1、湖南省永州市 2018届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由题意 ，则 ，解得 ，所以集合 ，所以 ，故选A.2. 若复数 是纯虚数，且 （ ， 是虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】 由题意 ，又由 是纯虚数，所以 ，解得 ，故选 C3. 党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享
2、，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 根据四个列联表中的等高条形图可知，图中 D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D4. 双曲线 的焦点 轴上，若焦距为 4，则 等于（ ）A. 1 B. C. 4 D. 10【答案】C【解析】 由题意双曲线 的焦点在 轴上，则方程可化为 ，又由 ，即 ，所以 ，故选 C5. 运行如图
3、所示的程序框图，设输出的数据构成集合 ，从集合 中任取一个元素 ，则函数在 是增函数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 执行如图所示的程序框图，可知：第一次循环：满足 ， ，输出 ；第二次循环：满足 ， ；第三次循环：满足 ， ， 此时终止循环，所以输出的集合 ，所以从集合 中任取一个元素 ，则函数 在 是增函数的概率为 ,故选 C6. 的展开式中的常数项为（ ）A. B. 6 C. 12 D. 18【答案】BD【解析】 由二项式 的通项公式为 ，当 时，解得 ，当 时，解得 ，所以展开式中的常数为 ，故选 D7. 设 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】C【解析】 因为 ，所以由正弦定理可得 ，可得 ，整理可得 ，因为 ，所以 ，可得 ，因为 ，所以 ，所以 ，故选 C8. 在 中， ， ， ， 是 上一点，且 ，则 等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】 在 中， ， ， 是 是上一点，且 ，如图所示，设 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，故选 C9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面表示长和宽分别为 的矩形，高为 的一个三棱锥，所以该几何体的体积为 ，故选 B10. 已知椭圆
5、： 的右焦点为 ， 为坐标原点， 为 轴上一点，点 是直线 与椭圆 的一个交点，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为 ，所以 ，设 ，如图所示，由题意可得 ，所以 ，则 ，解得 ，所以 ，解得 ，故选 A11. 三棱锥 的所有棱长都相等， 别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 取 的中点 ，连接 ，因为三棱锥 的所有棱长都相等， 分别是棱 的中点，所以 ，所以 是异面直线 与 所成的角，设三棱锥 的所有棱长为 ，则 ， ，所以 ，所以异面 与 所成的角的余弦值为 点睛：本题考查了空间中两条异面
6、直线所成角的求解，其中解答中把两异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角是解答的关键，对于空间中两条异面直线所成的角的求解，通常把两条异面直线所成的角平移转化为两条相交直线所成的角，再看出三角形的内角，利用正、余弦定理求解，着重考查了学生的推理与运算能力和空间想象能力12. 若曲线 和 上分别存在点 和点 ，使得是以原点 为直角顶点的直角三角形，且斜边 的中点在 轴上，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 设 ，则 ，又由 ，由题意 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，设 ，则 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以函数 的最
7、小值为 ，又因为 ，所以实数 的取值范围是 ，故选 A点睛：本题考查了导数在解答函数问题中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值与最值等知识综合考查，同时解答中根据题意得到，再构造新函数，利用新函数的性质求解值解答的关键，着重考查了转化思想方法和学生的思维能力、推理运算能力，试题有一定的难度，属于难题二、填空题（每题 4分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给
8、出了 16的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示 628为_.【答案】【解析】 由题意各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，所以 用算筹可表示为 14. 已知实数 满足条件 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】 画出约束条件 所表示的平面区域，如图所示，则 表示平面区域内点 与点 距离的平方，当 时点 到直线 的距离的平方时， 取得最小值，所以最小值为
9、15. 函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若函数 在区间 上的值域为 ，则_.【答案】【解析】 函数 的部分图象如图所示，则 ，解得 ，所以 ，即 ，当 时， ，解得 ，所以 ，所以函数 向右平移 个单位后得到函数 的通项，即 ，若函数 在区间 上的值域为 ，则 ，所以 点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数 的性质求解16. 记 为正项等比数列 的
10、前 项和，若 ，则 的最小值为_.【答案】8【解析】在等比数列 中，根据等比数列的性质，可得 构成等比数列，所以 ，所以 ，因为 ，即 ，所以 ,当且仅当 时，等号是成立的，所以 的最小值为 点睛：本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式的应用，解答中根据等比数列的性质和题设条件得到 ，再利用基本不等式求解最值是解答的关键，其中熟记等比数列的性质是解答的基础，着重考查了学生的推理运算能力，及分析问题和解答问题的能力三、解答题 （本大题共 6题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 在等比数列 中，首项 ，数列 满足 ，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）记数列 的前
11、项和为 ，又设数列 的前 项和为 ，求证： .【答案】() ；()详见解析【解析】试题分析：（）设等比数列 的公比为 ，由题设条件，求的 ，即可得到数列的通项公式（）由（）得 ，易知 为等差数列，得 ，得 ，利用裂项法，即可求解数列的和 试题解析：（）由 和 得 ，所以 ，设等比数列 的公比为 q， ， ，解得 （ 舍去） ，即 （）由（）得 ，易知 为等差数列，,则 ， ，18. 如图，在多面体 中，四边形 是菱形， ， ， ，平面 ， ， ， 是 的中点.（1）求证：平面 平面 ；（2）求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】()详见解析；() 【解析】试题分析：（）连接 交 于 ，得
12、，所以 面 ，又 ，得面 ，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；（）如图，以 O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面 的一个法向量 ，利用向量 和向量 夹角公式，即可求解 与平面 所成角的正弦值试题解析：（）连接 BD交 AC于 O，易知 O是 BD的中点，故 OG/BE， BE 面 BEF， OG在面 BEF外，所以 OG/面 BEF；又 EF/AC， AC在面 BEF外， AC/面 BEF，又 AC与 OG相交于点 O，面 ACG有两条相交直线与面 BEF平行，故面 ACG面 BEF；（）如图，以 O为坐标原点，分别以 OC、 OD、 OF为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系，则，
13、 ， ， ， ， ， ，设面 ABF的法向量为 ，依题意有 ， ，令 ， ， ， ，直线 AD与面 ABF成的角的正弦值是 19. 某保险公司对一个拥有 20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 三类工种，从事这三类工种的人数分别为 12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：已知 三类工种职工每人每年保费分别为 25元、25 元、40 元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100 万元、50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10万元
14、.（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案 1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12万元；方案 2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70%，职工个人负责保费的 30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.【答案】()详见解析；() 方案 2【解析】试题分析：（）设工种 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量 ，可得其分布列，分别求解数学期望，即可得到该工资的期望值；（）分别求出方案 1和方案 2
15、中企业每年安全支出与固定开支，即可作出比较得到结论试题解析：（）设工种 A、 B、 C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量 X、 Y、 Z，则 X、 Y、 Z的分布列为X 25PY 25PZ 40P保险公司的期望收益为； ； ； 保险公司的利润的期望值为 ，保险公司在该业务所获利润的期望值为 9万元 （）方案 1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：，方案 2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：， ，故建议企业选择方案 220. 设斜率不为 0的直线 与抛物线 交于 两点，与椭圆 交于 两点，记直线 的斜率分别为 .（1）求证： 的值与直线 的斜率的大小无关； （
16、2）设抛物线 的焦点为 ，若 ，求 面积的最大值.【答案】()详见解析；() 【解析】试题分析：（）由直线的方程与抛物线方程联立，求得 ，求得 ， 再直线与椭圆方程联立，求得 ，求的 ，代入化简，即可得到结论（）由（）知 ，由 得求得 ，由（1）中 ，求得弦长 ，再利用点到直线的距离公式，求得点 到直线 的距离，即可得到面积的表达式，进而求解面积的最大值试题解析：（）设直线 l： ， ， ， ， 联立 和 ，得 ，则 ， ， 联立 和 得 ，在 的情况下， ，所以 是一个与 k无关的值 （）由（）知 ， ，而由 得得 m=4（ m=0显然不合题意） ，此时 ， ， ， 点 到直线 的距离 ，所
17、以 ， （求面积的另法：将直线 l与 y轴交点（0,4）记为 E，则，也可得到 ）设 ，则 ，当且仅当 ，即 时， 有最大值 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21. 已知 , .（1）若对任意的实数 ，恒有 ，求实数 的取值范围；（2）当 时，求证：方程 恒有两解.【答案】() ；()详见解析【解析】试题分析：（）转化
18、为关于 的二次不等式，进而得 ，令 ，利用导数求解函数 的单调性与最值，即可求解实数 的取值范围；（）方程 化为 ，令 ，利用导数求得函数的单调性与最值，得到 在 和 各有一个零点，即可得方程 恒有两解 试题解析：（）要使 f(x) g(x)恒成立，即使 成立，整理成关于 a的二次不等式 ，只要保证0， ，整理为 ， （i） 下面探究（i）式成立的条件，令 ， ， ，当 时， 单调递减；当 时， ， 单调递增， x=1时 有最小值 ， ， 实数 b 的取值范围是（1,2） （）方程 化为 ，令 ， ， 在（0，）上单调递增， ， ，存在 使 ，即 ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 在
19、处取得最小值 ， 0， ， ， 在 和 各有一个零点，故方程恒有两解点睛：本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解、函数的综合问题，同时注意数形结合思想的应用请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标
20、系中，直线 过点 ，且倾斜角为 ， .以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）求直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程，并判断曲线 是什么曲线； （2）设直线 与曲线 相交与 两点，当 ，求 的值.【答案】() 曲线 是焦点在 轴上的椭圆；() 【解析】试题分析：（1）由题易知，直线 的参数方程为 ， （ 为参数） ，；曲线 的直角坐标方程为 ，椭圆；（2）将直线代入椭圆得到，所以 ，解得。试题解析：()直线 的参数方程为 . 曲线 的直角坐标方程为 ，即 ， 所以曲线 是焦点在 轴上的椭圆. ()将 的参数方程 代入曲线 的直角坐标方程为得 ， 得 ， ，23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）解不等式 ；（2）若对任意的 ，均存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】() ；() 【解析】试题分析：（1）由题意得 ，所以 ，解得 ；（2）由题意， ， ，所以 ，解得 或 。试题解析：()由 ，得 ， ，得不等式的解为 () ，对任意的 均存在 ，使得 成立，解得 或 ，即实数 的取值范围为： 或 点睛：本题考查绝对值不等式。绝对值不等式的求解，掌握基本解法即可。绝对值的三角不等式考查技巧性较高，形式上需要满足定义域及系数的统一，本题的另一个难点就是题意的理解转化，得到值域的包含关系。
