1、二次型耗散线性离散系统的鲁棒性分析与控制第 2O 卷第 2 期V01.20No.2控制与Controland决策Decision2005 年 2 月Feb.2005文章编号:1001092O(2005)O2 一 O142 一 O5二次型耗散线性离散系统的鲁棒性分析与控制邵汉永 h,冯纯伯(1.曲阜师范大学自动化研究所,山东曲阜 273165;2.东南大学自动化研究所,江苏南京 210096)摘要:考虑一类不确定离散多变量系统的鲁棒二次型耗散性分析和控制 ,其中各不确定参数矩阵具有线性分式形式.首先对确定系统建立二次型耗散性与正实性之间的等价关系,由此导出线性系统 U-次型耗散的充分必要条件;然
2、后证明不确定系统的鲁棒耗散性分析和控制可转化为确定系统的耗散性分析和设计,给出了这类不确定系统鲁棒耗散的充分必要条件以及鲁棒耗散控制问题的线性矩阵不等式解法.所得结果可将H 控制与正实控制统一起来,提供一种较为灵活,保守性较小的系统设计方法.仿真例子说明了所提方法的有效性.关键词:耗散;耗散控制;离散系统;线性矩阵不等式中图分类号:TP273 文献标识码:ARobustquadraticdissipativeanalysisandcontrolfordiscrete-timesystemsSHAOHanyong.FENGChunbo.(1.InstituteofAutomation,QufuN
3、ormalUniversity,Qufu273165,China;2.InstituteofAutomation,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China.Correspondent:SHAOHanyong,Email:hanyongshao163.corn)Abstract:Therobustquadraticdissipativecontrolproblemforaclassofuncertaindiscrete-timesystemsisconsideredwheretheuncertaintiesareexpressedinalinearfract
4、ionalform.Equivalencebetweenquadraticdissipativenessandpositiverealnessisestablished,andnecessaryandsufficientconditionsarederivedforlinearsystemstobestrictquadraticdissipative.Itisshownthatthequadraticdissipativeanalysisandcontroloftheuncertainsystemscanbereducedtothoseofrelatedsystemswithoutuncert
5、ainties.Necessaryandsufficientconditionsareobtainedfortheuncertainsystemstoberobustquadraticdissipative.TherobustquadraticdissipativecontrolproblemcanbesolvedusinganLMIapproach.Anexampleshowstheapplicabilityoftheproposedapproach.Keywords:dissipative;dissipativecontrol;discrete-timesystems;LMI1 引言耗散是
6、系统和控制理论中的一个重要概念,它在稳定性分析,非线性控制以及自适应控制系统设计等方面有着广泛的应用1,它是无源概念和 H.性能的推广.无源控制和 H.控制在过去几年已得到了较为广泛的研究 L37.然而无源设计是通过回路相位差小于 180.来实现闭环稳定的,由于没有利用前向,反馈通道的增益,所得结果有较大的保守性.而 H.控制则通过回路增益小于 1 来达到闭环稳定,由于没有利用前向,反馈通道的相位信息,所得结果也有较大的保守性.基于耗散性分析的综合,因为既利用了系统的增益又提取了相位信息,在增益和相位之间进行了较好的折中,所得结果保守性较小,因此,研究系统的耗散性具有重要意义.文献8对线性连续
7、系统进行了耗散性分析和耗散设计,但目前关于离散系统的耗散性研究较少.离散系统收稿日期:20040226修回日期:20040928.基金项目:国家自然科学基金重点项目(69934010).作者简介:邵汉永(1964 一),男,山东济宁人,博士生,从事无源性分析,鲁棒控制等研究;冯纯伯(1928 一), 男,江苏金坛人,中国科学院院士,博士生导师,从事复杂系统建模与优化,智能系统分析与设计和无源性分析等研究.第 2 期邵汉永等:二次型耗散线性离散系统的鲁棒性分析与控制 143在计算机控制,信号处理等方面已有广泛应用,离散系统的耗散性研究受也到了人们的重视.文献10在这方面做了一定的工作,讨论了确定
8、系统的二次型耗散性及耗散控制.由于不确定性的存在,研究不确定系统的耗散性十分必要.本文针对范数有界参数不确定线性离散系统进行了鲁棒二次型耗散性分析和综合.首先给出了对象描述以及必要的预备知识,其中包括线性系统严格二次型耗散的充分必要条件,这个条件是通过将线性系统的二次型耗散性等价于增广系统的严格正实性得封的;然后分析鲁棒耗散性,给出了系统鲁棒耗散的充分必要条件;最后给出了状态反馈耗散控制,将不确定系统的鲁棒耗散控制转化为确定系统的耗散设计.仿真示例表明,本文给出的方法是有效的.2 系统描述及预备知识考虑如下不确定线性离散系统():x(k+1)一 A x(k)+B( 五),(1)2(足)一 C(
9、是)+D(是).(2)其中:(五)R 为状态,oJ(k)Rq 为外部输入,(五)Rp 为输出.三.式中:,B,C,D 为标称参数矩阵;H,H,E,E 为已知矩阵;(五) R 限具有以下形式:(五):F( 五)EI+F(五)_.,F(正)F(五) I,JJI.(4)为叙述方便,以下称式(3)和(4) 所描述的不确定性为系统()的容许不确定性.本文的任务是对系统(邑 )进行耗散性分析和控制.首先回顾以下有关概念和定理.考虑与系统(邑) 对应的标称系统(三):(五+1) 一 Ax(k)+Bo(k),(0)一 0;(五)一 Cx(五 )+Do(k).(5)系统(三 )的传递函数为 G()一 D+C(z
10、IA)-1B,假设它是可控可观的.现给定实矩阵 QRpp,SRp,尺Rq 且 QQ,RR.记M()一 G()QG()+SG)+G)+R,则有:定义 1 假设稳定.称系统(三)是关于(Q,S,R)耗散的,如果 M(e)0,V002;称系统(三)是关于 (Q,S,R)严格耗散的(SD),如果M(e)0,V002 且 M()0.定义 1 是对线性系统从频域上定义二次型耗散的,由 Parseval 定理,它与时域上的定义是一致的 r.类似地可定义连续系统的二次型耗散 rn.耗散是一种临界情形,参数稍有摄动便可能使系统失去耗散性,而严格耗散则具有鲁棒性.下面只讨论严格耗散性.系统(三 )关于 (Q,S,
11、R)的严格耗散性包括扩展严格正实(ESPR) 和 H 性能等情形.当 Q 一 0,SI,R 一 0 时,系统(三) 为 ESPR 的 r;当 Q 一一 I,So,RI 时 ,系统( 三)具有标准的 H 性能.注意到这两种情况下都有 Q0,所以以下假定一一Q0.易见,定义 1 从传递函数上描述了二次型耗散系统的特性.下面给出二次型耗散线性系统的状态空间特征.引入(三)的增广系统(三)x(k+1)一 Ax(k)+r-Boil(k),厂 C(五)一 l 一,zcJ(五)+广 R/2+D0lD2JD?引理 1 下面的命题等价:1)系统 ()关于(Q,S,R)是 SD 的;2)稳定且系统( 三)是 ES
12、PR 的;3)存在 0PR,-,使一P 一 C,2A一CDrSSDRD1/2Brl/2C/D0AB0 一 Pl0.(7)证明系统(三)的传递函数矩阵为丁=R于是,2) 学稳定且厂 R+SG()+G()G()/L 一G().j0V:e,002,一;学稳定且G()QG(z)+SG()+G()+R0,V:e,002,一;学 1).2)与 3)之间等价可由文献7 中的引理 1 得到.口这里构造了系统(三) 的增广系统(三), 建立了(三)的正实性与 (三)的二次型耗散性之间的等价关系,从而导出了线性系统严格二次型耗散的充分必要条件 3).文献7中有类似的条件,但证明过于复杂.144 控制与决策第 2O
13、 卷3 鲁棒耗散性分析现考虑系统(邑) 的耗散性.注意到这是一个不确定系统,需要先明确不确定系统耗散的意义.定义 2 称系统(邑) 关于(Q,S,R)为鲁棒严格耗散的(RSD),如果存在 0P使一PSCd/CdAdcIsD 一 SDdRIDdBd12“一OABT0P 一 10(8)对所有容许不确定性都成立.根据引理 1,这样定义系统(邑)的鲁棒严格耗散是合理的.易见,不确定系统(邑)关于(Q,S,R)鲁棒严格耗散必是鲁棒稳定的,而对应的标称系统关于(Q,R) 为严格耗散的.为将不确定系统()的鲁棒耗散分析转化为确定系统的耗散分析,引入如下增广系统(五):z(五 +1)一 Ax(五)+B.oJ(
14、k) 一Ax(k)+BeH(五),z(O)一 0;z(k)一 C.z()+D.(点)一+e.其中 e0 待定.记Q 一一 0 三,s 一:,R 一;,Q 一一一 Q.c.从而有如下定理:定理 1 系统(邑) 关于(Q,R) 是 RSD 的充分必要条件为存在 e0 使系统(五)关于(Q,S,R)是 SD 的.证明必要性.由定义 2,存在 0PR,使一P一Cd/2Cdd一SDIsSDdR/DdBa/2一OATBaTOP 一对任意容许不确定性都成立.利用式(3),有一PC.STC.DTS.“SrD.R/DB,2D,2一IO(五)EEl0o-I 一0BO一P 一 1OSHl/HlH(矗)EEl0o-I考虑到式(4), 由文献 E3-1,有一P一C/CC一DDR1;2DBC,2D/一IO0.B0一P 一 1一S0
