2a2 y2b2D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析 由选项 A可知其为椭圆的定义；由 a1＝1， an＝3 n－1，求出 S1， S2， S3，归纳出数列的前 n项和 Sn的表达式，选项 B属于归纳推理；由圆 x2＋ y2＝ r2的面积 π r2，猜想2出椭圆 ＋ ＝1 的面积 S＝π ab，选项 C是类比推理；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，x2a2 y2b2选项 D属于类比推理。故选 B。答案 B5．(2015·龙岩质检)若数列{ an}是等差数列， bn＝ ，则数列{ bn}也是a1＋ a2＋ …＋ ann等差数列。类比这一性质可知，若正项数列{ cn}是等比数列，且{ dn}也是等比数列，则{ dn}的表达式应为( )A． dn＝ B． dn＝c1＋ c2＋ …＋ cnn c1·c2·…·cnnC． dn＝ D． dn＝ncn1＋ c2n＋ …＋ cnn nc1·c2·…·cn解析 因为数列{ an}是等差数列，所以 bn＝ ＝ ，{ bn}也为等差a1＋ a2＋ …＋ ann a1＋ an2数列。因为正项数列{ cn}是等比数列，设公比为 q，则 dn＝ ＝nc1·c2·…·cn＝ c1q ，所以{ dn}也是等比数列。nc1·c1q·…·c1qn－ 1n－ 12答案 D6．观察下列事实：| x|＋| y|＝1 的不同整数解( x， y)的个数为 4，| x|＋| y|＝2 的不同整数解( x， y)的个数为 8，| x|＋| y|＝3 的不同整数解( x， y)的个数为 12，…，则|x|＋| y|＝20 的不同整数解( x， y)的个数为( )A．76 B．80C．86 D．92解析 通过观察可以发现| x|＋| y|的值为 1,2,3时，对应的( x， y)的不同整数解的个数为 4,8,12，可推出当| x|＋| y|＝ n时，对应的不同整数解( x， y)的个数为 4n，所以|x|＋| y|＝20 的不同整数解( x， y)的个数为 80。答案 B7．(2016·石家庄模拟)把 1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一列正三角形(如图)。则第 7个三角形数是( )A．27 B．28C．29 D．303解析 a1＝1， a2＝1＋2＝3， a3＝1＋2＋3＝6， a4＝1＋2＋3＋4＝10， a5＝1＋2＋3＋4＋5＝15， a6＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21， a7＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28。答案 B8．(2015·云南省昆明高三统一考试)观察下列等式：13＝1 2,13＋2 3＝3 2,13＋2 3＋3 3＝6 2,13＋2 3＋3 3＋4 3＝10 2，…，根据上述规律，第 n个等式为____________________。解析 第一个等式 13＝1 2；第二个等式 13＋2 3＝3 2，得 13＋2 3＝(1＋2) 2；第三个等式13＋2 3＋3 3＝6 2，得 13＋2 3＋3 3＝(1＋2＋3) 2；第四个等式 13＋2 3＋3 3＋4 3＝10 2，得13＋2 3＋3 3＋4 3＝(1＋2＋3＋4) 2，由此可猜想第 n个等式为13＋2 3＋3 3＋4 3＋…＋ n3＝(1＋2＋3＋…＋ n)2＝ 2[n n＋ 12 ]答案 1 3＋2 3＋3 3＋4 3＋…＋ n3＝ 2[n n＋ 12 ]9．在平面上，设 ha， hb， hc是三角形 ABC三条边上的高， P为三角形内任一点， P到相应三边的距离分别为 Pa， Pb， Pc，我们可以得到结论： ＋ ＋ ＝1。把它类比到空间，Paha Pbhb Pchc三棱锥中的类似结论为____________________。答案 设 ha， hb， hc， hd分别是三棱锥 A－ BCD四个面上的高， P为三棱锥 A－ BCD内任一点， P到相应四个面的距离分别为 Pa， Pb， Pc， Pd，于是我们可以得到结论：＋ ＋ ＋ ＝1。Paha Pbhb Pchc Pdhd10．在 Rt△ ABC中， AB⊥ AC， AD⊥ BC于 D，求证： ＝ ＋ 。在四面体 ABCD中，1AD2 1AB2 1AC2类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由。证明 如图所示，由射影定理 AD2＝ BD·DC， AB2＝ BD·BC， AC2＝ BC·DC，∴ ＝ ＝ ＝ 。1AD2 1BD·DC BC2BD·BC·DC·BC BC2AB2·AC2又 BC2＝ AB2＋ AC2，∴ ＝ ＝ ＋ 。1AD2 AB2＋ AC2AB2·AC2 1AB2 1AC2猜想，在四面体 ABCD中， AB、 AC、 AD两两垂直， AE⊥平面 BCD，则 ＝ ＋ ＋1AE2 1AB2 1AC24。1AD2证明：如图，连接 BE并延长交 CD于 F，连接 AF。∵ AB⊥ AC， AB⊥ AD，∴ AB⊥平面 ACD。∴ AB⊥ AF。在 Rt△ ABF中， AE⊥ BF，∴ ＝ ＋ 。1AE2 1AB2 1AF2∵ AB⊥平面 ACD，∴ AB⊥ CD。∵ AE⊥平面 BCD，∴ AE⊥ CD。又 AB与 AE交于点 A，∴ CD⊥平面 ABF，∴ CD⊥ AF。∴在 Rt△ ACD中， ＝ ＋ ，1AF2 1AC2 1AD2∴ ＝ ＋ ＋ 。1AE2 1AB2 1AC2 1AD211．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°。(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。解 (1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－ sin 30°＝ 。12 34(2)归纳三角恒等式sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )＝ 。34证明如下：sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )5＝ ＋ －sin α (cos 30°cos α ＋sin 30°sin α )1－ cos 2α2 1＋ cos 60°－ 2α 2＝ － cos 2α ＋ ＋ (cos 60°cos 2α ＋sin 60°sin 2α )－ sin α cos 12 12 12 12 32α － sin2α12＝ － cos 2α ＋ ＋ cos 2α ＋ sin 2α － sin 2α － (1－cos 2 α )12 12 12 14 34 34 14＝1－ cos 2α － ＋ cos 2α ＝ 。14 14 14 34B组 培优演练1．设等差数列{ an}的前 n项和为 Sn。若存在正整数 m， n(mn)，使得 Sm＝ Sn，则Sm＋ n＝0。类比上述结论，设正项等比数列{ bn}的前 n项积为 Tn。若存在正整数 m， n(mn)，使得 Tm＝ Tn，则 Tm＋ n＝( )A．0 B．1C． m＋ n D． mn解析 因为 Tm＝ Tn，所以 bm＋1 bm＋2 …bn＝1，从而 bm＋1 bn＝1， Tm＋ n＝ b1b2…bmbm＋1 …bnbn＋1 …bn＋ m－1 bn＋ m＝( b1bn＋ m)·(b2bn＋ m－1 )…(bmbn＋1 )·(bm＋1 bn)…＝1。答案 B2．如图，我们知道，圆环也可以看作线段 AB绕圆心 O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积 S＝π( R2－ r2)＝( R－ r)×2π× 。所以，圆环的面积等于以线段R＋ r2AB＝ R－ r为宽，以 AB中点绕圆心 O旋转一周所形成的圆的周长 2π× 为长的矩形面积。R＋ r2请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域 M＝{( x， y)|(x－ d)2＋ y2≤ r2}(其中 0rd)绕 y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A．2π r2d B．2π 2r2dC．2π rd2 D．2π 2rd2解析 平面区域 M的面积为 π r2，由类比知识可知：平面区域 M绕 y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为 π r2)为底，以 O为圆心、 d为半径的圆的周长 2π d为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积 V＝π r2×2π d＝2π 2r2d。6答案 B3．如果函数 f(x)在区间 D上是凸函数，那么对于区间 D内的任意 x1， x2，…， xn，都有 ≤ f 。如果 y＝sin x在区间(0，π)f x1 ＋ f x2 ＋ …＋ f xnn (x1＋ x2＋ …＋ xnn )上是凸函数，那么在△ ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________。解析 由题意知，凸函数满足≤ f ，f x1 ＋ f x2 ＋ …＋ f xnn x1＋ x2＋ …＋ xnn又 y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则 sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝3sin ＝ 。A＋ B＋ C3 π3 332答案 3324．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1)，然后它按图示在 x轴、 y轴的平行方向运动，且每秒移动一个单位长度，则在第 12秒时，这个粒子所处的位置是________。解析 第一层有(0,1)，(1,1)，(1,0)三个整点(除原点)，共用 3秒；第二层有五个整点(2,0)，(2,1)，(2,2)，(1,2)，(0,2)，共用 5秒；第三层有七个整点(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,2)，(3,1)，(3,0)，共用 7秒。则在第 12秒时，这个粒子所处的位置是(3,3)。答案 (3,3)5．在平面直角坐标系中，若点 P(x， y)的坐标 x， y均为整数，则称点 P为格点。若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形。格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L。例如图中△ ABC是格点三角形，对应的S＝1， N＝0， L＝4。(1)图中格点四边形 DEFG对应的 S， N， L分别是________；7(2)已知格点多边形的面积可表示为 S＝ aN＋ bL＋ c，其中 a， b， c为常数。若某格点多边形对应的 N＝71， L＝18，则 S＝________(用数值作答)。解析 (1)由定义知，四边形 DEFG为一个直角梯形，其内部格点有 1个，边界上格点有 6个， S 四边形 DEFG＝3。∴ S＝3， N＝1， L＝6。(2)由待定系数法可得，Error!⇒Error!当 N＝71， L＝18 时， S＝1×71＋ ×18－1＝79。12答案 (1)3,1,6 (2)79